新教材2020-2021學(xué)年高中人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)模塊素養(yǎng)檢測

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模塊素養(yǎng)檢測

（120分鐘150分）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出

的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）

1.復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）的虛部為（）

1+i

A.1B.-lC.±1D.0

【解析】選B.因?yàn)閦」i"""j-i,所以復(fù)數(shù)z的虛部為-1.

（l+i）（l-i）

2.當(dāng)前，國家正大力建設(shè)保障性住房以解決低收入家庭住房困難的問

題.已知甲、乙、丙三個(gè)社區(qū)現(xiàn)分別有低收入家庭360戶、270戶、180

戶，假設(shè)第一批保障性住房中有90套住房用于解決這三個(gè)社區(qū)中90戶

低收入家庭的住房問題,若采用分層抽樣的方法決定各社區(qū)戶數(shù),則應(yīng)

從甲社區(qū)中抽取低收入家庭的戶數(shù)為（）

A.40B.30C.20D.36

【解析】選A.---------X90=40.

360+270+180

3.一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都乘以2,再減去80,得到一組新數(shù)據(jù),若求

得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.2,方差是4.4,則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別

是（）

A.40.6,1.1B.48.4,4.4

C.81.2,44.4D.78.8,75.6

【解析】選A.設(shè)原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為5和s,

44=22s,r=ll

則2/80=1.2,Mx5=40.6.

4.已知點(diǎn)0,N在4ABC所在平面內(nèi)，且|而|二|而|=|oc|,NA+NB+NC=0,則

點(diǎn)0,N依次是4ABC的()

A.重心外心B.重心內(nèi)心

C.外心重心D.外心內(nèi)心

【解析】選C.由|OA|=|同二|od|知，0AABC的外心；由NA+NB+NC=0,

得病;而講就，取BC邊的中點(diǎn)D,則AN=NB+NC^2ND,知A,N,D三點(diǎn)共線，

且AN=2ND,故點(diǎn)N是ZkABC的重心.

5.一只猴子任意敲擊電腦鍵盤上的0到9這十個(gè)數(shù)字鍵,則它敲擊兩次

(每次只敲擊一個(gè)數(shù)字鍵)得到的兩個(gè)數(shù)字恰好都是3的倍數(shù)的概率為

()

9332

A.—B.—C.—D._

100501009

【解析】選A.任意敲擊。到9這十個(gè)數(shù)字鍵兩次，其得到的所有結(jié)果為

(0,i)(i=0,1,2,…,9)；(1,i)(i=0,1,2,…，9)；(2,i)(i=0,1,2,…，9);

???;(9,i)(i=0,1,2,…，9).故共有100種結(jié)果.兩個(gè)數(shù)字都是3的倍數(shù)

的結(jié)果有

(3,3),(3,6),(3,9),(6,3),(6,6),(6,9),(9,3),(9,6),(9,9),共有9

9

種.故所求概率為——.

100

6.如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA，平面

ABC,PA=2AB,則下列結(jié)論正確的是（）

A.PB±AD

B.平面PABL平面PBC

C.直線BC〃平面PAE

D.直線PD與平面ABC所成的角為45°

【解析】選D.選項(xiàng)A,B,C顯然錯(cuò)誤.因?yàn)镻A_L平面ABC,所以NPDA是

直線PD與平面ABC所成的角.因?yàn)锳BCDEF是正六邊形，所以AD=2AB.

因?yàn)閠anZPDA=一二---=1,

AD2AB

所以直線PD與平面ABC所成的角為45°.故選D.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

在等腰RtaA'BC中,A'B=BC=1,M為A'C的中點(diǎn)，沿BM把它折成二面

角，折后A與C的距離為1,則二面角C-BM-A的大小為（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

【解析】選C.如圖所示，

由A'B=BC=1,NA'BC=90°,得A'C=&.

因?yàn)镸為A'C的中點(diǎn)，所以MC=AM=—.

2

且CM_LBM,AM_LBM,所以NCMA為二面角C-BM-A的平面角.因?yàn)?/p>

AC=1,MC=AM上,所以NCMA=90°.

