高二數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第一章：數(shù)列

高二數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第一章：數(shù)列

設(shè)計師：寧永輝

第一部分：通過前n項和公式計算通項公式

一、通過前n項和公式計算通項公式原理，如下表所示:

通過前n項和公式計算記S,為數(shù)列）｛4｝的前〃項和公式：

a〃=1

通項公式原理”Is-5?n>2

通過前n項和公式計算推理:S=4+%+%+...+6I+an①

通項公式原理推理S“_i=4+4+.+…+②

①-②得到：?=5-5o

當(dāng)八=1時：an=Sn—S*_i=>q=E-So,

So不存在=a“=S“-S'-不可以計算/o

首項4的計算方法：4=S|。

二、通過前n項和公式計算通項公式的題型（一）。

（1）通過前n項和公式計算通項公式的例題講解，如下表所示:

例題解法設(shè)計

例題一：記S.為數(shù)列｛《｝前解：分類討論：(1)當(dāng)〃=1時：

2

在工_cn'+n_rr+n_T+1

〃項和，S〃=2°SnS.1nci.S.10

"22''

求：數(shù)列｛4｝的通項公式。(2)當(dāng)〃22時：

ir+n(H-I)2+(n-1)n~-n

b—z*tS.o

"222

,,cn2+nn2-nn2+n-n'2+n

ciStS.no

.......222

第1頁共102頁

首項4=1滿足通項公式見=〃=不用分段。

所以：數(shù)列｛”“｝的通項公式:an=n0

例題二：記5“為數(shù)列｛電｝前解：分類討論：(1)當(dāng)〃=1時：

S=—〃2+2”-1=>5=—『+2x1—1=0=>?=5,=0

〃項才口，S“=—〃+2〃—1on111

求：數(shù)列｛?,｝的通項公式。(2)當(dāng)“22時：

22

S=-n+2n-l=>5_(=-(?-1)+2(/?-1)-1

ns"-"』"—

2

an-Sn-S“_|=(一"+2H-1)-(-H+4/1-4)=-2n+3

q=0不滿足=-2n+3=>需栗分段。

0,n—1

所以：數(shù)列｛?！埃耐椆剑阂?-O

-2/7+3,n>2

(2)通過前n項和公式計算通項公式的跟蹤訓(xùn)練，如下表所示:

跟蹤訓(xùn)練解答區(qū)域

訓(xùn)練一：記S“為數(shù)列｛aj前解-

〃項和，S“=-3"+2〃0

求：數(shù)列｛《｝的通項公式。

訓(xùn)練二：記s“為數(shù)列｛見｝前

<c〃+271—1

幾項和，5=---------o

求：數(shù)列｛見｝的通項公式。

(3)通過前n項和公式計算通項公式的跟蹤訓(xùn)練參考答案，如下表所示:

訓(xùn)練一：分類討論：(1)當(dāng)〃=1時：=—3〃2+2〃=>S=—1=>4=S=10

第2頁共102頁

222

(2)當(dāng)時：S=-3?+2/2=>S/^=-3(n-1)+2(/i-1)=-3n+8n-5o

a“—Sn—S“?=(—3zz+2")一(—3/7+8〃-5)=-3n+2〃+3n—8〃+5=—6鹿+5。

4=1滿足通項公式見=-6/1+5=>不需要分段。

所以：數(shù)列｛aj的通項公式：an=-6n+5o

訓(xùn)練二：分類討論：(1)當(dāng)〃=1時：S上+2匕1="1+2七1=2

“333

2

=>。尸S=-o

1,3

(2)當(dāng)〃22時：S=-+2”1=5(5+2(〃1)1=3。

333

n+2/7—1n—22〃+1

a=S-8,=----------------------=--------o

""333

2▼、在口《H、A2/7+14年

q=—不滿足通項公式Q=-------=>需要分段。

33?

r—,n=l

3

所以：數(shù)列｛a,J的通項公式:6=-2〃+1o

-------,n>2

3

三、通過前n項和公式計算通項公式的題型(二)。

(1)通過前n項和公式計算通項公式的例題講解，如下表所示:

例題解法設(shè)計

例題一：記s“為數(shù)列｛4｝前解：分類討論：(1)當(dāng)〃=1時：

〃項和，S“=3"'_3。S“=3”"-3nsi=3?—3=6=>q=E=6°

求：數(shù)列｛《｝的通項公式。(2)當(dāng)〃力2時：

S=3"'—3nS|=3""'-3=3"-3。

a=S?-5,,,=(3n+,-3)-(3--3)=3,,+l-3"

