高中數(shù)學(xué)恒成立問題的解析及練習(xí)

高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練恒成立問題

1.（1）若關(guān)于X的不等式/一如-。>0的解集為（-8,+8）,求實(shí)數(shù)4的取值范圍;

（2）若關(guān)于x的不等式/一以-4?-3的解集不是空集,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2.三個(gè)同學(xué)對問題“關(guān)于x的不等式/+2x+8Nax在［1,12］上恒成立，求實(shí)數(shù)a

的取值范圍”提出各自的解題思路.

甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”.

乙說：“把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”.

丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于x的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”.

參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問題的正確結(jié)論，求。的取值范圍.

3.若對任意的實(shí)數(shù)x,sin?x+2kcosx-24-2<0恒成立，求攵的取值范圍。

4.對于滿足la區(qū)2的所有實(shí)數(shù)a,求使不等式/+6+1>2。+尸恒成立的彳的

取值范圍。

5.已知向量a=，,x+l),B=(1-元/),若函數(shù)f(x)^a-b在區(qū)間(一1,1)上是增函數(shù),

求大的取值范圍.

6.已知函數(shù)/(%)是定義在［-1,1］上的奇函數(shù)，且/⑴=1,若。力e［~\,i］,a+b^Q,

有3改〉o.

a+h

⑴證明/(幻在上的單調(diào)性；

⑵若/(x)W/-2am+1對所有a￡1,1］恒成立，求〃?的取值范圍。

7.已知函數(shù)/(x)=x3+3ax-l,g(x)=r(x)-ax-5,W1/'(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)對滿足-的一切。的值，都有g(shù)(x)<0,求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

⑵設(shè)。=->，當(dāng)實(shí)數(shù)〃?在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)y=/(x)的圖象與直線

y=3只有一個(gè)公共點(diǎn).

8.設(shè)aeR,二次函數(shù)/。)=仆2_2%一2a.若/(x)>0的解集為A,

8={xll<x<3},An8/0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

9.已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=~ax2+bx,awO.

若b=2,且Mx)=/(x)—g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍;

4光2_7

10.（稍難）已知函數(shù)/（》）="一-,XG[O,1].

2-x

（1）求/（X）的單調(diào)區(qū)間和值域；

（2）設(shè)aN1,函數(shù)g（x）=l-342x-2a,xe[0,l],若對于任意X|G[O,1]，總存在

X。e[O,l]使得g（x0）=/區(qū)）成立，求。的取值范圍.

11.（難）設(shè)x=3是函數(shù)/（x）=（x?+ax+b）e3r（xeR）的一個(gè)極值點(diǎn).

⑴求。與匕的關(guān)系式（用”表示。），并求/（x）的單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)a>0,g（x）=（a2+?"若存在04引0,4]使得|/?）-g&Ml成立,

求a的取值范圍.

答案：

1.(1)設(shè)/(x)=x2-ax-a.則關(guān)于x的不等式-ax-a〉0的解集為

(-00,4-00)0/(%)>0在(-00,+00)上恒成立<=>/min(3)>。，

即/mm(x)=—生子>0,解得一4<a<0

(2)設(shè)/(x)=/—ax—a.則關(guān)于X的不等式爐-ax-aw-3的解集不是空集

O/(X”-3在(-8,+00)上能成立"九上)"3,

即九n(x)=-"普"3,解得a4-6或a22.

2.關(guān)鍵在于對甲，乙，丙的解題思路進(jìn)行思辨，這一思辨實(shí)際上是函數(shù)思想

的反映.

設(shè)/(x)=x2+25+,_5x],g(x)=ax.

甲的解題思路，實(shí)際上是針對兩個(gè)函數(shù)的，即把已知不等式的兩邊看作兩個(gè)

函數(shù)，

設(shè)/(x)=x2+25+|x3-5x21,g(x)=ax

其解法相當(dāng)于解下面的問題：

對于Xie[l,12],x2G[1,12],若/(xj2g(z)恒成立,求a的取值范圍.

所以,甲的解題思路與題目xe[l,12],/(x)Ng(x)恒成立，求a的取值范圍的

要求不一致.因而，甲的解題思路不能解決本題.