2

7.在AABC中，若（無+而）?（1-無）=0,則AABC為（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.形狀無法確定

【解析】選C.因?yàn)椋?A+C電）?（CA-CB）=0,

所以次一國二0,CA2=CB2,

所以CA=CB,AABC為等腰三角形.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

圓0為AABC的外接圓，半徑為2,若荏+而2而,且|明=|正|,則向量示

在向量而方向上的投影為（）

A.1B.2C.3D.4

【解析】選C.因?yàn)樽?收2通所以0是BC的中點(diǎn)，故4ABC為直角三

角形.在△A0C中，有|五|二|正所以NB=30。.

由定義，向量BA在向量正方向上的投影為|威|cosB=2jW義衛(wèi)3.

2

8.已知四棱錐S-ABCD的所有頂點(diǎn)都在同一球面上,底面ABCD是正方形

且和球心。在同一平面內(nèi)，當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí),其表面積等

于4+4始,則球0的體積等于（）

2B曜n

33

167232V2

C.------nD.--------n

33

【解析】選B.由題意可知四棱錐S-ABCD的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,

底面ABCD是正方形且和球心。在同一平面內(nèi)，當(dāng)體積最大時(shí)，可以判定

該棱錐為正四棱錐，底面在球大圓上，可知底面正方形的對(duì)角線長度的

一半為球的半徑r,且四棱錐的高h(yuǎn)=r,進(jìn)而可知此四棱錐的四個(gè)側(cè)面均

是邊長為Jlr的正三角形，底面為邊長為&r的正方形，所以該四棱錐

的表面積為S=4X—(V2r)2+(V2r)2=2V3r2+2r2=(2V3+2)r2=4+4V3,因

4

此r2=2,r=y[2,

所以球0的體積V=±nr3=-nX2V^=：-兀

333

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出

的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的

得3分,有選錯(cuò)的得0分)

9.奧林匹克會(huì)旗中央有5個(gè)套連的圓環(huán),顏色自左至右，上方依次為藍(lán)、

黑、紅，下方依次為黃、綠,象征著五大洲,I.在手工課上，老師將這5個(gè)

環(huán)分發(fā)給甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，每人分得1個(gè),則事件“甲分

得紅色”與“乙分得紅色”是()

099

A.對(duì)立事件

B.互斥事件

C.不對(duì)立事件

D.不互斥事件

【解析】選BC.甲、乙不能同時(shí)得到紅色，因而這兩個(gè)事件是互斥事件;

又甲、乙可能都得不到紅色，即“甲或乙分得紅色”的事件不是必然事

件，故這兩個(gè)事件不是對(duì)立事件.

10.下列說法:①一組數(shù)據(jù)不可能有兩個(gè)眾數(shù)；

②一組數(shù)據(jù)的方差必須是正數(shù)；

③將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一常數(shù)后,方差恒不變；

④在頻率分布直方圖中，每個(gè)小長方形的面積等于相應(yīng)小組的頻率.

其中錯(cuò)誤的有（）

A.①B.②C.③D.④

【解析】選AB.若一組數(shù)據(jù)中，有兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)相同且最

多，則這幾個(gè)數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).可見，一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以不

唯一，即①錯(cuò)誤.一組數(shù)據(jù)的方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，必須是非負(fù)數(shù)，即②

錯(cuò)誤.根據(jù)方差的定義知③正確.根據(jù)頻率分布直方圖的定義知④正

確.

11.下列事件中，是隨機(jī)事件的有（）

A.從集合｛2,3,4,5）中任取兩個(gè)元素,其和大于7

B.明年清明節(jié)這天下雨

C.物體在地球上不受地球引力

D,盒子中有5個(gè)白球,2個(gè)紅球,從中任取3個(gè)球,則至少有1個(gè)白球

【解析】選AB.A,B是隨機(jī)事件;C是不可能事件;D是必然事件.

