高中數(shù)學(xué) 8.3解三角形的應(yīng)用舉例(二)活頁訓(xùn)練 湘教版必修4

8.3解三角形的應(yīng)用舉例(二)雙基達(dá)標(biāo)(限時(shí)20分鐘)1．在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面積S＝220eq\r(3)，則BC的長(zhǎng)為 ()．A．20eq\r(6) B．75 C．51 D．49解析eq\f(1,2)×16×csin60°＝220eq\r(3)，∴c＝55，由余弦定理，BC＝eq\r(162＋552－2×16×55×cos60°)＝49.答案D2．在200米高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂和塔底的俯角分別是30°，60°，則塔高為 ()．A.eq\f(400,3)米 B.eq\f(400\r(3),3)米 C.eq\f(200\r(3),3)米 D.eq\f(200,3)米解析由題意可知，∠DAC＝60°，∠OAC＝∠DAB＝30°，在△AOC中，AO＝200，所以O(shè)C＝eq\f(200\r(3),3)，而AD＝OC＝eq\f(200\r(3),3).在△ABD中，BD＝eq\f(200\r(3),3)×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(200,3)，因此塔高為200－eq\f(200,3)＝eq\f(400,3)(米)，故選A.答案A3．甲船在湖中B島的正南A處，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同時(shí)乙船從B島出發(fā)，以12km/h的速度向北偏東60°A.eq\r(7)km B.eq\r(13)kmC.eq\r(19)km D.eq\r(10－3\r(3))km解析如圖，由題意知AM＝8×eq\f(15,60)＝2，BN＝12×eq\f(15,60)＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BN·cos120°＝1＋9－2×1×3×(－eq\f(1,2))＝13，所以MN＝eq\r(13)km.答案B4．已知△ABC中，B＝60°，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長(zhǎng)為________．解析由余弦定理，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos60°＝3.∴AD＝eq\r(3).答案eq\r(3)5．一飛機(jī)沿水平方向飛行，在位置A處測(cè)得正前下方地面目標(biāo)C的俯角為30°，向前飛行了10000米，到達(dá)位置B時(shí)測(cè)得正前下方地面目標(biāo)C的俯角為75°，這時(shí)飛機(jī)與地面目標(biāo)的距離為________米．解析在△ABC中，AB＝10000，∠A＝30°，∠B＝105°，則∠C＝45°，由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，∴BC＝eq\f(AB·sinA,sinC)＝eq\f(10000×sin30°,sin45°)＝5000eq\r(2)(米)．答案5000eq\r(2)6．如右圖，海中有一小島A，它周圍8海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群自西向東航行，在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東60°，航行12海里后到達(dá)D處，又測(cè)得小島在北偏東35°，如果漁船不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，有無觸礁的危險(xiǎn)？解在△ABD中，∠ABD＝30°，∠ADB＝125°，則∠BAD＝25°，又BD＝12，由正弦定理得AD＝eq\f(BDsin30°,sin25°)＝eq\f(12×\f(1,2),sin25°)＝14.197.在Rt△ACD中，AC＝ADsin55°＝11.62海里．∵11.62>8，∴漁船繼續(xù)向東航行，無觸礁危險(xiǎn)．綜合提高限時(shí)25分鐘7．如圖為測(cè)一樹的高度，在地面上選取A、B兩點(diǎn)，從A、B兩點(diǎn)分別測(cè)得樹尖的仰角為30°、45°，且A、B兩點(diǎn)之間的距離為60m，則樹的高度為 ()．A．(30＋30eq\r(3))m B．(30＋15eq\r(3))mC．(15＋30eq\r(3))m D．(15＋3eq\r(3))m解析由正弦定理可得eq\f(60,sin（45°－30°）)＝eq\f(PB,sin30°)，PB＝eq\f(60×\f(1,2),sin15°)＝eq\f(30,sin15°)(m)，h＝PBsin45°＝30＋30eq\r(3)(m)．答案A8．三角形兩邊之差為2，夾角的余弦值為eq\f(3,5)，面積為14，那么這個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是 ()．A．3和5 B．4和6 C．6和8 D．5和7解析設(shè)a－b＝2，cosC＝eq\f(3,5)，sinC＝eq\f(4,5)，S△ABC＝eq\f(1,2)absinC，ab＝35，由a－b＝2和ab＝35，解得a＝7，b＝5.答案D9．如圖，在山底測(cè)得山頂仰角仰角∠CAB＝45°，沿傾斜角為30°的斜坡走1000米至S點(diǎn)，又測(cè)得山頂仰角∠DSB＝75°，則山高BC為________米．解析如圖∠SAB＝45°－30°＝15°，又∠SBD＝15°，∴∠ABS＝30°，AS＝1000.由正弦定理可知eq\f(BS,sin15°)＝eq\f(1000,sin30°)，∴BS＝2000sin15°，∴BD＝BS·sin75°＝2000sin15°cos15°＝1000sin30°＝500，且DC＝1000sin30°＝500.從而BC＝DC＋DB＝1000(米)．答案100010．某人在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A在南偏西80°，仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進(jìn)10m到B點(diǎn)，測(cè)得塔頂A仰角為30°解析設(shè)塔底為A′，AA′＝h，則借助于實(shí)物模擬圖(如圖)可以求得A′C＝h，A′B＝eq\r(3)h，在△A′BC中，A′C＝h，BC＝10，A′B＝eq\r(3)h，∠A′CB＝120°.∴(eq\r(3)h)2＝h2＋100－2h×10×cos120°.即h2－5h－50＝0，解得h＝10.答案10米11．在△ABC中，已知ab＝60，sinA＝cosB，S△ABC＝15，求三個(gè)內(nèi)角．解∵S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝15，且ab＝60，∴sinC＝eq\f(1,2).∴C＝30°或C＝150°.由sinA＝cosB，得sinA＝sin(90°－B)．∴A＝90°－B或A＝180°－(90°－B)．即A＋B＝90°或A＝90°＋B.若A＋B＝90°，則C＝180°－(A＋B)＝90°，顯然不成立．∴A＝90°＋B.當(dāng)C＝30°時(shí)，A＋B＝150°，∴A＝120°，B＝30°.當(dāng)C＝150°時(shí)，A＋B＝30°，從而B＝－30°，不合題意．綜上可知，A＝120°，B＝C＝30°.12．(創(chuàng)新拓展)在進(jìn)行一場(chǎng)壘球比賽前，教練布置戰(zhàn)術(shù)時(shí)，要求擊球手，以與連接本壘及游擊手的直線成15°的方向把球擊出，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)及測(cè)速儀顯示，通常情況下，球速為游擊手最大跑速的4倍，問這樣的布置，游擊手能否接著球？解設(shè)游擊手可以在B處接到球，而游擊手從A點(diǎn)跑出，本壘為O點(diǎn)，如圖，令從擊出球到接著球的時(shí)間為t，球速為v，則∠AOB＝15°，OB＝vt，AB≤eq\f(v,4)·t.在△AOB中，由正弦定理得eq\f(OB,sin∠OAB)＝eq\f(AB,sin15°)，∴sin∠