中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍【江蘇專用】專題14二次函數(shù)與面積最值定值問(wèn)題(江蘇真題9道模擬30道)(原卷版+解析)

2023年中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍（江蘇專用）專題14二次函數(shù)與面積最值定值問(wèn)題（江蘇真題9道模擬30道）【真題再現(xiàn)】直面中考真題，實(shí)戰(zhàn)培優(yōu)提升1．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=x2+(m?2)x+m?4(1)當(dāng)該函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O0,0，求此時(shí)函數(shù)圖像的頂點(diǎn)A(2)求證：二次函數(shù)y=x(3)如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖像，使其頂點(diǎn)在直線y=?x?2上運(yùn)動(dòng)，平移后所得函數(shù)的圖像與y軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)為B，求△AOB面積的最大值．2．（2021·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”．例如，點(diǎn)(1,1)是函數(shù)y=1（1）分別判斷函數(shù)y=x+2,y=x（2）設(shè)函數(shù)y=3x(x>0),y=?x+b的圖象的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C．當(dāng)△ABC（3）若函數(shù)y=x2?2(x≥m)的圖象記為W1，將其沿直線x=m翻折后的圖象記為W23．（2021·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A,B在函數(shù)y=14x2的圖像上．已知A,B的橫坐標(biāo)分別為－2、4，直線AB與y軸交于點(diǎn)（1）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；（2）求ΔAOB的面積；（3）若函數(shù)y=14x2的圖像上存在點(diǎn)P，使得ΔPAB的面積等于4．（2021·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于點(diǎn)．A?1,0、B3,0（1）b=________，c=________；（2）若點(diǎn)D在該二次函數(shù)的圖像上，且S△ABD=2S（3）若點(diǎn)P是該二次函數(shù)圖像上位于x軸上方的一點(diǎn)，且S△APC=S5．（2021·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=mx2+m2+3x?(6m+9)與x軸交于點(diǎn)A、B（1）求m的值和直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）P為拋物線上一點(diǎn)，若S△PBC=S（3）Q為拋物線上一點(diǎn)，若∠ACQ=45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．6．（2020·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)y=ax(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)如圖①，D是該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BD的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖②，P是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP，取OP中點(diǎn)Q，連接QC，QE，CE，當(dāng)△CEQ的面積為12時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．7．（2019·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，D為頂點(diǎn)，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,3)．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)E是線段BD上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為F，且ED=EF，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．（3）試問(wèn)在該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)G，使得ΔADG的面積是ΔBDG的面積的358．（2019·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，拋物線y=?x2+(a+1)x?a與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C(1)求a的值；(2)求ΔABC外接圓圓心的坐標(biāo)；(3)如圖②，P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為射線CA上一點(diǎn)，且P、Q兩點(diǎn)均在第三象限內(nèi)，Q、A是位于直線BP同側(cè)的不同兩點(diǎn)，若點(diǎn)P到x軸的距離為d，ΔQPB的面積為2d，且∠PAQ=∠AQB，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).9．（2019·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=ax（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷b的正負(fù)性；（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸與直線AC交于點(diǎn)D，已知DC：CA=1：2，直線BD與y軸交于點(diǎn)E，連接BC，①若△BCE的面積為8，求二次函數(shù)的解析式；②若△BCD為銳角三角形，請(qǐng)直接寫出OA的取值范圍.【專項(xiàng)突破】深挖考點(diǎn)考向，揭示內(nèi)涵實(shí)質(zhì)一、解答題1．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=?x2+bx+c的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A?1,0、B3,0(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是該二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且P在直線BC的上方，①如圖1，當(dāng)CB平分∠ACP時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②如圖2，連接PA交BC于E點(diǎn)，設(shè)S△CPE=kS2．（2023·江蘇鹽城·校考一模）如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A?2,0,B4,0，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且OC=2OA，拋物線的頂點(diǎn)為D，直線y=mx+n經(jīng)過(guò)(1)求拋物線及直線BC的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接MB,ME，得到△MBE，求出△MBE面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)直線y=kxk>0交線段BC于點(diǎn)H，若以點(diǎn)O，B，H為頂點(diǎn)的三角形與△CDE相似，求k(4)點(diǎn)N在對(duì)稱軸上，滿足∠BNC=∠ABC，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．3．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線l：y=?3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=ax2?2ax+a+4(a<0)(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；(3)在(2)的條件下，當(dāng)S取得最大值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn)M'．①寫出點(diǎn)M'的坐標(biāo)；②將直線l繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到直線l'，當(dāng)直線l'與直線AM'重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線l'與線段BM'交于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)B、M'到直線l'的距離分別為d1、d2，當(dāng)d1+d2最大時(shí)，求直線l'旋轉(zhuǎn)的角度4．（2022·江蘇泰州·校聯(lián)考三模）如圖，已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2,2，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且tan(1)求直線l的解析式．(2)直線l上有一點(diǎn)C①在x軸上僅存在一點(diǎn)P，使得△APC的外心在線段AC上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．②若n=8，過(guò)A、C的拋物線頂點(diǎn)在x的正半軸上．點(diǎn)Q是線段AC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且以點(diǎn)Q為圓心的圓與直線l相切，求圓的最大半徑．5．（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A?3,4、B?3,0、C?1,0．以D為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)B．動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD交BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作(1)求該拋物線的解析式；(2)連接BG，求△BGD的面積最大值；(3)如圖2，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA邊以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，在矩形ABCD內(nèi)（包括其邊界）是否存在點(diǎn)H，使以B，Q，E，H為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，若存在，請(qǐng)直接寫出t的值：t=．6．（2023·江蘇蘇州·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)A（4，0），B（1，4）兩點(diǎn)．P(1)求拋物線的解析式；(2)若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖，OP交AB于點(diǎn)C，PD∥BO交AB于點(diǎn)D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為S1，S2，7．