2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版二十八 平面向量的概念及其運(yùn)算含答案

9版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版二十八平面向量的概念及其運(yùn)算二十八平面向量的概念及其運(yùn)算(時(shí)間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)如圖,在正六邊形ABCDEF中,點(diǎn)O為中心,則下列錯(cuò)誤的是 ()A.AB=OC B.AB∥DEC.|AD|=|BE| D.AD=FC【解析】選D.對于A,由正六邊形的性質(zhì)可得四邊形OABC為平行四邊形,故AB=OC,故A正確.對于B,因?yàn)锳B∥DE,故AB∥DE,故B正確.對于C,由正六邊形的性質(zhì)可得|AD|=|BE|,故|AD|=|BE|,故C正確.對于D,因?yàn)锳D,FC交于O,故AD=FC不成立,故D錯(cuò)誤.2.(5分)(多選題)(2023·鄭州模擬)設(shè)a是非零向量,λ是非零實(shí)數(shù),下列結(jié)論中不正確的是 ()A.a與λ2a的方向相同B.a與-λa的方向相反C.λa=λaD.-λa=-λ【解析】選BCD.因?yàn)棣?>0,所以a與λ2a的方向相同,故A選項(xiàng)正確;當(dāng)λ<0時(shí),a與-λa的方向相同,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng)λ<0時(shí),λa<0,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng)λ>0時(shí),-λa<0,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.3.(5分)(2023·汕頭模擬)在△ABC中,BD=13BC,若AB=a,AC=b,則AD= (A.23a+13b B.13aC.13a-23b D.23a【解析】選A.AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC4.(5分)(2023·鹽城模擬)在平行四邊形ABCD中,E是線段BD的中點(diǎn),若AB=mAD+nEC,則m+n的值為 ()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】選C.由AB=AD+DB=AD+DC+CB=AD+DA+AC+DA=2EC-AD,所以m=-1,n=2,則m+n=1.5.(5分)在四邊形ABCD中,若AC=AB+AD,且|AB+AD|=|AB-AD|,則 ()A.四邊形ABCD是矩形B.四邊形ABCD是菱形C.四邊形ABCD是正方形D.四邊形ABCD是平行四邊形【解析】選A.因?yàn)锳C=AB+AD,所以四邊形ABCD為平行四邊形,又|AB+AD|=|AB-AD|,所以|AC|=|DB|,即對角線相等,所以四邊形ABCD為矩形.6.(5分)(多選題)(2023·哈爾濱模擬)在△ABC中,D為BC中點(diǎn),AG=2GD,則下列等式中一定成立的是 ()A.AB+AC=2ADB.AG=13ABC.S△ABC=3S△GBCD.AG=13AB【解析】選ABC.對于A,由D為BC的中點(diǎn),則AB+AC=2AD,故A正確;對于B,D,由AG=2GD,則AG=23AD=23(12AB+12對于C,如圖,AF⊥BC,GE⊥BC,由AG=2GD,則ADGD=31,由AF⊥BC,GE⊥BC,則△AFD∽△即AFGE=ADGD=31,S△ABCS7.(5分)(2023·上海浦東模擬)設(shè)a,b是兩個(gè)不共線向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)p的值為__________.

