考點(diǎn)12 解三角形平面圖形類問題6種常見考法歸類-【考點(diǎn)通關(guān)】2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)題型歸納與解題策略(人教A版2019必修第二冊)（解析版）

考點(diǎn)12解三角形平面圖形類問題6種常見考法歸類

^±解題策略

1、，，算一次”問題常見的平面幾何圖形有兩種類型：

一種是由兩個三角形拼成一個大三角形，一種是由兩個三角形拼成一個四邊形.所謂“算一次”

問題，就是只需通過一次正弦定理或余弦定理就可以把問題角或邊長算出來，即直接單個

三角形進(jìn)行突破。

2、“算兩次”問題在一些平面幾何問題中，所求的角或邊長放在任何一個三角形中，由于條

件較少，都不可能通過一次正弦定理或余弦定理求出.那么，可找兩個三角形，通過它們

的公共邊或角，運(yùn)用兩次正弦定理或余弦定理，就可以解決問題，簡稱“算兩次”.

(-)求角

一般地，求三角形某個內(nèi)角問題，可尋找其中的一條邊，對其放到兩個三角形，分別

運(yùn)用正弦定理或余弦定理，“算兩次”解方程求之.

(二)求邊

一般地，求三角形某個邊長問題

(1)可尋找其中的一個角，對其放到兩個三角形，分別運(yùn)用余弦定理，“算兩次”解方程求

之.

(2)邊長可表示成某個未知角的正弦或余弦值

3、解決三角形圖形類問題的方法：

(1)兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)

解題；

(2)等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的

問題，相似是三角形中的常用思路；

(3)正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；

(4)構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的

不錯選擇；

(5)平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算

法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；

(6)建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得

問題更加直觀化.

6、三角形中線模型

涉及中線長的工具：

在AABC中，D是AC中點(diǎn)，AD=-{AB+~AC）

2

示例：—ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別記為,利

222

用余弦定理證明ma=1也門+目一片,啊,=gJ2（a+c）-b,

%弓回合+切工

〃2,?2_>2

【解析】方法一：證明：根據(jù)余弦定理得cos8=十c一。，

2ac

同理可得仍,二1^2（?2+C2）-/?2,久=g^2（a2+Z72）-c2.

方法二：設(shè)BC邊上的中線為AD,在△ABD中，c2=n^+（-a）2-2--amcosZADB

22

在^ACD中，。2="+（—tz）2一2,。?也cosZADC

a22

由于ZADB+ZADC=71①+②可得c?+/=2m^+-a2,即有

2

222

ma=^2（b+c）-a,同理可證

町,=3小2（/+。2）一82,"=口2（片+吁c?

方法三：值得一提的是，此結(jié)論除了可以用余弦定理證明以外，還可以用向量證明，證明

11212121

如下：因?yàn)锳E>=—A6+-AC,所以A。=-AB+-AC+-ABAC,所以

22442

欣=—c2+—h2+—cbcosZ.BAC

“442

在△ABC中，由余弦定理得：

所以a2=c2+〃—2c為cosNB4C，由③④得砥=g用7百萬，同理可證

%=口2(。2+02)—/,"=gj2(a2+葉必

比較上述后兩種證法，可以發(fā)現(xiàn)，如果已知的是三邊，那么選擇前一種方法好些，如果已知

的是夾角，那么后一種做法相對好些.熟記這組結(jié)論，無論是對填空題還是大題，無論是對

思維還是計(jì)算都大有裨益.

當(dāng)然，若將BC上的中點(diǎn)D改為靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)，證明方法完全一樣.此時結(jié)論變?yōu)?/p>

ma=1，(2/+/)一2〃.

若將BC上的中點(diǎn)D改為靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，此時結(jié)論變?yōu)椤?=^3(2c2+h2)-2a2.

邊上的結(jié)論可以類比上式，不再贅述.

