高中數(shù)學(xué)必修+選修全部知識點歸納總結(jié)新課標人教A

引言

1.課程內(nèi)容：

必修課程由5個模塊組成：

必修1：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指、對、嘉函數(shù)）

必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。

必修3:算法初步、統(tǒng)計、概率。

必修4：基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、平面向量、三角恒等變換。

必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。

以上是每一個高中學(xué)生所必須學(xué)習(xí)的。

上述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的主要部分，其

中包括集合、函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何

初步等。不同的是在保證打好基礎(chǔ)的同時，進一步強調(diào)了這些知識的發(fā)生、發(fā)

展過程和實際應(yīng)用，而不在技巧與難度上做過高的要求。

此外，基礎(chǔ)內(nèi)容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計等內(nèi)容。

選修課程有4個系列：

系列1:由2個模塊組成。

選修1—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。

選修1—2：統(tǒng)計案例、推理與證明、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)、框圖

系列2：由3個模塊組成。

選修2—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、

空間向量與立體幾何。

選修2—2：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，推理與證明、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)

選修2—3:計數(shù)原理、隨機變量及其分布列，統(tǒng)計案例。

系列3:由6個專題組成。

選修3—1：數(shù)學(xué)史選講。

選修3—2：信息安全與密碼。

選修3—3:球面上的幾何。

選修3—4：對稱與群。

選修3—5:歐拉公式與閉曲面分類。

選修3—6:三等分角與數(shù)域擴充。

系列4：由10個專題組成。

選修4一1：幾何證明選講。

選修4—2：矩陣與變換。

選修4—3:數(shù)列與差分。

選修4—4：坐標系與參數(shù)方程。

選修4一5：不等式選講。

選修4―6:初等數(shù)論初步。

選修4—7：優(yōu)選法與試驗設(shè)計初步。

選修4—8:統(tǒng)籌法與圖論初步。

選修4—9:風險與決策。

選修4-10：開關(guān)電路與布爾代數(shù)。

2.重難點及考點：

重點：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導(dǎo)數(shù)

難點：函數(shù)、圓錐曲線

高考相關(guān)考點：

⑴集合與簡易國3：集合的概念與運算、簡易邏輯、充要條件

⑵函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、

函數(shù)圖象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用

⑶數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用

⑷三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半公式、求值、

化簡、證明、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用

⑸平面向量：有關(guān)概念與初等運算、坐標運算、數(shù)量積及其應(yīng)用

⑹不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值

不等式、不等式的應(yīng)用

⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、直線與

圓的位置關(guān)系

⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡

問題、圓錐曲線的應(yīng)用

⑼直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱

錐、球、空間向量

(10)排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二項式定理及其應(yīng)用

Q1)概率與統(tǒng)計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布

Q2)導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(13)復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運算

必修1數(shù)學(xué)知識點

第一章：集合與函數(shù)概念

§1.1.1、集合

1、把研究的對象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成的總體叫做西。集合三要素:

確定性、互異性、無序性。

2、只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合相等。

3、常見集合：正整數(shù)集合:N*或N+,整數(shù)集合:Z,有理數(shù)集合:Q,實數(shù)

集合:R.

4、集合的表示方法：列舉法、描述法.

§1.1.2、集合間的基本關(guān)系

1、一般地，對于兩個集合A、B,如果集合A中任意一個元素都是集合B中

的元素，則稱集合A是集合B的壬集。記作A之風

2、如果集合AqB,但存在元素XGB,且則稱集合A是集合B的真子

集.記作：ASB.

3、把不含任何元素的集合叫做空集.記作：0.并規(guī)定：空集合是任何集合的子

集.

4、如果集合A中含有n個元素，則集合A有2"個子集，2"-1個真子集.

§1.1.3、集合間的基本運算

1、一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B

的并集?記作:A\JB.

2、一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B

的交集.記作:AC\B.

3、全集、補集?={x?xwU,.且xeU}

§1.2.1、函數(shù)的概念

1、設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系/,使對于集合A中

的任意一個數(shù)x,在集合B中都有惟一確定的數(shù)/(X)和它對應(yīng)，那么就稱

8為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：y=f(x\xeA.

2、一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.如果兩個函數(shù)的定義域

相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則稱這兩個函數(shù)相等.

§1.2.2、函數(shù)的表示法

1、函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法.

§1.3.1、單調(diào)性與最大(小)值

1、注意函數(shù)單調(diào)性的證明方法：

⑴定義法：設(shè)尤］、尤2€［見砥馬<彳2那么

/(X,)-f(x2)<0o/(x)在也向上是增函數(shù)；

/(%1)-f［x2)>0o/(x)在［a,切上是減函數(shù).

步驟：取值一作差一變形一定號一判斷

格式：解：設(shè)和/e［a,b］且</，則:/(司)-/(犬2尸…

(2)導(dǎo)數(shù)法：設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，-尸(x)>0,則/(x)為增函數(shù);

若廣⑸<o,則y(x)為減函數(shù).

§1.3.2、奇偶性

1、一般地，如果對于函數(shù)/(x)的定義域內(nèi)任意一個X,都有/(—》)=/(X),那么

就稱函數(shù)函X)為偶函數(shù).偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱.

2、一般地，如果對于函數(shù)/(x)的定義域內(nèi)任意一個x,者菌/(x)=-/(x),那么

就稱函數(shù)()為奇函數(shù).奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱.