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖像與x軸交于A2,0，B6,0兩點(diǎn)，與y(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為_(kāi)_______，點(diǎn)E的坐標(biāo)為_(kāi)________；(2)如圖①，D是該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BD的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖②，P是直線CE上方的二次函數(shù)圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP，取OP中點(diǎn)Q，連接QC，QE，CE，當(dāng)△CEQ的面積為12時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(4)連接BC，M是平面內(nèi)一點(diǎn)，將△BOC繞點(diǎn)M沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后，得到△B1O1C1，點(diǎn)B、O、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)B1、O1、C18．（2020·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）如圖，二次函數(shù)y=?12x2+bx+c的圖像與x軸交于點(diǎn)A（?2，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)E，以AB為邊在x軸下方作正方形ABCD，點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接CM，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥MC，與AD邊交于點(diǎn)N(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)在第一象限的拋物線上任取一點(diǎn)P，連接EP、PB，請(qǐng)問(wèn)：△EPB的面積是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)M在線段OB（點(diǎn)M不與O、B重合）上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段OF的長(zhǎng)有最大值？并求出這個(gè)最大值．9．（2022·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線l：y=?3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=ax2?2ax?3a(a<0)(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；(3)在（2）的條件下，當(dāng)S取得最大值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn)M′，將直線l繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到直線l′，當(dāng)直線l′與直線AM′重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線l'與線段BM′交于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)B、M′到直線l′的距離分別為d10．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=23x2+bx?2的圖像與x軸交于點(diǎn)A3,0，B（點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)(1)填空：b=______；(2)將△AOC平移到△EFG（點(diǎn)E，F(xiàn)，G依次與A，O，C對(duì)應(yīng)），若點(diǎn)E落在拋物線上且點(diǎn)G落在直線AD上，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)P是第四象限拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為H，交AC于點(diǎn)T．若∠CPT+∠DAC=180°，求△AHT與△CPT的面積之比．11．（2022·江蘇無(wú)錫·無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？既＃┮阎?，關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2+2ax?3a(a>0)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，圖像頂點(diǎn)為D，連接AC、BC、BD、CD(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)以及a的取值范圍；(2)點(diǎn)E(?12,0)，點(diǎn)F在AC邊上，若直線EF平分△ABC的面積，求點(diǎn)F(3)△BCD中CD邊上的高是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．（2022·江蘇無(wú)錫·宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）如圖，二次函數(shù)y=ax2?6ax+ca<0的圖象與x軸的負(fù)半軸和正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，直線BQ交y軸于點(diǎn)(1)請(qǐng)直接寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)：A______，B______；(2)當(dāng)頂點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，S△QCE①求此時(shí)拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F，使∠BEF=2∠OBE．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．（2022·江蘇蘇州·蘇州市平江中學(xué)校校聯(lián)考二模）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，OA(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P為直線AC下方拋物線上一點(diǎn)，連接BP并交AC于點(diǎn)Q，若AC分△ABP的面積為1：2兩部分，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在y軸上是否存在一點(diǎn)N，使得∠BCO+∠BNO=45°，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）如圖①，拋物線y=?12x2+2x+bb≠0與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接(1)求b的值；(2)如圖②，點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線l，交線段AC于點(diǎn)D．拋物線的對(duì)稱軸與直線l交于點(diǎn)M，與直線AC交于點(diǎn)N．當(dāng)點(diǎn)D在對(duì)稱軸的右側(cè)，且S△DMN=S15．（2022·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a為常數(shù)，且a＜0)與x軸相交于A（－1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，直線BD與y軸相交于點(diǎn)E．(1)求證OC=12OE(2)M為線段OB上一點(diǎn)，N為線段BE上一點(diǎn)，當(dāng)a=?12時(shí)，求△(3)若Q為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，小林猜想：當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，四邊形ABQC的面積取得最大值．請(qǐng)判斷小林猜想是否正確，并說(shuō)理由．16．（2022·江蘇常州·常州市朝陽(yáng)中學(xué)?？级＃┤鐖D1，拋物線y=14x2+bx+c，點(diǎn)A(4，?3)，對(duì)稱軸是直線x=2．頂點(diǎn)為D．拋物線與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)E是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E(1)求拋物線的函數(shù)解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)若直線DE將四邊形OBAC分成面積比為1:3的兩個(gè)四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)如圖2，連接DE，作矩形BEFG，在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)G落在y軸上的同時(shí)點(diǎn)F也恰好落在拋物線上？若存在，求出此時(shí)AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．17．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）如圖，直線y=?x?2與拋物線y=ax2+bx?6a≠0相交于點(diǎn)A12,?52和點(diǎn)B4,n，拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為C、D（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A、(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，連接AE，是否存在點(diǎn)P，使△APE是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，當(dāng)△EGP的周長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)，并求出此時(shí)△EGP的面積．18．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2+2x?3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)如圖2，連接AC，點(diǎn)D為線段AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸交線段AC于E點(diǎn)，連接EO、AD，記△ADC的面積為S1，△AEO的面積為S2，求(3)如圖3，連接CB，并將拋物線沿射線CB方向平移210個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，動(dòng)點(diǎn)N在原拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)M為新拋物線與y軸的交點(diǎn)，當(dāng)△AMN為以AM為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N19．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為M，連接MA，MC，AC，過(guò)點(diǎn)C作y(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)直線l上是否存在點(diǎn)N，使得S△MBN=2S(3)如圖2，若將原拋物線繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，求新拋物線與y軸交點(diǎn)P20．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）如圖1，直線y=?2x?4與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B,二次函數(shù)y=ax2+3x+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交x軸于C、D兩點(diǎn)，且拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?