=3x3"-3"=2x3"。

第3頁共102頁

4=6滿足通項公式見=2x3"=不需要分段。

所以：數(shù)列｛4｝的通項公式:?=2x3"o

例題二：記S“為數(shù)列｛見｝前解：分類討論：(1)當(dāng)〃=1時：

3

〃項和，=--1OS=——1=>S=——1=—=S=-o

"2"'222

求：數(shù)列伍“｝的通項公式。(2)當(dāng)〃22時：

S=—3=^3-lo

"2〃"T2”-i

3333

a=S-S=(1)—(1)=-------

nn\2〃/\/2“2"一1

_33-2_363

一2"2"L2-2"2"一2"°

13

q=3不滿足?！?――=需要分段。

r—,n=1

2

所以：｛見｝的通項公式：見=-3。

---,〃>2

2〃

(2)通過前n項和公式計算通項公式的跟蹤訓(xùn)練，如下表所示:

跟蹤訓(xùn)練解答區(qū)域

例題一：記s“為數(shù)列｛見｝前解：

八項和，S,,=-2"1+1o

求：數(shù)列僅“｝的通項公式。

例題二：記S,為數(shù)列｛見｝前解：

〃項和，S.=：—l。

求：數(shù)列｛《｝的通項公式。

第4頁共102頁

(3)通過前n項和公式計算通項公式的跟蹤訓(xùn)練參考答案，如下表所示：

訓(xùn)練一：分類討論：(1)當(dāng)”=1時：S“=-2"T+l=>S=-2°+l=0n4=S=0。

(2)當(dāng)鹿22時：S,,=—2"一'+1=5,1=—2々+1。

2

an=Sn-5,,,=(—2"」+1)-(-2--+1)=-2"-'+=-2-2""+2"”=—2"”。

q=0不滿足通項公式見=-2"”=>需要分段。

0,n=1

所以：數(shù)列｛電｝的通項公式：4=-O

=2"，n>2

112~2~

訓(xùn)練二：分類討論：(1)當(dāng)〃=1時：S—---1=5=—1=—=>4=s=—o

“3”333

(2)當(dāng)時：S=--1^5--lo

〃3”"73"~|

an=Sn—Sn-l=

2*2

q=—-滿足通項公式a'=——=>不需要分段。

2

所以：數(shù)列｛見｝的通項公式：a“=---o

四、通過前n項和公式計算通項公式的題型(三)。

(1)通過前n項和公式計算通項公式的例題講解，如下表所示:

例題解法設(shè)計

例題一：記s“為數(shù)列｛以“｝的解：S“WS2ns“在〃=2處取得最大值。

前八項和，5“=一；〃2+女〃，1,左

S=——"+攵〃的對稱軸：n==------==n=k

,22T

其中攵wN*,S<S2o

=>S“在n=k處取得最大值。

求：數(shù)列｛里｝的通項公式。

所以：左=2n5“=-；"+2〃。

第5頁共102頁

分類討論：(1)當(dāng)”=1時：

1133

S=—n2+2n=>S=---\-2=—^>a=S=—

"2222o

(2)當(dāng)鹿22時：

2

Sf)=~n+2n=>S,-=—g(〃—4+2(〃-1)

=>S=——n2+n---F2M—2=——n2+3n—

J2222o

a=S—S=(—7i2+2H)—(—H2+3n——)

nnn-l'?''22/

12cl2c55

=——n+2〃+一一3〃+—=-〃+一。

2222

35

4=—滿足通項公式a-—"H—=>不需要分段。

22

所以：數(shù)列｛a,J的通項公式：an=-n+^o

例題二：記S“為數(shù)列｛見｝的解：S“2S3ns“在〃=3處取得最小值。

前幾項和,S=n2-kn,其中一kk

S="-￡"的對稱軸：n=-----=>〃=—

"2x12

ZeN*,S?>S,o

k

=>S“在〃=/處取得最小值。

求：數(shù)列｛里｝的通項公式。

k

2

所以：—=3=>Z:=6=>Sf=n—6Ho

分類討論：(1)當(dāng)〃=1時：

S”="—6〃nS=1—6=—5n4=S[=—50

(2)當(dāng)〃22時：

22

Sn=n-6n=>=(n-l)-6(〃-1)

=

Sn—2〃+1—6〃+6=〃-8〃+7o

22

an-Sn-S,i=(n-6n)-(n-Sn+7)

第6頁共102頁

2

—rr-6n-n+Sn-7-2n-7o

q=-5滿足通項公式q=2〃-7n不需要分段。

所以：數(shù)列｛里｝的通項公式：=2〃-7。

(2)通過前n項和公式計算通項公式的跟蹤訓(xùn)練，如下表所示:

跟蹤訓(xùn)練解答區(qū)域

訓(xùn)練一：記S,,為數(shù)列｛見｝的解-

前幾項和，s“其

中keN*,Sn>5,o

求：數(shù)列｛里｝的通項公式。

訓(xùn)練二：記S“為數(shù)列｛4｝的甑?

