2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版五十七　雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)含答案

11版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版五十七雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)含答案五十七雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)(時(shí)間:45分鐘分值:85分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)(2024·青島模擬)若點(diǎn)M在雙曲線x216-y24=1上,雙曲線的焦點(diǎn)為F1,F2,且|MF1|=3|MF2|,則|MFA.2 B.4 C.8 D.12【解析】選B.雙曲線中a2=16,得a=4,則2a=8,由雙曲線的定義可得|MF1|-|MF2|=2a=8,因?yàn)閨MF1|=3|MF2|,所以3|MF2|-|MF2|=8,解得|MF2|=4.2.(5分)已知雙曲線C:x2a2-yA.2 B.3 C.2 D.5【解析】選D.易知雙曲線的漸近線方程為y=±bax,由漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2),可得b故離心率為e=ca=c2a2=【加練備選】(2024·寧波模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F1,F2分別為左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上,PF1⊥PF2,P到左焦點(diǎn)F1的距離是PA.2 B.102 C.2 D.【解析】選B.設(shè)雙曲線C的半焦距為c>0,由題意可知:|PF1|=3|PF2|,則|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2a,可得|PF1|=3|PF2|=3a,因?yàn)镻F1⊥PF2,則|PF1|2+|PF2|2=|F1F2所以雙曲線的離心率是e=ca=c2a3.(5分)(2024·紹興模擬)下列選項(xiàng)中的曲線與x212-y2A.x224-y212=2 B.C.y226-x210=1 D.【解析】選D.雙曲線x212-y224=1的焦點(diǎn)在x軸上,半焦距對(duì)于A,方程x224-y212=2,即x248-y2對(duì)于B,C,方程y224-x212=1,y2對(duì)于D,方程x210-y226=1是焦點(diǎn)在x4.(5分)“m>1”是“方程x2m-y2A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.因?yàn)榉匠蘹2m-所以m(m-1)>0,解得m<0或m>1,因?yàn)橛蒻>1可推出m<0或m>1,但是由m<0或m>1,不能推出m>1,所以“m>1”是“方程x2m-y5.(5分)(多選題)(2024·深圳模擬)若方程x23-t+y2A.若1<t<3,則C為橢圓B.若C為橢圓,且焦點(diǎn)在y軸上,則2<t<3C.曲線C可能是圓D.若C為雙曲線,則t<1【解析】選BC.方程x23-tA.當(dāng)1<t<3,取t=2時(shí),方程為x2+y2=1,表示圓,A錯(cuò)誤;B.若C為橢圓,且焦點(diǎn)在y軸上,則t-1>3-t>0,即2<t<3,所以B正確;C.t=2時(shí),方程為x2+y2=1,表示圓,所以C正確;D.若C為雙曲線,可得(3-t)(t-1)<0,解得t>3或t<1,所以D錯(cuò)誤.6.(5分)(多選題)(2024·石家莊模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2=1(a>0),若圓M:(x-2)2+y2=1與雙曲線CA.雙曲線C的漸近線方程為x±3y=0B.雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為6C.雙曲線C的離心率e=2D.過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)的直線與圓M交于A,B兩點(diǎn),則弦長(zhǎng)|AB|=2【解析】選ACD.雙曲線的漸近線方程為x±ay=0,圓M的圓心為(2,0),半徑為1,所以圓心到漸近線的距離d=21+a2=1,得a=3(負(fù)值舍去),所以雙曲線的漸近線方程為x±3y=0,故A正確;雙曲線方程為x23-y2=1,雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為23,故B錯(cuò)誤;c2=a2+b2=3+1=4,所以雙曲線的離心率e=c因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)是圓M的圓心,所以弦長(zhǎng)為直徑,所以|AB|=2,故D正確.7.(5分)(2024·齊齊哈爾模擬)與橢圓x212+y23=1有公共焦點(diǎn),且離心率為32的雙曲線方程為【解析】由橢圓方程x212+y23=1,可得焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(3,0),(-3,0),設(shè)雙曲線的半焦距為因?yàn)殡p曲線的離心率為32,則e=ca=3a故a=2,所以b=c2-a所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x24-y8.(5分)已知雙曲線x2-y28=1,F1,F2是雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),P在雙曲線上且在第一象限,圓M是△F1PF2的內(nèi)切圓,則M的橫坐標(biāo)為1.