2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版十九 利用導(dǎo)數(shù)研究恒(能)成立問題含答案

6版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版十九利用導(dǎo)數(shù)研究恒(能)成立問題十九利用導(dǎo)數(shù)研究恒(能)成立問題(時(shí)間:45分鐘分值:40分)1.(10分)已知函數(shù)f(x)=xlnx(x>0).(1)求函數(shù)f(x)的極值;(2)若存在x∈(0,+∞),使得f(x)≤-x2+mx【解析】(1)由f(x)=xlnx,得f'(x)=1+lnx,令f'(x)>0,得x>1e;令f'(x)<0,得0<x<1所以f(x)在(0,1e)上單調(diào)遞減,在(1所以f(x)在x=1e為f(1e)=-1e(2)由f(x)≤-x得m≥2x問題轉(zhuǎn)化為m≥(2xlnx令g(x)=2xlnx+x2+3x=2lnx+x+3x(x>0).g'(x由g'(x)>0,得x>1;由g'(x)<0,得0<x<1,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(1)=4,則m≥4,故m的最小值為4.【加練備選】已知函數(shù)f(x)=ex-ax-1.(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;(2)若f(x)≤x2在[0,+∞)上有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ex-x-1,所以f'(x)=ex-1,當(dāng)x<0時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)f(x)有極小值f(0)=0,無極大值,即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),極小值為0,無極大值.(2)因?yàn)閒(x)≤x2在[0,+∞)上有解,所以ex-x2-ax-1≤0在[0,+∞)上有解,當(dāng)x=0時(shí),不等式成立,此時(shí)a∈R;當(dāng)x>0時(shí),不等式等價(jià)于a≥exx-(x+1x)在(0,+∞)上有解,令g(x)=exx-(x+1x),則g'(x)=由(1)知當(dāng)a=1時(shí),f(x)>f(0)=0,即ex-(x+1)>0,所以當(dāng)0<x<1時(shí),g'(x)<0;當(dāng)x>1時(shí),g'(x)>0,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=1時(shí),g(x)min=e-2,所以a≥e-2,綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍是[e-2,+∞).2.(10分)(2023·寶雞模擬)已知函數(shù)f(x)=ex+aln(-x)+1,f'(x)是其導(dǎo)函數(shù),其中a∈R.(1)若f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,求a的取值范圍;(2)若不等式f(x)≤f'(x)對(duì)?x∈(-∞,0)恒成立,求a的取值范圍.【解析】(1)f'(x)=ex+ax因?yàn)閒(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,所以f'(x)=ex+ax即a≥-x·ex在(-∞,0)上恒成立.令g(x)=-x·ex(x<0),則g'(x)=-ex-xex=-(x+1)ex,當(dāng)x<-1時(shí),g'(x)>0,當(dāng)-1<x<0時(shí),g'(x)<0,所以函數(shù)g(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞增,在(-1,0)上單調(diào)遞減,所以g(x)max=g(-1)=1e所以a的取值范圍為[1e,+∞)(2)由f(x)≤f'(x)得aln(-x)+1≤ax即aln(-x)-ax+1≤0對(duì)?x∈令h(x)=aln(-x)-ax+1(xh'(x)=ax+ax2=a當(dāng)a=0時(shí),h(x)=1,不滿足h(x)≤0;當(dāng)a>0時(shí),令h'(x)=0,得x=-1,x(-∞,-1)-1(-1,0)h'(x)-0+h(x)↘↗極小值h(-1)=a+1,h(x)min=h(-1)=a+1>0,舍去;當(dāng)a<0時(shí),令h'(x)=0,得x=-1,x(-∞,-1)-1(-1,0)h'(x)+0-h(x)↗↘極大值h(-1)=a+1,h(x)max=h(-1)=a+1,由a+1≤0a<0綜上a≤-1,a∈(-∞,-1].【加練備選】已知函數(shù)f(x)=ex-1-ax+lnx(a∈R).若不等式f(x)≥lnx-a+1對(duì)一切x∈[1,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)【解析】f(x)≥lnx-a+1可化為ex-1-ax令φ(x)=ex-1-ax則當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),φ(x)min≥0.因?yàn)棣?(x)=ex-1①當(dāng)a≤1時(shí),φ'(x)≥0,所以φ(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以φ(x)min=φ(1)=1-a+a-1=0≥0恒成立,所以a≤1符合題意.②當(dāng)a>1時(shí),令φ'(x)=0,得x=lna+1>1.當(dāng)x∈[1,lna+1)時(shí),φ'(x)<0,當(dāng)x∈(lna+1,+∞)時(shí),φ'(x)>0,所以φ(x)在[1,lna+1)上單調(diào)遞減,在(lna+1,+∞)上單調(diào)遞增,所以φ(x)min=φ(lna+1)<φ(1)=0與φ(x)min≥0矛盾,故a>1不符合題意.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≤1}.3.