《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第4節(jié)　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)-教師復(fù)習(xí)驗(yàn)收卷

《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第4節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)-教師復(fù)習(xí)驗(yàn)收卷《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第4節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)-教師復(fù)習(xí)驗(yàn)收卷/《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第4節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)-教師復(fù)習(xí)驗(yàn)收卷第4節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識(shí)梳理1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖(1)正弦函數(shù)y＝sinx,x∈[0,2π]的圖象中,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),1)),(π,0),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2),－1)),(2π,0).(2)余弦函數(shù)y＝cosx,x∈[0,2π]的圖象中,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),0)),(π,－1),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2),0)),(2π,1).2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R,且))x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1,1][－1,1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2),2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π,2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2),kπ＋\f(π,2)))遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2),2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ,2kπ＋π]無對(duì)稱中心(kπ,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2),0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2),0))對(duì)稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ無1.正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期,相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是eq\f(1,4)個(gè)周期.正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期.2.三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式,偶函數(shù)一般可化為y＝Acosωx＋b的形式.3.對(duì)于y＝tanx不能認(rèn)為其在定義域上為增函數(shù),而是在每個(gè)區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2),kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)內(nèi)為增函數(shù).診斷自測(cè)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打"√”或"×”)(1)余弦函數(shù)y＝cosx的對(duì)稱軸是y軸.()(2)正切函數(shù)y＝tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù).()(3)已知y＝ksinx＋1,x∈R,則y的最大值為k＋1.()(4)y＝sin|x|是偶函數(shù).()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)余弦函數(shù)y＝cosx的對(duì)稱軸有無窮多條,y軸只是其中的一條.(2)正切函數(shù)y＝tanx在每一個(gè)區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2),kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上都是增函數(shù),但在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),故不是增函數(shù).(3)當(dāng)k>0時(shí),ymax＝k＋1;當(dāng)k<0時(shí),ymax＝－k＋1.2.下列函數(shù)中,是奇函數(shù)的是()A.y＝|cosx＋1| B.y＝1－sinxC.y＝－3sin(2x＋π) D.y＝1－tanx答案C解析選項(xiàng)A中的函數(shù)是偶函數(shù),選項(xiàng)B,D中的函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù);因?yàn)閥＝－3sin(2x＋π)＝3sin2x,所以是奇函數(shù),選C.3.函數(shù)y＝－eq\f(3,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6)))＋3的最小正周期為T,最大值為A,則()A.T＝πA＝eq\f(3,2) B.T＝eq\f(π,2)A＝eq\f(9,2)C.T＝4πA＝eq\f(9,2) D.T＝2πA＝－eq\f(3,2)答案C解析T＝eq\f(2π,\f(1,2))＝4π,A＝eq\f(3,2)＋3＝eq\f(9,2).4.(2019·全國(guó)Ⅱ卷)若x1＝eq\f(π,4),x2＝eq\f(3π,4)是函數(shù)f(x)＝sinωx(ω>0)兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn),則ω＝()A.2 B.eq\f(3,2) C.1 D.eq\f(1,2)答案A解析由題意及函數(shù)y＝sinωx的圖象和性質(zhì)可知,eq\f(1,2)T＝eq\f(3π,4)－eq\f(π,4),∴T＝π,∴eq\f(2π,ω)＝π,∴ω＝2.故選A.5.(多選題)(2021·山東新高考模擬)已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))(x∈R),下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)f(x)的最小正周期為2πB.函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上是增函數(shù)C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱D.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)答案ABC解析由題意,可得f(x)＝－cosx,對(duì)于選項(xiàng)A,最小正周期T＝eq\f(2π,1)＝2π,所以選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,y＝cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上是減函數(shù),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上是增函數(shù),所以選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,f(－x)＝－cos(－x)＝－cosx＝f(x),所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱,所以選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選ABC.6.