高中數(shù)學(xué)127個(gè)快速解題公式

高中數(shù)學(xué)127個(gè)快速解題公式

第1章集合

1、有限集合子集個(gè)數(shù)：子集個(gè)數(shù)：2”個(gè)，真子集個(gè)數(shù)：2"」個(gè)；

2、集合里面重要結(jié)論：

①=②A08=A=BuA；③A_>8oAu8④Ao80A=8

3、同時(shí)滿足求交集，分類討論求并集

4、集合元素個(gè)數(shù)公式：n(AUB)=n(A)?n(B)-n(AnB)

第2章函數(shù)

5、幾個(gè)近似值：-Jlt1.414,-VIi1.732,-Js12.236,x*3.142,et2.718

n

6、分?jǐn)?shù)指數(shù)幕公式：a，"="

7、對(duì)數(shù)換底公式：log.b=處」；log“》=——

log.alog*a

8、單調(diào)性的快速法：①.增+增一增；增一減一增；②.減+減一減；減一增一減；

③.乘正加常，單調(diào)不變：④.乘負(fù)取倒，單調(diào)不變：

9、奇偶性的快速法：①.奇土奇一奇；偶土偶f偶;

②.奇虱上)奇f偶；偶武工)偶f偶;奇X(a)偶■*奇；

10、函數(shù)的切線方程：y~y0~f(x0)(x-x0)

11、函數(shù)有零點(diǎn)e

12、函數(shù)無零點(diǎn)o/(x)maxM0或/(x)minN0

13、函數(shù)周期性：/(a?x)=/(/??x)的周期T=|/?-a]；

14、函數(shù)對(duì)稱性：/(a,x)=/(b-x)的對(duì)稱軸了=二"；

15、抽象函數(shù)對(duì)數(shù)型：若/⑶)=/(x)+/(y),則/(x)-log“x；

16、抽象函數(shù)指數(shù)型：若/(x+y)，則f(x)mct；

17、抽象函數(shù)正比型：若/(x+y)=/(x)+/(y),則/(x)=Ax；

18、抽象函數(shù)一次型：若力(x)=c,則/(x)=cx+b

19、抽象函數(shù)導(dǎo)數(shù)型：若/,(x)=/(x),則/(%)=叱或/'(x)=0；

>r4-1

20、兩個(gè)重要不等式：C不ln(x+l)共x共e,-l(當(dāng)且僅當(dāng)％=0時(shí)"=”成立)

llnx共x-1

21、洛必達(dá)法則：hm-0=lim'3(當(dāng)">)?或-時(shí)使用)

“幅舟q?門as(1)。>/(x)—。>/(初用

22、恒成工問題：

(2)a</(x)—a</(x)min

23、證明/(x)>g(x)思路：思路1：(l)h(x)=f(x)-g(x)—h(x)>0(常規(guī)首選方法)

思路2：/(?mM>g(X)2(思路1無法完成)

第3章數(shù)列

24、等差數(shù)列通項(xiàng)公式：a?=a,+(n-l)J

25、等差數(shù)列通項(xiàng)公式：S="(%+%)=na+她二9]

“22

26、等比數(shù)列通項(xiàng)公式：a?=a^

27、等比數(shù)列通項(xiàng)公式：S=多處⑴=2土也

1-q1-q

28、等差數(shù)列的性質(zhì)：若機(jī)+〃=p+q,則品+an-ap+aq

29、等比數(shù)列的性質(zhì)：若"?+〃=p+q,則aman=apaq

30、等差中項(xiàng)：若a,A,。成等差數(shù)列，則2A=a+刀

31v等比中項(xiàng)：若a,G,b成等比數(shù)列,則G2=比

32、裂項(xiàng)相消法1：若一匚'，則有<=1--=%

4-1)nn+ln+In+1

33、裂項(xiàng)相消法2：若一[=1；---1))1,則有雹=：(1+!——二)

34、裂項(xiàng)相消法3：若-1—))|,則有7；=

外應(yīng)仆一Opda,%

35、裂項(xiàng)相消法4：若----_1))1,則有I?=-(1一)

(2/1)IX2/J-I)乂2吁12/…川”22^+1

第,錯(cuò)位相減法求和通式公普+空^-窖

第4章三角函數(shù)