【解析】由題意BD=BC+CD=2a-b,因?yàn)锳,B,D三點(diǎn)共線,所以AB,BD共線,所以存在實(shí)數(shù)λ,使得2a+pb=λ(2a-b),所以2=2λ,p=-λ,所以λ=1,p=-1.答案:-18.(5分)(2023·菏澤模擬)已知a,b是兩個(gè)不共線的向量,b-ta與12a-32b共線,則實(shí)數(shù)t=【解析】因?yàn)閎-ta與12a-32b共線,所以b-ta=λ(12a-3b-ta=λ2a-3λ2b,又a,b是兩個(gè)不共線的向量,所以-t=答案:19.(10分)設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求證:A,B,D三點(diǎn)共線;(2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb反向共線.【解析】(1)因?yàn)锳B=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),所以BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB,所以AB,BD共線,又因?yàn)樗鼈冇泄颤c(diǎn)B,所以A,B,D三點(diǎn)共線.(2)因?yàn)閗a+b與a+kb反向共線,所以存在實(shí)數(shù)λ(λ<0),使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb,所以(k-λ)a=(λk-1)b.因?yàn)閍,b是不共線的兩個(gè)非零向量,所以k-λ=0λk-1=0,所以k2-1=0,所以k【能力提升練】10.(5分)(2023·廣州模擬)在△ABC中,M是AC邊上一點(diǎn),且AM=12MC,N是BM上一點(diǎn),若AN=19AC+mBC,則實(shí)數(shù)m的值為A.-13 B.-16 C.16 【解析】選D.由AM=12MC,得出AC=3AM,由AN=19AC+mBC得AN=19AC+m(AC-AB)=(19+m)AC-mAB=(13因?yàn)锽,N,M三點(diǎn)共線,所以(13+3m)+(-m)=1,解得m=111.(5分)(多選題)下列說法中正確的是 ()A.λ,μ為實(shí)數(shù),若λa=μb,則a與b共線B.若a∥b(b≠0),則存在唯一實(shí)數(shù)λ使得a=λbC.兩個(gè)非零向量a,b,若a-b=a+b,則a與D.若2OA+OB+3OC=0,S△AOC,S△AOB分別表示△AOC,△AOB的面積,則S△AOC∶S△AOB=1∶3【解析】選BCD.對于A項(xiàng),當(dāng)λ=μ=0時(shí),a與b可以為任意向量,滿足λa=μb,但a與b不一定共線,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;對于B項(xiàng),若a∥b(b≠0),則存在唯一實(shí)數(shù)λ使得a=λb,故B項(xiàng)正確;對于C項(xiàng),兩個(gè)非零向量a,b,若|a-b|=|a|+|b|,則a與b共線且反向,故C項(xiàng)正確;對于D項(xiàng),因?yàn)?OA+OB+3OC=0,整理得2OA+2OC=-(OB+OC),分別取BC,AC的中點(diǎn)E,F,如圖所示:故4OF=-2OE,即2OF=-OE,所以O(shè),E,F三點(diǎn)共線,故OE=2OF,OE=23所以O(shè)E=13AB,OF=16AB,S△AOC=16S△ABC,S△AOB=故S△AOC∶S△AOB=1∶3,故D項(xiàng)正確.12.(5分)如圖所示,在正方形ABCD中,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F為CD上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn),點(diǎn)G為AE上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn),則向量FG用AB與AD表示為________________.

【解析】由題意可得:AE=AB+BE=AB+12AD,FE=FC+CE=14所以FG=FE+EG=FE-23AE=(14AB-12AD)-23(AB+答案:FG=-512AB13.(5分)如圖,點(diǎn)G為△ABC的重心,過點(diǎn)G的直線分別交直線AB,AC于D,E兩點(diǎn),AB=3mAD(m>0),AC=3nAE(n>0),則m+n=________;1m+1n的最小值為【解題指南】利用重心的性質(zhì)以及平面的線性運(yùn)算可知AG=mAD+nAE,設(shè)DG=λGE,由D,G,E三點(diǎn)共線可知AG=1λ+1AD故可知m+n=1,利用1的妙用以及基本不等式求出1m+1n【解析】由重心的性質(zhì)可知AG=23×12(AB+AC)=13(3mAD+3=mAD+nAE(m>0,n>0),設(shè)DG=λGE,由已知得AG=AD+DG,AG=AE+EG,兩式相加得2AG=AD+AE+(1-1λ)DG=AD+AE+(1-1λ)(AG-整理得AG=1λ+1AD+λλ+1AE,所以m=1λ+1,n=λλ1m+1n=(1m+1n)(m+n)=2+nm當(dāng)且僅當(dāng)nm=mn,即m=n=1答案:1414.