(2020·北京卷)若函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx的最大值為2,則常數(shù)φ的一個(gè)取值為__________.答案eq\f(π,2)(答案不唯一,只要等于eq\f(π,2)＋2kπ,k∈Z即可)解析∵f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx的最大值為2,又sin(x＋φ)≤1,cosx≤1,則sin(x＋φ)＝cosx＝1時(shí),f(x)取得最大值2.由誘導(dǎo)公式,得φ＝eq\f(π,2)＋2kπ,k∈Z.∴φ的一個(gè)取值可為eq\f(π,2).考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域和值域1.函數(shù)y＝eq\r(sinx－cosx)的定義域?yàn)開_______.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4),2kπ＋\f(5π,4)))(k∈Z)解析法一要使函數(shù)有意義,必須使sinx－cosx≥0.利用圖象,在同一坐標(biāo)系中畫出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的圖象,如圖所示.在[0,2π]內(nèi),滿足sinx＝cosx的x為eq\f(π,4),eq\f(5π,4),再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2π,所以原函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(5,4)π,k∈Z)).法二利用三角函數(shù)線,畫出滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示).所以定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(5π,4),k∈Z)))).2.函數(shù)y＝sinx－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的值域?yàn)開_______.答案[－eq\r(3),eq\r(3)]解析∵y＝sinx－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝sinx－eq\f(\r(3),2)cosx＋eq\f(1,2)sinx＝eq\f(3,2)sinx－eq\f(\r(3),2)cosx＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))),∴函數(shù)y＝sinx－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的值域?yàn)閇－eq\r(3),eq\r(3)].3.函數(shù)y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域?yàn)開_______.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\r(2),1))解析設(shè)t＝sinx－cosx,則t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx,sinxcosx＝eq\f(1－t2,2),且－eq\r(2)≤t≤eq\r(2).∴y＝－eq\f(t2,2)＋t＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)(t－1)2＋1.當(dāng)t＝1時(shí),ymax＝1;當(dāng)t＝－eq\r(2)時(shí),ymin＝－eq\f(1＋2\r(2),2).∴函數(shù)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\r(2),1)).4.已知函數(shù)f(x)＝2sinx＋sin2x,則f(x)的最小值是________.答案－eq\f(3\r(3),2)解析f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)∵cosx＋1≥0,∴當(dāng)cosx<eq\f(1,2)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)cosx>eq\f(1,2)時(shí),f(x)單調(diào)遞增,∴當(dāng)cosx＝eq\f(1,2)時(shí),f(x)有最小值,又f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx),∴當(dāng)sinx＝－eq\f(\r(3),2)時(shí),f(x)有最小值,即f(x)min＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝－eq\f(3\r(3),2).感悟升華1.求三角函數(shù)的定義域通常要解三角不等式(組),解三角不等式(組)常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)的圖象.2.求解三角函數(shù)的值域(最值)常見的幾種類型：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式,再求值域(最值);(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函數(shù),可先設(shè)sinx＝t,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值);(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數(shù),可先設(shè)t＝sinx±cosx,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值).(4)一些復(fù)雜的三角函數(shù),可考慮利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,然后求最值.考點(diǎn)二三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性【例1】(1)(多選題)(2020·濟(jì)南調(diào)研)下列函數(shù)中,最小正周期為π的是()A.y＝cos|2x| B.y＝|cosx|C.y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) D.y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))(2)已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的圖象在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,4)))內(nèi)有且僅有一條對(duì)稱軸,則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是()A.(0,5) B.(0,5] C.[1,5) D.(1,5](3)(2021·武漢調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝2sin(x＋θ＋eq\f(π,3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2),\f(π,2)))))是偶函數(shù),則θ的值為________.(4)已知函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0,|φ|<eq\f(π,2))的最小正周期為4π,且?x∈R有f(x)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))成立,則f(x)圖象的對(duì)稱中心是________,對(duì)稱軸方程是________.答案(1)ABC(2)C(3)eq\f(π,6)(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(4π,3),0)),k∈Zx＝2kπ＋eq\f(π,3),k∈Z解析(1)A項(xiàng),y＝cos|2x|＝cos2x,最小正周期為π;B項(xiàng),由圖象知y＝|cosx|的最小正周期為π;C項(xiàng),y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π;D項(xiàng),y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的最小正周期T＝eq\f(π,2).