37、三角函數(shù)的定義：正弦：sin//=2；余弦：cos”=2;正切：tanrz=—；其中：r=

rrTg

38、誘導(dǎo)公式：萬倍加減名不變，符號(hào)只需看象限；半斤加減名要變，符號(hào)還是看象限。

39、和差公式：①sin(“土/，)=sin〃cos“土cos//sin〃(傘科科傘，符號(hào)不反)

②cos(〃±〃)=cos〃cos。軍sin"sin"(科科傘傘，符號(hào)相反)

③tan(〃±/，)=皿,土[anJ上同下相反)

ITIan"tan[}

40、二倍角公式：①sin2〃=2sin/ycos//

(2)cos2/r=cos2/r_sin2//=1_2sin2/r=2cos2rr_1

③由2〃=上當(dāng)-

I-tan*a

05

41、降幕公式：①.sin/rcosrz=②.sin2r>=〔一'"③.cos2r>=1.cos2/z

222

42、輔助角公式:asinwx+bcoswx=Ja:+b:sin(ua+Q.(tanQ=一，a>0)

a

_〃bc

43、正弦定理：.人=.口二.「=2R

sinAsinBsinC

44、余5^^理：①cosA=f'—、"一cr=Ir+c2_2bccosA

2bc

(2)cosB="i—Ir=er+c1_2accosB

9/?r

(3)cosC="一’-c2=a2+/72labcosC

2ab-

45、三角形最值原理：三角形中一個(gè)角及其對(duì)邊已知時(shí)、另外兩邊或兩角相等時(shí)周長(zhǎng)取得最小值,

面積取得最大值；

第5章向量

46、向量加法的作圖：上終下起，中間消去；A=r

47、向量減法的作圖：起點(diǎn)相同，倒回來讀；行-卷=舲

48、向量平行的判定：⑴向量法：-?//5—d=入；;⑵向量法：宿一xty2-=0

49、向■垂直的判定：⑴向量法：a\f,一“④，=0；⑵向量法：Z」f>—砧+y%=0

50、向■的數(shù)?積公式：⑴向量法：Z聞萬/和9；⑵向量法：…熱D/；書聲+比2

51、向■的夾角公式:(1)向量法：cos9=(2)向量法:cos奐,?與+：山一

Jx：+短/號(hào)+4

52、。方向上的單位向量:⑴向量法：

53、證明4B、丘點(diǎn)共線兩種方法:

蜘蜘蝴.

(2)PA=xPB+yPC(x+y=1)

第6章立體幾何

54、線線角向量法公式：cos9=

ab

a.mh

55、線面角：(1)向量法公式：sin9二00;⑵幾何法公式：sin9二一5

aina

⑵幾何法公式：cos9=%

56、二面角：(1)向量法公式：

s原圖

57、點(diǎn)面距:(1)向量法公式:4冏…

58、多面體的內(nèi)切球半徑：r=----------------------

$?S.?S.

59、長(zhǎng)方體的外接球半徑：2R=Ja2+b2+c2

正=八令

60、直棱錐的外接球半徑：(

、肥一

sin.4

(|/?2=/+(〃-8

61、正棱錐的外接球半徑：〈

62、正三角形的性質(zhì)：高:容?惴積：

2A

&、正三角形與圓：內(nèi)切圓半徑：廠=巫4,外接圓半徑：/?=」1,且4=2

64、正四面體的高：斜高：/正高：S

65、正四面體與球：內(nèi)切球半徑r,外接球半徑R,且"=；且"/?=“

，I

第7章解析幾何

66、圓的定義：若PA」PB,則P的軌跡為以AB為直徑的圓

67、橢圓的定義:若+PA=2a(24>F/J),則P的軌跡為以吊尸2為焦點(diǎn),2〃為長(zhǎng)軸的橢圓

68、雙曲線的定義：若pF」-pKl=2a(2a<F/J),則P的軌跡為以產(chǎn)正2為焦點(diǎn),2a為實(shí)軸的雙曲線

70、拋物線的定義：到定點(diǎn)F(2,0)和到定直線：x=的距離相等的點(diǎn)P的軌跡為為雙曲線

71、直線的縱斜截式方程：y=kx+b；直線過y軸上點(diǎn)為B(0")且不豎直于x軸

72、直線的橫斜截式方程：x=my+a；直線過x軸上點(diǎn)為A(a,0)且不平行于x軸

73、直線平行：/J/%O&i=傷（仇h%）；^iAlB2-A2Bl=0

74、直線垂直：/,Jkok、1cl=-1;或AH?+B[B?=0

2

75、點(diǎn)點(diǎn)距公式：RB；=-J（x2-xt）+OsfA

76、點(diǎn)線距公式：d=?學(xué)生?”