(10分)(2023·滄州模擬)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在線段AB上,AD與CE交于點(diǎn)O.(1)若AO=2OD,求證:OA+OB+OC=0;(2)若AE=2EB,AO=λAD,求實(shí)數(shù)λ的值.【解題指南】(1)由點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)可得2OD=OB+OC,再結(jié)合已知條件即可證明;(2)設(shè)AB=a,AC=b,OC=μEC,利用向量減法法則可得EC=b-23a,OC=(1-λ2)b-λ從而可得1-λ【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)D為BC的中點(diǎn),所以BD+CD=0,因?yàn)镺D=OB+BD,OD=OC+CD,兩式相加得2OD=OB+OC,所以AO=2OD=OB+OC,即OA+OB+OC=OA+AO=0.(2)由AE=2EB,得AE=23AB,設(shè)AB=a,AC=b,OC=μEC,則EC=AC-AE=AC-23AB=b又OC=AC-AO=AC-λAD=AC-λ(AB+AC)2=(1-λ2)b-λ2a.所以(1-λ2)b-λ2因?yàn)閍,b不共線,所以1-λ2=μ15.(10分)如圖,在△ABC中,BC=4BD,AC=3CE,BE與AD相交于點(diǎn)M.(1)用AB,AC表示AD,BE;(2)若AM=mAB+nAC,求m+n的值.【解析】(1)因?yàn)锽C=4BD,所以BD=14BC=14(AC-AB)=1所以AD=AB+BD=AB+14AC-14AB=因?yàn)锳C=3CE,所以AE=23AC,所以BE=AE-AB=23(2)因?yàn)锳,M,D三點(diǎn)共線,所以AM=λAD=3λ4AB因?yàn)锳M=mAB+nAC,所以m=3λ4n=λ4,即m=3所以AM=kAB+(1-k)AE=kAB+2(1-因?yàn)锳M=mAB+nAC,所以m=因?yàn)閙=3n,所以k=3×23(1-k),解得k=23,從而m=23,n=29,故m+【素養(yǎng)創(chuàng)新練】16.(5分)(多選題)(2023·棗莊模擬)數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,此直線被稱為三角形的歐拉線,該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點(diǎn)O,G,H分別是△ABC的外心、重心、垂心,且M為BC的中點(diǎn),則 ()A.OH=OA+OB+OC B.S△ABG=S△BCG=S△ACGC.AH=3OM D.AB+AC=4OM+2HM【解析】選ABD.A.因?yàn)镺G=12GH,所以O(shè)G=13所以GA+GB+GC=0,所以O(shè)A-OG+OB-OG+OC-OG=0,所以O(shè)G=13(OA+OB+OC),所以13OH=13(OA+所以O(shè)H=OA+OB+OC,所以該選項(xiàng)正確.B.S△BCG=12×BC×h1,S△ABC=12×BC×h2,由于G是重心,所以h1=13所以S△BCG=13S△ABC,同理S△ABG=13S△ABC,S△ACG=13S△ABC,所以S△ABG=S△BCG=S所以該選項(xiàng)正確.C.AH=AG+GH=2GM+2OG=2(OG+GM)=2OM,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.D.因?yàn)镺H=3OG,所以MG=23MO+13MH,所以GM=所以AB+AC=2AM=6GM=6(23OM+13HM)=4OM17.(5分)(2023·長沙模擬)如圖,在△ABC中,M為線段BC的中點(diǎn),G為線段AM上一點(diǎn),AG=2GM,過點(diǎn)G的直線分別交直線AB,AC于P,Q兩點(diǎn),AB=xAP(x>0),AC=yAQ(y>0),則4x+1y+1的最小值為 A.34 B.94 C.3 【解析】選B.因?yàn)镸為線段BC的中點(diǎn),所以AM=12(AB+AC又因?yàn)锳G=2GM,所以AG=23AM=13(AB又AB=xAP(x>0),AC=yAQ(y>0),所以AG=x3AP+又P,G,Q三點(diǎn)共線,所以x3+y3=1,即x+所以4x+1y+1=14(4x+1y+1)[x+(y+1)]=1≥14(5+2xy+1·4(y+1)x)=94,當(dāng)且僅當(dāng)xy二十二任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念(時(shí)間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)若角α滿足α=45°+k·360°,k∈Z,則角α的終邊落在 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選A.角α滿足α=45°+k·360°,k∈Z,則角α的終邊落在第一象限.2.