7,涉及角平分線的工具：

△ABC中，AD是NA4c的角平分線

8、平面四邊形模型

一般解三角形問題如果給出的平面圖形是四邊形，那么這其中所包含的三角形就有很多.

思考過程大致可以概況如下流程:設(shè)角一在某個三角形中由正弦定理用角表示邊一在另一個

三角形中用正弦定理或余弦定理找到等量關(guān)系一得出結(jié)論.

當(dāng)然，如果題目眾多三角形中有特殊三角形，比如直角三角形或等腰三角形，我們優(yōu)先

選擇從這些三角形中設(shè)角.很多時候，學(xué)生沒辦法從一個三角形中找到等量關(guān)系，則盡可能

多求圖中的角.從而可以在兩個三角形中找共同的邊或角、從而得到一些等量關(guān)系、來解決

問題.

第二次

善高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)一算一次問題

考點(diǎn)二算兩次問題

考點(diǎn)三三角形中線模型

考點(diǎn)四角平分線模型

考點(diǎn)五平面四邊形模型

(-)直角三角形模型

(二)外接圓模型

考點(diǎn)精析

考點(diǎn)一算一次問題

3%

1、如圖，已知AABC中，AB=—,ZABC=45°,ZACB=60°.

2

(1)求AC的長；

(2)若8=5,求AD的長.

【解析】(D如圖所示:

已知AABC中，AB=—,ZABC=45°,NACB=60°.

2

利用正弦定理.，

sinZ.ABCsinZACB

376?

-----xsin45°

整理得AC=2-------------=3.

sin600

(2)利用AC=3,ZAC￡>=120°,CD=5,

利用余弦定理AD=VAC2+CD2-2ACCD-cosl20°=^9+25+2x3x5x1=7.

2、如圖，在一ABC中，。為邊BC上一點(diǎn)，DC=3,AD=5,AC=7,ZDAC=ZABC.

⑴求—ADC的大小;

（2）求4?C的面積.

【答案】（1）120。

⑵五6

【分析】（1）利用余弦定理，即可求得本題答案；

（2）結(jié)合正弦定理和三角形的面積公式，逐步求解，即可得到本題答案.

,、?，?，，、一、五人/“ccAD2+DC2-AC232+52-721

【詳解】（1）在AWC中，cosZADC=---------------=----------=-一,

2ADDC2x3x52

又0°<NA￡）C<180°,所以NADC=120°；

DCAC

（2）在八4￡心中,

sinNDAC~~sinNADC

則由“心空限（當(dāng)

因?yàn)镹D4C=NABC,所以§3/48。=迪，

14

ADABADsinZADB35

在△ABQ中,---------,AB==——

sinZABCsinZADB-----------sinZABC3

sinNBAD=sin(/ABC+ZADB)=sin(/ABC+60°)

4J3

=sinZABCcos600+cosXABCsin60°=—

7

ADBD山”ADsmZBAD40

在△ABQ中，因?yàn)?------,所以50=

sinZABCsinNBA。-------------sinABCT

貝|J8C=8O+OC=7,

feSA5C=-ABBCsin^ABC=-x—x—x—=—x/3.

A*22331412

3、如圖，在ABC中，點(diǎn)。在邊8C上，BD-sinZCAD=AB-sinZBAD

(1)證明：AC=CD；

Q)若CD=2BD,sinZBAD=-f求cosC.

【答案】⑴證明見解析

【分析】(1)在△回￡)中根據(jù)題意結(jié)合正弦定理分析運(yùn)算；

(2)不妨設(shè)比＞=1,在八4￡9、ABC.△ABO中利用余弦定理運(yùn)算求解.

ABBD

【詳解】(1)在△A3。中，由正弦定理知:即

sinNBD4-sinNBAD

BDsin/BDA=AB-sin/BAD

又BD-sinZCAD=sinNBAD,

可得sinZCAD=sinNBDA=sinZADC,

在，AC￡＞中，所以NC4D=/4Z)C,所以AC=CD.