若F1到圓M上點(diǎn)的最大距離為43,則△F1PF2的面積為24【解析】雙曲線的方程為x2-y2則a=1,b=22,c=1+8=3.設(shè)圓M分別與PF1,PF2,F1F2相切于B,C,A,根據(jù)雙曲線的定義可知|PF1|-|PF2|=2,根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可知|PF1|-|PF2|=|PB|+|F1B|-(|PC|+|F2C|)=|F1B|-|F2C|=|F1A|-|F2A|=2①,而|F1A|+|F2A|=|F1F2|=6②.由①②得,|F1A|=4,|F2A|=2,所以A(1,0),所以直線MA的方程為x=1,即M的橫坐標(biāo)為1.設(shè)M(1,r)(r>0),則F1到圓M上點(diǎn)的最大距離為|MF1|+r=43,即42+r2+r=43,解得設(shè)直線PF1的方程為y=k(x+3)(k>0),即kx-y+3k=0.M到直線PF1的距離為|k-433+3k所以直線PF1的方程為y=3(x+3).由y=3(解得P(5,83).所以|PF1|=(5+3)2+(83)2=16,|所以△F1PF2的面積為12×(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)·r=12×(16+14+6)×439.(10分)(2024·昆明模擬)求適合下列條件的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)虛軸長(zhǎng)為12,離心率為54(2)頂點(diǎn)間距離為6,漸近線方程為y=±32x(3)求與雙曲線x2-2y2=2有公共漸近線,且過(guò)點(diǎn)M(2,-2)的雙曲線方程.【解析】(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b2=1或y2a由題知2b=12,ca=54,c2=a2+b所以b=6,c=10,a=8,所以標(biāo)準(zhǔn)方程為x264-y236=1或y(2)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),由ba=32且a=3,所以b=所以所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x29-當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),由ab=32且a=3,所以b所以所求雙曲線方程為y29-x所以標(biāo)準(zhǔn)方程為x29-y2814=1或(3)設(shè)與雙曲線x22-y2=1有公共漸近線的雙曲線方程為x22-y2=k(k≠0),將點(diǎn)(2,-2)代入得k=222-(-2)2=-2,所以雙曲線方程為:x22-【能力提升練】10.(5分)(2024·徐州模擬)已知等軸雙曲線的焦距為8,左、右焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,中心在坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5,3),P為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn),則|PF1|-|PA|的最大值為()A.22+2 B.42+2C.22+4 D.42+4【解析】選B.因?yàn)榈容S雙曲線的左、右焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,中心在坐標(biāo)原點(diǎn),所以可設(shè)雙曲線的方程為x2-y2=a2,又因?yàn)殡p曲線的焦距為8,所以c=4,而2a2=c2,所以a2=8,故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28-y由雙曲線的定義可知,|PF1|-|PA|=|PF2|-|PA|+2a≤|AF2|+2a,由題意可知,F2(4,0),A(5,3),a=22,所以|AF2|=2,故|PF1|-|PA|的最大值為|AF2|+2a=2+42,當(dāng)且僅當(dāng)P,A,F2三點(diǎn)共線且點(diǎn)P位于第一象限時(shí)取得最大值.【加練備選】(2024·成都模擬)已知F1,F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),且|F1F2|=2b2a,點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn),I為△PF1F2內(nèi)心,若S△A.52 B.C.5-12 【解題策略】作IA⊥F1F2,IB⊥PF2,IC⊥F1P,可得IA=IB=IC=r,可以將S△S△IPF2+λS△IF1F2,轉(zhuǎn)換為PF1=PF2+λF1F【解析】選C.如圖所示:由題意知I為△PF1F2的內(nèi)心,作IA⊥F1F2,IB⊥PF2,IC⊥F1P,△PF1F2內(nèi)切圓半徑為r,所以IA=IB=IC=r,又因?yàn)镾△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2,即12r·PF1=12r·PF2+λ·12r由雙曲線定義可知PF1-PF2=2a=λ·(2c),因此有λ=ac;又因?yàn)閨F1F2|=2且|F1F2|=2c以及c2=a2+b2,聯(lián)立并化簡(jiǎn)得a2+ac-c2=0,即ac2+解得λ=ac=-1+52或λ=-1-11.(5分)(2024·廣州模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),斜率為-3的直線l過(guò)原點(diǎn)O且與雙曲線C交于P,Q兩點(diǎn),且以A.3+12 B.C.23-1 D.23-2【解析】選B.設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為F,右焦點(diǎn)為F',P為第二象限上的點(diǎn),連接PF,PF',QF,QF',根據(jù)雙曲線的性質(zhì)和直線l的對(duì)稱性知,四邊形PFQF'為平行四邊形.