《數學》復習人教A（新高考）-第2節(jié)　用樣本估計總體

第九章

第2節(jié)用樣本估計總體知識分類落實考點分層突破課后鞏固作業(yè)內容索引///////123//////////////知識分類落實夯實基礎回扣知識1知識梳理///////1．頻率分布直方圖(1)頻率分布表的畫法：第一步：求

，決定組數和組距，組距＝

；第二步：

，通常對組內數值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數，計算頻率，列出頻率分布表．極差分組(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖)橫軸表示樣本數據，縱軸表示

，每個小矩形的面積表示樣本落在該組內的

．頻率(1)眾數：一組數據中

的那個數據，叫做這組數據的眾數．(2)中位數：把n個數據按大小順序排列，處于

位置的一個數據(或最中間兩個數據的平均數)叫做這組數據的中位數．(3)平均數：把

稱為a1，a2，…，an這n個數的平均數．2．樣本的數字特征出現次數最多最中間1．判斷下列結論正誤(在括號內打“√”或“×”) (1)平均數、眾數與中位數從不同的角度描述了一組數據的集中趨勢．(

) (2)一組數據的方差越大，說明這組數據越集中． (

) (3)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數據落在該區(qū)間的頻率越大． (

) (4)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標是眾數．(

)

解析

(1)正確．平均數、眾數與中位數都在一定程度上反映了數據的集中趨勢．

(2)錯誤．方差越大，這組數據越離散．√

√

√

×

2．一個容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.25，則該組樣本的頻數為(

)

A．4B．8C．12D．16B

3．若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分分別為87，89，90，91，92，93，94，96，則這組數據的中位數和平均數分別是(

) A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92

解析

這組數據由小到大排列為87，89，90，91，92，93，94，96，A

4．(2020·全國Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業(yè)務，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05.志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者 (

) A．10名B．18名C．24名D．32名 解析

由題意，第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95， 即第二天確保完成新訂單1600份，減去超市每天能完成的1200份，再加上積壓的500份，共有1600－1200＋500＝900(份)，至少需要志愿者900÷50＝18(名)．B

5．(2020·全國Ⅲ卷)設一組樣本數據x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數據10x1，10x2，…，10xn的方差為(

) A．0.01B．0.1C．1D．10

解析

10x1，10x2，…，10xn的方差為102×0.01＝1.故選C.C6．(2020·新高考海南卷)某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例是 (

) A．62%B．56%C．46%D．42%

解析

如圖，用Venn圖表示該中學喜歡足球和游泳的學生所占的比例之間的關系， 設既喜歡足球又喜歡游泳的學生占該中學學生總數的比例為x， 則(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.

故選C.C

考點分層突破題型剖析考點聚焦2【例1】某大學藝術專業(yè)400名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]．并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于70的概率； 解根據頻率分布直方圖可知，樣本中分數不小于70的頻率為(0.02＋0.04)×10＝0.6， 所以樣本中分數小于70的頻率為1－0.6＝0.4.

所以從總體的400名學生中隨機抽取一人，其分數小于70的概率估計值為0.4.考點一頻率分布直方圖///////師生共研【例1】(2)已知樣本中分數小于40的學生有5人，試估計總體中分數在區(qū)間[40，50)內的人數；

解根據題意，樣本中分數不小于50的頻率為

(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9， 故樣本中分數小于50的頻率為0.1， 故分數在區(qū)間[40，50)內的人數為100×0.1－5＝5.【例1】(3)已知樣本中有一半男生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的男女生人數相等．試估計總體中男生和女生人數的比例． 解由題意可知，樣本中分數不小于70的學生人數為(0.02＋0.04)×10×100＝60.

所以樣本中的男生人數為30×2＝60， 女生人數為100－60＝40， 男生和女生人數的比例為60∶40＝3∶2.