前〃項和，S=-n2+kn,其

中keN*,Sn<S2o

求：數(shù)列｛里｝的通項公式。

(3)通過前n項和公式計算通項公式的跟蹤訓(xùn)練參考答案，如下表所示:

訓(xùn)練一：S“2S3ns“在〃=3處取得最小值。

2

Sn=—n—kn的對稱軸：n—-----=>〃=%=Sn在n=k處取得最小值。

22x-

2

2

所以：k=3nS,=—n-3no

2

分類討論：(1)當(dāng)〃=1時：Sn=—n—=>S,=—3=—=>4=S=—o

7

(2)當(dāng)〃22時:S=一〃2—3〃=>S二一("-I)?-3(H-1)=—H22-

〃2

第7頁共102頁

1177

22

an=Sn—Sn]=(—n—3H)—(—H—4H+—)=n——°

57

6——滿足通項公式見=幾—n不需要分段。

22

7

所以：數(shù)列{見}的通項公式：an=n--o

訓(xùn)練二：S〃<&=2在〃=2處取得最大值。

Sn=-"+的的對稱軸：〃=-----——=>H=—nS"在〃="處取得最大值。

2x(-1)22

k

所以：—=2=>k=4=S=-n2+4n

2"o

分類討論：(1)當(dāng)〃=1時：S,,=+4〃=>S=-1+4=3=>q=R=3。

222

(2)當(dāng)2時：Sn=-n+4n=>S;jl=-{n-1)+4(n-1)=-n+6n-5o

a“—S“—S“_1——(—fi+4n)—(—//'+6n—5)——In+5o

4=3滿足通項公式4=-2〃+5n不需要分段。

所以：數(shù)列｛&｝的通項公式：見=-2八+5。

五、通過前n項和公式計算通項公式的題型(四)。

(1)通過前n項和公式計算通項公式的例題講解，如下表所示:

例題解法設(shè)計

22

例題一：記5“為正項數(shù)列｛4｝解：Sn~—(n+n—l)Sf—(n+〃)=0=>=—1,

的前幾項和，S2-(/?2+n-l)522

,Sn=n+no正項數(shù)歹4=>>0=>Sn=n+no

—+八)=00分類討論：(1)當(dāng)〃=1時：

求：數(shù)列｛4“｝的通項公式。Sn=幾+〃=>S1=1+1=21=SI=20

(2)當(dāng)〃22時：

22

S“-rv+n=>S,i-{n-1)+(n-l)-n-no

第8頁共102頁

2

an-Sn-S,-=(A?+n)-(H-ri)-2no

q=2滿足通項公式見=2〃n不需要分段。

所以：數(shù)列｛4｝的通項公式:an=2no

例題二：記S“為正項數(shù)列｛《,｝解：-S：+(〃；2)S,+24=0nS“=-2,S?=n2

的前幾項和，-S?2+(ra2-2)5+2

正項數(shù)歹U=>S“〉0=S0-no

2"=0。分類討論：(1)當(dāng)〃=1時：

求：數(shù)列｛里｝的通項公式。S“=nS1=]=>q=E=]0

(2)當(dāng)〃22時：

2;

Sn—zi=>S,i—(n—1)—n'—2H+1o

2

an=Sn—S,”]=n—(〃'—2〃+1)=2〃—1°

q=1滿足通項公式a,=2〃-In不需要分段。

所以：數(shù)列｛a,,｝的通項公式：見=2〃-1。

(2)通過前n項和公式計算通項公式的跟蹤訓(xùn)練，如下表所示:

跟蹤訓(xùn)練解答區(qū)域

訓(xùn)練一：記S,,為正項數(shù)列｛電｝的r解ry.,?

前〃項和，S：—(2"+3〃—2)S.一

-2(?2+n)=0o

求：數(shù)列｛aj的通項公式。

訓(xùn)練二：記S”為正項數(shù)列｛電｝的覦?