(1)a=，c=，頂點(diǎn)E坐標(biāo)是；(2)過(guò)點(diǎn)C作直線CK∥AB交y軸于點(diǎn)K，點(diǎn)P是直線CK上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是第三象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形APBQ面積的最大值與此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）的結(jié)論下，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)6，直線EQ交x軸于點(diǎn)E，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得∠MFQ+∠CAO=45°，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．21．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，M是拋物線的頂點(diǎn)且橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），P(1)求拋物線的解析式；(2)過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．若PD=m，ΔPCD的面積為S．求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m(3)是否存在點(diǎn)P滿足DC=PC，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．（2022·江蘇徐州·校考二模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2?4x+3與x軸相交于點(diǎn)A，B（A在B的左邊），與y軸相交于點(diǎn)C．M0,m是y軸上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的直線l垂直于y軸，與拋物線相交于兩點(diǎn)P、Q（P在Q的左邊），與直線(1)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，四邊形PMGH是正方形，連接CP．△PNC的面積為S1，正方形PMGH的面積為S2．若m<3，求23．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=12x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A0,?2，B4,0兩點(diǎn)，直線BC:y=?2x+8交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)D為直線AB下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為G，DG分別交直線BC(1)求b和c的值；(2)當(dāng)GF=12時(shí)，連接BD，求△(3)H是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BEHF是矩形時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)．24．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知A(?3,0)，B(1,0)，C(0,3)．連接OM，作CD∥OM交(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式；(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)直線AM上是否存在點(diǎn)P，使得△POA的面積與四邊形POCM面積之比為1∶2？如果存在請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．25．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(?1,0)、B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，直線BM:y=2x+m交y軸于點(diǎn)M.P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交直線BC、BM(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)P落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求△PBC的面積；(3)①若點(diǎn)N為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形BENF為矩形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；②在①的條件下，第四象限內(nèi)有一點(diǎn)Q，滿足QN=QM，當(dāng)△QNB的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．26．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）拋物線y=43x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，－4），且OB=34(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)D、E是拋物線對(duì)稱軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE=1，點(diǎn)D在點(diǎn)E的下方，求四邊形ACDE的周長(zhǎng)的最小值；(3)如圖2，點(diǎn)N為拋物線上一點(diǎn)，連接CN，直線CN把四邊形CBNA的面積分為3:1兩部分，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．27．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+4(a≠0)的圖像與x軸交于A(?2，0)、B(8，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接AC、BC．點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B、C不重合），設(shè)點(diǎn)P(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)時(shí)，求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式；(3)若點(diǎn)P在x軸上方，ΔPCB的面積能否等于ΔBOC的面積？若能，求出此時(shí)點(diǎn)28．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考一模）已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)連接AC，BC，拋物線上是否存在一點(diǎn)E，使得S△ABE＝23S△ABC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E29．（2022·江蘇揚(yáng)州·校考一模）已知二次函數(shù)y＝（x﹣m）（x﹣m﹣4）（m為常數(shù)）．(1)求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；(2)求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)不變；(3)若該函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)為A、B，與y軸交點(diǎn)為C，當(dāng)﹣3≤m≤﹣1時(shí)，△ABC面積S的最大值為．30．（2022·江蘇無(wú)錫·?？家荒＃┤鐖D，已知拋物線y=ax2+bx+4(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，若點(diǎn)Q在拋物線上且位于線段BC下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），求當(dāng)△BCQ面積的最大時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)E，且∠DQE=2∠ODQ．在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得△BEF為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2023年中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍（江蘇專用）專題14二次函數(shù)與面積最值定值問(wèn)題（江蘇真題9道模擬30道）【真題再現(xiàn)】直面中考真題，實(shí)戰(zhàn)培優(yōu)提升1．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=x2+(m?2)x+m?4(1)當(dāng)該函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O0,0，求此時(shí)函數(shù)圖像的頂點(diǎn)A(2)求證：二次函數(shù)y=x(3)如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖像，使其頂點(diǎn)在直線y=?x?2上運(yùn)動(dòng)，平移后所得函數(shù)的圖像與y軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)為B，求△AOB面積的最大值．【答案】(1)A(2)見(jiàn)解析(3)最大值為9【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式即可得到答案；（2）先根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)為2?m2（3）設(shè)平移后圖像對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為y=x2+bx+c，則其頂點(diǎn)坐標(biāo)為?b2,4c?b24，然后求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)平移后的二次函數(shù)頂點(diǎn)在直線y=?x?2上推出【詳解】（1）解：將O0,0代入y=解得m=4．由m>2，則m=4符合題意，∴y=x∴A?1,?1（2）解：由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)為2?m2∵m>2，∴m?2>0，∴2?m<0，∴2?m2∵?m∴二次函數(shù)y=x（3）解：設(shè)平移后圖像對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為y=x2當(dāng)x=0時(shí)，y=c，∴B0,c將?b2,解得c=b∵B0,c在y∴c<0．∴OB=?c=?b過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OB，垂足為H，∵A?1,?1∴AH=1．在△AOB中，S=?=?1∴當(dāng)b=?1時(shí)，此時(shí)c<0，△AOB面積有最大值，最大值為98【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，正確理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”．例如，點(diǎn)(1,1)是函數(shù)y=1（1）分別判斷函數(shù)y=x+2,y=x（2）設(shè)函數(shù)y=3x(x>0),y=?x+b的圖象的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C．當(dāng)△ABC（3）若函數(shù)y=x2?2(x≥m)的圖象記為W1，將其沿直線x=m翻折后的圖象記為W2【答案】（1）函數(shù)y=x+2沒(méi)有“等值點(diǎn)”；函數(shù)y=x2?x的“等值點(diǎn)”為(0，0)，(2，2)；（2）b=43或?23【分析】（1）根據(jù)定義分別求解即可求得答案；（2）根據(jù)定義分別求A(3，3)，B(b2，b（3）由記函數(shù)y=x2-2（x≥m）的圖象為W1，將W1沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為W2，可得W1與W2的圖象關(guān)于x=m對(duì)稱，然后根據(jù)定義分類討論即可求得答案．