高中數(shù)學(xué)-排列教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

§1.2.1排列

一、教學(xué)目標(biāo)確立依據(jù)

（一）課程標(biāo)準(zhǔn)要求及解讀

1.課程標(biāo)準(zhǔn)要求

通過(guò)實(shí)例，理解排列的概念；能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)

題.

2.課程標(biāo)準(zhǔn)解讀

課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)本節(jié)課的要求可分為三個(gè)層次，一是通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)例，抽象出排列的概念；

二是通過(guò)運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理，推導(dǎo)出排列數(shù)公式；三是能夠應(yīng)用排列的定義和排列數(shù)公

式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.從第一方面看，“通過(guò)實(shí)例”，要求給學(xué)生提供排列概念的具體例證，

為學(xué)生概括排列概念提供背景支持；從第二方面看，要求以具體問(wèn)題為載體，給出求排列數(shù)

的方法，從而建立求一般的排列數(shù)公式的經(jīng)驗(yàn)；從第三方面看，要求給出實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)

生利用排列的定義以及排列數(shù)公式加以解決.

①通過(guò)實(shí)例，理解排列的概念

知道A排列的定義----

理解一—>排列問(wèn)題與非排

判斷------>排列的概念重點(diǎn)

n列問(wèn)題

舉出生活中的

表達(dá)

排列的例子

②利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式

（二）教材分析

本節(jié)課是排列的第一課時(shí)，它在教材中的位置排在基本計(jì)數(shù)原理之后，在組合之前.其

中排列數(shù)公式的推導(dǎo)過(guò)程是分步乘法計(jì)數(shù)原理的一個(gè)重要應(yīng)用，而排列數(shù)公式又是推導(dǎo)組合

數(shù)公式的主要依據(jù)，在教材中起著承上啟下的作用.

教材通過(guò)引例引出了排列、排列數(shù)的概念和排列數(shù)的公式，又通過(guò)例1引出了階乘的定

義，得到排列數(shù)公式的另一種形式，并通過(guò)例2讓學(xué)生感受排列數(shù)的第二個(gè)公式在解決證明

問(wèn)題中的應(yīng)用.例3至例7是實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,放在第二課時(shí)和第三課時(shí)講解.從教材的安排上

可以看出，本節(jié)課的重點(diǎn)是排列的定義和排列數(shù)公式，難點(diǎn)是排列數(shù)公式的推導(dǎo)以及用排列

數(shù)公式解決化簡(jiǎn)和證明問(wèn)題.

（三）學(xué)情分析

在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)樹(shù)狀圖，因此能夠熟練通過(guò)列樹(shù)狀圖的方法數(shù)出排列數(shù)，而在

前一節(jié)中，學(xué)生又學(xué)習(xí)了分步乘法計(jì)數(shù)原理，具備推導(dǎo)排列數(shù)公式的知識(shí)和能力，因此這部

分知識(shí)學(xué)生應(yīng)該比較輕松接受.而對(duì)于排列的定義和階乘的定義，學(xué)生是第一次接觸，因此

對(duì)于排列概念的理解和相鄰兩個(gè)整數(shù)的階乘的關(guān)系的探究要在教師的引導(dǎo)下一--解決.

二、教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)生通過(guò)對(duì)排列概念的剖析，能辨別出排列問(wèn)題，并能說(shuō)出兩個(gè)排列完全相同的條

件；

2.學(xué)生能用分步乘法計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)出排列數(shù)公式，并能總結(jié)特點(diǎn)記住這個(gè)公式；

3.學(xué)生知道全排列與階乘的概念，并能用階乘推導(dǎo)排列數(shù)公式的第二種形式；

4.學(xué)生能清楚知道排列數(shù)的兩個(gè)公式的作用，并能利用它們解決求值、化簡(jiǎn)、證明等

問(wèn)題.

三、評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

目標(biāo)1評(píng)價(jià)：學(xué)生能用兩個(gè)步驟概括排列的定義，獨(dú)立說(shuō)出兩個(gè)排列完全相同的條件.

