高中數(shù)學 7.3.3.1直線與圓的位置關系活頁訓練 湘教版必修3

【創(chuàng)新設計】-學年高中數(shù)學7.3.3.1直線與圓的位置關系活頁訓練湘教版必修3eq\a\vs4\al\co1(雙基達標限時20分鐘)1．若直線x＋y＝4與圓x2＋y2＝r2(r>0)相切，則實數(shù)r的值等于()．A.eq\f(\r(2),2) B．1C.eq\r(2) D．2eq\r(2)解析由題意知圓心到直線的距離等于半徑，得eq\f(|－4|,\r(2))＝r.∴r＝2eq\r(2)，選D.答案D2．由點P(1,3)引圓x2＋y2＝9的切線的長是 ()．A．2 B.eq\r(19)C．1 D．4解析點P到原點O的距離為|PO|＝eq\r(10)，∵r＝3，∴切線長為eq\r(10－9)＝1.故選C.答案C3．若過點A(4,0)的直線l與圓(x－2)2＋y2＝1有公共點，則直線l的斜率的取值范圍為 ()．A．[－eq\r(3)，eq\r(3)] B．(－eq\r(3)，eq\r(3))C．[－eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3)] D．(－eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3))解析設直線為y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，圓心(2,0)到直線的距離d＝eq\f(|2k－4k|,\r(1＋k2))＝eq\f(|2k|,\r(1＋k2))，d應滿足d≤r，即eq\f(|2k|,\r(1＋k2))≤1，解得k∈[－eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3)]．答案C4．圓心為(1,1)且與直線x－y＝4相切的圓的方程是________．解析設圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝r2，則eq\f(|1－1－4|,\r(2))＝r，∴r2＝8，故圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝8.答案(x－1)2＋(y－1)2＝85．過原點的直線與圓x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的長為2，則該直線的方程為________．解析圓的方程化為標準形式為(x－1)2＋(y－2)2＝1，又相交所得弦長為2，故相交弦為圓的直徑，由此得直線過圓心(1,2)，故所求直線方程為2x－y＝0.答案2x－y＝06．求經(jīng)過點P(6，－4)，且被定圓x2＋y2＝20截得弦長為6eq\r(2)的直線的方程．解如圖所示，|AB|＝6eq\r(2)，|OA|＝2eq\r(5)，作OC⊥AB于C.在Rt△OAC中，|OC|＝eq\r(20－3\r(2)2)＝eq\r(2).設所求直線的斜率為k，則直線的方程為y＋4＝k(x－6)，即kx－y－6k－4＝0.又圓心到直線的距離為eq\r(2)，∴eq\f(|6k＋4|,\r(1＋k2))＝eq\r(2)，即17k2＋24k＋7＝0，∴k1＝－1，k2＝－eq\f(7,17).∴所求直線方程為x＋y－2＝0或7x＋17y＋26＝0.eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時25分鐘)7．圓x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直線x＋y＋1＝0的距離為eq\r(2)的點共有 ()．A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析∵x2＋y2＋2x＋4y－3＝0，∴(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圓心(－1，－2)到x＋y＋1＝0的距離為d＝eq\f(|－1－2＋1|,\r(2))＝eq\r(2)＝eq\f(r,2)，∴有三個點．故選C.答案C8．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于P、Q兩點，且∠POQ＝120°(其中O為原點)，則k的值為 ()．A.eq\r(3)，－eq\r(3) B．4，－eq\r(3)C.eq\r(3)，－1 D．1，－1解析圓心到直線的距離d＝eq\f(1,\r(1＋k2))，在△POQ中，∠PQO＝30°，所以sin∠PQO＝eq\f(d,r)＝eq\f(1,\r(1＋k2))＝eq\f(1,2)，所以k＝±eq\r(3).答案A9．過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4y＝0所截得的弦長為________．解析過原點且傾斜角為60°的直線方程為eq\r(3)x－y＝0，圓x2＋(y－2)2＝4的圓心(0,2)到直線的距離為d＝eq\f(|\r(3)×0－2|,\r(3＋1))＝1，因此弦長為2eq\r(R2－d2)＝2eq\r(4－1)＝2eq\r(3).答案2eq\r(3)10．已知圓O：x2＋y2＝5和點A(1,2)，則過點A且與圓O相切的直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為________．解析由題意可直接求出切線方程為y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0，從而求出在兩坐標軸上的截距分別是5和eq\f(5,2)，所以所求面積為eq\f(1,2)×eq\f(5,2)×5＝eq\f(25,4).答案eq\f(25,4)11．求與x軸相切，圓心在直線3x－y＝0上，且被直線x－y＝0截得的弦長為2eq\r(7)的圓的方程．解法一設所求的圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則圓心(a，b)到直線x－y＝0的距離為eq\f(|a－b|,\r(2))，∴r2＝(eq\f(|a－b|,\r(2)))2＋(eq\r(7))2，即2r2＝(a－b)2＋14，①由于所求的圓與x軸相切，∴r2＝b2.②又因為所求圓的圓心在直線3x－y＝0上，∴3a－b＝0，③聯(lián)立①，②，③，解得a＝1，b＝3，r2＝9或a＝－1，b＝－3，r2＝9.故所求的圓的方程是(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.法二設所求的圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圓心為(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))，半徑為eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.由圓與x軸相切，得Δ＝0，即D2＝4F④又圓心(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))到直線y＝x的距離為eq\f(|－\f(D,2)＋\f(E,2)|,\r(2))，由已知，得(eq\f(|－\f(D,2)＋\f(E,2)|,\r(2)))2＋(eq\r(7))2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)⑤又圓心(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))在直線3x－y＝0上，∴3D－E＝0⑥聯(lián)立④，⑤，⑥，解得D＝－2，E＝－6，F(xiàn)＝1或D＝2，E＝6，F(xiàn)＝1.故所求圓的方程是x2＋y2－2x－6y＋1＝0或x2＋y2＋2x＋6y＋1＝0.12．(創(chuàng)新拓展)自點A(－3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在的直線與圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光線l所在的直線方程．解由已知可得圓C：(x－2)2＋(y－2)2＝1關于x軸對稱的圓C′的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圓心C′(2，－2)，則l與圓C′相切．設l：y－