【詳解】解：（1）∵函數(shù)y=x+2，令y=x，則x+2=x，無(wú)解，∴函數(shù)y=x+2沒(méi)有“等值點(diǎn)”；∵函數(shù)y=x2?x，令y=x，則x解得：x1∴函數(shù)y=x（2）∵函數(shù)y=3x，令y=x，則解得：x=3∴函數(shù)y=3x的“等值點(diǎn)”為A(3，∵函數(shù)y=?x+b，令y=x，則x=?x+b，解得：x=b∴函數(shù)y=?x+b的“等值點(diǎn)”為B(b2，b△ABC的面積為12即b2解得：b=43或?2（3）將W1沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為W2．∴W1與W2兩部分組成的函數(shù)W的圖象關(guān)于x=m對(duì)稱，∴函數(shù)W的解析式為y=x令y=x，則x2?2=x，即解得：x1∴函數(shù)y=x令y=x，則(2m?x)2?2=x，即當(dāng)m≥2時(shí)，函數(shù)W的圖象不存在恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”的情況；當(dāng)?1<m<2時(shí)，觀察圖象，恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”；當(dāng)m<?1時(shí)，∵W1的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”(-1，-1)，(2，2)，∴函數(shù)W2沒(méi)有“等值點(diǎn)”，∴△=?整理得：8m+9<0，解得：m<?9綜上，m的取值范圍為m<?98或【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的對(duì)稱性．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．3．（2021·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A,B在函數(shù)y=14x2的圖像上．已知A,B的橫坐標(biāo)分別為－2、4，直線AB與y軸交于點(diǎn)（1）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；（2）求ΔAOB的面積；（3）若函數(shù)y=14x2的圖像上存在點(diǎn)P，使得ΔPAB的面積等于【答案】（1）直線AB的解析式為：y=1【分析】（1）將A,B的橫坐標(biāo)分別代入y=14x2求出生意人y的值，得到A，（2）求出OC的長(zhǎng)，根據(jù)“SΔAOB（3）分點(diǎn)P在直線AB的上方和下方兩種情況根據(jù)分割法求解即可．【詳解】解：（1）∵A，B是拋物線y=1∴當(dāng)x=?2時(shí)，y=14×(?2)∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入得{?2k+b=1解得，{k=所以，直線AB的解析式為：y=1（2）對(duì)于直線AB：y=當(dāng)x=0時(shí)，y=2∴OC=2∴SΔAOB=S（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，14∵ΔPAB的面積等于ΔAOB的面積的一半，∴ΔPAB的面積等于12①當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸，垂足分別為D，F(xiàn)，E，連接PA，PB，如圖，∵S四邊形ADEB∴12整理，得，x2解得，x1=1+∴在直線AB的下方有兩個(gè)點(diǎn)P，使得ΔPAB的面積等于ΔAOB的面積的一半；②當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸，垂足分別為D，F(xiàn)，E，連接PA，PB，如圖，∵S四邊形∴12整理，得，x2解得，x1=1+∴在直線AB的上方有兩個(gè)點(diǎn)P，使得ΔPAB的面積等于ΔAOB的面積的一半；綜上，函數(shù)y=14x2的圖像上存在點(diǎn)P，使得ΔPAB的面積等于故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法示直線解析式，二次函數(shù)與圖形面積，注意在解決（3）問(wèn)時(shí)要注意分類討論．4．（2021·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于點(diǎn)．A?1,0、B3,0（1）b=________，c=________；（2）若點(diǎn)D在該二次函數(shù)的圖像上，且S△ABD=2S（3）若點(diǎn)P是該二次函數(shù)圖像上位于x軸上方的一點(diǎn)，且S△APC=S【答案】（1）-2，-3；（2）（1+10，6）或（1?【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出△ABC的面積，設(shè)點(diǎn)D（m，m2?2m?3），再根據(jù)S△ABD=2S（3）分點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)和點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)，結(jié)合平行線之間的距離，分別求解．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A和點(diǎn)B在二次函數(shù)y=x則0=1?b+c0=9+3b+c，解得：b=?2故答案為：-2，-3；（2）連接BC，由題意可得：A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），y=x∴S△ABC=12∵S△ABD=2S△ABC，設(shè)點(diǎn)D（m，m2∴12×AB×y解得：x=1+10或1?10，代入可得：y值都為6，∴D（1+10，6）或（1?（3）設(shè)P（n，n2∵點(diǎn)P在拋物線位于x軸上方的部分，∴n＜-1或n＞3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，即n＜-1，可知點(diǎn)C到AP的距離小于點(diǎn)B到AP的距離，∴S△APC當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，即n＞3，∵△APC和△APB都以AP為底，若要面積相等，則點(diǎn)B和點(diǎn)C到AP的距離相等，即BC∥AP，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+p，則0=3k+p?3=p，解得：k=1則設(shè)直線AP的解析式為y=x+q，將點(diǎn)A（-1，0）代入，則-1+q=0，解得：q=1，則直線AP的解析式為y=x+1，將P（n，n2即n2解得：n=4或n=-1（舍），n2∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，5）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形面積，平行線之間的距離，一次函數(shù)，解題的難點(diǎn)在于將同底的三角形面積轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離．5．（2021·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=mx2+m2+3x?(6m+9)與x軸交于點(diǎn)A、B（1）求m的值和直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）P為拋物線上一點(diǎn)，若S△PBC=S（3）Q為拋物線上一點(diǎn)，若∠ACQ=45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】（1）m=?1，y=x?3；（2）P2,1，P3+172【分析】（1）求出A，B的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法計(jì)算即可；（2）做點(diǎn)A關(guān)于BC的平行線AP1，聯(lián)立直線AP1與拋物線的表達(dá)式可求出P1的坐標(biāo)，設(shè)出直線AP1與y軸的交點(diǎn)為G（3）取點(diǎn)Q，連接CQ，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CQ于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DF于點(diǎn)E，得直線CD對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為y=1【詳解】（1）將B3,0代入y=m化簡(jiǎn)得m2+m=0，則m=0（舍）或∴m=?1，得：y=?x2+4x?3設(shè)直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，將B3,0、C0,?3代入可得0=3k+b?3=b則直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x?3．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AP1∥BC，設(shè)直線AP1與y軸的交點(diǎn)為G，將直線BC向下平移由（1）得直線BC的解析式為y=x?3，A1,0∴直線AG的表達(dá)式為y=x?1，聯(lián)立y=x?1y=?解得：x=1y=0（舍），或x=2∴P1由直線AG的表達(dá)式可得G?1,0∴GC=2，CH=2，∴直線P3P2聯(lián)立y=x?5y=?解得：x1=3+∴P33+17∴P2,1，P3+17（3）如圖，取點(diǎn)Q，連接CQ，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CQ于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DF于點(diǎn)E，∵∠ACQ=45°，∴AD=CD，又∵∠ADC=90°，∴∠ADF+∠CDE=90°，∵∠CDE+∠DCE=90°，∴∠DCE=∠ADF，又∵∠E=∠AFD=90°，∴ΔCDE≌ΔDAF，則AF=DE，CE=DF．設(shè)DE=AF=a，∵OA=1，OF=CE，∴CE=DF=a+1．由OC=3，則DF=3?a，即a+1=3?a，解之得，a=1．所以D2,?2，又C可得直線CD對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為y=1設(shè)Qm,12得12m?3=?m2+4m?3又m≠0，則m=72．所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，結(jié)合一元二次方程求解是解題的關(guān)鍵．6．（2020·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)y=ax(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)如圖①，D是該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BD的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖②，P是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP，取OP中點(diǎn)Q，連接QC，QE，CE，當(dāng)△CEQ的面積為12時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)y=14x2?2x+3；(4，-1)；(2)(4，3+29【分析】(1)由于二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(2，0)、B(6，0)兩點(diǎn)，把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax(2)由線段垂直平分線的性質(zhì)可得出CB=CD，設(shè)D(4，m)，由勾股定理可得42+m?3(3)設(shè)CQ交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，設(shè)P(n，14n2?2n+3)，則Q(12n，18n2?2n+32)，設(shè)直線CQ的解析式為【詳解】(1)將A(2，0)，B(6，0)代入y=ax得4a+2b+3=036a+6b+3=0解得a=?1∴二次函數(shù)的解析式為y=1∵y=1∴E(4，?1)；(2)如圖1，圖2，連接CB，CD，由點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線CN上，得CB=CD，設(shè)D(4，m)，當(dāng)x=0時(shí)，y=1∴C(0，3)，∵CD2=42+m?3解得m=3±29，∴滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，3+29)或(4，3-29)；(3)如圖3，設(shè)CQ交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，設(shè)P(n，14n2?2n+3)，則Q(設(shè)直線CQ的解析式為y=kx+3，則18解得k=1于是直線CQ的解析式為：y=1當(dāng)x=4時(shí)，y=41∴M(4，n?5?12n)，ME=n?5?12∵S△CQE=S△CEM+S△QEM=12∴n2解得n=10或n=?6，當(dāng)n=10時(shí)，P(10，8)，當(dāng)n=?6時(shí)，P(?6，24)．