按照丙的解題思路需作出函數(shù)〃力=/+25+卜3-5》2]的圖象和

g(x)=ax的圖象，然而，函數(shù)/(x)的圖象并不容易作出.

由乙的解題思路，本題化為斗在xe[l,12]上恒成立，等價(jià)于xw[l,12]

時(shí),△DNa成立.

%_L

由△^=%+§+2在戶2拒€[1,12]時(shí),有最小值2+4拒,于是，o<2+4V2.

XX

3.依定義/(x)=x2(l-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,

則/'(工)=-31+2x+t.

/(x)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)等價(jià)于r(x)>0在區(qū)間(-1,1)上恒成立；

而r(x)>0在區(qū)間(-1,1)上恒成立又等價(jià)于，>31—2x在區(qū)間(-1,1)上恒成

立；

設(shè)g(x)=3x2-2x,xe(-1,1)

進(jìn)而f>g(x)在區(qū)間(-1,1)上恒成立等價(jià)于摩gmax(x)，Xe(-1,1)

考慮到g(x)=3x2-2x,xe(―1,1)在11,；)上是減函數(shù),在上是增函數(shù)，

則gmax(x)=g(T)=5.于是，亡的取值范圍是摩5.

4.解法1.由題意g(x)=3x?-ax+3a-5,這一問表面上是一個(gè)給出參數(shù)。的

范圍，解不等式g(x)<0的問題，實(shí)際上，把以x為變量的函數(shù)g(x),改為以a為

變量的函數(shù)，就轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立的問題，即

令夕(4)=(3-％”+3/-5,(-1<a<1),貝!J對-恒有g(shù)(x)<0,即

(p(a)<0,從而轉(zhuǎn)化為對-iWaWl,夕(4)<0恒成立，又由夕(。)是a的一次函數(shù),

因而是一個(gè)單調(diào)函數(shù)，它的最值在定義域的端點(diǎn)得到.為此

只需［嗎即已x—2<0,

［奴-1)<0［3X2+X-8<0.

9

解得，vxvl.

3

故時(shí)，對滿足-iVaWl的一切a的值，都有g(shù)(x)<0.

解法2.考慮不等式g(元)=3x2—ax+3a—5<0.

由—知，/=。2_36。+60〉0,于是,不等式的解為

a-yja2-36。+60+-36^+60

---------------<x<---------------.

66

但是,這個(gè)結(jié)果是不正確的，因?yàn)闆]有考慮。的條件,還應(yīng)進(jìn)一步完善.

M?!'幾/\u—\ci~—36。+60./\a+J?！?6a+60

為此，以g(Q)=---------------,力)二-----------------；-----------------,

66

不等式化為g(a)<x</7(〃),T〈aKl恒成立，即

Jg(\a)/max<x<h(\a)/mm,-1<a<1.

由于g(q)=m工亙在—iwawi上是增函數(shù)，則

6

2

gS)max=g⑴=一葭

/?(。)="包請””在TWOWI上是減函數(shù)，則/7(吟血=力(1)=1.所以，

2,

--<X<1.

3

故時(shí)，對滿足的一切a的值，都有g(shù)(x)<0.

5.解法一：由題設(shè)，awO.

f(x)=0的兩個(gè)根為Xj=—J2T——,x2——卜J2T——,顯然,xl<0,x2>0.

a\aci\a

(1)當(dāng)Q<0時(shí)，A={x|Xj<x<x2},

4n6w0z>1<v=^—卜J2T——>1ci<-2.

ava

(2)當(dāng)a>0時(shí)，A=|x|x<Xj}U{x|x>x2},

APlBw0<x=y>尤2<3—FJ2H——<3==^a>-.

a>1a7

于是,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,-2)鳴,+8)

解法二：

(1)當(dāng)a<0時(shí)，因?yàn)椤▁)的圖象的對稱軸5<0,則對xe(l,3),/⑴最大,

/max(x)=/(l)="2-2a>0.na<-2.

(2)當(dāng)a>0時(shí),九式“，》€(wěn)(1,3)在/⑴或“3)實(shí)現(xiàn),

由/(1)=-2—a<0J(3)=7a—6,則/(3)=7a—6>Ona>?

于是,實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-8,-2川仁,+，|.