知識鏈接：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1、函數(shù)懺Ax)在點元處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)y="X)在點與處的導(dǎo)數(shù)是曲線y=/(x)在P(x0,f(x0))處的切線的斜率/(%)，

相應(yīng)的切線方程是y-%=f'(x0)(x-x0).

2、幾種常見函數(shù)的百藪

①C'=0;②(x")'=〃x③(sinx)’=cosX;(4)(cosx)=-sinx;

⑤(a*)'=a*Ina;⑥(e")'=e，；⑦(log〃x)'=—!—;⑧(lnx)'=，

xlnax

3、導(dǎo)數(shù)的運算法則

(1)(M±V)-11±V.

(2)(MV)-UV+UV.

(3)(與丁牛當”0).

VV

4、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

復(fù)合函數(shù)y=/(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/(W),M=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為

<=才.<，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對〃的導(dǎo)致與〃對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

解題步驟:分層一層層求導(dǎo)一作積還原.

5、函數(shù)的極值

(1)極值定義：

極值是在與附近所有的點，都有〃x)V/(x。)，則〃x。)是函數(shù)〃x)的極大值;

極值是在X。附近所有的點，都有/(x)>/(Xo),則f(Xo)是函數(shù)/(x)的極小值.

⑵判別方法：

①如果在X。附近的左側(cè)f(x)>0,右側(cè)

/,?<0,那么/(X。)是極大值；

②如果在X。附近的左側(cè)/小)V0,右側(cè)

/1W>0,那么f(Xo)是極小值.

6、求函數(shù)的最值

(1)求y=F(x)在(a,b)內(nèi)的極值(極大或者

極小值)

(2)將y=f(x)的各極值點與f(a),f(b)比

較，其中最大的一個為最大值，最小的一

個為極小值。

注：極值是在局部對函數(shù)值進行比較

（局部性質(zhì)）；最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進行比較（整體性質(zhì)）0

第二章：基本初等函數(shù)（I）

§2.1.1、指數(shù)與指數(shù)幕的運算

1、一■般地，如果x"=a,那么x叫做a的幾次方根。其中〃>l,〃eN+.

2、當”為奇數(shù)時，,而^-a;

當〃為偶數(shù)時，,4a"=\a\.

3、我們規(guī)定：

n__

(Da?=痂

(a>O,m,neN\m>1);

(2)“-"=[(〃>0)；

4、運算性質(zhì)：

(l)a'a'=ar+s(a>0,r,seQ);

(2)(ar)s=ars(a>0,r,seQ);

(3)(a“=a1h'(a>0,/?>0,reQ).

§2.1.2、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、記住圖象：y-a'(a>0,a1)

2、性質(zhì):

§2.2.1、對數(shù)與對數(shù)運算

1、指數(shù)與對數(shù)互化式：a*=Nox=log“N;

2、對數(shù)恒等式：a電N=N.

3、基本性質(zhì):logfl1=0,log?a=l.

4、運算性質(zhì)：當a>0,。H1,M>0,N>0時:

⑴log“(WV)=log〃M+log?N;

M

⑵Qg“l(fā)ogM-log?N;

~Na

n

⑶loguM=nlog“M.

5、換底公式：l°gf=0

log,a

>0,4w1,c>0,cw1,b>0).

m

6、重要公式：log?b=-logab

an

7、倒數(shù)關(guān)系:log.h=-J—(a>0,〃

log,,a

§2.22、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、記住圖象：y=k>g“x(a>0,aW1)

y=ioga

0<a<1

-1

a>1

2、性質(zhì):

§2.3、暴函數(shù)

1、幾種事函數(shù)的圖象:

第三章：函數(shù)的應(yīng)用

§3.1.1、方程的根與函數(shù)的零點

1、方程/(x)=0有實根

o函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點

=函數(shù)y=/(x)有零點.

2、零點存在性定理：

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a㈤上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

f(a)-f(b)<0,那么函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(4/)內(nèi)有零點，即存在ce(a,。)，便導(dǎo)/(c)=0,

這個c也就是方程/(x)=0的根.

§3.1.2、用二分法求方程的近似解

1、掌握二分法.

§3.2.1、幾類不同增長的函數(shù)模型

§3.2.2、函數(shù)模型的應(yīng)用舉例

1、解決問題的常規(guī)方法：先畫散點圖，再用適當?shù)暮瘮?shù)擬合，最后檢驗.

必修2數(shù)學(xué)知識點

第一章：空間幾何體

1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)

⑴常見的多面體有:棱柱、棱錐、棱臺；常見的旋轉(zhuǎn)體有：圓柱、圓錐、圓臺、

球。

⑵棱柱:有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的

公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。

⑶棱臺匚用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這

樣的多面體叫做棱臺。

2、空間幾何體的三視圖和直觀圖

把光由一點向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影線交于一點;

把在一束平行光線照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影線是平行的。

3、空間幾何體的表面積與體積

(1)圓柱側(cè)面積;S側(cè)面=2%"?/

⑵圓錐側(cè)面積：S側(cè)面=兀?一1

⑶圓臺側(cè)面積：面=7T-r-l+71-R-l

⑷體積公式：

丫柱體=S,力；--S-h;

腺體=郛上+卜+sj

⑸球的表面積和體積：

,4,

S球=4成一，V球=§成

第二章：點、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、公理1:如果一條直線上兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。

2、公理2：過不在一條直線上的三點