綜合以上可得，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(10，8)或(?6，24)．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵．7．（2019·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，D為頂點(diǎn)，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,3)．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)E是線段BD上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為F，且ED=EF，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．（3）試問(wèn)在該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)G，使得ΔADG的面積是ΔBDG的面積的35【答案】（1）y=?316(x?1)2+3；（2）點(diǎn)E的坐標(biāo)為5【分析】（1）依題意，利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可求（2）可通過(guò)點(diǎn)B，點(diǎn)D求出線段BD所在的直線關(guān)系式，點(diǎn)E在線段BD上，即可設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系公式，通過(guò)EF=ED即可求（3）先求線段AD所在的直線解析式，求利用點(diǎn)到直線的公式d=Ax+By+CA2+B【詳解】（1）依題意，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a將點(diǎn)B代入得0=a(5?1)2∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=?（2）依題意，點(diǎn)B(5,0)，點(diǎn)D(1,3)，設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b代入得{0=5k+b3=k+b∴線段BD所在的直線為y=?3設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為：(x,?∴EEF=∵ED=EF∴(x?1)整理得2解得x1=5故點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為y=∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(（3）存在點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(x,t)∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0)，對(duì)稱軸x=1∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?3,0)∴設(shè)AD所在的直線解析式為y=kx+b代入得{0=?3k+b3=k+b∴直線AD的解析式為y=∴AD的距離為5點(diǎn)G到AD的距離為：d由（2）知直線BD的解析式為：y=3∵BD的距離為5∴同理得點(diǎn)G至BD的距離為：d∴SΔADC整理得5x?32t+90=0∵點(diǎn)G在二次函數(shù)上，∴t=代入得5x?32[?整理得6解得x1=0此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0,4516【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．解題關(guān)鍵在于利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．8．（2019·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，拋物線y=?x2+(a+1)x?a與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C(1)求a的值；(2)求ΔABC外接圓圓心的坐標(biāo)；(3)如圖②，P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為射線CA上一點(diǎn)，且P、Q兩點(diǎn)均在第三象限內(nèi)，Q、A是位于直線BP同側(cè)的不同兩點(diǎn)，若點(diǎn)P到x軸的距離為d，ΔQPB的面積為2d，且∠PAQ=∠AQB，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).【答案】(1)-3；(2)坐標(biāo)(-1，1)；(3)Q?4,1.【分析】（1）利用拋物線解析式得到A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式列出方程解出a；（2）利用第一問(wèn)得到A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，求出AC解析式，找到AC垂直平分線的解析式，與AB垂直平分線解析式聯(lián)立，解出x、y即為圓心坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)P做PD⊥x軸，PD=d，發(fā)現(xiàn)△ABP與△QBP的面積相等，得到A、D兩點(diǎn)到PB得距離相等，可得AQ∥PB，求出PB解析式，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立得到P點(diǎn)坐標(biāo)，又易證ΔABQ≌ΔQPA，得到BQ=AP=26，設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)與點(diǎn)的距離列出方程，解出Q點(diǎn)坐標(biāo)即可【詳解】(1)解：由題意得y=?由圖知：a＜0所以A(a,0)，B1,0SΔABCa=?3或a=4(舍)∴a=?3

(2)由(1)得A(-3,0)，B∴直線AC得解析式為：y=x+3AC中點(diǎn)坐標(biāo)為?∴AC的垂直平分線為：y=?x又∵AB的垂直平分線為：x=?1∴y=?xx=?1得x=?1ΔABC外接圓圓心的坐標(biāo)(-1，1).(3)解：過(guò)點(diǎn)P做PD⊥x軸由題意得：PD=d，∴SΔABP

=2d∵ΔQPB的面積為2d∴SΔABP=SΔBPQ，即A、∴AQ∥PB設(shè)PB直線解析式為;y=x+b過(guò)點(diǎn)B(1,0)∴y=x?1∴y=x?1y=?x2?2x+3易得所以P(-4,-5),由題意及∠PAQ=∠AQB易得：ΔABQ≌ΔQPA∴BQ=AP=26設(shè)Q(m，-1)(m＜0)∴1?mm=?4∴Q?4,1.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合性問(wèn)題，涉及到一次函數(shù)、三角形外接圓圓心、全等三角形等知識(shí)點(diǎn)，第一問(wèn)關(guān)鍵在于用a表示出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)；第二問(wèn)關(guān)鍵在于找到AC垂直平分線的解析式，與AB垂直平分線解析式；第三問(wèn)關(guān)鍵在于能夠求出PB的解析式9．（2019·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=ax（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷b的正負(fù)性；（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸與直線AC交于點(diǎn)D，已知DC：CA=1：2，直線BD與y軸交于點(diǎn)E，連接BC，①若△BCE的面積為8，求二次函數(shù)的解析式；②若△BCD為銳角三角形，請(qǐng)直接寫出OA的取值范圍.【答案】（1）C(0，-4)，b＜0；（2）①y=12【分析】(1)把x=0代入y=ax2+bx?4(2)①過(guò)點(diǎn)D作DM⊥y軸，垂足為M，則有DMOA=MCCO=DCCA=1②由①易知：B(4m，0)，C(0，-4)，D(m，-6)，∠CBD一定為銳角，利用勾股定理求得CB【詳解】(1)當(dāng)x=0時(shí)，y=ax∴C(0，-4)，∵OA＜OB，∴對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，即?b∵a＞0，∴b＜0；(2)①過(guò)點(diǎn)D作DM⊥y軸，垂足為M，則有DM//OA，∴△DCM∽△ACO，∴DMOA∴DM=1設(shè)A(-2m，0)m＞0，則AO=2m，DM=m，∵OC=4，∴CM=2，∴D(m，-6)，B(4m，0)，AB=6m，BN=3m，∵DN//OE，∴△BND∽△BOE，∴DNOE即6OE∴OE=8，∴CE=OE-OC=4，∴S△∴m=1，∴A(-2，0)，B(4，0)，設(shè)y=a(x+2)(x?4)，即y=ax令x=0，則y=-8a，∴C(0，-8a)，∴-8a=-4，∴a=12∴y=1②由①易知：B(4m，0)，C(0，-4)，D(m，-6)，∠CBD一定為銳角，由勾股定理可得：CB當(dāng)∠CDB為銳角時(shí)，CDm2解得?2＜m當(dāng)∠BCD為銳角時(shí)，CDm2解得m＞綜上：2＜∴22∴22【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，勾股定理以及不等式等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.【專項(xiàng)突破】深挖考點(diǎn)考向，揭示內(nèi)涵實(shí)質(zhì)1．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=?x2+bx+c的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A?1,0、B3,0(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是該二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且P在直線BC的上方，①如圖1，當(dāng)CB平分∠ACP時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②如圖2，連接PA交BC于E點(diǎn)，設(shè)S△CPE=kS【答案】(1)y=?(2)①P53【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）作BN⊥x軸，在BN上截取BN=AB=4，則N(3,4)，證明△ACB≌△NCB，可證CB平分∠ACP，求出CN的解析式，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）作PN∥BA，交BC于點(diǎn)N，證明△PEN∽△AEB，結(jié)合S△CPE=kS△CAE，可求出PN4=k，則當(dāng)PN取得最大值時(shí)，k值最大，設(shè)【詳解】（1）把A?1,0、B3,0代入?1?b+c=0?9+3b+c=0∴b=2c=3∴y=?x（2）①令y=?x2+2x+3中x=0∴C(0,3)．作BN⊥x軸，在BN上截取BN=AB=4，則N(3,4)，連接CN交拋物線于點(diǎn)P，則P滿足∠BCP=∠ACB．∵OC=OB=3，∠BOC=90°，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵BN⊥x軸，∴∠CBN=45°=∠OBC．∵BN=AB，BC=BC，∴△ACB≌△NCB(SAS∴∠BCP=∠ACB，即CB平分∠ACP．設(shè)直線CN的解析式為y=k∴b1∴k1∴y=1∵?解得x1=0（舍去），當(dāng)x=53時(shí)，∴P(5②作PM∥BA，交BC于點(diǎn)N，∴△PEM∽△AEB，∴PEAE∵S△CPE∴S△CEE∵S△CPE∴PM4∴當(dāng)PM取得最大值時(shí)，k值最大．