(2)不妨設(shè)80=1,則AC=CD=2BO=2

在乙鈕)。中，由余弦定理知；AD2=AC2+C￡＞2-2ACC￡)COSC=8-8COSC

在.ABC中同理可知：AB2=13-12cosC

在公ABD中，cosZBAD=Jl-sin?NBAD=—=3+對-帥

42ADAB

10(1-cosC)

IJ4J(8-8cosC)(13-12cosC)

解得cosC=?.

4

4、如圖，平面四邊形ABC。是由鈍角AABC與銳角AAC￡＞拼接而成，且

ACmsABAC=BC-sinZABC,ZBAD=-.

2

(I)求NC4Q的大小；

(II)若AC=4,CD=M，求AAC￡＞的面積.

【解析】(I)在AAfiC中，因?yàn)锳CcosNfl4C=3Csin/4BC,

所以sinZABC-cosABAC=sinABAC-sinZABC,

因?yàn)閟inNABCxO,所以tan/R4c=1,

又N54Ce(0,乃)，所以N8AC=%，

4

因?yàn)镹BAD=工,所以NC4O=工.

24

(II)在AACO中，AC=4,CD=回,NCAD=%,

4

歷

由余弦定理可得a>2=AC：2+4)2-2AC-AD-cosZCW,BP10=16+AD2-2x4xADx—,

2

解得A。=血,或AO=3?,

當(dāng)AD=0時，cosZA\C=2+?)一%<0,此時A4C￡>為鈍角三角形，不滿足題意，舍

2xV2XA/10

去；

當(dāng)AO=3立時，AAC￡>的面積S=，ACAO-sinNC4O=6.

2

5、如圖，在平面四邊形ABCD中，ZDAB=-9ZADC=-9A8=2AC=20,CD=l.

64

(1)求cosZAC￡)的值;

(2)求BC的值.

【解析】⑴在MS中'由正弦定理知‘合=缶

血二1

sinZCAD=—,

y/2sinZCAD2

57rji

/CAD</DAB=—,:.ZCAD=-

66

cosZACD=cos[萬-(ZC4￡>+ZAZ?C)]=-cos(ZC4￡>+ZADC)

K兀、nTV.7T.7T

=-cos(—H--)=-cos—cos——bsin—sin—=-----------

6464644

(2)由(1)知，ZCAD=-

69

、冗TT27r

/.ZBAC=NDAB-ACAD=--------=——，

663

在A4BC中，由余弦定理知，

BC2=AB2+AC2-2AB-AC-COSZBAC=8+2-2X2A/2XV2XCOS—=14,

3

/.BC=Vl4.

6、如圖，..ABC中，已知點(diǎn)。在8c邊上，AD1AC,sinB=—,cosZA￡）C=—?

33

CD=3>/3.則△AOC的面積為;A8的長是.

【解析】因?yàn)锳D_LAC,cosZADC=->CD=30

3

所以AO=CDcosNADC=36*且=3,

3

又sinZ.ADC=，

3

則AAOC的面積為5=,40?。。。皿/4。。=,*3乂36乂逅=述，

2232

又sinZADB=sinNAOC=",所以在AABD中由正弦定理得:

3

理=但,心口町二;3萬

sinZADBsinBsin8<3

3

故答案為：券；3行?

7、某農(nóng)戶有一個三角形地塊ABC,如圖所示.該農(nóng)戶想要圍出一塊三角形區(qū)域曲（點(diǎn)Z）在

BC上）用來養(yǎng)一些家禽，經(jīng)專業(yè)測量得到A8=3,cos8=g.

BD

(1)若cos/AQC=—J,求AD的長；

2

(2)若3D=2OC,"幺也=4五，求△AQC的周長.

sin/CAD

【答案】(1)4

⑵3+6夜+庖

【分析】(1)在中應(yīng)用正弦定理得出AO的長；

5

(2)由產(chǎn)2"=2結(jié)合面積公式得出AC,再由余弦定理得MBC,AD,進(jìn)而得出八位)。的

、4ACD

周長.