(2)令ωx＋eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2),x＝eq\f(1,ω)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4))),k∈Z,∵ω>0,由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,ω)×\f(π,4)≤\f(π,4),,\f(1,ω)×\f(5π,4)>\f(π,4),))解得1≤ω<5.故選C.(3)∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù),∴θ＋eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z).又θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2),\f(π,2))),∴θ＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2),解得θ＝eq\f(π,6),經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.(4)由f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期為4π,得ω＝eq\f(1,2),因?yàn)閒(x)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))恒成立,所以f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))),即eq\f(1,2)×eq\f(π,3)＋φ＝2kπ(k∈Z),又∵|φ|<eq\f(π,2),所以φ＝－eq\f(π,6),故f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6))),令eq\f(1,2)x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z),得x＝eq\f(4π,3)＋2kπ(k∈Z),故f(x)圖象的對(duì)稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(4π,3),0)),k∈Z.令eq\f(1,2)x－eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z),得x＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z),故f(x)圖象的對(duì)稱軸方程是x＝2kπ＋eq\f(π,3),k∈Z.感悟升華1.求三角函數(shù)的最小正周期,一般先通過恒等變形化為y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)(A,ω,φ為常數(shù),A≠0)的形式,再分別應(yīng)用公式T＝eq\f(2π,|ω|)或T＝eq\f(π,|ω|)求解.2.三角函數(shù)型奇偶性判斷除可以借助定義外,還可以借助其圖象與性質(zhì),對(duì)y＝Asin(ωx＋φ)代入x＝0,若y＝0則為奇函數(shù),若y為最大或最小值則為偶函數(shù).若y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù),則φ＝kπ(k∈Z),若y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù),則φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z).3.對(duì)于可化為f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函數(shù),如果求f(x)的對(duì)稱軸,只需令ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z),求x即可;如果求f(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo),只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z),求x即可.【訓(xùn)練1】(1)已知函數(shù)f(x)＝asinx＋cosx(a為常數(shù),x∈R)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,6)對(duì)稱,則函數(shù)g(x)＝sinx＋acosx的圖象()A.關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3),0))對(duì)稱 B.關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3),0))對(duì)稱C.關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對(duì)稱 D.關(guān)于直線x＝eq\f(π,6)對(duì)稱(2)(2021·新高考8省聯(lián)考)寫出一個(gè)最小正周期為2的奇函數(shù)f(x)＝________.答案(1)C(2)sinπx(答案不唯一)解析(1)由題意知f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))),所以1＝eq\f(\r(3),2)a＋eq\f(1,2),a＝eq\f(\r(3),3),所以g(x)＝sinx＋eq\f(\r(3),3)cosx＝eq\f(2\r(3),3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))),當(dāng)x＝eq\f(π,3)時(shí),x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2),所以直線x＝eq\f(π,3)為對(duì)稱軸,點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3),0))不為對(duì)稱中心,A錯(cuò)誤,C正確;當(dāng)x＝eq\f(2π,3)時(shí),x＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6),所以點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3),0))不為對(duì)稱中心,B錯(cuò)誤;當(dāng)x＝eq\f(π,6)時(shí),x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,3),所以直線x＝eq\f(π,6)不為對(duì)稱軸,D錯(cuò)誤,故選C.(2)基本初等函數(shù)中既為周期函數(shù)又為奇函數(shù)的函數(shù)為y＝sinx,∴此題可考慮在正弦函數(shù)的基礎(chǔ)上調(diào)整周期使其滿足題意.由此可知f(x)＝sinωx且T＝eq\f(2π,ω)?f(x)＝sinπx.考點(diǎn)三三角函數(shù)的單調(diào)性角度1求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】(1)函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))(x∈[0,π])的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(5π,6))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(2π,3))) C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6),π)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3),π))(2)已知函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x)),則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)＋2kπ,\f(7π,8)＋2kπ))(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)＋2kπ,\f(3π,8)＋2kπ))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)＋kπ,\f(7π,8)＋kπ))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)＋kπ,\f(3π,8)＋kπ))(k∈Z)答案(1)C(2)D解析(1)由2kπ－π≤x＋eq\f(π,6)≤2kπ,k∈Z,解得2kπ－eq\f(7π,6)≤x≤2kπ－eq\f(π,6),k∈Z,∵x∈[0,π],∴eq\f(5π,6)≤x≤π,∴函數(shù)f(x)在[0,π]的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6),π)),故選C.