設(shè)P(m,?m∵B(3,0),C(0,3)，設(shè)直線BC的解析式為y=k∴3k∴b2∴y=?x+3，則M為m2∴PM=m?(∴當(dāng)m=32時(shí)，PM有最大值∴k有最大值916【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)函數(shù)解析式，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度較大，屬中考?jí)狠S題，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇鹽城·?？家荒＃┤鐖D，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A?2,0,B4,0，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且OC=2OA，拋物線的頂點(diǎn)為D，直線y=mx+n經(jīng)過(guò)(1)求拋物線及直線BC的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接MB,ME，得到△MBE，求出△MBE面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)直線y=kxk>0交線段BC于點(diǎn)H，若以點(diǎn)O，B，H為頂點(diǎn)的三角形與△CDE相似，求k(4)點(diǎn)N在對(duì)稱軸上，滿足∠BNC=∠ABC，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】(1)直線BC的解析式為y=?x+4，拋物線解析式y(tǒng)=?(2)△MBE的面積有最大值3，M(3)3或13或2或(4)1,?15或【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）求出D、E點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸交BC于點(diǎn)N，設(shè)Mt,?12（3）設(shè)Hs,?s+4，當(dāng)△CED∽△OBH時(shí)，CEOB=CDOH，可求OH=10，再由s2+s?42=10（4）設(shè)N1,p，以O(shè)為圓心4為半徑做圓，圓O與直線x=1的交點(diǎn)為N點(diǎn)；以4,4為圓心4為半徑作圓，圓與直線x=1的交點(diǎn)為N，求出N【詳解】（1）解：∵A?2,0∴AO=2，∵OC=2OA，∴OC=4，∴C0,4將點(diǎn)A?2,0,B4,0∴4a?2b+c=016a+4b+c=0c=4，解得∴拋物線解析式為y=?1∵直線BC的解析式為y=mx+n，∴4m+n=0n=4，解得m=?1∴直線BC的解析式為y=?x+4；（2）解：∵y=?1∴D1,過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸交BC于點(diǎn)設(shè)Mt,?12∴MN=?1∴S△MBE∴當(dāng)t=2時(shí)，△MBE的面積有最大值3，此時(shí)M2,4（3）解：∵D1,∴CD=5設(shè)Hs,?s+4∵∠OBE=45°，∴∠CED=∠OBE，當(dāng)△CED∽△OBH時(shí)，∴24∴OH=10∴s2解得s=1或3，∴H1,3或3,1∵H點(diǎn)在y=kx上，∴k=1當(dāng)△CED∽△HBO時(shí)，∴52解得HO=4∴s2解得s=43或∴H43,∴k=1綜上所述：k的值為3或13或2或1（4）解：∵∠ABC=45°,∠BNC=∠ABC，∴∠BNC=45°，∵∠BOC=90°，以O(shè)為圓心4為半徑做圓，圓O與直線x=1的交點(diǎn)為N點(diǎn)，設(shè)N1,p∴1+p解得p=15（舍）或?∴N1,?以4,4為圓心4為半徑作圓，圓與直線x=1的交點(diǎn)為N，∴9+p?4解得p=7+4+4或∴N1,綜上所述：N點(diǎn)坐標(biāo)為1,?15或1,【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，圓周角與圓心角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線l：y=?3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=ax2?2ax+a+4(a<0)(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；(3)在(2)的條件下，當(dāng)S取得最大值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn)M'．①寫出點(diǎn)M'的坐標(biāo)；②將直線l繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到直線l'，當(dāng)直線l'與直線AM'重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線l'與線段BM'交于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)B、M'到直線l'的距離分別為d1、d2，當(dāng)d1+d2最大時(shí)，求直線l'旋轉(zhuǎn)的角度【答案】(1)y=?(2)S=?12(3)①M(fèi)′(52，【分析】（1）利用直線l的解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出a的值；（2）設(shè)M的坐標(biāo)為m，?m（3）由（2）可知m=52，代入二次函數(shù)解析式即可求出縱坐標(biāo)的值；可將求d1+【詳解】（1）解：令x=0代入y=?3x+3，∴y=3，∴B(0，3)，把B(0，3)代入y=ax∴3=a+4，∴a=?1，∴二次函數(shù)解析式為：y=?x（2）令y=0代入y=?x∴0=?x∴x1∴拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為?1和3，∵M(jìn)在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，∴0<m<3，令y=0代入y=?3x+3，∴x=1，∴A的坐標(biāo)為(1，0)，由題意知：M的坐標(biāo)為m，S=S=S=1=?1∴當(dāng)m=52時(shí)，S取得最大值（3）①由（2）可知：當(dāng)m=52，∴M′的坐標(biāo)為(52，7②過(guò)點(diǎn)M′作直線l1∥l′，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥l根據(jù)題意知：d1此時(shí)只要求出BF的最大值即可，∵∠BFM′=90°，∴點(diǎn)F在以BM′為直徑的圓上，設(shè)直線AM′與該圓相交于點(diǎn)H，∵點(diǎn)C在線段BM′上，∴F在優(yōu)弧BM′∴當(dāng)F與M′重合時(shí)，BF可取得最大值，此時(shí)BM′⊥l∵A1，0∴由勾股定理可求得：AB=10過(guò)點(diǎn)M′作M′G⊥AB于點(diǎn)G，設(shè)BG=x，∴由勾股定理可得：M′B∴8516∴x=5108,∵l1∴∠BCA=90°，∴∠BAC=45°．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，涉及待定系數(shù)求二次函數(shù)解析式，求三角形面積，圓的相關(guān)性質(zhì)等知識(shí)，內(nèi)容較為綜合，學(xué)生需要認(rèn)真分析題目，化動(dòng)為靜去解決問(wèn)題．4．（2022·江蘇泰州·校聯(lián)考三模）如圖，已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2,2，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且tan(1)求直線l的解析式．(2)直線l上有一點(diǎn)C①在x軸上僅存在一點(diǎn)P，使得△APC的外心在線段AC上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．②若n=8，過(guò)A、C的拋物線頂點(diǎn)在x的正半軸上．點(diǎn)Q是線段AC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且以點(diǎn)Q為圓心的圓與直線l相切，求圓的最大半徑．【答案】(1)y=(2)①C4+25【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于M，由題意易得BM=4，然后可得B?2,0，進(jìn)而代入點(diǎn)A、B（2）①過(guò)點(diǎn)C作CN⊥x軸于N，如（1）圖，由題意得：∠APC=90°，則可證△AMP∽△PNC，則有AMPN=PMCN，設(shè)Px,0，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及一元二次方程根的判別式可進(jìn)行求解；②由題意易得C14,8，然后可得求出拋物線解析式為y=18x?62，過(guò)Q作QH⊥AC于H，由題意可知圓Q的半徑最大且與AC相切，則只要【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于M，在Rt△ABM中，∠ABM=90°，tan∵A2,2∴AM=2,OM=2，∴BM=4，∴BO=2，∴B?2,0設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，則有：2k+b=2?2k+b=0，解得：k=∴直線l的解析式為y=1（2）解：①過(guò)點(diǎn)C作CN⊥x軸于N，如（1）圖，由題意得：∠APC=90°．∴∠AMP=∠PNC=90°,∠APM+∠MAP=∠NPC+∠APM=90°，∴∠MAP=∠NPC，∴△AMP∽△PNC，∴AMPN設(shè)Px,0∴2m?x又∵n=1∴x2令Δ=m+22解得：m=4±25∵m>0，∴m=4+25∴n=3+5∴C4+2②當(dāng)n=8時(shí)，代入直線l的解析式得：m=14，∴C14,8設(shè)拋物線的解析式為y=ax?t2，代入A2,2a2?t2=2∴y=1過(guò)Q作QH⊥AC于H，由題意可知圓Q的半徑最大且與AC相切，則只要QH最大．過(guò)Q作QG⊥x軸交AC于G，設(shè)點(diǎn)Qs,18∴GQ=1∴S△AQC∵2<s<14，∴當(dāng)s=8時(shí)，S△AQC的最大值為27，此時(shí)QH∵AC=65∴最大半徑QH=9【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合、一次函數(shù)的綜合、相似三角形的性質(zhì)與判定及圓的切線與三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A?3,4、B?3,0、C?1,0．以D為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)B．動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD交BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作(1)求該拋物線的解析式；(2)連接BG，求△BGD的面積最大值；(3)如圖2，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA邊以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，在矩形ABCD內(nèi)（包括其邊界）是否存在點(diǎn)H，使以B，Q，E，H為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，若存在，請(qǐng)直接寫出t的值：t=．【答案】(1)y=?(2)1(3)存在，20?85或【分析】（1）由矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A?3,4、B?3,0、C?1,0，可得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，點(diǎn)D又是拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為頂點(diǎn)式，將點(diǎn)B（2）設(shè)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為x，用含x的代數(shù)式表示點(diǎn)G、點(diǎn)E的縱坐標(biāo)及線段EG的長(zhǎng)，由S△BGD=12AD·EG（3）存在符合條件的菱形，分兩種情況，一是以BE為一邊，則點(diǎn)H在AD邊上，由相似三角形的性質(zhì)及BQ=FQ=t列方程求出t的值；一是以BE為對(duì)角線，仍可由相似三角形的性質(zhì)列方程求出t的值．