【詳解】(1)解：在ABC中，cosB=1,且5?0,7)，所以sin8=手.

因?yàn)閏os/AOC=-*,Z4DCe(O,T),所以sin/AOB=乎.

AnAB

在由正弦定理可得藏=

sinZADB

22V2

3x

ABsinB____3

所以AO二=4.

sinZADB~ir

2

S

(2)因?yàn)楸?gt;=2￡>C,所以薩皿=2,

—AB-AD-sin^ABD..\o?一力人

2八口nAnBsinZAAnBrD3smZABD

所以彳-----------------=2,即：-----；-------=------：-------=

ADACsinzfCADACsinZCADACsmZCAD

2

在...ABC中，山余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosB，

所以8c2-28C-63=0,解得BC=9或8C=—7(舍去).

因?yàn)锽D=2DC,所以BO=6,OC=3.

在△ABO中，由余弦定理可得AD?=AB2+8Q2_2A8-8￡>?COS8=33

所以△ADC的周長為3+6夜+回.

考點(diǎn)二算兩次問題

(一)求角

8、如圖，在AABC中，ZABC=90°,AB=&BC=\,P為AABC內(nèi)一點(diǎn)，ZBPC=90°.

(1)若PB=,，求左；

2

(2)若ZAP5=150°,求tan/PBA.

【解析】(/)在RtAPBC中，cosZPBC=—=,-.ZPBC=60°,ZPBA=30°.

BC2

在APBA中，由余弦定理得

PA2=PB-+AB2-2PB.ABcos30°=(-)2+(抬了-2x-xy/jx^-=-.

2224

PA=—.

2

(〃)設(shè)在RtAPBC中，PH=BCcos(90°-a)=sina.

ABPBGsina

在A/吸4中，由正弦定理得Bnnp=

sinZAPSsinZPABsin150°sin(30°-a)

、73

化為\/5cosa=4sina??二tana-

9、如圖，在AA5C中，ZABC=90°,AB=6BC=1,P在平面ABC內(nèi)，且為AA3c外

一點(diǎn)，ZBPC=90°

(1)若PB=L求B4;

2

(2)若ZAPB=30°,求tanNPBA.

【解析】（1）在AABC中，由于AB=6，BC=\,P為AABC內(nèi)一點(diǎn)，ZBPC=90°,

直角三角形依C中，若=?.cosNP8c=1,.,.NP8C=60。.

22

/.ZPBA=ZABC+ZPBC=90°+60°=150°.

在APB4中，由余弦定理得PA2=+3+』一2xWx'x(-走)，:.PA=?.

4222

(2)^ZPBA=x,貝!|ZPBC=x-90°,Z/VU?=150°-x,

在直角ABPC中，BP=cos(90°-x),

在"43中，根據(jù)正弦定理得：-^-=8s(90J),即sin(15(T-x)=@sinx,

sin300sin(150°-x)6

化簡得tanx=——-,貝！JtanNP84=——-.

22

10、如圖,在平面四邊形ABCD^,^ABC=，(0<，<兀),AB=BC=CD=1,AC±CD.

(1)試用。表示30的長；

⑵求AC2+BD2的最大值.

【答案】(l)8O=2cos：

4

噌

【分析】(I)根據(jù)已知條件將NBCD用。表示，再在△88中利用余弦定理求解即可；

(2)在43c中先用余弦定理將AC?用。表示，再結(jié)合(1)的結(jié)論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最

大值即可.

【詳解】(1)ZABC=0(0<(9<7t),AB=BC=CD^l.ACJ.CD.