(2)函數(shù)的解析式可化為f(x)＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))).由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z),得－eq\f(π,8)＋kπ≤x≤eq\f(3π,8)＋kπ(k∈Z),即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)＋kπ,\f(3π,8)＋kπ))(k∈Z).故選D.角度2利用單調(diào)性比較大小【例3】已知函數(shù)f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))),設(shè)a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,7))),b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))),c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))),則a,b,c的大小關(guān)系是()A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>b D.b>a>c答案A解析a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,7)))＝2coseq\f(13π,42),b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝2coseq\f(π,3),c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝2coseq\f(5π,12),因?yàn)閥＝cosx在[0,π]上遞減,又eq\f(13π,42)<eq\f(π,3)<eq\f(5π,12),所以a>b>c.角度3根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【例4】已知ω>0,函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π))上單調(diào)遞減,則ω的取值范圍是________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(5,4)))解析由eq\f(π,2)<x<π,ω>0,得eq\f(ωπ,2)＋eq\f(π,4)<ωx＋eq\f(π,4)<ωπ＋eq\f(π,4),又y＝sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2),2kπ＋\f(3π,2))),k∈Z,所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(ωπ,2)＋\f(π,4)≥\f(π,2)＋2kπ,,ωπ＋\f(π,4)≤\f(3π,2)＋2kπ))k∈Z,解得4k＋eq\f(1,2)≤ω≤2k＋eq\f(5,4),k∈Z.又函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π))上單調(diào)遞減,所以周期T＝eq\f(2π,ω)≥π,解得0＜ω≤2.所以ω∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(5,4))).感悟升華1.求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),首先化簡(jiǎn)成y＝Asin(ωx＋φ)形式,再求y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間,只需把ωx＋φ看作一個(gè)整體代入y＝sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可,注意要先把ω化為正數(shù).2.對(duì)于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)ω的范圍的問題,首先,明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集,其次,要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而利用它們之間的關(guān)系可求解,另外,若是選擇題利用特值驗(yàn)證排除法求解更為簡(jiǎn)捷.【訓(xùn)練2】(1)y＝sineq\f(x,2)－coseq\f(x,2)的單調(diào)遞增區(qū)間為________.(2)若f(x)＝cosx－sinx在[－a,a]是減函數(shù),則a的最大值是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,2) C.eq\f(3π,4) D.π答案(1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(π,2),4kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)(2)A解析(1)y＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4))),由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(x,2)－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z),得4kπ－eq\f(π,2)≤x≤4kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z).∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(π,2),4kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z).(2)f(x)＝cosx－sinx＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))),由題意得a>0,故－a＋eq\f(π,4)<eq\f(π,4),因?yàn)閒(x)＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))在[－a,a]是減函數(shù),所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(π,4)≥0,,a＋\f(π,4)≤π,,a>0,))解得0<a≤eq\f(π,4),所以a的最大值是eq\f(π,4).A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.(2020·武漢調(diào)研)函數(shù)y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的定義域是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2),k∈Z)))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(k,2)π－\f(π,8),k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(k,2)π＋\f(π,8),k∈Z)))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(k,2)π,k∈Z))))答案C解析要使函數(shù)有意義,則2x＋eq\f(π,4)≠kπ＋eq\f(π,2),k∈Z,即x≠eq\f(k,2)π＋eq\f(π,8),k∈Z,所以函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(k,2)π＋\f(π,8),k∈Z)))),故選C.2.函數(shù)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－1圖象的一條對(duì)稱軸方程是()A.x＝eq\f(π,12) B.x＝eq\f(π,6)C.x＝eq\f(π,3) D.x＝eq\f(π,2)答案C解析令2x－eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2),k∈Z,解得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,3),k∈Z,當(dāng)k＝0時(shí),函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為直線x＝eq\f(π,3).故選C.3.