獨(dú)立完成辨析題，并通過(guò)小組合作，小組代表能正確舉出一個(gè)排列問(wèn)題和一個(gè)非排列問(wèn)題;

目標(biāo)2評(píng)價(jià)：學(xué)生能在教師的引導(dǎo)下，準(zhǔn)確回答引例的變式問(wèn)題.經(jīng)過(guò)小組討論后，小

組代表用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述用分步乘法計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式的過(guò)程及結(jié)論.并能總結(jié)

出公式的特點(diǎn)，熟記這個(gè)公式；

目標(biāo)3評(píng)價(jià)：學(xué)生能記住全排列的概念，口答出b5的階乘，獨(dú)立思考，總結(jié)出相鄰

正整數(shù)的階乘之間的關(guān)系，以及排列數(shù)公式的階乘表示方法;

目標(biāo)4評(píng)價(jià)：師生合作解決例1和例2后，學(xué)生獨(dú)立完成目標(biāo)檢測(cè).

四、教學(xué)方法

每個(gè)環(huán)節(jié)的實(shí)施采用問(wèn)題探究的模式，教師提出問(wèn)題，學(xué)生獨(dú)立思考后進(jìn)行回答.排列

數(shù)公式的推導(dǎo)采取小組合作的方式，學(xué)生獨(dú)立思考后進(jìn)行小組間的合作交流，然后進(jìn)行成果

展示.例題的解決先由師生共同合作解決問(wèn)題，然后學(xué)生獨(dú)立解決目標(biāo)檢測(cè).

五、教學(xué)流程設(shè)計(jì)

（--）情境引入

在《最強(qiáng)大腦第三季》第十三期的中日PK賽中，中國(guó)“心算一姐”陳冉冉在同伴失利

的不利條件下，以一敵二，力挽狂瀾，用自己擅長(zhǎng)的大位數(shù)乘法秒殺對(duì)手，使中國(guó)隊(duì)立于不

敗之地.

如圖展示的是正在進(jìn)行的7位數(shù)乘10位數(shù)的乘法速算，假如它的設(shè)計(jì)有如下兩個(gè)要求:

（1）7位乘數(shù)中的每個(gè)數(shù)字都不為0；

（2）每個(gè)乘數(shù)中的各個(gè)數(shù)字不重復(fù).

《最強(qiáng)大腦》題庫(kù)中有多少這樣的乘法算式可供隨機(jī)選擇？

［學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)］學(xué)生獨(dú)立思考，然后舉手發(fā)言，能夠清晰敘述用分步乘法計(jì)數(shù)原理解

決問(wèn)題的過(guò)程.

［教師活動(dòng)設(shè)計(jì)］點(diǎn)評(píng)學(xué)生的回答，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)算式的繁瑣，從而引出課題.

［時(shí)間預(yù)設(shè)］3分鐘.

［設(shè)計(jì)意圖］利用近期熱播的節(jié)目《最強(qiáng)大腦》中的中日PK賽片段，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)

熱情.用其中的7位數(shù)乘10位數(shù)的乘法運(yùn)算，順理成章地引入課題，激起學(xué)生的探索欲望,

引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

（二）概念形成

［引例］從甲、乙、丙三位同學(xué)中選出兩名，分別擔(dān)任正、副班長(zhǎng)，都有哪些方法？

學(xué)生獨(dú)立解決引例，口答結(jié)論，教師點(diǎn)評(píng)：除了列舉法之外，樹(shù)狀圖能夠清晰、全面、

簡(jiǎn)潔地展示所有情況，也是計(jì)數(shù)的常用方法.

我們把被取的對(duì)象叫做元素，取出的元素占據(jù)的相應(yīng)位置稱為按一定的順序排成一列.

那么引例就可以理解為“從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素，并按照一定順序排成一列”.從

而引出排列的定義.

一般地，從〃個(gè)不同元素中任取相(機(jī)4〃)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從〃

個(gè)不同元素中取出機(jī)個(gè)元素的一個(gè)排列.

選引例中的六種方法之一(如甲為正班長(zhǎng)、乙為副班長(zhǎng))進(jìn)行說(shuō)明，這就是一個(gè)排列.

讓學(xué)生清楚理解排列就是完成一件事的一種方法.

［問(wèn)題］你認(rèn)為兩個(gè)排列完全相同的條件是什么？

［學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)］學(xué)生獨(dú)立思考，然后舉手發(fā)言，能夠清晰敘述答案.若有不足，其他同

學(xué)補(bǔ)充.