因?yàn)橐訮Q為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),所以PF⊥QF,即四邊形PFQF'為矩形,由直線l的斜率為-3,得∠POF=60°,又|PO|=|FO|=c,則△POF是等邊三角形,所以|PF|=c.在Rt△PFQ中,PQ=2c,則FQ=3c,故|PF'|=3c,又由雙曲線定義知|PF'|-|PF|=2a,所以3c-c=2a,則e=ca=23-112.(5分)(多選題)(2024·阜陽(yáng)模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2=1(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,P為雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn),|F1F2A.雙曲線C的離心率e=2B.雙曲線C與雙曲線y23-xC.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3,則直線PF1的斜率與直線PF2的斜率之積為2D.若∠F1PF2=π3,則△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為【解析】選AC.由題意,可得2c=|F1F2|=4,所以c=2,則a2=c2-1=3,所以雙曲線C:x23-y2=1,其中a=3,b=1,對(duì)于A中,雙曲線C的離心率e=ca=23=對(duì)于B中,雙曲線C:x23-y2=1的漸近線方程為y=±33x,雙曲線y23-x2=1的漸近線方程為對(duì)于C中,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3,不妨記P在第一象限,則P(3,2),因?yàn)镕1(-2,0),F2(2,0),可得kPF1·k對(duì)于D中,設(shè)|PF2|=x,則|PF1|=2a+|PF2|=23+x,在△PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cosπ3,即x2+23x-4=0,解得x=7-3或x=-7-3(舍去),所以△PF1F2的周長(zhǎng)為|PF1|+|PF2|+|F1F2|=27+4,又由△PF1F2的面積為12|PF13.(5分)(2024·無(wú)錫模擬)已知雙曲線C:x2-y23=1.則其漸近線方程為y=±3x;設(shè)A,B分別為雙曲線C的左、右頂點(diǎn),P為雙曲線C上一點(diǎn).若tan∠APB=12【解析】雙曲線C:x2-y23=1中a=1,b=所以雙曲線的漸近線方程為y=±3x,設(shè)P(x,y),由題意kAP=yx+1,kBP=又因?yàn)閤2-y23=1,所以即kAP·kBP=3,又kAP=tan∠PAB=1,所以kBP=tan(π-∠PBA)=3,所以tan∠APB=3-11+1×314.(10分)(2024·合肥模擬)已知雙曲線C:x24-y(1)求與雙曲線C有共同的漸近線,且實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)P為雙曲線C右支上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,0),求|PA|的最小值.【解析】(1)由題可設(shè)所求雙曲線的方程為x24-y23=λ(λ≠0),①當(dāng)λ>0時(shí),方程為令4λ=622得λ=即雙曲線方程為x29-②當(dāng)λ<0時(shí),方程為x24λ令-3λ=622得即雙曲線方程為y29-所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y29-x212=1或x(2)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0)(x0≥2),則滿足x024-y0=x=x=74x0則當(dāng)x0=167時(shí),|PA|有最小值為3【素養(yǎng)創(chuàng)新練】15.(5分)雙曲線具有光學(xué)性質(zhì),從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射,其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,從F2發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖中的A,B兩點(diǎn)反射后,分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和D,且cos∠BAC=-513,AB五十三直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(時(shí)間:45分鐘分值:95分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)(2024·北京模擬)直線y=x+1被圓(x-2)2+(y-3)2=1所截得的弦長(zhǎng)為()A.1 B.3 C.2 D.3【解析】選C.由已知得圓心為(2,3),半徑r=1,因?yàn)閳A心(2,3)在直線x-y+1=0上,所以直線y=x+1被圓(x-2)2+(y-3)2=1所截得的弦長(zhǎng)為2.2.(5分)若圓C1:(x+1)2+y2=2與圓C2:x2+y2-4x+6y+m=0內(nèi)切,則實(shí)數(shù)m等于()A.-8 B.-19 C.-5 D.6【解析】選B.由題意得C1(-1,0),C2(2,-3),r1=2,r2=13-|C1C2|=(-1-2)2+32=32,根據(jù)兩圓內(nèi)切得|C1C解得m=-19.3.(5分)(2024·廣州模擬)已知點(diǎn)A在直線l:3x-4y-6=0上,點(diǎn)B在圓C:x2+y2-2x-6y+8=0上,則AB的最小值是()A.1B.3-2C.3+2D.5【解析】選B.