ZBCA=---,則NBCD=P+NBC4=2+(2_g)=7t_g,

2222222

在△BCD中,BO?=BC2+CD2-2BC-CDcosZBCD=2+2cosg=2(l+2cos2^-lj=4cos24,

0<。<兀，

nQ

cos—>0,則BD=2cos~.

44

(2)在ABC^,AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=2-2cos6>,

.，-2M2ccccc9,2。ce//01Y25

??AC+BD~=2—2cos，+2+2cos—=_4cos'—h2cos—F6=-4cos----H-----,

222I24j4

e

0<。<兀，「?0<cos—<i,

2

則當(dāng)cosg=1時，取到最大值

244

故AC?+8/)2的最大值是午25.

4

11、如圖，在梯形AB8中，AB//CD,AB=2,CD=5,ZABC=一.

3

(1)若AC=2g,求梯形96?的面積；

(2)若AC_L8。，求tanZABD.

【解析】(1)設(shè)3C=x,在A4BC中，由余弦定理可得28=f+4-2x?2?(-3,整理可得:

x2+2x—24=0,解得x=49

所以8c=4,貝?。?.肥=3*2、4、手=2右，

因?yàn)?=與，所以％^=生產(chǎn)=56，

所以S悌形488=+SgcD=7邪;

(2)設(shè)Z/WO=a,貝!|NBDC=a,ZBAC=--a,ZDBC=--aZBCA=a--

23969

2BC

在AABC中，由正弦定理可得---二———,

sin(a--)sin(--a)

5nr

在ABC。中，由正弦定理可得一3——=—

sin(|…)皿〃

c?/2y/31.、

2sm(一4一a).2-(——cosa+-sincr)

sina

兩式相除可得——^~~^=詈,展開可得^-------2——

cosa

5sin(6Z-—)sin(--a)5?sincr-cosa)

所以可得56$m2二一7§m"0$2-2\/58320=0,

即5\/3tan2a-7tana-2>/3=0,

解得小=￥或的。=弋，

又因?yàn)?咻‘9'

所以tana=亞，即tanNA8D=亞

33

（二）求邊

JT］貝I」48=

12、如圖，在直角MC中，ZC=-,BC=2,〃是8c的中點(diǎn)，若sinNB4M=

在RlZWWC中，AM=>J\+x2-

在Rt4ABC中，48=,4+/，

在中，sinZBAM=1,且N&4M為銳角,

則cosNBAM=,

3

BM-=AM2+AB2-2AM-AB-cosZBAM,

得W=2,即AB=A/4+X2=底,

故答案為：底.

B

13、如圖，為了測量A、。兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上B、。兩點(diǎn)，測出四邊形A3CD

各邊的長度（單位：km）：AB=5,3C=8,CD=3,ZM=5,且NB與ND互補(bǔ)，則AC

的長為（）切z.

A.7B.8C.9D.6

S24-—4「2a21c2_4小

【解析】co?，U,COSQJ十'一次，因?yàn)?B與NO互補(bǔ)，所以

2x5x82x3x5

C21Q2_4r242s2_4「2

cosB+cosD=0,所以~￡+二±2_空-=0,解得AC=7.故選A.

2x5x82x3x5

14、已知四邊形ABC。中，AC與BD交于點(diǎn)E,AB=2BC=2CD=4.

2

(1)若NADC=—乃,AC=3,求cosNCAD;

3

(2)若AE=CE,BE=2>/i,求AABC的面積.

24

【解析】(1)在AACD中，ZADC=一，AC=3,CD=2,

3

可得一=—生一，

sinZADCsinZ.CAD

即有sinACAD=C"包=21^-=旦,

AC33

可得cosZ.CAD=Jl-g=~~<

(2)在AABC中，AB=4,BC=2,BE=2近,

設(shè)AE=CE=x,ZAEB=a,ZCEB=7r-a,

X2+8-16X2+8-4

由余弦定理可得cosa=

2X-2A/2-2x-242

解得x=>/2,

15、在中，BC=2,AB=2AC,。為8C的中點(diǎn)，則tanNADC的最大值為.