所以根據分層抽樣原理，總體中男生和女生人數的比例估計為3∶2.感悟升華【訓練1】某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調查了40個用戶，根據用戶對產品的滿意評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布表．A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖圖①B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布表滿意度評分分組[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數2814106(1)在圖②中作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結論即可)；B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖圖②解作出頻率分布直方圖如圖：通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散．【訓練1】(2)根據用戶滿意度評分，將用戶和滿意度分為三個等級： 估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由． 解

A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大． 記CA表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”；

CB表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”． 由直方圖得P(CA)的估計值為(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，

P(CB)的估計值為(0.005＋0.02)×10＝0.25.

所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大．滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意角度1扇形圖考點二統計圖表及應用///////多維探究【例2】某地區(qū)經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現翻番．為更好地了解該地區(qū)農村的經濟收入變化情況，統計了該地區(qū)新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如圖所示的餅圖： 則下面結論中不正確的是 (

) A．新農村建設后，種植收入減少

B．新農村建設后，其他收入增加了一倍以上

C．新農村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D．新農村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的總和超過了經濟收入的一半 解析法一設新農村建設前經濟收入為a， 則新農村建設后經濟收入為2a， 則由餅圖可得新農村建設前種植收入為0.6a，其他收入為0.04a，養(yǎng)殖收入為0.3a.

A

新農村建設后種植收入為0.74a，其他收入為0.1a，養(yǎng)殖收入為0.6a，養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的總和為1.16a，所以新農村建設后，種植收入減少是錯誤的．法二因為0.6<0.37×2，所以新農村建設后，種植收入增加，而不是減少，所以A是錯誤的．角度2折線圖【例3】(多選題)(2021·海南質檢)劉女士的網店經營堅果類食品，2019年各月份的收入、支出(單位：百元)情況的統計如圖所示，下列說法中正確的是(

) A．4至5月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同

B．支出最高值與支出最低值的比是5∶1 C．第三季度平均收入為5000元

D．利潤最高的月份是3月份和10月份ACD

故相同，A正確．對于B，支出最高值是2月份60百元，支出最低值是5月份的10百元，故支出最高值與支出最低值的比是6∶1，故B錯誤．對于C，第三季度的7，8，9月每個月的收入分別為40百元，50百元，60百元，故C正確．對于D，利潤最高的月份是3月份和10月份都是30百元，故D正確．1．通過扇形統計圖可以很清楚的表示出各部分數量同總數之間的關系．2．折線圖可以顯示隨時間(根據常用比例放置)而變化的連續(xù)數據，因此非常適用于顯示在相等時間間隔下數據的趨勢．

感悟升華【訓練2】(1)(2021·洛陽模擬)已知某地區(qū)中小學生人數和近視情況分別如圖①和圖②所示．為了了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學生進行調查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數分別為(

) A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10

解析

由圖①得樣本容量為(3500＋2000＋4500)×2%＝10000×2%＝200， 抽取的高中生人數為2000×2%＝40(人)， 則近視人數為40×0.5＝20(人)，故選A.A

【訓練2】(2)(多選題)(2020·濟南模擬)某同學在微信上查詢到近十年全國高考報名人數、錄取人數和山東夏季高考報名人數的折線圖，其中2019年的錄取人數被遮擋了．他又查詢到近十年全國高考錄取率的散點圖，結合圖表中的信息判定下列說法正確的是 (

)BCDA．全國高考報名人數逐年增加B．2018年全國高考錄取率最高C．2019年高考錄取人數約820萬D．2019年山東高考報名人數在全國的占比最小解析

2016年的人數少于2015年人數，故A錯誤；2018年的錄取率為81.1%，為最高，B正確；2019年高考錄取人數為1031×79.5%≈820，故C正確；從2010～2019年山東高考報名人數在全國的占比分別為：6.9%，6.3%，5.6%，5.5%，5.9%，7.4%，6.4%，6.2%，6.1%，5.4%，故D正確．【例4】(1)演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數字特征是 (