［教師活動(dòng)設(shè)計(jì)］點(diǎn)評(píng)學(xué)生的回答，幫助學(xué)生理清排列的兩個(gè)步驟：取、排，并以精準(zhǔn)

的語(yǔ)言總結(jié)兩個(gè)排列完全相同的條件：組成排列的元素相同，排列的順序也相同.

［時(shí)間預(yù)設(shè)］3分鐘.

［辨析］請(qǐng)判斷下列哪些是排列問(wèn)題：

(D從甲、乙、丙三位同學(xué)中選出兩名，分別擔(dān)任語(yǔ)文課代表和數(shù)學(xué)課代表；

(2)從甲、乙、丙三位同學(xué)中選出兩名，擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表；

(3)從甲、乙、丙、丁四個(gè)足球隊(duì)中任選2個(gè)，進(jìn)行主客場(chǎng)比賽；

(4)從甲、乙、丙、丁四個(gè)足球隊(duì)中任選2個(gè)，進(jìn)行單循環(huán)比賽.

［合作探究1］

1.小組合作舉出兩個(gè)例子，其中一個(gè)是排列，一個(gè)不是排列.

2.這兩個(gè)例子中的排列問(wèn)題一共有多少種不同的排列方法？你是如何得到這個(gè)數(shù)據(jù)

的？

［學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)］獨(dú)立思考，回答辨析題.而后小組合作交流，小組代表準(zhǔn)確舉出一個(gè)

排列的例子和一個(gè)非排列的例子，并能用樹(shù)狀圖或者分步乘法計(jì)數(shù)原理準(zhǔn)確數(shù)出其中排列問(wèn)

題的排列方法.

［教師活動(dòng)設(shè)計(jì)］點(diǎn)評(píng)學(xué)生對(duì)辨析題的回答，引導(dǎo)學(xué)生注意每?jī)蓚€(gè)問(wèn)題的區(qū)別，弄清排

列問(wèn)題的實(shí)質(zhì).選學(xué)生對(duì)小組代表的結(jié)論進(jìn)行評(píng)價(jià)，教師最終點(diǎn)評(píng).

［時(shí)間預(yù)設(shè)］7分鐘.

［設(shè)計(jì)意圖］對(duì)比較抽象的概念抽絲剝繭，通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生理解排列的步驟：設(shè)置

辨析題檢測(cè)學(xué)生對(duì)排列概念的理解，也為小組合作探究中的舉例環(huán)節(jié)起了示范作用.由感知,

到分辨，到舉例，層層遞進(jìn)，知識(shí)的掌握水到渠成.合作探究中的第2個(gè)問(wèn)題又為后面排列

數(shù)定義的給出埋下伏筆.此環(huán)節(jié)是對(duì)教學(xué)目標(biāo)1的落實(shí)與檢測(cè).

（三）深入探究

我們稱從“個(gè)不同元素中任取，*（他4"）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從〃個(gè)不同元

素中取出"，個(gè)元素的排列數(shù)，用A："表示.

［問(wèn)題探究1］

1.引例中的排列數(shù)怎么表示？值是多少？

2.如果將引例中的3位同學(xué)改為50位同學(xué)，那么排列數(shù)怎么表示？

3.問(wèn)題2用列舉法或樹(shù)狀圖來(lái)數(shù)排列數(shù)方便嗎？如果不方便,還可以用什么方法計(jì)數(shù)？

4.如果將引例中的3位同學(xué)改為〃位同學(xué)，那么排列數(shù)怎么表示？值是多少？

5.如果從〃位同學(xué)中選出4位同學(xué)參加4*100米接力，那么排列數(shù)怎么表示？值是多

少？

［學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)］學(xué)生獨(dú)立思考回答，清晰、有條理地作答.

［教師活動(dòng)設(shè)計(jì)］教師引導(dǎo)學(xué)生思考，點(diǎn)評(píng)學(xué)生的回答，確定用分步乘法計(jì)數(shù)原理來(lái)計(jì)

算排列數(shù)的思想.

［時(shí)間預(yù)設(shè)］5分鐘.

［合作探究2］小組合作總結(jié)出從“個(gè)不同元素中取出“個(gè)元素的排列數(shù)A；的計(jì)算公

式.