【答案】|4

【分析】先設(shè)AC=x,由三角形三邊關(guān)系得到;<x<2,再利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與余弦

定理得到4獷=:*2-1,從而利用換元與基本不等式求得COSNADC的最小值，結(jié)合

y=cosx與y=tanx在（0,?上的單調(diào)性即可求得tanNADC的最大值.

【詳解】設(shè)AC=x,則AB=2x,

因?yàn)?。為BC的中點(diǎn)，BC=2,所以8O=DC=1,

2

由三角形三邊關(guān)系，可知2x+x>2且2x-x<2,解得t<x<2,

在△ABO中，由余弦定理，得cosZAZM=+1-（2”,

2AD

在/AC。中，山余弦定理，得cos/ADC=,

2AD

因?yàn)镹A￡W5+NADC=7i,所以cosNA￡>B=cos（兀一NADC）=-cosN/LDC,

2222

所以A￡>2+1-（2X）-=_AD+1-X,解得AD=-X-1,

2AD2AD2

令|*2_1=,，則re1,9),x2=|(r+l),/(產(chǎn)+2/+1),

則cosZADCvX卜+；+1=,Xj+；+2*X/招+2=|,

當(dāng)且僅當(dāng)r=L口"=1時，等號成立，此時《*2-1=1,解得》=馬叵,

t25

因?yàn)閏osNAOC2|>0,所以NAQCe（0,5）.

因?yàn)閥=cosx在國）上單調(diào)遞減，y=tanx在代）單調(diào)遞增，

所以當(dāng)cosZADC取得最小值時，tan/4￡>C取得最大值，

此時sinZ.ADC=Jl-cos?ZADC=1，則tanZADC=g,

4

所以tanNADC的最大值為§.

4

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題中突破口為NA0B+NADC=兀，由此得到cosZ4Z）B=_cosN4DC,

再結(jié)合余弦定理得到AD。=（好一1,最后利用基本不等式即可得解.

考點(diǎn)三三角形中線模型

16、已知A8C的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且C=60。，a=3,s^ABC=^-,

則AB邊上的中線長為（）

497

A.49B.7C.—D.-

42

【解析】因?yàn)镾.c=[a6sinC=1x3x6x@=M,故可得匕=5,

2224

根據(jù)余弦定理可得c?=a?+〃-2a/?cosC=19,故c=M,

不妨取AB中點(diǎn)為故CM=g（C4+C8）,

故ICM卜;^|CA|2+|CB|：+2|CA||CB|COSC=1^25+9+2x5x3xl=1.

即A3邊上的中線長為I7

故選：D.

17、已知在_ABC中，B=45o,AC=

⑴求8C邊的長；

(2)求AB邊上的中線CD的長.

【解析】(1)由cosC=叱得：sinC=Vl-cos2C=^,正弦定理得：第=名，即

55sinBsinC

YJLU/IOc,cc/—

——=—r囂由4叱-Xffl先AB2+BC2-AC216+BC2-10V2

sin452V5，解得：A4BD=4?由余弦定理得：cos8o=-----------------------=-----------------=—,

—2ABBCSBC2

5

解得：BC=C或36,

當(dāng)BC=血時，cosC=10+氏3—正,不合題意，舍去;

4石5

業(yè)廠Nc10+18-16

當(dāng)BC=3立時，cosC=-^-j=—y,滿足題意，綜上：BC=3^2

(2)因?yàn)镺為5c中點(diǎn)，所以3￡>=2,在△8CZ)中，由余弦定理得:

CD2=BD2+BC2-2BDSCcos450=4+18-2x2x3^x—=10,所以CO=M.