) A．中位數 B．平均數

C．方差 D．極差 解析中位數是將9個數據從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的數據， 因而去掉1個最高分和1個最低分，不變的是中位數，平均數、方差、極差均受影響． 故選A.考點三樣本的數字特征///////師生共研A

【例4】(2)(多選題)(2021·武漢調研)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的統計表如下表所示， 下列說法正確的有 (

) A．甲成績的平均數小于乙成績的平均數

B．甲成績的中位數等于乙成績的中位數

C．甲成績的方差小于乙成績的方差

D．甲成績的極差等于乙成績的極差甲乙環(huán)數45678569頻數11111311CD

1.平均數反映了數據取值的平均水平，而方差、標準差描述了一組數據圍繞平均數波動的大小，標準差、方差越大，數據離散程度越大，越不穩(wěn)定；標準差、方差越小，數據的離散程度越小，越穩(wěn)定．2.用樣本估計總體就是利用樣本的數字特征來描述總體的數字特征．感悟升華C

解析由題意知，2015—2019年我國GDP增長量之和為99.09－68.89＝30.2(萬億元)，甲

課后鞏固作業(yè)提升能力分層訓練3一、選擇題

1．某班的全體學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖所示，數據的分組依次為[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人數是15，則該班的學生人數是 (

) A．45B．50C．55D．60B

2．(2021·甘肅、青海、寧夏聯考)從某小學隨機抽取100名學生，將他們的身高(單位：厘米)分布情況匯總如下：身高[100，110](110，120](120，130](130，140](140，150]頻數535302010

由此表估計這100名小學生身高的中位數為(結果保留4位有效數字) (

) A．119.3B．119.7C．123.3D．126.7

解析由題意知身高在[100，110]，(110，120]，(120，130]的頻率依次為0.05，0.35，0.3，前兩組頻率和為0.4，組距為10，設中位數為x，C

3．(2020·天津卷)從一批零件中抽取80個，測量其直徑(單位：mm)，將所得數據分為9組：[5.31，5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45，5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間[5.43，5.47)內的個數為 (

) A．10 B．18 C．20 D．36

解析

因為直徑落在區(qū)間[5.43，5.47)內的頻率為0.02×(6.25＋5.00)＝0.225，所以個數為0.225×80＝18.

故選B.B

4．(多選題)(2020·重慶診斷)2020年春節(jié)前后，一場突如其來的新冠肺炎疫情在全國蔓延．疫情就是命令，防控就是責任．在黨中央的堅強領導和統一指揮下，全國人民眾志成城，團結一心，掀起了一場堅決打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的人民戰(zhàn)爭．下面的圖表展示了2月14日至29日全國新冠肺炎疫情數據的變化情況，根據該折線圖，可知下列結論正確的是 (

)BC

A．16天中每日新增確診病例數量呈下降趨勢且19日的降幅最大B．16天中每日新增確診病例數量的中位數小于新增疑似病例數量的中位數C．16天中新增確診、新增疑似、新增治愈病例數量的極差均大于2000D．19日至29日每日新增治愈病例數量均大于新增確診與新增疑似病例數量之和解析

由折線圖可知，20日新增確診病例數量大于19日新增確診病例數量，因此A項不正確；16天中每日新增確診病例數量的中位數小于新增疑似病例數量的中位數，因此B項正確；16天中新增確診、新增疑似、新增治愈病例數量的極差均大于2000，因此C項正確；20日新增治愈病例數量小于新增確診與新增疑似病例數量之和，因此D不正確．故選B、C.5．(2020·全國大聯考)近年來，隨著4G網絡的普及和智能手機的更新換代，各種方便的App相繼出世，其功能也是五花八門．某大學為了調查在校大學生使用App的主要用途，隨機抽取了56290名大學生進行調查，各主要用途與對應的人數的結果統計如圖所示．C