(5分)若θ是第二象限角,則下列選項(xiàng)中能確定為正值的是 ()A.sinθ2 B.cosC.tanθ2 D.cos2【解析】選C.由θ是第二象限角可得θ2為第一或第三象限角,2θ為第三或第四象限角,所以tanθ23.(5分)在平面直角坐標(biāo)系中,以x軸的非負(fù)半軸為角的始邊,如果角α,β的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)(1213,513)和(-35,45),那么sinαcosβ=A.-3665 B.-313 C.413 【解析】選B.由題意,角α,β的終邊與單位圓分別交于點(diǎn)(1213,513)和(-35,45),由三角函數(shù)的定義,可得sinα=513,cosβ=-35,所以sinαcosβ=513×4.(5分)我國在文昌航天發(fā)射場用長征五號遙五運(yùn)載火箭成功發(fā)射探月工程嫦娥五號探測器,順利將探測器送入預(yù)定軌道,經(jīng)過兩次軌道修正,嫦娥五號順利進(jìn)入環(huán)月軌道飛行,嫦娥五號從橢圓形環(huán)月軌道變?yōu)榻鼒A形環(huán)月軌道,若這時(shí)把近圓形環(huán)月軌道看作圓形軌道,嫦娥五號距離月球表面400千米,已知月球半徑約為1738千米,則嫦娥五號繞月每旋轉(zhuǎn)π3弧度,飛過的路程約為(取π≈3.14) (A.1069千米 B.1119千米C.2138千米 D.2238千米【解析】選D.嫦娥五號繞月飛行半徑為400+1738=2138(千米),所以嫦娥五號繞月每旋轉(zhuǎn)π3弧度,飛過的路程約為l=αr=π3×2138≈35.(5分)(多選題)下列結(jié)論正確的是 ()A.-7π6B.角α的終邊在直線y=x上,則α=kπ+π4(k∈ZC.若角α的終邊過點(diǎn)P(-3,4),則cosα=-3D.若角α為銳角,則角2α為鈍角【解析】選BC.對于A選項(xiàng),因?yàn)?7π6=5π6-2π且5π6對于B選項(xiàng),根據(jù)終邊相同角的表示可知角α的終邊在直線y=x上,則α=kπ+π4(k∈Z對于C選項(xiàng),由三角函數(shù)的定義可得cosα=-332對于D選項(xiàng),取α=π6,則角α為銳角,但2α=π3,即角2α6.(5分)(多選題)已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)(-2,-3),且θ與α的終邊關(guān)于x軸對稱,則下列選項(xiàng)正確的是 ()A.sinθ=-21B.α為鈍角C.cosα=-2D.點(diǎn)(tanθ,sinα)在第一象限【解析】選ACD.角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)(-2,-3),sinθ=-217θ與α的終邊關(guān)于x軸對稱,由題意得α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(-2,3),α為第二象限角,不一定為鈍角,cosα=-27因?yàn)閠anθ=32>0,sinα=217>0,所以點(diǎn)(tanθ,sinα7.(5分)終邊在直線y=-x上的一個(gè)角α可以是__________________.

【解析】終邊在直線y=-x上的角的集合為{θ|θ=3π4+kπ,k∈Z},所以終邊在直線y=-x上的一個(gè)角α可以是3π答案:3π48.(5分)《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著,其中給出了弧田面積的計(jì)算公式.如圖所示,弧田是由AB及其所對弦AB圍成的圖形.若弧田的弦AB長是2,弧所在圓心角的弧度數(shù)也是2,則弧田的AB長為________,弧田的面積為________________.

【解析】由題意可知:BC=AC=1,AO=ACsin1=1sin1,OC=BCtan1所以AB長=2×1sin1=2sin1,弧田的面積=S扇形AOB-S△AOB=12×2×(1sin1)2-12×2×1答案:2sin11si9.(10分)已知1|sinα|=-1(1)試判斷角α所在的象限;(2)若角α的終邊上一點(diǎn)M(35,m),且|OM|=1(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求m的值及sinα的值【解析】(1)由1|sinα|=-1sinα,得sin所以α是第四象限角.(2)因?yàn)閨OM|=1,所以(35)2+m2=1,解得m=±45.又α為第四象限角,故m<0,從而m=-45,sinα=yr=m|【能力提升練】10.(5分)如果點(diǎn)P(2sinθ,sinθ·cosθ)位于第四象限,那么角θ所在的象限為 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選B.因?yàn)辄c(diǎn)P(2sinθ,sinθ·cosθ)位于第四象限,所以2sinθ>0,sinθ·11.(5分)(2024·青島模擬)中國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》的第一章“方田”中載有“半周半徑相乘得積步”,其大意為:圓的半周長乘其半徑等于圓面積.