12.如圖,在棱長均相等的正四棱錐P-ABCD中,0為底面正方形的中

心,M,N分別為側(cè)棱PA,PB的中點(diǎn),判斷下列結(jié)論正確的是（）

A.PC〃平面OMN

B.平面PCD〃平面OMN

C.OM±PA

D.直線PD與直線MN所成角的大小為90°

【解析】選ABC.連接AC,易得PC〃0M,所以PC〃平面0MN,結(jié)論A正確.

同理PD〃0N,所以平面PCD〃平面0MN,結(jié)論B正確.由于四棱錐的棱長

均相等，所以AB?+BC2=PA?+PC2=AC?,所以PC_LPA,又PC〃0M,所以0M_LPA,

結(jié)論C正確.由于M,N分別為側(cè)棱PA,PB的中點(diǎn)，所以MN〃AB.又四邊形

ABCD為正方形，所以AB〃CD,所以直線PD與直線MN所成的角即為直線

PD與直線CD所成的角，即為NPDC.又三角形PDC為等邊三角形，所以N

PDC=60°，故D錯(cuò)誤.

三、填空題（本大題共4個(gè)小題,每小題5分，共20分.把答案填在題中

的橫線上）

13.a為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，—=2,則a=.

I

—乙、a+i（a+i）*（-i）.

［解析］.一Fd-ai,

II?（一l）

則"7~|=11-a'I力02+1=2,

所以a2=3.

又因?yàn)閍為正實(shí)數(shù)，所以a=J5.

答案：V5

14.如圖所示,是在某一年全國少數(shù)民族運(yùn)動(dòng)會(huì)上,七位評(píng)委為某民族

舞蹈運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分

后,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,方差為.

79

844647

93

【解析】七位評(píng)委為某民族舞蹈運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)

是:79,84,84,86,84,87,93,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后所剩數(shù)據(jù)

1

是84,84,86,84,87,平均分等于g(84+84+86+84+87)=85,

則方差S2=-[3(84-85)2+(86-85)2+(87-85)2]=1.6.

答案：851.6

15.已知a,b表示不同的直線，a,B,丫表示不重合的平面.

①若aGB=a,bua,a_Lb,貝!Ja±0；

②若aua,a垂直于B內(nèi)任意一條直線，則a±p；

③若aJ_B,aGB=a,aGy=b，則a±b;

④若a_La,bJ_B,a//b,則a〃B.

上述命題中，正確命題的序號(hào)是.

【解析】對(duì)①可舉反例，如圖，需bJ_B才能推出a±0；對(duì)③可舉反例

說明，當(dāng)Y不與a,B的交線垂直時(shí)，即可知a,b不垂直；根據(jù)面面、線

面垂直的定義與判定知②④正確.

答案：②④

16.已知兩點(diǎn)A(T,O),B(-1,V3).0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第一象限,且

ZA0C=120°,設(shè)心-3而+人而（入￡R）,則X=,

【解析】由題意，得od=-3(7,0)+入(-1,V3)-(3-入，人),

因?yàn)镹A0C=12。，

6心而

所以IOAIIOCl=一一，

2

s3-41

即；二二一,

J(3-2)2+3入22

3

解得人=-.

2

答案:三3

2

四、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分,解答時(shí)寫出必要的文字說明、

證明過程或演算步驟)

17.(10分)青海玉樹發(fā)生地震后,為了重建,對(duì)某項(xiàng)工程進(jìn)行競標(biāo),現(xiàn)共

有6家企業(yè)參與競標(biāo),其中A企業(yè)來自遼寧省,B,C兩家企業(yè)來自山東

省,D,E,F三家企業(yè)來自河南省,此項(xiàng)工程需要兩家企業(yè)聯(lián)合施工，假設(shè)

每家企業(yè)中標(biāo)的概率相同.

⑴列舉所有企業(yè)的中標(biāo)情況；

(2)在中標(biāo)的企業(yè)中，至少有一家來自山東省的概率是多少？

【解析】(1)所有企業(yè)的中標(biāo)情況為：

AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF.共15種.