(2020·天津卷)已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).給出下列結(jié)論：①f(x)的最小正周期為2π;②feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))是f(x)的最大值;③把函數(shù)y＝sinx的圖象上所有點(diǎn)向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度,可得到函數(shù)y＝f(x)的圖象.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()A.① B.①③ C.②③ D.①②③答案B解析T＝eq\f(2π,1)＝2π,故①正確.當(dāng)x＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z),即x＝eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)時(shí),f(x)取得最大值,故②錯(cuò)誤.圖象,故③正確.故選B.4.(2021·泉州模擬)已知函數(shù)f(x)＝tanx,對(duì)任意x1,x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2),\f(π,2)))(x1≠x2),給出下列說法不正確的是()A.f(x1＋π)＝f(x1)B.f(－x1)＝－f(x1)C.eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0D.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))>eq\f(f(x1)＋f(x2),2)(x1x2>0)答案D解析對(duì)于A,由于f(x)＝tanx的最小正周期為π,所以A正確;對(duì)于B,函數(shù)f(x)＝tanx為奇函數(shù),所以B正確;對(duì)于C,函數(shù)f(x)＝tanx在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2),\f(π,2)))上單調(diào)遞增,滿足eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0,所以C正確;對(duì)于D,如圖函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2),0))上有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))>eq\f(f(x1)＋f(x2),2),在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))<eq\f(f(x1)＋f(x2),2),所以D不正確.5.已知函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的圖象過點(diǎn)(0,eq\r(3)),則f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3),0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6),0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6),0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12),0))答案B解析函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的圖象過點(diǎn)(0,eq\r(3)),則f(0)＝2sinφ＝eq\r(3),∴sinφ＝eq\f(\r(3),2),又|φ|<eq\f(π,2),∴φ＝eq\f(π,3),則f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))),令2x＋eq\f(π,3)＝kπ(k∈Z),則x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,6)(k∈Z),當(dāng)k＝0時(shí),x＝－eq\f(π,6),∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6),0))是函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心.6.(多選題)(2019·全國(guó)Ⅰ卷改編)已知函數(shù)f(x)＝sin|x|＋|sinx|,下列結(jié)論正確的是()A.f(x)是偶函數(shù)B.f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π))單調(diào)遞增C.f(x)在[－π,π]有4個(gè)零點(diǎn)D.f(x)的最大值為2答案AD解析f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x),∴f(x)為偶函數(shù),故A正確;當(dāng)eq\f(π,2)<x<π時(shí),f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx,∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π))單調(diào)遞減,故B不正確;f(x)在[－π,π]的圖象如圖所示,由圖可知函數(shù)f(x)在[－π,π]只有3個(gè)零點(diǎn),故C不正確;∵y＝sin|x|與y＝|sinx|的最大值都為1且可以同時(shí)取到,∴f(x)可以取到最大值2,故D正確.綜上,選AD.二、填空題7.函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的單調(diào)遞減區(qū)間為________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8),kπ＋\f(5π,8)))(k∈Z)解析由y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))),得2kπ≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋π(k∈Z),解得kπ＋eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(5π,8)(k∈Z),所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8),kπ＋\f(5π,8)))(k∈Z).8.已知函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))＋1(x∈R)的圖象的一條對(duì)稱軸為x＝π,其中ω為常數(shù),且ω∈(1,2),則函數(shù)f(x)的最小正周期為________.答案eq\f(6π,5)解析由函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))＋1(x∈R)的圖象的一條對(duì)稱軸為x＝π,可得ωπ－eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2),k∈Z,∴ω＝k＋eq\f(2,3),又ω∈(1,2),∴ω＝eq\f(5,3),∴函數(shù)f(x)的最小正周期為eq\f(2π,\f(5,3))＝eq\f(6π,5).9.(2020·全國(guó)Ⅲ卷)關(guān)于函數(shù)f(x)＝sinx＋eq\f(1,sinx)有如下四個(gè)命題：①f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;②f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;③f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對(duì)稱;④f(x)的最小值為2.其中所有真命題的序號(hào)是________.答案②③解析∵f(x)＝sinx＋eq\f(1,sinx)的定義域?yàn)閧x|x≠kπ,k∈Z},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又f(－x)＝sin(－x)＋eq\f(1,sin(－x))＝－f(x),而f(－x)≠f(x),∴f(x)為奇函數(shù),不是偶函數(shù),①是假命題,②是真命題.