2

前〃項和，-2S"+(n+n-2)Si,

2

+n+n-0o

求：數(shù)列｛a,,｝的通項公式。

第9頁共102頁

(3)通過前n項和公式計算通項公式的跟蹤訓(xùn)練參考答案，如下表所示:

2

訓(xùn)練一：5；一(2八2+3〃-2)5-2(2"+3〃)=0=5=-2,5=2n+3〃。

2

正項數(shù)歹=S“>0=S“=2n+3Ho

分類討論：(1)當(dāng)〃=1時：S"=2〃'+3〃=>S1=2+3=5=>%=S[=5。

(2)當(dāng)場22時：

222

S=3n+2nn5?_,=3(〃-1)+2(鹿-1)=3n-4n+1o

2

an-Sn-S“_1-(3療+2n)-(3n-4/i+1)=6H-1o

q=5滿足通項公式=6n-1=>不需要分段。

所以：數(shù)列｛電｝的通項公式：=6n-1o

2

yi-_1_yi

訓(xùn)練二：—2St~+(〃?+〃—2)Sn+?+九=0=S"=-1,Sn=———o

n2+n

正項數(shù)列nS“>0nS=--—o

"+幾『+1

分類討論：⑴當(dāng)〃=1時：S,=--—=>S,=-^―=1=>?,=S,=1o

zx,w+n_(n—1)'+(n—1)n~-n

(2)當(dāng)2時：S=-----=>S--------------=-----o

222

ccn'2+nn~7-nn'2+n-n'2+n

CL-iS—S.———AZo

〃〃〃“222

首項4=1滿足通項公式a“=”=不用分段。

所以：數(shù)列｛電｝的通項公式：an=no

第二部分：左相加等于右相加

一、等差數(shù)列前n項和題型。

(1)等差數(shù)列前n項和題型的例題講解，如下表所示：

例題解法設(shè)計

第10頁共102頁

例題一：已知：數(shù)列｛見｝滿足：解：an=an_1+2n—l=>an2n-lo

4=1,見=%+2〃-1。an-an=2n-1所有方程左邊相加得到：

計算：數(shù)列｛電｝的通項公式。?-%=2(n-l)-la-a,-+a_,-a_2+an_2-

an-2~an-3=2(〃-2)—1+…+

...=an-at-an-1o

4-4=2x3-1所有方程右邊相加得到：

a,-at-2x2-1-3"一--(/?-1)=-1o

22

22

左相加等于右相加得到：-1=7?-1=>an=no

2

所以：數(shù)列｛《,｝的通項公式:an=no

例題二:已知：數(shù)列｛6｝滿足：解：見=a_,-3n+2^a,-a_,二一3〃+2。

4=1,-3〃+2。an-anX=-3n+2所有方程左邊相加得到：

a

計算：數(shù)列｛凡｝的通項公式。4T-n-i=一3(〃-1)+2an-a,,—++%-

aa

?-2~?-3=-3(〃-2)+2a,1+...+a,-a2+a2-a,

...=-4=-1°

4—=—3x3+2

%—q——3x2+2=—4所有方程右邊相力口得至U:

—3〃+2—4—3〃~+〃+2

2.(〃IL2°

_3n2+n+2

左相加等于右相加得到：?-1=———

-3n2+八+4

…2。

—3"+77+4

所以：數(shù)列｛見｝的通項公式：。“二2。

(2)等差數(shù)列前n項和題型的跟蹤訓(xùn)練，如下表所示:

第11頁共102頁

跟蹤訓(xùn)練解答區(qū)域

訓(xùn)練一：已知：數(shù)列｛《｝滿足：解-

4=1,風(fēng)=61+2〃。

計算：數(shù)列｛《,｝的通項公式。

訓(xùn)練二：已知：數(shù)列｛《｝滿足:r解rp.-

q=l,a=a,,-n+lo

計算：數(shù)列｛4｝的通項公式。

(3)等差數(shù)列前n項和題型的跟蹤訓(xùn)練參考答案，如下表所示:

訓(xùn)練一：a=n2+n-l,.一〃~+〃+2

n訓(xùn)練二：?=——-——

二、等比數(shù)列前n項和題型。

(1)等比數(shù)列前n項和題型的例題講解，如下表所示:

例題解法設(shè)計

解：a-a.+3x2"'=>a-a.=3x2'"'