⑵在中標(biāo)的企業(yè)中，至少有一家來自山東省的情況

有：AB,AC,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,共9種，在中標(biāo)的企業(yè)中，至少有一

93

家來自山東省的概率是p=—

155

18.(12分)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足

V3a-2bsinA=0.

(1)求角B的大??；

(2)若a+c=5,且a>c,b=V7,求A電?最的值.

【解析】(1)因?yàn)镴3a-2bsinA=0,

所以inA_2sinBsinA=0,

因?yàn)閟inA=AO,所以sinB號(hào)

又B為銳角，所以B二一.

3

(2)由(1)知，B=[b=?,

3

所以根據(jù)余弦定理得7二a2+c;2-2accos—,

3

整理得(a+c)2-3ac-7,又a+c-5.

所以ac=6,又a>c,所以a=3,c=2,

b2+c2-a27+4-9V7

于是COSA二

2bcm14'

所以靛?AC=IABIIACICOSA=2XV7X—=1.

14

19.(12分)如圖,直三棱柱ABC-A.B,C,中,D,E分別是AB,BBi的中點(diǎn).

⑴證明:BG〃平面ACD;

⑵設(shè)AA尸AC=CB=2,AB=2企,求三棱錐C-A,DE的體積.

［解析］(1)連接AC,交AiC于點(diǎn)F,連接DF,

則F為AG的中點(diǎn).

又D是AB的中點(diǎn),則BG〃DF.

因?yàn)镈Fu平面A￡D,BCQ平面AiCD,

所以BG〃平面A,CD.

⑵因?yàn)锳BC-ABG是直三棱柱，所以AA」CD.

因?yàn)锳C=CB,D為AB的中點(diǎn),

所以CD±AB,又AA,HAB=A,

所以CD_L平面ABBA.

由AAFAC二CB=2,AB=2企得

NACB=90°,CD=衣,A氏庭,DE=，5,AB3,故AMDE?二AE,即DE±A1D.

所以V三棱錐c_A^E=-X-Xy/^Xyf3X\[2=l.

20.(12分)對(duì)某校高一年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取

M名學(xué)生作為樣本,得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù),根據(jù)此數(shù)據(jù)

作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下：

頻頻

分組

數(shù)率

[10,0.2

10

15)5

[15,

25n

20)

[20,

mp

25)

[25,0.0

2

30)5

合計(jì)M1

（1）求出表中M,p及圖中a的值；

⑵若該校高一學(xué)生有360人,試估計(jì)該校高一學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次

數(shù)在區(qū)間［10,15）內(nèi)的人數(shù).

10

【解析】（1）由分組［10,15）內(nèi)的頻數(shù)是10,頻率是0.25知,一二0.25,

M

所以M=40.

因?yàn)轭l數(shù)之和為40,所以10+25+ni+2=40,解得m=3,故p=-=—=0.075.

M40

-24

因?yàn)閍是對(duì)應(yīng)分組［15,20）的頻率與組距的商,所以a=-=0.125.

40X5

⑵因?yàn)樵撔８咭粚W(xué)生有360人,分組［10,15）內(nèi)的頻率是0.25,所以估

計(jì)該校高一學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為

360X0.25=90.

21.（12分）在銳角AABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊,且

V3a=2csinA.

（1）確定角C的大?。?/p>

⑵若c=V3,求AABC周長的取值范圍.

【解析】（1）已知a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊,由J3a=2csinA,得

V3sinA=2sinCsinA,

又sinA#0,則sinC=?,所以C=g或C=p

因?yàn)锳ABC為銳角三角形，所以C不舍去,

所以C『.

3

⑵因?yàn)閏=J3,sin，二號(hào)，所以由正弦定理得:

a_bc_V3_o

sinAsinBsinC會(huì)

2

即a=2sinA,b=2sinB,

又A+B=n-C=—,

3

即B等A,

所以a+b+c=2(sinA+sinB)+V3

=2[sinA+sin(空—A)]+V^

=2(sinA+sin