2

18、在A3C中，/C=。，AC=2,M為AB邊上的中點(diǎn)，且CM的長度為⑺，則他=()

A.26B.4C.2不D.6

【答案】A

【分析】根據(jù)cosNAMC=-cosNBMC,結(jié)合余弦定理可得到AC?+3C?=2(CM?+AM?),

由此可整理得到28c2-20=48，在二A3C中，利用余弦定理可得4+BC?-28C=A"，

解方程組可求得A8.

A

AM2+CM2-AC2

在…/XA…MC…中、，cosZ.AMC=----------------------；

2AMCM

在△5CM中，cosNBMC=BM-+CM--BC-；

2BMCM

ZAMC+NBMC=TT,cosXAMC=-cosZ.BMC，又AM=BM，

.AW+CMJAC/4M2+CM2-BC2

"2AMCM~2AMCM

整理可得：AC2+BC2=2（CM2+AM2）,g|J4+BC2=2（7+AM2）,

2AM2^^-AB2=BC2-IO,2BC2-20=AB2:

2

在，ABC1P,AB2=AC2+BC2-2AC?3CcosC=4+BC2-2BC=AB2,

/.4+BC2-2BC=2BC2-20,解得：BC=-6（舍）或BC=4,

AB=>/2BC2-20=26?

故選：A.

19、在ABC中，AB=9,點(diǎn)。在邊BC上，AD=1.

2

(1)若cosB=§,求8。的值，

2

⑵若cosNBAC=-§,且點(diǎn)。是邊8c的中點(diǎn)，求AC的值.

【答案】(1)8。=8或%>=4

(2)AC=6+V15T

【分析】(1)由余弦定理列出方程，求出8。的值;

(2)作出輔助線，得到cosNAEO=],由余弦定理求出胡=3+畫，從而求得答案.

32

【詳解】(1)在△43。中，由余弦定理得：AD-=AB2+BD2-2AB-BD-cosB,

2

所以49=81+8￡>2-2X98OX],解得B￡>=8或3￡>=4，

經(jīng)檢驗(yàn)均符合要求；

(2)在中，過Q作A8的平行線交AC于E,

因?yàn)辄c(diǎn)〃是邊BC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E為4c的中點(diǎn)，

19

在△AED中，ED=—AB=—,

22

2

又NB4C+NAE?=7i,所以COS/AEO=-.

3

+A”.，、,m組?AmAE~+ED~-AD~2

由余弦定埋得：cosZAED=——--------------=-,

2?AE?ED3

所以￡4?一6￡4-"=0,所以￡4=3+垣＞0或￡4=3-垣＜0（舍去），

422

故AC=2EA=6+^/i?T.

考點(diǎn)四角平分線模型

20、AA5C中，。是BC上的點(diǎn)，4。平分NBAC,△A3。面積是AADC面積的2倍.

⑴求誓；

'sinC

血

(2)若4。=1,DC=\,求BO和4c的長.

【解析】(l)SAA2=14"4OsinNB4。，

ADC=CA&sinNC4D.

因?yàn)镾AAM=2SAADC,ZBAD=ZCADf所以45=2AC.

A七口、^用^sinBAC1

由正弦無理，得嬴1=通=》

(2)因?yàn)镾GAKD:ShADc=BD：DC,所以BD=2DC=?

在AA5O和△40C中，由余弦定理，知

AB2=AD2+BD2-2ADBDcosZADB,

AC2=AD2+DC2-2AZ)DCCOSZADC.

故AB2+2AC2=3AD1+BD2+2DC2=6.

由(1),知A5=2AC,

所以AC=1.

21、ABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,C,已知為+b=2ccosB.

(1)求角C；

(2)若CD是角C的平分線，AD=23,DB=y/l,求C￡>的長.

