高中數(shù)學(xué) 2-2-3(一)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系活頁訓(xùn)練 北師大版必修2

2-2-3(一)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系eq\a\vs4\al\co1(雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)20分鐘)1．直線l：3x＋4y＋6＝0與圓x2＋y2＝4的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()．A．0B．1C．2D．不確定解析圓心(0,0)到直線l的距離d＝eq\f(|6|,\r(9＋16))＝eq\f(6,5)＜r＝2，則直線l與圓相交，有2個(gè)交點(diǎn)．答案C2．圓x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直線x－y－5＝0所得弦長等于()．A.eq\r(6)B.eq\f(5\r(2),2)C．1D．5解析分別求出半徑r及弦心距d(圓心到直線距離)再由弦長為2eq\r(r2－d2)，求得．答案A3．已知圓x2－4x＋y2－4＝0的圓心是點(diǎn)P，則點(diǎn)P到直線x－y－1＝0的距離是()．A.eq\r(2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(3)D.eq\f(\r(3),2)解析將x2－4x＋y2－4＝0配方得(x－2)2＋y2＝8，圓心為P(2,0)，則點(diǎn)P到直線x－y－1＝0的距離d＝eq\f(|2－0－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).答案B4．過原點(diǎn)O作圓x2＋y2－6x－8y＋20＝0的切線，則切線長為________．解析圓方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝5，則圓心坐標(biāo)為C(3,4)，半徑長eq\r(5).由勾股定理得：切線長為2eq\r(5).答案2eq\r(5)5．已知圓C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a＞0)及直線l：x－y＋3＝0.當(dāng)直線l被C截得的弦長為2eq\r(3)時(shí)，則a＝________.解析由圓的方程，知圓的半徑等于2，故圓心到直線的距離等于1，由點(diǎn)到直線的距離公式，知eq\f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，解得a＝eq\r(2)－1.答案eq\r(2)－16．證明：直線a(x＋1)＋b(y＋1)＝0與圓x2＋y2＝2一定有公共點(diǎn)．證明法一圓心(0,0)到直線ax＋by＋a＋b＝0的距離d＝eq\f(|a＋b|,\r(a2＋b2))，a2＋b2≥eq\f(a＋b2,2)，∴eq\f(|a＋b|,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，即直線與圓必有公共點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，直線和圓相切．法二由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋1＋by＋1＝0，,x2＋y2＝2，))得y2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(by＋a＋b,a)))2＝2，即(a2＋b2)y2＋2b(a＋b)y＋b2－a2＋2ab＝0，Δ＝[2b(a＋b)]2－4(a2＋b2)·(b2－a2＋2ab)＝4a2(a－b)2∴直線與圓必有公共點(diǎn)．法三直線a(x＋1)＋b(y＋1)＝0過定點(diǎn)(－1，－1)，而(－1，－1)在圓x2＋y2＝2上．∴直線a(x＋1)＋b(y＋1)＝0一定與圓x2＋y2＝2有公共點(diǎn)．eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時(shí)25分鐘)7．直線eq\r(3)x－y＋m＝0與圓x2＋y2－2x－2＝0相切，則實(shí)數(shù)m等于()．A.eq\r(3)或－eq\r(3) B．－eq\r(3)或3eq\r(3)C．－3eq\r(3)或eq\r(3) D．－3eq\r(3)或3eq\r(3)解析圓x2＋y2－2x－2＝0的圓心為C(1,0)，半徑為eq\r(3)，因?yàn)橹本€eq\r(3)x－y＋m＝0為圓的切線，因此圓心(1,0)到直線的距離為圓的半徑eq\r(3).從而d＝eq\f(|\r(3)×1＋－1×0＋m|,\r(\r(3)2＋－12))＝eq\r(3)，解得m＝±2eq\r(3)－eq\r(3)，∴m＝eq\r(3)或m＝－3eq\r(3).答案C8．已知點(diǎn)M(a，b)(ab≠0)是圓C：x2＋y2＝r2內(nèi)一點(diǎn)，直線l是以M為中點(diǎn)的弦所在直線，直線m的方程是ax＋by＝r2，那么()．A．l∥m，且m與圓C相切B．l⊥m，且m與圓C相切C．l∥m，且m與圓C相離D．l⊥m，且m與圓C相離解析∵kCM＝eq\f(b,a)，∴kl＝－eq\f(a,b)，∴l(xiāng)的方程為ax＋by－a2－b2＝0.又∵m的方程為ax＋by＝r2，且a2＋b2＜r2，∴l(xiāng)∥m，又圓心(0,0)到m的距離d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＞r，故m與圓C相離．答案C9．P(3,0)為圓C：x2＋y2－8x－2y＋12＝0內(nèi)一點(diǎn)，過P點(diǎn)的最短弦所在的直線方程是________．解析過P點(diǎn)最短的弦，應(yīng)為與PC垂直的弦，先求斜率為－1，則可得直線方程為x＋y－3＝0.答案x＋y－3＝010．若過點(diǎn)A(4,0)的直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為________．解析數(shù)形結(jié)合的方法．如圖所示，∠CAB＝∠BAD＝30°，∴直線l的傾斜角θ的取值范圍為[0°，30°]∪[150°，180°)．∴直線l的斜率的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))11．已知圓C：x2＋(y－1)2＝5，直線l：mx－y＋1－m＝0.(1)求證：對(duì)m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B；(2)求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線．解(1)圓心C(0,1)，半徑為r＝eq\r(5)，則圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|－m|,\r(1＋m2))＝eq\f(|m|,\r(1＋m2))＜1，∴d＜r.∴對(duì)m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)．(2)設(shè)中點(diǎn)M(x，y)，因直線l：m(x－1)－(y－1)＝0恒過定點(diǎn)P(1,1)，∴kAB＝eq\f(y－1,x－1).又kMC＝eq\f(y－1,x)，kMC·kAB＝－1，∴eq\f(y－1,x－1)·eq\f(y－1,x)＝－1.整理得：x2＋y2－x－2y＋1＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋(y－1)2＝eq\f(1,4)，表示圓心坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，半徑是eq\f(1,2)的圓．12．(創(chuàng)新拓展)已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.問是否存在斜率為1的直線l，使l被圓截得的弦長為AB，滿足以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)．若存在，寫出直線l的方程，若不存在，說明理由．解依題意，設(shè)直線l的方程為：y＝x＋b.①圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.②聯(lián)立①②消去y得：2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－b＋1，,x1x2＝\f(b2＋4b－4,2).))③因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)