南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之曾用圓內(nèi)接正多邊形的面積“替代”圓的面積,并通過增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)n使得正多邊形的面積更接近圓的面積,從而更“精確”地估計(jì)圓周率π.據(jù)此,當(dāng)n足夠大時(shí),可以得到π與n的關(guān)系為 ()A.π≈n2sinB.π≈nsin180C.π≈n2D.π≈n【解析】選A.設(shè)圓的半徑為r,將內(nèi)接正n邊形分成n個(gè)小三角形,由內(nèi)接正n邊形的面積無限接近圓的面積可得:πr2≈n·12·r2·sin360°n,解得π≈n12.(5分)(多選題)下列命題正確的是 ()A.在與530°角終邊相同的角中,最小的正角為170°B.若角α的終邊過點(diǎn)P(-4,3),則cosα=-4C.已知θ是第二象限角,則tan(sinθ)>tan(cosθ)D.若一扇形弧長為2,圓心角為90°,則該扇形的面積為1【解析】選ABC.選項(xiàng)A:由0°<k·360°+530°<360°且k∈Z,可得k=-1,故所求的最小正角β=170°,正確;選項(xiàng)B:由三角函數(shù)的定義可得cosα=-432選項(xiàng)C:因?yàn)棣仁堑诙笙藿?所以0<sinθ<1<π2,-π2<-1<cos所以tan(sinθ)>0,tan(cosθ)<0,所以tan(sinθ)>tan(cosθ),正確;選項(xiàng)D:弧長為2,圓心角為90°,則扇形的半徑為4π,所以扇形面積為12×2×4π=13.(5分)已知扇形的圓心角所對的弦長為2,圓心角為2π3弧度,則扇形的面積是________【解析】由題意可得Rt△AOD中∠AOD=π3,AD=1,由ADOA=sinπ3可得扇形的半徑r=OA=1sinπ3=233,所以扇形的弧長l所以扇形的面積S=12lr=12×439π×答案:4π14.(10分)角α終邊上的點(diǎn)P與A(a,2a)關(guān)于x軸對稱(a>0),角β終邊上的點(diǎn)Q與A關(guān)于直線y=x對稱,求sinα·cosα+sinβ·cosβ+tanα·tanβ的值.【解析】由題意得,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,-2a),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2a,a).所以sinα=-2aa2+(-2a)2=-25sinβ=a(2a)2+a2=15,cosβ=2故有sinα·cosα+sinβ·cosβ+tanα·tanβ=-25×15+15×2515.(10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合且與單位圓相交于點(diǎn)A(1,0),它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點(diǎn)B,始邊不動(dòng),終邊在運(yùn)動(dòng).(1)若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-12,求sinα的值和與角α終邊相同的角β(2)若α∈(0,π2],請寫出弓形AB的面積S與α的函數(shù)關(guān)系式.【解析】(1)由題意知,若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-12,可得B的坐標(biāo)為(-12,32),所以sinα=32,于是α=2π3+2kπ,k∈Z,與角α終邊相同的角β的集合為{β|β=2π3+2k(2)△AOB的AB邊上的高為1×cosα2,AB=2sinα2,故S△AOB=12×2sinα2×cosα2=sinα2×cosα2,故弓形AB的面積S=12·α·12-sinα2×cosα2=12α-sinα2×cosα2=1【素養(yǎng)創(chuàng)新練】16.(5分)點(diǎn)P(cosθ,sinθ)與點(diǎn)Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6))關(guān)于y軸對稱,寫出一個(gè)符合題意的θ的值為【解析】因?yàn)镻(cosθ,sinθ)與Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6))關(guān)于y軸對稱,即θ,θ+π6關(guān)于y軸對稱,θ+π6+θ=π+2kπ,k∈Z,則θ=kπ+5π12當(dāng)k=0時(shí),可取θ的一個(gè)值為5π12.(滿足θ=kπ+5π12,k∈Z答案:5π1217.(5分)如圖,點(diǎn)P是半徑為2的圓O上一點(diǎn),現(xiàn)將如圖放置的邊長為2的正方形ABCD(頂點(diǎn)A與P重合)沿圓周逆時(shí)針滾動(dòng).若從點(diǎn)A離開圓周的這一刻開始,正方形滾動(dòng)至使點(diǎn)A再次回到圓周上為止,稱為正方形滾動(dòng)了一輪,則當(dāng)點(diǎn)A第一次回到點(diǎn)P的位置時(shí),正方形滾動(dòng)了________輪,此時(shí)點(diǎn)A走過的路徑的長度為________.