例題一:已知：數(shù)列｛aj滿足:'*'nn-\n〃一1o

區(qū)=1,a=a,+3x2'i所有方程左邊相加得到：

1"nzi-1oa-a3x2"-'

ci.-a°=3x2"a—Q+a—ci-a.一

計算：數(shù)列｛6,｝的通項公式。n-\n-2nn-lw-ln—2n-2

a3

?-2~4-3=3X2"'a_3+...+?-a+a,

32

…=??1

4-生=3x22所有方程右邊相加得到：

1-2'i

aa=3x2=66?=3x26

2,1-2o

左相加等于右相加得到:見―1=3x2"-6

=>?！?3x2〃—5°

第12頁共102頁

所以：數(shù)列｛見｝的通項公式：見=3x2-5。

例題二：已知：數(shù)列｛《｝滿足：

解：見=I-一3"=>an-tz?_,=-3"o

a=

4=1，?《I-3"oa-a,-=-3"所有方程左邊相加得到：

a

計算：數(shù)列｛《,｝的通項公式?！?-2=_S'"'a-a,i+a-an_2+an_2-

a

?-2~%=—3"2a吁3+…+“3—“2+。2_4

、

...=an—a1=an—1

見-4——3所有方程右邊相加得到：

a,—4=—T=—9-9-^^=^^0

1-32

o_3"+|

左相加等于右相加付到：an1=2

11-3"+,

na=------o

"2

11-3

所以：數(shù)列｛《｝的通項公式：a?=之°

(2)等比數(shù)列前n項和題型的跟蹤訓(xùn)練，如下表所示:

跟蹤訓(xùn)練解答區(qū)域

訓(xùn)練一：已知：數(shù)列｛見｝滿足：

,3

+

4=1，&=ant~°

計算：數(shù)列｛《｝的通項公式。

解-

訓(xùn)練二：已知：數(shù)列｛電｝滿足：rT]?

4=1，an~%-2"+1o

計算：數(shù)列｛6｝的通項公式。

(3)等比數(shù)列前n項和題型的跟蹤訓(xùn)練參考答案，如下表所示:

第13頁共102頁

訓(xùn)練一：見=：5—三3訓(xùn)練二：見=9一2一

22

三、裂項求和題型。

(1)裂項求和題型的例題講解，如下表所示:

例題解法設(shè)計

例題一：已知：數(shù)列｛?！埃凉M足：M111

解：a=a----------=>a-a,=-----------。

"n(n+l)"nn+1

,1

CI.—1jCI—Q[+o

”愉+1)1111

ana?I［，a,Ia?-21

nn+in-1n

計算：數(shù)列｛““｝的通項公式。

1111

a>ci,—,...a.,a—

"2"-3n-2n-153234

11

Q,-Qi-------o

2'23

所有方程左邊相加得到：

aa+aa

?~,.-\n-rn-2+a吁2~an_3+...+a3-a2-a2-at

-%-4=4?1°

所有方程右邊相加得到：

111111111

++...+++

2334n-2n-\n-\nn

1_1__1_n-\

n+\2n+\2H+2

左相加等于右相加得到：

.n-\3n+1

a—1=-------=>a=--------o

"2/7+2"2n+2

所以：數(shù)列｛aj的通項公式：a=之史」。

"2〃+2

例題二：已知：數(shù)列｛4｝滿足：有1

解：a=a-------------------

""T(2〃-1)(2〃+1)

第14頁共102頁

,11z11、

CI.-1?CL—Cl.1oQ—()o

""T(2〃—1)(2"+1)"22/7-12?+1

111、

計算：數(shù)列｛““｝的通項公式。CLCl.—()

""T22/1-12〃+l

111、

a-a,=一(z------------)

"222H-32n-Y

111

111

a,-a.=-()

21235

所有方程左邊相加得到：

aa+aaa

?~?in-r?-2+…+3-a2-a2-at=an-q

=見-1。

所有方程右邊相加得到：

1/1、1/1、LI1、

-(----)+-(----)+.?.+—(------------)+

23525722八-32〃-1

]_1_______1_11____1n-\

22H-12/2+12(32〃+16"+3°

根據(jù)左相加等于右相加得到：

,n-17/7+2

a—1=--------=>Q=---------o

"6/1+3"6/1+3

所以：數(shù)列｛見｝的通項公式：tz,=——O

"6/1+3

(2)裂項求和題型的跟蹤訓(xùn)練，如下表所示:

跟蹤訓(xùn)練解答區(qū)域

訓(xùn)練一：已知：數(shù)列伍“｝滿足：解：

第15頁共102頁

,2

a