77、^1g公式：d2_-

78、點(diǎn)差法的斜率公式：I=-"，左雙=,⑥=,"

79、通用弦長(zhǎng)公式：I="+-./（v*V,r-Jv,v.,I=7（1+?）[（V[+”）2-4y%]

80、圓的弦長(zhǎng)公式：I=2-yJr-d:

81、焦半徑公式（帶坐標(biāo)）：

⑴橢圓中：=a±ex0,；⑵雙曲線：枚用=夕0±區(qū)⑶拋物線：\^F\=X0+1L

82、焦半徑公式（傾斜角）：

blh：p

①橢圓中：-7--------；；⑵雙曲線：……、；⑶拋物線：1-

<Xl±ecosa）51±vcosa）l±costr

83、焦點(diǎn)弦公式（傾斜角）：

2b22b22n

①橢圓中：——3~丁;⑵雙曲線：-~~：~丁；⑶拋物線：

0（1-ecosa}a（\-ecosa）sin'a

80、拋的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：I=xt+x2+p=:4

A*sina

81、橢圓的焦點(diǎn)三角形面積：S”,="tan:

82、雙曲線焦點(diǎn)三角形面積：SA-質(zhì)=〃cot：

83、雙曲線的焦?jié)u距為：6（虛半軸）

84、橢圓的離心率公式:

85、雙曲線的離心率公式:

86、圓錐曲線的離心率公式：|ecos//|

2b2

87、橢圓'雙曲線通徑公式：|PQ|=

a

88、拋物線的通徑公式：pq=2p

89、拋物線焦點(diǎn)弦圓：以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切;

90、拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)：—+1二=二

\Ab\\BF\p

91x拋物線焦點(diǎn)直線的韋達(dá)定理：的々=，為+Z=P，乂丫2=-P2，弘+%

.,帆觸曲

92、解析幾何中的向■問題：OA.OB=+%%，0+0B=（xt+x2,y+y2）

93、向置與夾角問題：⑴三40磁角二Oi.O8<0;

⑵三405銳角一O1.0B>0;

⑶三40B直角（04」0B）—0，.08=0

94、向量與圓的問題：P與以A3為直徑的圓的位置關(guān)系：

.匣）隹）匣）

⑴P在圓內(nèi)：三4PB鈍角一PB<0;

麗姆

⑵P在圓上：三4PB直角一PA.PB=O;

_由由由

⑶p在圓外：三IPB銳角一FL>o；

95、坐標(biāo)軸平分角問題：k,=_k2—k,+k2=0

第8章概率統(tǒng)計(jì)

96、頻方圖的頻率=小矩形面積：￡=S,=），,人d=乂；頻率=頻數(shù)/總數(shù)

97、頻方圖的頻率之和：/+/+...+￡=1；同時(shí)S+E+...+2=1；

98、頻方圖的眾數(shù)：最高小矩形底邊的中點(diǎn)。

99、頻方圖的平均數(shù)：x=x中工+礴/+工/+...+演”￡x=x中$+演屈+演￡+...+%”S,

100、頻方圖的中位數(shù)：從左到右或者從右到左累加，面積等于0石時(shí)X的值。

2

101、頻方圖的方差：1=（x+1_X）/+（X中2_X）N+...+（%_好￡

102、古典概型公式：P(A)=匕

103、幾何概型公式：P(A)=乙=3=L

/?,-SoG,

104、常見的排列問題：任職問題、數(shù)字問題、排隊(duì)照相問題、逐個(gè)抽取問題

105%排列公式：A：=以〃一1)...(?—m+1)

106、常見的組合問題：產(chǎn)品抽查問題、一次性抽取問題

107、組合公式：C"="(1)…("i+1)

“m(m—1)...3人2人1

108、均值公式：E(X)=XfPi+X2P2+...+x?pn

109、方差公式：。(X)=[占一E(%)]>,+[x2—E(x)]%+...+[xn—E(%)]>?

110、互斥事件概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)

111、對(duì)立事件概率公式：P(A)=1—P(A)

112、獨(dú)立事件概率公式：P(AB)=P(A)P(3)

113、獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生概率公式：P(A