（1）解：∵矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A?3,4、B?3,0、∴D?1,4，AB=CD=4由拋物線的頂點(diǎn)為D?1,4，設(shè)拋物線的解析式為：y=a∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B?3,0∴?3+12解得：a=?1，∴該拋物線的解析式為y=?x+12+4∴該拋物線的解析式為y=?x（2）如圖1，設(shè)直線BD的解析式為y=kx+d，∵B?3,0，D∴?3k+d=0?k+d=4解得：k=2d=6∴直線BD的解析式為y=2x+6，設(shè)Gx,?∵EF⊥AD，點(diǎn)E在BD上，∴Ex,2x+6∴GE=?x∵A?3,4，D∴AD=?1??3∴S====?x+2∴當(dāng)x=?2時(shí)，S△BGD∴△BGD面積的最大值為1．（3）存在．第一種情況：如圖2，菱形BQHE以BE為一邊，∵四邊形ABCD是矩形，PE⊥CD，EF⊥AD，∴∠ADC=∠EFD=∠DPE=90°，∠A=∠DCB=90°，AB∥EF，∴四邊形PEFD是矩形，∴EF=DP，∵動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA邊以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，∴BQ=PD=EF=t，∵BQ∥EF，∴四邊形BQFE是平行四邊形，∴當(dāng)BQ=QF=t時(shí)，四邊形BQFE是菱形，此時(shí)點(diǎn)H與點(diǎn)F重合，∵QF∥BD，∴∠AQF=∠ABD，∵∠QAF=∠BAD=90°，∴△AQF∽△ABD，∵∠A=90°，AD=2，AB=4，∴BD=A∴AQQF∴AQ=2∵AQ+BQ=AB=4，∴25解得：t=20?85第二種情況：如圖3，菱形BQEH以BE為對(duì)角線，連接QH，則QH⊥BE，∴∠BRQ=90°，BR=ER，∵∠BAD=90°，∴∠BRQ=∠BAD，又∵∠RBQ=∠ABD，∴△BRQ∽△BAD，∴BRBQ∵BQ=DP=t，∴BR=2∴ER=BR=2∵∠DPE=∠DCB=90°，∠EDP=∠BDC，∴△DEP∽△DBC，∴PDED∴DE=5∵ER+BR+DE=BD，∴25解得：t=20綜上所述，t=20?85或t=故答案為：20?85或20【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次根式的化簡(jiǎn)等知識(shí)，還考查了平行四邊形的判定，勾股定理，解方程，三角形的面積等知識(shí)．還應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．6．（2023·江蘇蘇州·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)A（4，0），B（1，4）兩點(diǎn)．P(1)求拋物線的解析式；(2)若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖，OP交AB于點(diǎn)C，PD∥BO交AB于點(diǎn)D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為S1，S2，【答案】(1)y=?(2)存在，2,16(3)存在，9【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）待定系數(shù)法求得直線AB的解析式為y=?43x+163，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，PM交AB于點(diǎn)N．過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PM，垂足為E．可得S△PAB=S△PNB+S（3）由已知條件可得△OBC∽△PDC，進(jìn)而可得S1S2+S2S3=CDBC+PCOC=2PDOB，過(guò)點(diǎn)B,P分別作x軸的垂線，垂足分別F,E，PE交AB于點(diǎn)Q，過(guò)D作x的平行線，交PE于點(diǎn)G，可得△DPG∽△OBF，設(shè)【詳解】（1）解：（1）將A（4，0），B（1，4）代入y=ax得16a+4b=0a+b=4解得a=?4所以拋物線的解析式為y=?4（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+tk≠0將A（4，0），B（1，4）代入y=kx+t，得4k+t=0k+t=4解得k=?4所以直線AB的解析式為y=?4過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，PM交AB于點(diǎn)N．過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PM，垂足為E．所以S===3因?yàn)锳（4，0），B（1，4），所以S△OAB因?yàn)椤鱋AB的面積是△PAB面積的2倍，所以2×32PN=8設(shè)Pm,?43所以PN=?即?4解得m1=2，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,16（3）∵PD∴△OBC∽△PDC∴記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為S1，S2，S3．則如圖，過(guò)點(diǎn)B,P分別作x軸的垂線，垂足分別F,E，PE交AB于點(diǎn)Q，過(guò)D作x的平行線，交PE于點(diǎn)G∵B1,4∴F∴OF=1∵PD∴△DPG∽△OBF∴PD設(shè)P∵直線AB的解析式為y=?4設(shè)Dn,?4PG=?=DG=m?n∴整理得4n=∴S1S=2=2=2=?=?∴m=52時(shí)，S【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求解析式，面積問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)與判定，第三問(wèn)中轉(zhuǎn)化為線段的比是解題的關(guān)鍵．7．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖像與x軸交于A2,0，B6,0兩點(diǎn)，與y(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為_(kāi)_______，點(diǎn)E的坐標(biāo)為_(kāi)________；(2)如圖①，D是該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BD的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖②，P是直線CE上方的二次函數(shù)圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP，取OP中點(diǎn)Q，連接QC，QE，CE，當(dāng)△CEQ的面積為12時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(4)連接BC，M是平面內(nèi)一點(diǎn)，將△BOC繞點(diǎn)M沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后，得到△B1O1C1，點(diǎn)B、O、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)B1、O1、C1【答案】(1)y=14(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為4,3+29或(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為10,8或?6,24(4)點(diǎn)C1的橫坐標(biāo)為【分析】（1）由于二次函數(shù)的圖像與x軸交于A2,0，B6,0兩點(diǎn)，把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2+bx+3，求出a（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得出CB=CD，設(shè)D4,d，由勾股定理可得4（3）設(shè)CQ交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)N，設(shè)Pn,14n2?2n+3，則Q12n,18n2?n+3（4）設(shè)C1m,14m2?2m+3，根據(jù)C0,3，B6,0，可確定點(diǎn)C向右平移6個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位與點(diǎn)B重合，再根據(jù)將△BOC繞點(diǎn)M沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到△B1O1（1）解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖像與x軸交于A∴4a+2b+3=036a+6b+3=0解得：a=1∴二次函數(shù)的解析式為y=1∵y=1∴E4,?1故答案為：y=14x（2）如圖1，如圖2，連接CB，CD，設(shè)CG是BD的垂直平分線，∴CB=CD，∵二次函數(shù)y=14x2?2x+3∴C0,3，且對(duì)稱軸x=4∵點(diǎn)D是該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)D4,d又∵B6,0∴由勾股定理可得：42解得：d=3±29∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為4,3+29或4,3?（3）如圖3，設(shè)CQ交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)Pn,∵點(diǎn)Q是OP的中點(diǎn)，∴Q1設(shè)直線CQ的解析式為y=kx+3，∴18解得：k=1∴直線CQ的解析式為y=1當(dāng)x=4時(shí)，y=41∴N4,n?5?∴NE=n?5?12∵S△CNE∴12整理得：n2解得：n1=10，當(dāng)n=10時(shí)，14當(dāng)n=?6時(shí)，14∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為10,8或?6,24．（4）旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B1、C1兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y=1∵C0,3，B∴點(diǎn)C向右平移6個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位與點(diǎn)B重合，∵將△BOC繞點(diǎn)M沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到△B即線段CB繞點(diǎn)M沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后可得到C1∴點(diǎn)C1向右平移3個(gè)單位，再向上平移6個(gè)單位與點(diǎn)B∴B1∴14解得：m=13∴點(diǎn)C1的橫坐標(biāo)為13【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了圖形的旋轉(zhuǎn)及性質(zhì)，平移方式的確定，待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，一元二次方程，二元一次方程組等知識(shí)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，圖形變換的性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵．8．（2020·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）如圖，二次函數(shù)y=?12x2+bx+c的圖像與x軸交于點(diǎn)A（?2，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)E，以AB為邊在x軸下方作正方形ABCD，點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接CM，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥MC，與AD邊交于點(diǎn)N(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)在第一象限的拋物線上任取一點(diǎn)P，連接EP、PB，請(qǐng)問(wèn)：△EPB的面積是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)M在線段OB（點(diǎn)M不與O、B重合）上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段OF的長(zhǎng)有最大值？