【解析】正方形滾動(dòng)一輪,圓周上依次出現(xiàn)的正方形頂點(diǎn)為B→C→D→A,頂點(diǎn)兩次回到點(diǎn)P時(shí),正方形頂點(diǎn)將圓周正好分成六等份,又4和6的最小公倍數(shù)為3×4=2×6=12,所以到點(diǎn)A首次與P重合時(shí),正方形滾動(dòng)了3輪.這一輪中,點(diǎn)A路徑A→A'→A″→A是圓心角為π6,半徑分別為2,22,2的三段弧,故路徑長l=π6·(2+22+2)=(2+2)π3,所以點(diǎn)答案:3(2+2)π二十九平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示(時(shí)間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)已知向量a=(1,m),b=(2,-3),且a∥b,則m= ()A.-32 B.23 C.-12 【解析】選A.根據(jù)題意,a=(1,m),b=(2,-3),若a∥b,則有2×m=1×(-3),解得m=-322.(5分)(多選題)(2023·哈爾濱模擬)下列兩個(gè)向量,能作為基底向量的是 ()A.e1=(0,0),e2=(3,2)B.e1=(2,-1),e2=(1,2)C.e1=(-1,-2),e2=(4,8)D.e1=(2,1),e2=(3,4)【解析】選BD.A選項(xiàng),零向量和任意向量平行,所以e1,e2不能作為基底.B選項(xiàng),因?yàn)?1≠-12,所以e1,eC選項(xiàng),e1=-14e2,所以e1,e2平行,不能作為基底D選項(xiàng),因?yàn)?3≠14,則e1,e23.(5分)如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E為AD的中點(diǎn),若CA=λCE+μDB(λ,μ∈R),則λ+μ的值為 ()A.65 B.85 C.2 【解析】選B.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則D(0,0).不妨設(shè)AB=1,則CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),所以CA=(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2),因?yàn)镃A=λCE+μDB,所以(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),所以-解得λ=65,μ=24.(5分)在△ABC中,CM=3MB,AN+CN=0,則 ()A.MN=14AC+34AB B.MNC.MN=16AC-23AB D.MN【解析】選D.因?yàn)镃M=3MB,AN+CN=0,所以M是位于BC上的靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn),N為AC的中點(diǎn),如圖所示:所以MN=AN-AM=12AC-AB-BM=12AC-AB-14BC=12AC-AB-14(5.(5分)(多選題)如果e1,e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,那么下列說法中不正確的是 ()A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量B.對于平面α內(nèi)任一向量a,使a=λe1+μe2的實(shí)數(shù)對(λ,μ)有無窮多個(gè)C.若向量λ1e1+μ1e2與λ2e1+μ2e2共線,則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)D.若實(shí)數(shù)λ,μ使得λe1+μe2≠0,則λ≠0且μ≠0【解析】選BCD.根據(jù)平面向量基本定理可知A正確,不符合題意;根據(jù)平面向量基本定理可知,如果一個(gè)平面的基底確定,那任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對都是唯一的,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤,符合題意;當(dāng)兩向量的系數(shù)均為0時(shí),這樣的λ有無數(shù)個(gè),故C選項(xiàng)錯(cuò)誤,符合題意;若實(shí)數(shù)λ,μ使得λe1+μe2≠0,則λ和μ可以有1個(gè)等于零,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤,符合題意.6.(5分)(多選題)(2023·漳州模擬)如圖,在四邊形ABCD中,AB=3DC,點(diǎn)M滿足CM=2MD,N是BC的中點(diǎn).設(shè)AB=a,AD=b,則下列等式正確的是 ()A.BD=a-b B.AC=13a+C.BM=-89a+b D.AN=23a+【解析】選BC.對于A,BD=AD-AB=b-a,A錯(cuò)誤;對于B,AC=AD+DC=b+13AB=13a對于C,BM=AM-AB=AD+DM-AB=AD+13DC-AB=AD+19AB-AB=-8對于D,由B知:AN=12(AB+AC)=12(a+13a+b)=23a+7.(5分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn),且A(1,1),C(2,3),|BC|=2|AC|,則向量OB的坐標(biāo)是__________.