這個(gè)解法的關(guān)鍵是用函數(shù)思想指導(dǎo),學(xué)會用函數(shù)和變量來思考.

6.只研究第(I)問.b=2時(shí),〃(x)=Inx-gax?-2x,

r-j.i...1-ax"+2x—1

貝lj/z(x)x=ax-2=------------.

XX

因?yàn)楹瘮?shù)〃(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以“(X)<0有解.

由題設(shè)可知，Mx)的定義域是(0,+00),

而/，(x)<0在(o,+8)上有解,就等價(jià)于〃'(x)<0在區(qū)間(0,4-00)能成立,

即a>士-2,xe(0,+oo)成立，進(jìn)而等價(jià)于a>“min(X)成立，其中

無X

U

"min(x)=T?

于是，a>-1,

由題設(shè)a#0,所以a的取值范圍是(-l,0)U(0,+8)

8.本題的第(H)“若存在4/2€[0,4]使得忱(。)-?)卜1成立，求。的取

值范圍.”如何理解這一設(shè)問呢？如果函數(shù)/(x)在xe[0,4]的值域與g(x)在

xe[0,4]的值域的交集非空，則一定存在e[0,4]使得|/1)-g&)|<1成立,

如果函數(shù)“X)在xe[0,4]的值域與g(x)在xe[0,4]的值域的交集是空集，只要這

兩個(gè)值域的距離的最小值小于1即可.

由(I)可得，函數(shù)“X)在xe[0,4]的值域?yàn)閇-(2。+3川,。+6],

又g(x)在xe[0,4]的值域?yàn)閍2+^,p+^e4,

存在0④e[0,4]使得|/(/-g?)|<1成立，等價(jià)于&穌(x)-g,疝,(x)|<1或

|gmax(x)Tmin(x)|<l，容易證明，>。+6.

于是，卜+升(”+6)<l，no<a<*

a>0.

9.(])對函數(shù)/(x)求導(dǎo)，得/，(X)=_4X2+16X_7__(2X_1)(2X-7)

(2-x)2(2-x)2

令八x)=0解得x」期」.

22

可以求得，當(dāng)xe(O,g)時(shí)，/(x)是減函數(shù)；當(dāng)xe(g,l)時(shí)，/(x)是增函數(shù).

當(dāng)xe[O,l]時(shí)，/(x)的值域?yàn)閇-4,—3].

(2)對函數(shù)g(x)求導(dǎo)，得g'(x)=3(一一/).

因?yàn)楫?dāng)xe(O,l)時(shí)，g,(x)<3(l-a2)<0.

因此當(dāng)xe(0,1)時(shí)，g(x)為減函數(shù)，

從而當(dāng)xe[0,1]時(shí)有g(shù)(x)e[g(l),g(0)].

又g⑴=1-2"3a2,g(0)=—2a,

即時(shí)有g(shù)(x)的值域?yàn)槭荹1-2a-3a2,-2a].

如何理解“任給.e[0,1],/(x,)e[一4,一3],存在與e[0,1]使得g(x0)=/(x,)”,

實(shí)際上,這等價(jià)于/(x)值域是g(x)值域的子集，即[1-2a-3/,—2a]n[T,-3].

這就變成一個(gè)恒成立問題，/(x)的最小值不小于g(x)的最小值，/(x)的最大值不

大于g(x)的最大值

1-2G—3ci~4-4,?

n即n<

—2a>-3.②

解①式得3或aJ

解②式得

又4,故a的取值范圍為

11.分析一：前面兩小題運(yùn)用常規(guī)方法很快可以得到，(D〃=3〃z+6(II)當(dāng)

機(jī)<0時(shí)，/(X)在1-8,1+2]單調(diào)遞減，在(1+2,1)單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞

mJm

減.(IH)為/\x)>3m對]￡[一1,1]恒成立，即3〃？(x-1)[_x-(1+—)]>3m

m

7

Vm<0,/.(x—1)Lx~(1+—)]〈1(*)