［學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)］學(xué)生經(jīng)過(guò)小組討論后，小組代表用清晰的語(yǔ)言敘述公式的推導(dǎo)過(guò)程,

給出結(jié)論：A；=〃（〃一1）（〃一2>-（〃一機(jī)+1）這個(gè)公式叫做排列數(shù)公式.

［教師活動(dòng)設(shè)計(jì)］評(píng)價(jià)學(xué)生的結(jié)論，給這個(gè)公式命名為排列數(shù)公式.

［時(shí)間預(yù)設(shè)］3分鐘.

［問(wèn)題探究2］你能找到哪些竅門(mén)記憶這個(gè)公式？

［學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)］觀察排列數(shù)公式，總結(jié)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，用清晰的語(yǔ)言表述自己的發(fā)現(xiàn).

［教師活動(dòng)設(shè)計(jì)］匯總學(xué)生的結(jié)論，加以總結(jié).排列數(shù)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：〃，個(gè)連續(xù)正整

數(shù)的積；第一個(gè)因數(shù)最大，是下標(biāo)〃；第機(jī)個(gè)(最后一個(gè))因數(shù)最小，是下標(biāo)〃減去上標(biāo)機(jī)

再加上1.

［時(shí)間預(yù)設(shè)］3分鐘.

［設(shè)計(jì)意圖］層層遞進(jìn)的問(wèn)題引導(dǎo)幫助學(xué)生循序漸進(jìn)、由特殊到一般地挖掘排列數(shù)公

式的推導(dǎo)方法；通過(guò)小組合作探究排列數(shù)公式，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的能力；讓學(xué)生自己觀察

找出排列數(shù)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可以讓學(xué)生印象更為深刻.此環(huán)節(jié)是對(duì)教學(xué)目標(biāo)2的落實(shí)與檢

測(cè).

(四)回歸情境

你能用更簡(jiǎn)單的算式來(lái)解決情境引入問(wèn)題嗎？

［時(shí)間預(yù)設(shè)］I分鐘.

［設(shè)計(jì)意圖］通過(guò)回歸問(wèn)題情境，首尾呼應(yīng)，幫助學(xué)生理解排列的概念和排列數(shù)公式

的同時(shí)，進(jìn)一步明確主題.

(五)深化理解

［練習(xí)］

(1)耳°=;

(2)(〃-1)(〃-2)…(”-18)=；

(3)旅;=(xwN*).

［學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)］獨(dú)立完成練習(xí)，并能清晰敘述自己的思維過(guò)程.

［教師活動(dòng)設(shè)計(jì)］點(diǎn)評(píng)學(xué)生的答案，由第(3)小題引出示例.

［示例］將a,0,c3個(gè)元素全部取出的全排列的排列數(shù)是多少？你能列出所有的這些排

列嗎？

［設(shè)計(jì)意圖］幫助學(xué)生理解、區(qū)分排列的概念與排列數(shù)的概念.

［時(shí)間預(yù)設(shè)］6分鐘.

提出問(wèn)題：如果象（3）中上、下標(biāo)相等，即加=〃，那么排列數(shù)公式

A；=〃（〃一1）（〃一2）…5-機(jī)+1）會(huì)變?yōu)槭裁葱螤睿恳鋈帕械母拍?

一般地，〃個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做〃個(gè)不同元素的一個(gè)全排列，全排列

的排列數(shù)公式為A；=n（n一1）（〃一2）…?3?2?1.

排列數(shù)公式勺=限〃-1）5-2）…的右側(cè)為正整數(shù)由1到〃的連乘積，叫做〃的

階乘,用”!表示.

因此〃個(gè)不同元素的全排列數(shù)公式為4=〃!.

請(qǐng)口答卜5的階乘.比較4!與5!之間的關(guān)系，7!與8!之間的關(guān)系，思考〃!與（〃+1）!之

間的關(guān)系.

［學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)］記住階乘的定義，快速口答出答案.

［教師活動(dòng)設(shè)計(jì)］給出全排列的定義，以及階乘的定義，讓學(xué)生快速口答b5的階乘.

引導(dǎo)學(xué)生比較4!與5!之間的關(guān)系，7!與8!之間的關(guān)系，得出結(jié)論：〃!與（〃+1）!之間的關(guān)

系是：必叫=〃+1,（〃+1>〃!=（“+1）!.接著提出下面的問(wèn)題.