6．(多選題)(2021·青島調研)為了解戶籍、性別對生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機抽取了容量為100的樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農村戶籍各50人；男性60人，女性40人，繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與傾向選擇不生育二胎的人數比例圖(如圖所示)，其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對應比例，則下列敘述中正確的是 () A．是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關

B．是否傾向選擇生育二胎與性別無關

C．傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數與女性人數相同

D．傾向選擇不生育二胎的人員中，農村戶籍人數少于城鎮(zhèn)戶籍人數 解析

由題圖，可得是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關、與性別無關，傾向選擇不生育二胎的人員中，農村戶籍人數少于城鎮(zhèn)戶籍人數，傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數為60×60%＝36，女性人數為40×60%＝24，不相同． 故選ABD.ABD

二、填空題7．我國高鐵發(fā)展迅速，技術先進．經統計，在經停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為________．0.98

8．若樣本數據x1，x2，…，x10的標準差為8，則數據2x1－1，2x2－1，…，

2x10－1的標準差為________．16

9．為了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學利用假期分別對三個社區(qū)進行了“家庭每月日常消費額”的調查．他們將調查所得到的數據分別繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)，記甲、乙、丙所調查數據的標準差分別為s1，s2，s3，則它們的大小關系為________________(用“>”連接)．s1>s2>s3

解析

根據頻率分布直方圖知，甲的數據絕大部分都處在兩端，離平均值較遠，表現的最分散，標準差最大，乙的數據分布均勻，不如甲組中偏離平均值大，標準差比甲的?。槐臄祿蟛糠謹刀荚谄骄底笥?，數據表現的最集中，方差最小，三、解答題10．共享單車入住泉州一周年以來，因其“綠色出行，低碳環(huán)?！钡睦砟疃鴤涫苋藗兊南矏?，值此周年之際，某機構為了了解共享單車使用者的年齡段、使用頻率、滿意度等三個方面的信息，在全市范圍內發(fā)放5000份調查問卷，回收到有效問卷3125份，現從中隨機抽取80份，分別對使用者的年齡段、26～35歲使用者的使用頻率、26～35歲使用者的滿意度進行匯總，得到如下三個表格：表(一)使用者年齡段25歲以下26歲～35歲36歲～45歲45歲以上人數20401010(1)依據上述表格完成下列三個統計圖形：(2)某城區(qū)現有常住人口30萬，請用樣本估計總體的思想，估計年齡在26歲～35歲之間，每月使用共享單車在7～14次的人數．解由表(1)可知：年齡在26～35歲之間的有40人，占總抽取人數的一半，用樣本估計總體的思想可知，11．某市民用水擬實行階梯水價，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費，超出w立方米的部分按10元/立方米收費，從該市隨機調查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數據，整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)如果w為整數，那么根據此次調查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為多少？ 解如題圖所示，用水量在[0.5，2)的頻率的和為(0.2＋0.3＋0.4)×0.5＝0.45，用水量在[0.5，3)的頻率的和為(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85. ∴用水量小于等于2立方米的頻率為0.45，用水量小于等于3立方米的頻率為0.85，又w為整數， ∴為使80%以上的居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為3.(2)假設同組中的每個數據用該組區(qū)間的右端點值代替，當w＝3時，估計該市居民該月的人均水費．解當w＝3時，該市居民該月的人均水費估計為(0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋0.15×3×4＋[0.05×(3.5－3)＋0.05×(4－3)＋0.05×(4.5－3)]×10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5(元)．即當w＝3時，該市居民該月的人均水費估計為10.5元．12．(多選題)(2021·淄博模擬)區(qū)域經濟變化影響著人口的流動，下圖為過去某連續(xù)5年各省、自治區(qū)及直轄市(不含港澳臺)人口增長統計圖．某連續(xù)5年各省、自治區(qū)及直轄市(不含港澳臺)人口增長統計圖 根據圖中的信息，下面結論中正確的是 (

) A．廣東人口增量最多，天津增幅最高

B．黑龍江無論是增量還是增幅均居末尾

C