m

1°x=l時(shí)，(*)化為0〈1恒成立，m<0

2°xWl時(shí)，*/xG[—1,1],2Wx—1<0

71

運(yùn)用函數(shù)思想將(*)式化為1)——L,令LX—1,貝卜￡[-2,0],

mx-\

記=則g(f)在區(qū)間[-2,0]是單調(diào)增函數(shù)；

13

，g?)min=g(-2)=-2-M=-5

2344

由(*)式恒成乂，必有一<——=>——<m,又〃2<0,則—<加<0

m233

4

綜合1。、2。得——〈根<0

3

分析二：(HI)中的ff(x)>3m,即mx2一2(機(jī)+l)x+2>0對xE恒成立，

2222

?/m<0/.x2(m+1)%H—<0BPx2(m+l)x+—<0,xw[-1,110

tntnmm

\7

運(yùn)用函數(shù)思想將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)值大于0,設(shè)=+再

mm

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可得其函數(shù)開口向上，由題意知①式恒成立，

(22

...rg(-l)<0=1+2+嬴+/<0解之得/<相又“<0所以/<相<0

g⑴<0-1<033

即用的取值范圍為(-20)。

通過上述的等價(jià)轉(zhuǎn)化，使恒成立的解決得到簡化，其中也包含著函數(shù)思

想和數(shù)形結(jié)合思想的綜合運(yùn)用。

13.分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及a,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一

個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將a視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在［-2,

2］內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)大于0恒成立的問題。

解：原不等式轉(zhuǎn)化為(xT)a+x2-2x+l>0,

設(shè)f(a)=(x-l)a+x2-2x+l,則f(a)在［-2,2］上恒大于0,故有:

［/(-2)>O0np-4x+3>0.a，g卜>3或苫<1

〈即《解得：〈f

/(2)>x*2-1>0*>1或工<一1

/.x<-l或x>3.

14.分析：第一問是利用定義來證明函數(shù)的單調(diào)性，第二問中出現(xiàn)了3個(gè)字

母，最終求的是用的范圍，所以根據(jù)上式將加當(dāng)作變量，。作為常量，而x則根據(jù)

函數(shù)的單調(diào)性求出/(x)的最大值即可。

(1)簡證：任取X1,%2且X]<々，貝1」一々€[-1,1]

>0」.(玉一%)(/(玉)+/(-彳2))〉0又是奇函數(shù)

/.(X1-x2)(/(x1)-/(x2))>0“X)在[-1,1]上單調(diào)遞增O

(2)解：/(x)4優(yōu)之一2〃m+1對所有x￡恒成立，即

222

m-2am+1>,vfmaK=f(1)=1/.m-2am+l>1m-2am>0

1

a<——

口門oi,—..g(-1)=1+2。20

即g(〃)=-2〃團(tuán)+機(jī),20在r，一1,1]上怛成乂。/.<2

L」[g(l)=l-2a>0?<1

2

11

——<a<—

22o

15.分析：該題就轉(zhuǎn)化為被開方數(shù)mV+6蛆+m+820在R上恒成立問題，并且注

意對二次項(xiàng)系數(shù)的討論。

略解：要使y=J"zx：+6加x+加+8在R上'恒成立,即用/+6〃?x+〃?+820在R上

恒成立。

r〃z=o時(shí)，8>o.,.m=o成立

m>0

X機(jī)K0時(shí),0<m<1

A=36/n2-4(m+8)-32/n(/n-l)<0

由1°,2°可知，04用41

16.⑴分析：y=/(x)的函數(shù)圖像都在X軸上方，即與X軸沒有交點(diǎn)。

略解：A=a2-4(3-tz)=a2+4a-12<0/.-6<a<2

/、22

⑵/(x)=-2-a+3,令/(X)在［-2,2］上的最小值為89)。

<2)4

(1)當(dāng)一］<—2,即a>4時(shí)，g(a)=/(—2)=7—3aN0又?.F>4

.'.a不存在。

2

(2)當(dāng)一2W—巴<2,即一44a<4時(shí)，g(a)=/(］)=——a+3>0：.-6<a<2又

?/-4<a<4-4<a<2

⑶當(dāng)一］〉2,即。<—4時(shí)，g(a)=/(2)=7+?>0a>-7又?.?a<—4

-7<a<-4

總上所述，-7<a<2o

⑶解法一：分析：題目中要證明/(x)2。在［-2,2］上恒成立，若把。移到等號的左

邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間［-2,2］時(shí)恒大于等于0的問題。

略解：/(x)=f+ax+3-a-220,即/(x)=