〃！

［時(shí)間預(yù)設(shè)］3分鐘.

［思考］排列數(shù)公式=〃（〃-1）（〃-2>-（〃-m+1）能否用階乘符號(hào)表示成更為另

一種形式呢？

［學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)］獨(dú)立思考，清晰敘述變形的詳細(xì)過(guò)程及結(jié)論A；=——,并記住

（〃-m）l

這個(gè)形式.

［教師活動(dòng)設(shè)計(jì)］點(diǎn)評(píng)學(xué)生的回答，并將學(xué)生所得結(jié)論補(bǔ)充完善.規(guī)定：0!=1.學(xué)生記

住后，教師給出幾個(gè)簡(jiǎn)單的排列數(shù)，如耳,A；,A；等，讓學(xué)生口答兩種形式的計(jì)算公式，

加強(qiáng)記憶.

［時(shí)間預(yù)設(shè)］3分鐘.

［設(shè)計(jì)意圖］通過(guò)小試身手，使學(xué)生對(duì)排列數(shù)公式的理解更加透徹，并通過(guò)最后--題中

上、下標(biāo)的關(guān)系的探究引出全排列的定義以及階乘的定義，思維上順理成章，不突兀.通過(guò)

學(xué)生口答1~5的階乘，訓(xùn)練學(xué)生的快速反應(yīng)能力，并為后面探究相鄰正整數(shù)的階乘之間的關(guān)

系埋下伏筆.學(xué)生獨(dú)立探究出排列數(shù)公式的第二種形式，培養(yǎng)了學(xué)生獨(dú)立思考、解決問(wèn)題的

能力.口答式的課堂熱身既能幫助學(xué)生鞏固公式，又能培養(yǎng)學(xué)生的快速反應(yīng)能力..此環(huán)節(jié)是

對(duì)教學(xué)目標(biāo)3的落實(shí)與檢測(cè).

（六）鞏固應(yīng)用

不

例1計(jì)算：（1）可；（2）或;（3）苫.

A2

例2求證：A：+mA：i=A；L.

（七）目標(biāo)檢測(cè)

1.已知A'；；=10x9x8x7x6x5,則"?=；

2.計(jì)算當(dāng)■+4;

A

3.已知/［4；=89,求”的值.

［學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)］在教師引導(dǎo)下，師生共同解決例1和例2.對(duì)比兩個(gè)例題，總結(jié)如何針

對(duì)不同題型選擇排列數(shù)的兩個(gè)公式進(jìn)行應(yīng)用，而后獨(dú)立完成目標(biāo)檢測(cè).

［教師活動(dòng)設(shè)計(jì)］引導(dǎo)學(xué)生思考，共同完成例1和例2.并引導(dǎo)學(xué)生思考什么樣的題型適

合用第一個(gè)公式，什么樣的題型適合用第二個(gè)公式，總結(jié)提升：公式一多用于求值，公式二

多用于化簡(jiǎn)、證明.讓學(xué)生獨(dú)立完成目標(biāo)檢測(cè)，并對(duì)學(xué)生的答案進(jìn)行點(diǎn)評(píng).

［時(shí)間預(yù)設(shè)］7分鐘.

［設(shè)計(jì)意圖］培養(yǎng)學(xué)生正確選擇應(yīng)用公式的能力.學(xué)生先自主探究得出答案后由教師點(diǎn)評(píng),

體現(xiàn)了自己的自主學(xué)習(xí)和教師的點(diǎn)撥提升相結(jié)合的有效課堂教學(xué)，有助于學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)

學(xué)思維.此環(huán)節(jié)是對(duì)教學(xué)目標(biāo)4的落實(shí)與檢測(cè).

（八）歸納小結(jié)

請(qǐng)大家對(duì)照學(xué)習(xí)目標(biāo)，同桌互查，檢驗(yàn)本節(jié)課的學(xué)習(xí)效果.

［時(shí)間預(yù)設(shè)］1分鐘.

［設(shè)計(jì)意圖］幫助學(xué)生明晰學(xué)習(xí)目標(biāo)，理清知識(shí)脈絡(luò)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.學(xué)生在回

顧問(wèn)題情境的過(guò)程中，感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，從而架起數(shù)學(xué)與生活的橋梁，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦?/p>

性思維和科學(xué)精神.