由題意可知圓C的圓心C(1,3),半徑r=2.則圓心C到直線l的距離d=3-4×3-632+(-4【加練備選】已知圓C:x2+y2-2x+m=0與圓(x+3)2+(y+3)2=4外切,點(diǎn)P是圓C上一動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到直線5x+12y+8=0的距離的最大值為()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選C.圓C:x2+y2-2x+m=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=1-m,即圓心C(1,0),半徑為1-m,由(x+3)2+(y+3)2=4知其圓心為(-3,-3),半徑為2,而兩圓外切則有:2+1-m=(因?yàn)閳A心C(1,0)到直線5x+12y+8=0的距離d=5+852+122=1,所以點(diǎn)P到直線54.(5分)(2024·南通模擬)若直線l:kx-y-2=0與曲線C:1-(y-1)2A.(43,2] B.(4C.[-2,-43)∪(43,2] D.(【解析】選A.直線l:kx-y-2=0恒過(guò)定點(diǎn)(0,-2),曲線C:1-(y-1)2=x-1表示以點(diǎn)(1,1)為圓心,半徑為1,且位于直線x=1右側(cè)的半圓(包括點(diǎn)(1,2),(1,0)).當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)時(shí),l與曲線當(dāng)l與半圓相切時(shí),由|k-3|k2+1=1,得分析可知當(dāng)43<k≤2時(shí),l與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)5.(5分)(多選題)(2024·保山模擬)古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名,他發(fā)現(xiàn):平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離之比為定值λ(λ>0且λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓,人們將這個(gè)圓以他的名字命名,稱為阿波羅尼斯圓,簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-1,0),B(2,0),點(diǎn)P滿足PAPB=12,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C,下列結(jié)論正確的是(A.曲線C的方程為(x+2)2+y2=4B.曲線C與圓M:x2+(y-2)2=4外切C.直線l:x+y=0被曲線C截得的弦長(zhǎng)為22D.曲線C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線m:x+3y=0的距離為1【解析】選ACD.對(duì)于A,設(shè)P(x,y),由定義PAPB=12,得(x+1)2+y2(對(duì)于B,C的圓心為(-2,0),半徑r1=2;M的圓心為(0,2),半徑r2=2;圓心距CM=22≠r1+r2,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,圓心C(-2,0)到直線l:x+y=0的距離d=22=2所以弦長(zhǎng)為2r12-對(duì)于D,圓心C(-2,0)到直線m:x+3y=0的距離d=22=1,半徑r1=2,所以圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線m的距離為1,故D正確6.(5分)(多選題)(2024·臨沂模擬)下列命題正確的是()A.若方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圓,則m的取值范圍是m>22或m<-22B.若圓C的半徑為1,圓心在第一象限,且與直線4x-3y=0和x軸都相切,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-2)2+(y-1)2=1C.已知點(diǎn)P(x,y)在圓C:x2+y2-6x-6y+14=0上,yxD.已知圓C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0,圓C1和圓C2的公共弦長(zhǎng)為27【解析】選ABD.若方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圓,則m2+(-2)2-4×3>0,即m2>8,解得m>22或m<-22,故A正確;設(shè)圓心C(a,1)(a>0),則圓心到直線4x-3y=0的距離為4a-342+(-3)2=4a-35,又圓與直線4x-3y=0相切可得由x2+y2-6x-6y+14=0可得(x-3)2+(y-3)2=4,yx表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率,可得相切時(shí)yx取得最值,設(shè)切線為kx-y=0,則d=3k-3將兩個(gè)圓的方程相減可得公共弦所在直線的方程4x+3y-23=0,圓C1:x2+y2-2x-6y-1=0配方可得(x-1)2+(y-3)2=11,繼而可知圓心C1(1,3),r1=11,圓心C1(1,3)到直線4x+3y-23=0的距離d=4×1+3×3-2342+32=2,所以弦長(zhǎng)為2r17.(5分)(2024·孝感模擬)已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=25,直線l:(2m+1)x+(m-1)y-m+4=0,當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí),直線l的方程為2x-y+5=0.

