2.1函數(shù)的概念及其表示

2.1函數(shù)的概念及其表示課標(biāo)要求精細(xì)考點(diǎn)素養(yǎng)達(dá)成1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素,會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域2.在實(shí)際情境中,會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù),并能簡(jiǎn)單應(yīng)用函數(shù)的概念通過(guò)理解函數(shù)的概念,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)函數(shù)的定義域通過(guò)求函數(shù)定義域及解析式,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)函數(shù)的解析式通過(guò)求解分段函數(shù)問(wèn)題,培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng)1.(概念辨析)(多選)以下屬于函數(shù)的有().A.y=x B.y2=x1C.y=x-2+1?x D.y=x22(x∈2.(對(duì)接教材)已知集合A={0,1,2},B={1,1,3},下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中,從A到B的函數(shù)為().A.f:x→y=x B.f:x→y=x2C.f:x→y=2x D.f:x→y=2x13.(對(duì)接教材)已知函數(shù)f(x)=2?x,x≥1,x2,x<1,那么f4.(易錯(cuò)自糾)直線(xiàn)x=a和函數(shù)y=f(x)的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.

5.(真題演練)(2022·北京卷)函數(shù)f(x)=1x+1?x的定義域是函數(shù)的概念典例1下列對(duì)應(yīng)關(guān)系式中是A到B的函數(shù)的有().①A=N,B=R,對(duì)于任意的x∈A,x→±x;②A=R,B=N,對(duì)于任意的x∈A,x→|x2|;③A=R,B={正實(shí)數(shù)},對(duì)于任意的x∈A,x→1x④A={1,2,3},B=R,f(1)=f(2)=3,f(3)=4;⑤A=[1,1],B={0},對(duì)于任意的x∈A,x→0.A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)1.函數(shù)的定義要求第一個(gè)數(shù)集A中的任何一個(gè)元素在第二個(gè)數(shù)集B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng),即可以“多對(duì)一”,不能“一對(duì)多”,而B(niǎo)中有可能存在與A中元素不對(duì)應(yīng)的元素.2.構(gòu)成函數(shù)的三要素中,定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,則值域一定相同.訓(xùn)練1(1)(多選)下列四組函數(shù)中,f(x),g(x)表示同一函數(shù)的是().f(x)=x2+3x+1,g(t)=t2+3t+1B.f(x)=x,g(x)=3xC.f(x)=1,g(x)=x0D.f(x)=(x+1)2,g(x)(2)下列各曲線(xiàn)表示的y與x之間的關(guān)系中,y不是x的函數(shù)的是().A BC D函數(shù)的定義域典例2(1)函數(shù)y=lg(2?x)12+x-x2+((2)已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇8,1],則函數(shù)g(x)=f(2x+1)x+2A.(∞,2)∪(2,3] B.[8,2)∪(2,1]C.-92,-2 D.-92,-21.給定函數(shù)的解析式,求函數(shù)的定義域的依據(jù)是使解析式有意義,如分式的分母不等于零,偶次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù),零指數(shù)冪的底數(shù)不為零,對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零且底數(shù)為不等于1的正數(shù)以及三角函數(shù)的定義域等.2.求函數(shù)的定義域往往歸結(jié)為解不等式組問(wèn)題.在解不等式組時(shí)要細(xì)心,取交集時(shí)可借助數(shù)軸,并且要注意端點(diǎn)值或邊界值.3.求復(fù)合函數(shù)的定義域,先由外層函數(shù)的定義域確定內(nèi)層函數(shù)的值域,從而確定對(duì)應(yīng)的內(nèi)層函數(shù)的自變量的取值范圍,同時(shí)還需要確定內(nèi)層函數(shù)的定義域,兩者取交集即可.訓(xùn)練2(1)函數(shù)y=9?x2log2A.(1,3) B.(1,3]C.(1,0)∪(0,3) D.(1,0)∪(0,3](2)已知函數(shù)f(x+1)的定義域?yàn)閇1,5],則f(2x)的定義域?yàn)?).A.[1,3] B.[1,4] C.[2,5] D.[2,6]典例3若函數(shù)f(x)=ax2+abx+b的定義域?yàn)閧x|1≤x≤2},則a+b已知函數(shù)定義域求參數(shù)的值或范圍,可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成含參數(shù)方程或不等式,然后求解.訓(xùn)練3若函數(shù)y=mx-1mx2+4mx+3的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)mA.0,34 B.0,34C.0,求函數(shù)的解析式典例4(1)(待定系數(shù)法)已知f(x)是一次函數(shù),且f(f(x))=4x1,則f(x)的解析式為().A.f(x)=2x13或f(x)=2x+1B.f(x)=2x+1或f(x)=2xC.f(x)=2x1或f(x)=2x+13D.f(x)=2x+1或f(x)=2x(2)(換元法)已知f2x+1=lgx,則f(x)的解析式為(3)(配湊法)已知fx+1x=x2+1x2,則f((4)(構(gòu)造方程組法)若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)2f1x=x+2,則f(x)=函數(shù)解析式的求法(1)待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類(lèi)型,可用待定系數(shù)法.(2)換元法:已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式,可用換元法,此時(shí)要注意新元的取值范圍.(3)配湊法:由已知條件f(g(x))=F(x),可將F(x)改寫(xiě)成關(guān)于g(x)的表達(dá)式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(4)構(gòu)造法:已知f(x)與f1x或f(x)之間的關(guān)系式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組,通過(guò)解方程組求出f(x)訓(xùn)練4(1)已知f(x)是二次函數(shù),且f(0)=2,f(x+1)f(x)=x1,則f(x)=.