(10分)(2023·唐山模擬)已知函數(shù)f(x)=2x3+5x2+4x,g(x)=x2+2x-m-7(x∈R).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若?x1∈[-3,3],?x2∈[-3,1],使得g(x1)=f(x2),求m的取值范圍.【解析】(1)f'(x)=6x2+10x+4=(x+1)(6x+4).在(-∞,-1)和(-23,+∞)上,f'(x)>0,f(x在(-1,-23)上,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減綜上,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)和(-23,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,-23(2)由(1)可知,f(x)在[-3,-1)和(-23,1]上單調(diào)遞增,在(-1,-23又f(-3)=-21,f(-1)=-1,f(-23)=-2827,f(1)=11,所以在[-3,1]上,-21≤f(x又g(x)=x2+2x-m-7=(x+1)2-m-8,所以在[-3,3]上,g(x)min=g(-1)=-m-8,g(x)max=g(3)=-m+8,即-m-8≤g(x)≤-m+8.因?yàn)?x1∈[-3,3],?x2∈[-3,1],g(x1)=f(x2),所以-m-8≥故m的取值范圍是[-3,13].4.(10分)設(shè)f(x)=ax+xlnx,g(x)=x3-x2-3(1)如果存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求滿足上述條件的最大整數(shù)M;(2)如果對(duì)于任意的s,t∈[12,2],都有f(s)≥g(t)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解析】(1)存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,等價(jià)于[g(x1)-g(x2)]max≥M成立.g'(x)=3x2-2x=x(3x-2),令g'(x)=0,得x=0或23因?yàn)間(23)=-8527,g(0)=-3,所以當(dāng)x∈[0,2]時(shí),g(x)max=g(2)=1,g(x)min=g(23)=-8527,所以M≤1-(-8527所以滿足條件的最大整數(shù)M為4.(2)對(duì)任意的s,t∈[12,2]有f(s)≥g(t則f(x)min≥g(x)max.由(1)知當(dāng)x∈[12,2]時(shí),g(x)max=g所以當(dāng)x∈[12,2]時(shí),f(x)=ax+xln即a≥x-x2lnx恒成立.令h(x)=x-x2lnx,x∈[12所以h'(x)=1-2xlnx-x,令φ(x)=1-2xlnx-x,所以φ'(x)=-3-2lnx<0,h'(x)在[12,2]上單調(diào)遞減,又h'所以當(dāng)x∈[12,1]時(shí),h'(x當(dāng)x∈[1,2]時(shí),h'(x)≤0,所以h(x)在[12所以h(x)max=h(1)=1,故a≥1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).十六導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(時(shí)間:45分鐘分值:95分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)已知函數(shù)f(x)=3x+1,則f(1-ΔxA.-13 B.13 C.23 【解析】選A.f(1-Δ=-f'(1)=-(13×1-22.(5分)(多選題)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是 ()A.(x+1x)'=1+B.(log2x)'=1C.(5x)'=5xlog5xD.(x2cosx)'=2xcosx-x2sinx【解析】選BD.A中,(x+1x)'=1-1C中,(5x)'=5xln5,其余正確.3.(5分)(2023·廣西三市聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f'(x),f(x)的圖象在點(diǎn)M(1,f(1))處的切線方程為y=12x+2,那么f(1)+f'(1)= (A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.由題意得f(1)=12×1+2=5f'(1)=12,所以f(1)+f'(1)=52+14.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo),且f(ex)=x+ex,則f'(2023)= ()A.1 B.2 C.12023 【解析】選D.令ex=t,t>0,則x=lnt,所以f(t)=lnt+t,故f(x)=lnx+x(x>0).則f'(x)=1x+1,故f'(2023)=125.(5分)(2023·保定模擬)吹氣球時(shí),氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的關(guān)系是V=43πr3.當(dāng)V=4π3L時(shí),氣球的瞬時(shí)膨脹率(氣球半徑關(guān)于氣球體積的瞬時(shí)變化率)為 (A.14πdm/L B.1C.3L/dm D.4πL/dm【解析】選A.因?yàn)閂=43πr3,所以r=3所以r'=13×(3V4π)