【解題指導(dǎo)】直線l過(guò)定點(diǎn)M,當(dāng)直線l垂直于CM時(shí),直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短,可求直線l的方程.【解析】由題意,直線l的方程化為(2x+y-1)m+x-y+4=0,由2x+所以直線l過(guò)定點(diǎn)M(-1,3),顯然點(diǎn)M在圓C內(nèi),要使直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短,只需M(-1,3)與圓心C(1,2)的連線垂直于直線l,所以-2m+1m-1·2代入到直線l的方程并化簡(jiǎn)得2x-y+5=0.8.(5分)已知圓C1:x2+y2=m2(m>0)與圓C2:x2+y2-2x-4y-20=0恰有兩條公切線,則滿足題意的一個(gè)m的取值為5;此時(shí)公切線的方程為y=2x+55和y=2x-55(答案均不唯一).

【解析】圓C2的圓心為(1,2),半徑為5.因?yàn)閳AC1:x2+y2=m2(m>0)與圓C2恰有兩條公切線,所以圓C1與圓C2相交,即|5-m|<C1C又C1C2=5,所以5-5<m所以可取m=5(答案不唯一.滿足m∈(5-5,5+5)即可).此時(shí)C1:x2+y2=25.因?yàn)镃1的圓心為(0,0),半徑為5,C2的圓心為(1,2),半徑為5,所以可設(shè)公切線的方程為y=kx+b,且與兩圓圓心所在的直線平行,解得k=2,又因?yàn)閥=kx+b是公切線,所以圓心到直線的距離等于半徑,即b1+22=5,解得b=±55.所以當(dāng)m=5時(shí),公切線的方程為y=2x+55和y=2x9.(10分)已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=4.(1)若直線l:(m-2)x+(1-m)y+m+1=0(m∈R),證明:無(wú)論m為何值,直線l都與圓C相交;(2)若過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線m與圓C相交于A,B兩點(diǎn),求△ABC面積的最大值,并求此時(shí)直線m的方程.【解析】(1)由l的方程(m-2)x+(1-m)y+m+1=0,可得m(x-y+1)-2x+y+1=0,由x解得x所以直線l恒過(guò)點(diǎn)(2,3),由(2-3)2+(3-4)2=2<4,得點(diǎn)(2,3)在圓內(nèi),即直線l恒過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn),所以無(wú)論m為何值,直線l都與圓C相交.(2)由C的圓心為(3,4),半徑r=2,易知此時(shí)直線m的斜率存在且不為0,故設(shè)直線m的方程為x=ky+1(k≠0),直線m的一般方程為ky-x+1=0,圓心到直線m的距離d=|4k-所以|AB|=2r2-d所以S2=(12|AB|·d)2=[4-(4k-令t=(4k-2)2k2+1當(dāng)t=2時(shí),Smax所以△ABC面積的最大值為2,此時(shí)由2=(4k-2)2得k=1或k=17此時(shí)直線m的方程為x-y-1=0或7x-y-7=0.【能力提升練】10.(5分)已知圓x2+y2=4與圓(x-2)2+(y+4)2=r2(r>0)在交點(diǎn)處的切線互相垂直,則r=()A.5 B.4 C.3 D.22【解析】選B.設(shè)一個(gè)交點(diǎn)為P(x0,y0),記C(2,-4),則x02+y02=4,(x0所以r2=24-4x0+8y0.因?yàn)閮汕芯€互相垂直,則OP⊥CP,所以y0x0·y0+4x0-2=-1,整理得2x即x0-2y0=2.所以r2=24-4(x0-2y0)=16,所以r=4.11.(5分)(多選題)(2024·東營(yíng)模擬)若圓C1:(x-m)2+(y-1)2=7始終平分圓C2:(x+1)2+(y+1)2=2的周長(zhǎng),則直線3x+4y+3=0被圓C1所截得的弦長(zhǎng)為()A.25 B.6C.23 D.2【解析】選BD.由圓C1:(x-m)2+(y-1)2=7得x2+y2-2mx-2y+m2-6=0,由圓C2:(x+1)2+(y+1)2=2得x2+y2+2x+2y=0.把兩圓的方程相減得兩圓公共弦所在直線l方程為(2m+2)x+4y-m2+6=0,由題意知直線l經(jīng)過(guò)C2的圓心(-1,-1),因而m2+2m=0,所以m=0或m=-2.