(2)已知函數(shù)f(x+1)=3x+2,則f(x)=

(3)已知f(x)滿(mǎn)足2f(x)+f(x)=3x,則f(x)的解析式是.

分段函數(shù)典例5(1)已知a∈R,函數(shù)f(x)=x2-4,x>2,|x-3|+a,x≤2,若f(f(2)(2023·湖南六校聯(lián)考)函數(shù)f(x)=1+x2,x≤0,1,x>0.若f(x4)>f(2x3),A.(1,+∞) B.(∞,1)C.(1,4) D.(∞,1)(3)已知函數(shù)f(x)=x2+1,x≤0,lnx,x>0,若f(a)1.分段函數(shù)的求值問(wèn)題的解題思路(1)求函數(shù)值:當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí),應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)求自變量的值:先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上,然后求出相應(yīng)自變量的值,切記要代入檢驗(yàn).2.分段函數(shù)與方程、不等式問(wèn)題的求解思路依據(jù)不同范圍的解析式分類(lèi)討論求解,最后將討論結(jié)果并起來(lái).訓(xùn)練5(1)已知函數(shù)f(x)=3x+1,x<2,x2+ax,x≥2,若ff23=6,則實(shí)數(shù)(2)設(shè)函數(shù)f(x)=x+1,x≤0,2x,x>0,則滿(mǎn)足f(x)+fx函數(shù)的新定義問(wèn)題典例對(duì)于函數(shù)f(x),若在其圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則稱(chēng)f(x)為“倒戈函數(shù)”,設(shè)函數(shù)f(x)=3x+tanx2m+1(m∈R)是定義在[1,1]上的“倒戈函數(shù)”,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

函數(shù)的“新定義”問(wèn)題,是近幾年高考試題或模擬試題中出現(xiàn)的一種函數(shù)創(chuàng)新試題,一般是以“新定義型”函數(shù)的定義或性質(zhì)為載體,考查函數(shù)的定義、性質(zhì)、運(yùn)算等,考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)綜合解決問(wèn)題的能力.訓(xùn)練設(shè)x∈R,定義符號(hào)函數(shù)sgnx=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,則方程x2sgnx=A.1B.12C.1或12D.1或1+2或12一、單選題1.設(shè)集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下列四個(gè)圖形中,能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有().A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.②2.(2023·廣東模擬)設(shè)函數(shù)y=16?x2的定義域?yàn)锳,函數(shù)y=ln(1x)的定義域?yàn)锽,則A∩B=(A.(1,4) B.(1,4]C.[4,1) D.(4,1)3.已知f12x-1=2x5,且f(a)=6,則a的值為(A.74 B.74 C.434.已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=log13x,x>0,ax+b,x≤0滿(mǎn)足f(0)=2,f(1)=3,A.3 B.2 C.3 D.2二、多選題5.下列每組函數(shù)不是同一函數(shù)的是().A.f(x)=x1,g(x)=(x-1)2B.f(x)=x1,g(x)=(x-1)2C.f(x)=x2-4x-2,g(x)=x+2D.f(x)6.已知函數(shù)f(x)=x+1x,g(x)=2x,x<0,loA.f(g(2))=2 B.g(f(1))=1C.f(g(1))=2 D.g(f(1))=1三、填空題7.已知f(x)=x+x+1,則f(2)=.

8.已知函數(shù)f(x+2)的定義域?yàn)?3,4),則函數(shù)g(x)=f(x)3x1>0,所以x>13,取交集可得函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?四、解答題9.若函數(shù)y=1+xax2-4ax+2的定義域?yàn)?0.如圖所示,已知底角為45°的等腰梯形ABCD,底邊BC的長(zhǎng)為7cm,腰長(zhǎng)為22cm,當(dāng)垂直于底邊BC(垂足為F)的直線(xiàn)l從左至右移動(dòng)(與梯形ABCD有公共點(diǎn))時(shí),直線(xiàn)l把梯形分成兩部分,令BF=x,試寫(xiě)出左邊部分的面積y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并畫(huà)出大致圖象.11.某學(xué)校要召開(kāi)學(xué)生代表大會(huì),規(guī)定各班每10人推選1名代表,當(dāng)班級(jí)人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選1名代表,那么各班可推選代表人數(shù)