【解析】(1)由2a+b=2c8sB,根據(jù)正弦定理可得2sinA+sinB=2sinCcos8,

則2sin(8+C)+sinB=2sinCeos8,所以2sinBcosC+2cosJ5sinC+sinS=2sinCeosB,

整理得(2cosC+l)sinB=0,因?yàn)槊馛均為三角形內(nèi)角，所以及Ce(0,乃),

萬

因此cosC='1,所以C=?2

(2)因?yàn)镃O是角C的平分線，AD=2出,DB=y/l,

ADCDBDCD

所以在△AC。和△BCD中，由正弦定理可得，兀sinA>乃sinB>

sin—sin—

33

因此=sEB=2,即sin8=2sinA,所以Z?=2a,

BDsinA

又由余弦定理可得/=/+從-2"cosC,即(3=ci2+4a2+2a2,解得a=3,所以。=6,

11c1C

又S^ABC=S&ACD+S^BCD，即]必sinC=”xCOxsin5+]〃xCDxsin5,

即18=98,所以CD=2.

c/a

22、如圖所示，在四邊形48co中，AC=AD=CD=1,ZABC=120\sinZBAC=—

14

⑴求BC

（2）若8。為/A3C的平分線，試求80.

【答案】⑴5

（2）8

BCAC

【分析】（1）利用正弦定理得，代入數(shù)據(jù)即可解出BC.

sinZ.BAC~sinZABC

（2）利用余弦定理得到cos/Q8C=BD+BU-DU,代入數(shù)據(jù)即可解出引）

2BDBC

BCAC

【詳解】（1）由正弦定理得

sinZBACsinZABC

BC7

***5>/3=5/3

1A~T

：.BC=5.

(2)由AC=AP=8=7,可得NAZ>C=60',

又NA3C=120°,3。為/ABC的平分線，

.,M,B,C,。四點(diǎn)共圓，ZDBC=ZDAC=60\

2

r1A底士工用殂/CD萬BD+BC~~DC~日口1BD~+5~—7"

由n余弦定理得cosNDBC=---------------，即一=------------

2BDBC22x5xBD

：.BD=S.

考點(diǎn)五平面四邊形模型

（一）直角三角形模型

23、ABC中/&4C=120,AB=AC=4,。在邊BC上，且。C=38。.

（1）求的長；

⑵若_LAC于H,求cosZADH.

【答案】（1）近

⑵通

14

【分析】（1）先在中山余弦定理求得BC的長，再由DC=3BO求得的的長，由

ZBAC=120,48=AC=4,可求/ABC最后在4ABD中由余弦定理即可得AD的長；

（2）由（1）可得AD.8C.BO的長,即有。C的長，在△ADC中由余弦定理可得cosZADC,

再求sinZWC,又有。"_LAC,又有ZAC8=30，則有NCW/=60，將ZA￡>"寫為

N84-NCD”,根據(jù)兩角差的余弦公式代入即可求出結(jié)果.

【詳解】（1）解:由題知「NBAC=120,AB=4C=4,

ABC是等腰三角形,ZA8C=ZACB=30,

在i/WC中,由余弦定理得：

AB2+AC2-BC2

cosNBAC=

2ABxAC

即號_1

2

:.BC=4y/3,

DC=3>BD.

BD=?CD=30

在△M￡＞中，由余弦定理得:

AB-+BD2-AD2

cosN48c=

2ABxBD

222

?n4+y/3-AD6

2x4x62

AD=百；

(2)由(1)知,AO=V7,C￡)=3G,AC=4,

在△ADC中，由余弦定理得:

AD2+CD2-AC2

cosZCD/4=

2ADxCD

7+27-16_V21

-2x將x3百-7

2出

sinZ.CDA=------,

7

DH1AC,ZBCA=30,

z./CDH=60、

cosZADH=cos(ZCZM-NCDH)

=cosZ.CDHxcosZ.CDA+sinZ.CDHxsinZCDA

1萬■82五

=—X------------1---------X-----------

2727

3后

=------------,

14

故cosNAZW=為型.

14

24、如圖，在平面四邊形ABCZ）中，ADYCD,ABJ.AC,AB=2-j3.

c