當(dāng)m=0時(shí),圓C1的圓心坐標(biāo)為(0,1),半徑為7,圓心到直線3x+4y+3=0的距離為d=|3×0+4×1+3|32+42=75,所以直線3x+4y當(dāng)m=-2時(shí),圓C1的圓心坐標(biāo)為(-2,1),半徑為7,圓心到直線3x+4y+3=0的距離為d=|3×(-2所以直線3x+4y+3=0被圓C1所截得的弦長(zhǎng)為27-125綜上所述,直線3x+4y+3=0被圓C1所截得的弦長(zhǎng)為6145或【加練備選】(多選題)(2024·杭州模擬)已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=25,直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,則下列說(shuō)法正確的是()A.直線l恒過(guò)定點(diǎn)(3,1)B.直線l被圓C截得的弦最長(zhǎng)時(shí),m=-1C.直線l被圓C截得的弦最短時(shí),m=-34D.直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)為25【解析】選ABC.對(duì)于選項(xiàng)A:直線l的方程可化為(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,令2x+y所以直線恒過(guò)定點(diǎn)P(3,1),故A正確;對(duì)于選項(xiàng)B:因?yàn)?3-1)2+(1-2)2=5<25,即點(diǎn)P(3,1)在圓C內(nèi),當(dāng)直線l過(guò)圓心C時(shí),直線被圓截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng),此時(shí)2m+1+2(m+1)-7m-4=0,解得m=-13對(duì)于選項(xiàng)C:當(dāng)直線l⊥CP時(shí),直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短,直線l的斜率為k=-2m+1m+1(m≠-1),kCP=1-23-1=-1對(duì)于選項(xiàng)D:此時(shí)直線l的方程是2x-y-5=0,圓心C(1,2)到直線2x-y-5=0的距離為d=2-2-可得AP=BP=r2-d2=25-5=25,所以最短弦長(zhǎng)是AB12.(5分)(2022·新高考Ⅱ卷)設(shè)點(diǎn)A(-2,3),B(0,a),若直線AB關(guān)于y=a對(duì)稱的直線與圓(x+3)2+(y+2)2=1有公共點(diǎn),則a的取值范圍是13【命題意圖】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.【解析】A(-2,3)關(guān)于y=a對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A'(-2,2a-3),B(0,a)在直線y=a上,設(shè)A'B所在直線為直線l,所以直線l為y=a-3-2x+a,即(a-3)x+2圓C:(x+3)2+(y+2)2=1,圓心C(-3,-2),半徑r=1,依題意圓心到直線l的距離d=|-3即(5-5a)2≤(a-3)2+22,解得13≤a≤3即a∈1313.(5分)(2022·新高考Ⅰ卷)寫出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程y=-34x+54或y=724x-2524【命題意圖】本題考查圓的切線方程的求法,考查圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力.【解析】圓x2+y2=1的圓心為O(0,0),半徑為1,圓(x-3)2+(y-4)2=16的圓心O1為(3,4),半徑為4,兩圓圓心距為32如圖,當(dāng)切線為l時(shí),因?yàn)閗OO1=43,所以kl=-34,設(shè)方程為y=-34O到l的距離d=|t|1+916=1,解得t=54,所以l的方程為y當(dāng)切線為m時(shí),設(shè)直線方程為kx+y+p=0,其中p>0,k<0,由題意知|p|1+y=724x-25當(dāng)切線為n時(shí),易知切線方程為x=-1.14.(10分)(2024·珠海模擬)已知直線l1:ax+y=0,直線l2:x-ay+2a-2=0,a∈R,l1與l2交于點(diǎn)P.(1)設(shè)P的軌跡為曲線E,求E的方程;(2)求曲線E與圓C:x2+(y+1)2=1公共弦的長(zhǎng).【解析】(1)直線l1:ax+y=0過(guò)定點(diǎn)A(0,0),直線l2:x-ay+2a-2=0,整理可得x-2+(2-y)a=0,則過(guò)定點(diǎn)B(2,2),由a·1+1·(-a)=0,得直線l1與直線l2相互垂直,故P的軌跡是以AB為直徑的圓,AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1),|AB|=4+4=22,所以P的軌跡的方程為(x-1)2+(y-1)2=2;(2)曲線E與圓C:x2+(y+1)2=1的方程相減可得公共弦所在直線的方程為2x-1+4y+1=0,即公共弦所在直線方程為x+2y=0,圓C的圓心(0,-1)到直線x+2y=0的距離d=|-