對(duì)于③,要證f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對(duì)稱,只需證feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x)),∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝cosx＋eq\f(1,cosx),feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝cosx＋eq\f(1,cosx),∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x)),∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對(duì)稱,③是真命題.令sinx＝t,－1≤t≤1且t≠0,∴g(t)＝t＋eq\f(1,t),－1≤t≤1且t≠0,此函數(shù)圖象如圖所示(對(duì)勾函數(shù)圖象的一部分),∴函數(shù)的值域?yàn)?－∞,－2]∪[2,＋∞),∴函數(shù)的最小值不為2,即f(x)的最小值不為2.∴④是假命題.綜上所述,所有真命題的序號(hào)是②③.三、解答題10.已知函數(shù)f(x)＝asinxcosx－b(cos2x－sin2x)(x∈R,a,b為常數(shù)),且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\f(\r(3),4),feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝－eq\f(1,4).(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4),\f(π,4)))時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值與最小值.解(1)由題意得f(x)＝eq\f(1,2)asin2x－bcos2x,由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\f(\r(3),4),feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝－eq\f(1,4),得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\f(\r(3),4),,\f(1,4)a－\f(\r(3),2)b＝－\f(1,4),))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2),,b＝\f(\r(3),4),))∴f(x)＝eq\f(1,4)sin2x－eq\f(\r(3),4)cos2x＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))),令2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2),k∈Z,得kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5π,12),k∈Z,∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12),kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z).(2)由(1)得f(x)＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))),由－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,4)得－eq\f(5π,6)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,6),∴－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))≤eq\f(1,2),∴－eq\f(1,2)≤eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))≤eq\f(1,4),故f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4),\f(π,4)))上的最大值為eq\f(1,4),最小值為－eq\f(1,2).11.(2020·臨沂模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0,－\f(π,2)＜φ＜0))滿足下列4個(gè)條件中的3個(gè),4個(gè)條件依次是：①ω＝eq\f(3,2),②周期T＝π,③過點(diǎn)(0,0),④feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\f(3,2).(1)寫出所滿足的3個(gè)條件的序號(hào)(不需要說明理由),并求f(x)的解析式;(2)求函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝1相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的最短距離.解(1)如果所滿足的三個(gè)條件是②③④.∵f(x)的周期T＝π,∴ω＝2,∴f(x)＝sin(2x＋φ)＋m,又過點(diǎn)(0,0),且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\f(3,2),∴sinφ＋m＝0,sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ))＋m＝eq\f(3,2),∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ))－sinφ＝eq\f(3,2),∴eq\f(\r(3),2)cosφ－eq\f(1,2)sinφ－sinφ＝eq\f(3,2),∴eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosφ－\f(\r(3),2)sinφ))＝eq\f(3,2),∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－φ))＝eq\f(\r(3),2),∵－eq\f(π,2)＜φ＜0,∴φ＝－eq\f(π,6),又sinφ＋m＝0,∴－eq\f(1,2)＋m＝0,∴m＝eq\f(1,2),∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋eq\f(1,2).如果所滿足的三個(gè)條件是①③④：∵ω＝eq\f(3,2),∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋φ))＋m,又過點(diǎn)(0,0),且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\f(3,2),∴sinφ＋m＝0,sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＋m＝eq\f(3,2),∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))－sinφ＝eq\f(3,2),∴cosφ－sinφ＝eq\f(3,2),∴eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－φ))＝eq\f(3,2),又∵eq\r(2)＜eq\f(3,2),故此種選擇不滿足.(2)由f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋eq\f(1,2)＝1,得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＝eq\f(1,2),∴2x－eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(π,6)或2x－eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(5π,6),k∈Z,∴x＝kπ＋eq\f(π,6)或x＝kπ＋eq\f(π,2),k∈Z,∴函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝1相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的最短距離為eq\f(π,2)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,3).B級(jí)能力提升12.(2020·全國(guó)大聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0,ω>0,|φ|≤eq\f(π,2))的圖象離原點(diǎn)最近的對(duì)稱軸為x＝x0,若滿足|x0|≤eq\f(π,6),則稱f(x)為"近軸函數(shù)”.若函數(shù)y＝2sin(2x－φ)是"近軸函數(shù)”,則φ的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6),\f(π,2