-2當(dāng)V=4π3L時(shí),r'=1所以氣球的瞬時(shí)膨脹率為14πdm/L6.(5分)(2023·丹東模擬)若直線y=2x是曲線y=x(ex-a)的切線,則a= ()A.-e B.-1 C.1 D.e【解析】選B.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,x0(ex0-因?yàn)閥=x(ex-a),所以y'=(ex-a)+xex=(1+x)ex-a,所以在切點(diǎn)處的切線的斜率為(1+x0)ex0-切線方程為y-x0(ex0-a)=[(1+x0)ex0-a](x即y=[(1+x0)ex0-a]x-由題意知(1+x07.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)=exx+a.若f'(1)=e4【解析】f'(x)=ex(x+a)-ex(整理可得a2-2a+1=0,解得a=1.答案:18.(5分)(2021·全國甲卷)曲線y=2x-1【解析】y'=(2x-1x+2)'所以y'|x=-1=5(-所以切線方程為y+3=5(x+1),即5x-y+2=0.答案:5x-y+2=09.(10分)已知曲線y=x3+x-2在點(diǎn)P0處的切線l1平行于直線4x-y-1=0,且點(diǎn)P0在第三象限.(1)求切點(diǎn)P0的坐標(biāo);(2)若直線l⊥l1,且l也過切點(diǎn)P0,求直線l的方程.【解析】(1)由y=x3+x-2,得y'=3x2+1,由已知得3x2+1=4,解得x=±1.當(dāng)x=1時(shí),y=0;當(dāng)x=-1時(shí),y=-4.又點(diǎn)P0在第三象限,所以切點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(-1,-4).(2)因?yàn)橹本€l⊥l1,l1的斜率為4,所以直線l的斜率為-14因?yàn)閘過切點(diǎn)P0,點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(-1,-4),所以直線l的方程為y+4=-14(x+1),即x+4y+17=0【能力提升練】10.(5分)(2023·廣州模擬)曲線y=f(x)=x3+1在點(diǎn)(-1,a)處的切線方程為 ()A.y=3x+3 B.y=3x+1C.y=-3x-1 D.y=-3x-3【解析】選A.因?yàn)閒'(x)=3x2,所以f'(-1)=3,又當(dāng)x=-1時(shí),a=(-1)3+1=0,所以y=x3+1在點(diǎn)(-1,a)處的切線方程為y=3(x+1),即y=3x+3.11.(5分)已知函數(shù)f(x)=alnx,g(x)=bex,若直線y=kx(k>0)與函數(shù)f(x),g(x)的圖象都相切,則a+1b的最小值為 (A.2 B.2e C.e2 D.e【解析】選B.設(shè)直線y=kx與函數(shù)f(x),g(x)的圖象相切的切點(diǎn)分別為A(m,km),B(n,kn).由f'(x)=ax,有解得m=e,a=ek.又由g'(x)=bex,有kn解得n=1,b=ke所以a+1b=ek+ek≥2當(dāng)且僅當(dāng)a=e,b=1e時(shí)等號(hào)成立12.(5分)(多選題)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的定義域均為R,記g(x)=f'(x).若f(32-2x),g(2+x)均為偶函數(shù),則 (A.f(0)=0 B.g(-12C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)【解析】選BC.因?yàn)閒(32-2x)為偶函數(shù),所以f(32-2x)=f(32+2x),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=32對(duì)稱,f(32-2×54)=f(32+2×54),即f(-1)=f(4),故C正確;因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x=32對(duì)稱,所以f(x)=f(3-x),所以f'(x)=-f'(3-x),即g(x)=-g(3-x),所以g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(32,0)對(duì)稱,所以g(32)=0,g(1)=-g(2),又g(2+x)為偶函數(shù),所以g(2+x)=g(2-x),函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,所以g(x)的周期T=4×(2-32)=2,所以g(-12)=g(32)=0,g(-1)=g13.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)=mex-lnx,參數(shù)m>0,過點(diǎn)(0,1)作曲線C:y=f(x)的切線(斜率存在),則切線的斜率為____________(用含m的式子表示).

【解析】由f(x)=mex-lnx,得f'(x)=mex-1x,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t,met-lnt),則f'(t)=met-1所以過切點(diǎn)的切線方程為y-(met-lnt)=(met-1t)(x-t),把(0,1)代入,可得1-(met-lnt)=(met-1t)(0-t),整理得met(t-1)+ln令g(t)=met(t-1)+lnt,g'(t)=mtet+1t>0,g(t又g(1)=0,所以1-(met-lnt)=(met-1t)(0-t)的根為t=1,所以切線的斜率為f'(1)=me-1答案:me-114.(10分)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且滿足f(x)=2xf'(e)+lnx.(1)求f'(e)及f(e)的值;(2)求f(x)在點(diǎn)(e2,f(e2))處的切線方程.【解析】(1)因?yàn)閒(x)=2xf'(e)+lnx,所以f'(x)=2f'(e)+1x,f'(e)=2f'(e)+1所以f'(e)=-1e,f(x)=-2xe所以f(e)=-2ee+lne=-1(2)因?yàn)閒(x)=-2xe+lnx,f'(x)=-2e所以f(e2)=-2e2e+lne2=2-2e,f'(e2)=-2所以f(x)在點(diǎn)(e2,f(e2))處的切線方程為y-(2-2e)=(-2e+1e2)(x即(2e-1)x+e2y-e2=0.15.(10分)已知函數(shù)f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).(1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn),且在原點(diǎn)處的切線斜率為-3,求a,b的值;(2)若曲線y=