并求出這個(gè)最大值．【答案】(1)y=?(2)△EPB的面積有最大值4，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）(3)OF有最大值，最大值為23，此時(shí)點(diǎn)M【分析】（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB于Q，交BE于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥PQ于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)P（m，-12m2+m+4），根據(jù)S△PBE=S△PBH+S△PHE=12?PH?OB=-（m-2）（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，0），運(yùn)用正方形性質(zhì)可證得△MFO∽△CMB，再利用相似三角形性質(zhì)可得OF=16（-x2+4x）=-16（x-2）2+（1）解：∵二次函數(shù)y=-12x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0）和點(diǎn)B∴0=?12×4?2b+c∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=?1（2）解：存在，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB于Q，交BE于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥PQ于點(diǎn)G，∵PQ⊥AB，∴∠PQB=∠EOB=90°，∴PQ∥EO，設(shè)點(diǎn)P（m，-12m2+m+4），則Q（m∴OQ=m，在y=-12x2+x+4中，令x=0，則y∴E（0，4），∴OB=OE=4，∴△OBE是等腰直角三角形，∴∠EBO=45°，∴BQ=HQ=4-m，∴PH=-12m2+m+4-（4-m）=-12m2+2∴S△PBE=S△PBH+S△PHE=12?PH?BQ+12?PH=12?PH?=12×（-12m2+2=-m2+4m=-（m-2）2+4，∵-1＜0，∴當(dāng)m=2時(shí)，S△PBE=有最大值4，此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）；（3）解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，0），∴OM=x，BM=4-x，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=4+2=6，∠BAD=∠CBA=∠MOF=90°，∵M(jìn)N⊥MC，∴∠CMN=90°，

∴∠FMO+∠CMB=∠CMB+∠BCM=90°，∴∠FMO=∠BCM，∴△MFO∽△CMB，∴OMBC=OF∴OF=16（-x2+4x）=-16（x-2）2+∵點(diǎn)M在線段OB上，且點(diǎn)M不與O、B重合，∴0＜x＜4，∵-16∴當(dāng)x=2時(shí)，即點(diǎn)M為線段OB中點(diǎn)時(shí)，OF的長(zhǎng)度最大，最大值為23【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形判定和性質(zhì)，正方形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想、方程思想是解題的關(guān)鍵．9．（2022·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線l：y=?3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=ax2?2ax?3a(a<0)(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；(3)在（2）的條件下，當(dāng)S取得最大值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn)M′，將直線l繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到直線l′，當(dāng)直線l′與直線AM′重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線l'與線段BM′交于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)B、M′到直線l′的距離分別為d1【答案】(1)y=?(2)S=?12(3)45°【分析】（1）利用直線l的解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出a的值；（2）設(shè)M的坐標(biāo)為（m，-m2+2m+3），然后根據(jù)面積關(guān)系將△ABM的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（3）由（2）可知m=52，代入二次函數(shù)解析式即可求出縱坐標(biāo)的值；可將求d1+d2最大值轉(zhuǎn)化為求AC（1）解：令x=0代入y=-3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B（0，3）代入y=ax∴3=-3a，∴a=-1，∴二次函數(shù)解析式為：y=-x2+2x+3；（2）令y=0代入y=-x2+2x+3，∴0=-x2+2x+3，∴x=-1或3，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1和3，∵M(jìn)在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，∴0＜m＜3，令y=0代入y=-3x+3，∴x=1，∴A的坐標(biāo)為（1，0），由題意知：M的坐標(biāo)為（m，-m2+2m+3），S=S四邊形OAMB-S△AOB=S△OBM+S△OAM-S△AOB=12×m×3+12×1×（-m2+2m+3）-=-12（m-52）2∴當(dāng)m=52時(shí)，S取得最大值25（3）由（2）可知：M′的坐標(biāo)為（52，7過(guò)點(diǎn)M′作直線l1∥l′，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥l1于點(diǎn)F，根據(jù)題意知：d1+d2=BF，此時(shí)只要求出BF的最大值即可，∵∠BFM′=90°，∴點(diǎn)F在以BM′為直徑的圓上，設(shè)直線AM′與該圓相交于點(diǎn)H，∵點(diǎn)C在線段BM′上，∴F在優(yōu)弧BM′∴當(dāng)F與M′重合時(shí)，BF可取得最大值，此時(shí)BM′⊥l1，∵A（1，0），B（0，3），M′（52，7∴由勾股定理可求得：AB=10過(guò)點(diǎn)M′作M′G⊥AB于點(diǎn)G，設(shè)BG=x，∴由勾股定理可得：M′B2-BG2=M′A2-AG2，∴8516∴,x=5108,∵l1∥l′，∴∠BCA=90°，∠BAC=45°．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，涉及待定系數(shù)求二次函數(shù)解析式，求三角形面積，圓的相關(guān)性質(zhì)等知識(shí)，內(nèi)容較為綜合，學(xué)生需要認(rèn)真分析題目，化動(dòng)為靜去解決問(wèn)題．10．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=23x2+bx?2的圖像與x軸交于點(diǎn)A3,0，B（點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)(1)填空：b=______；(2)將△AOC平移到△EFG（點(diǎn)E，F(xiàn)，G依次與A，O，C對(duì)應(yīng)），若點(diǎn)E落在拋物線上且點(diǎn)G落在直線AD上，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)P是第四象限拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為H，交AC于點(diǎn)T．若∠CPT+∠DAC=180°，求△AHT與△CPT的面積之比．【答案】(1)b=?(2)E?3,8，(3)8【分析】（1）由題意，將點(diǎn)A(3,0)代入y=23x（2）令x=0，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再由點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱可求得D的坐標(biāo)，求出直線AD的表達(dá)式，由于△EFG是由△AOC平移得到，若設(shè)E(m,23m2?43m?2)，則G(m?3,2（3）過(guò)C作CK⊥AD于K，作CQ⊥PH于Q，先由勾股定理求出AD的長(zhǎng)，再利用等面積法求出CK的長(zhǎng)，再用勾股定理求AK的長(zhǎng)，由∠CPT+∠DAC=180°可得∠CPQ=∠DAC，故tan∠DAC=CKAK=CQPQ，設(shè)出點(diǎn)P(n,2(1)解：∵二次函數(shù)y=23x∴0=23×故答案是：?4(2)解：如圖1，對(duì)于二次函數(shù)y=2當(dāng)x=0時(shí)，y=?2．∴C0,?2∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，∴D0,2設(shè)直線AD的函數(shù)表達(dá)式是y=kx+2．∵A3,0∴3k+2=0．解得k=?2∴直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y=?2設(shè)點(diǎn)E(m,23m∵點(diǎn)G在直線y=?2∴23m2解得m1=?3，∴E?3,8，E(4,(3)解：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥AD，垂足為K．∵OD=2，OA=3，∴AD=O∵AO?CD=AD?CK，∴CK=12∴DK=C∴AK=AD?DK=5∴tan∠CAK=過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥PH，垂足為Q．

∵∠CPT+∠DAC=180°，∴∠CPQ=∠CAK．∴CQPQ設(shè)點(diǎn)P(n,23n2?∴n23n∴P(21∴CQ=218，∵tan∠OAC=∴TH=2∴TP=PH?TH=29∴S△AHT【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、一次函數(shù)表達(dá)式的求法、三角函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用、相似三角形的性質(zhì)與判定（本題答案中應(yīng)用三角函數(shù)的步驟也可以改用相似三角形的知識(shí)解答）、勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵在于將各模塊知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，并作出正確的輔助線．11．（2022·江蘇無(wú)錫·無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？既＃┮阎?，關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2+2ax?3a(a>0)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，圖像頂點(diǎn)為D，連接AC、BC、BD、CD(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)以及a的取值范圍；(2)點(diǎn)E(?12,0)，點(diǎn)F在AC邊上，若直線EF平分△ABC的面積，求點(diǎn)F(3)△BCD中CD邊上的高是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)A（－3，0），B（1，0），0<a≤(2)(?(3)存在；最大值為1【分析】（1）先求出A、B、C的坐標(biāo)，求出當(dāng)∠AMB＝90°且M在y軸負(fù)半軸上時(shí)，OM的長(zhǎng)度，結(jié)合圖形可得∠ACB≥