【解析】由點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn),|BC|=2|AC|,得BC=-2AC.設(shè)點(diǎn)B(x,y),則(2-x,3-y)=-2(1,2),即2-x=-2,答案:(4,7)8.(5分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),P1P=-2PP2,若P1(1,2),P2(2,-1),則與【解析】由P1P=-2PP2得P1P+2PP2=0,即P1OP2-OP1=OP-OP2,OP=2OP與OP同向的單位向量為OPOP=(35,-45),反向的單位向量為(-35答案:(35,-45)和(-359.(10分)(2023·泰安模擬)如圖,在△ABC中,AM=13AB,BN=12BC.設(shè)AB=a,(1)用a,b表示BC,MN;(2)若P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn),且AP=512a+14b.求證:M,P,N三點(diǎn)共線,并指明點(diǎn)P【解析】(1)依題意,BC=AC-AB=b-a,MN=BN-BM=12BC+23AB=12(b-a)+2a3(2)由AM+AN=13AB+AC+CN=13AB+AC-12BC=13a+b-12(b-又AP=512a+14b,所以AP=12AM+12AN,12+12=1,故M,P【加練備選】(多選題)(2023·重慶模擬)如圖,AB=2AE,AC=3AD,線段BD與CE交于點(diǎn)F,記AB=a,AC=b,則 ()A.DE=12a-1B.DE=-12a+2C.AF=35a+2D.AF=25a+1【解析】選AD.DE=AE-AD=12AB-13AC=12a設(shè)AF=xa+yb,EF=EA+AF=(x-12)a+yb,EC=EA+AC=-12a+因?yàn)镋F∥EC,所以x-12-12=y1,同理DF=xa+(y-13)b,DB=a-13b聯(lián)立解得x=25,y=15,所以AF=25a+1【能力提升練】10.(5分)已知AD,BE分別是△ABC的邊BC,AC上的中線,且AD=a,BE=b,則BC=()A.13a+23b B.23aC.23a+43b D.43a【解析】選C.因?yàn)锽C=BE+EC=b+EC,AC=AD+DC=a+DC,且EC=12AC,DC=12BC,可得BC=b+12AC,所以BC=b+12(a+12BC),整理得BC=23a11.(5分)已知點(diǎn)A(2,3),B(4,5),C(7,10),若AP=AB+λAC(λ∈R),且點(diǎn)P在直線x-2y=0上,則λ的值為 ()A.23 B.-23 C.32 【解析】選B.設(shè)P(x,y),則由AP=AB+λAC,得(x-2,y-3)=(2,2)+λ(5,7)=(2+5λ,2+7λ),所以x=5λ+4,y=7λ+5.又點(diǎn)P在直線x-2y=0上,故5λ+4-2(7λ+5)=0,解得λ=-2312.(5分)(2023·黃岡模擬)在△ABC中,點(diǎn)M在線段BC上,AN=23AM=λAB+μAC,則λ+μ= (A.14 B.13 C.23 【解析】選C.因?yàn)辄c(diǎn)M在線段BC上,所以存在實(shí)數(shù)t,使得BM=tBC,所以AM-AB=t(AC-AB),即AM=(1-t)AB+tAC,所以AN=23AM=2(又AN=λAB+μAC,所以λ=2(1-t)13.(5分)(2023·九江模擬)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊AC上,且滿足3AE=AC,BE交AD于點(diǎn)F,設(shè)BF=λAB+μAC(λ,μ∈R),則λ+μ=__________;AFAD=__________【解題指南】根據(jù)向量共線定理表示出AD,AF,從而求出λ,μ,即可求解出λ+μ,AFAD【解析】設(shè)AF=mAD,BF=nBE,根據(jù)向量共線定理,得AF=mAD,AF=nAE+(1-n)AB,3AE=AC,所以AF=n3AC+(1-n)AB,又因?yàn)锳D=12(AB所以n3AC+(1-n)AB=m2(AB+AC),得n代入BF=nBE=n(AE-AB)=34(13AC-AB)=14AC-34AB,得λ則有λ+μ=-12,AFAD=答案:-1214.(10分)(2023·信陽模擬)已知e1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量,AB=2e1+e2,BE=-e1+λe2,EC=-2e1+e2,且A,E,C三點(diǎn)共線.(1)求實(shí)數(shù)λ的值;(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求BC的坐標(biāo);(3)已知D(3,5),在(2)的條件下,若A,B,C,D四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形,求點(diǎn)A的坐標(biāo).