（九）課后作業(yè)

知識(shí)鞏固：P14：練習(xí)A1~8思維提升：P23：習(xí)題Al~6

六、板書(shū)設(shè)計(jì)

§1.2.1排列

1排.列：取、排3.全排列例2求證：

2.排列數(shù)公式

：山規(guī)定0!=1

A=A：+砒-A，

A'"=n(n-1)(/2-2)???(?-/??+1)

(〃+1)!、

---------=n+1

n!

m

&A-/

(n-m)\(〃+1)?"!=(〃+1)!

注：導(dǎo)學(xué)案和拓展資源見(jiàn)附件1、2

附件1

§1.2.1排列導(dǎo)學(xué)案

?學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.學(xué)生通過(guò)對(duì)排列概念的剖析，能辨別出排列問(wèn)題，并能說(shuō)出兩個(gè)排列完全相同的條件；

2.學(xué)生能用分步乘法計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)出排列數(shù)公式，并能總結(jié)特點(diǎn)記住這個(gè)公式；

3.學(xué)生知道全排列與階乘的概念，并能用階乘推導(dǎo)排列數(shù)公式的第二種形式；

4.學(xué)生能清楚知道排列數(shù)的兩個(gè)公式的作用，并能利用它們解決求值、化簡(jiǎn)、證明等問(wèn)題.

?學(xué)習(xí)建議

1.抓住排列的定義特點(diǎn)區(qū)分“排列問(wèn)題”與“非排列問(wèn)題”；

2.區(qū)分“排列”與“排列數(shù)”兩個(gè)概念；

3.對(duì)排列數(shù)公式抓住特點(diǎn)，準(zhǔn)確記憶.

(-)情境引入

在《最強(qiáng)大腦第三季》第十三期的中日PK賽中，中國(guó)“心算一姐”陳冉冉在同伴失利

的不利條件下，以一敵二，力挽狂瀾，用自己擅長(zhǎng)的大位數(shù)乘法秒殺對(duì)手，使中國(guó)隊(duì)立于不

敗之地.

如圖展示的是正在進(jìn)行的7位數(shù)乘10位數(shù)的乘法速算，假如它的設(shè)計(jì)有如下兩個(gè)要求:

(3)7位乘數(shù)中的每個(gè)數(shù)字都不為0；

(4)每個(gè)乘數(shù)中的各個(gè)數(shù)字不重復(fù).

《最強(qiáng)大腦》題庫(kù)中有多少這樣的乘法算式可供隨機(jī)選擇？

(-)概念形成

［引例］從甲、乙、丙三位同學(xué)中選出兩名，分別擔(dān)任正、副班長(zhǎng)，都有哪些方法？

我們把被取的對(duì)象叫做元素，取出的元素占據(jù)的相應(yīng)位置稱為按一定的順序排成一列.

則引例中的問(wèn)題可以如何表述？

排列的定義:一般地，從"個(gè)不同中任取個(gè)，按照

排成一列，叫做從〃個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè).

［問(wèn)題］你認(rèn)為兩個(gè)排列完全相同的條件是什么？

［辨析］請(qǐng)判斷下列哪些是排列問(wèn)題：

(1)從甲、乙、丙三位同學(xué)中選出兩名，分別擔(dān)任語(yǔ)文課代表和數(shù)學(xué)課代表；

(2)從甲、乙、丙三位同學(xué)中選出兩名，擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表；

(3)從甲、乙、丙、丁四個(gè)足球隊(duì)中任選2個(gè)，進(jìn)行主客場(chǎng)比賽；

(4)從甲、乙、丙、丁四個(gè)足球隊(duì)中任選2個(gè)，進(jìn)行單循環(huán)比賽.

［合作探究1］

1.小組合作舉出兩個(gè)例子，其中一個(gè)是排列，一個(gè)不是排列.

2.這兩個(gè)例子中的排列問(wèn)題一共有多少種不同的排列方法？你是如何得到這個(gè)數(shù)據(jù)

的？

(三)深入探究

排列數(shù)的定義：我們稱從〃個(gè)不同元素中任取機(jī)［m<n)個(gè)元素的所有,

叫做從及個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的,用表示.

［問(wèn)題探究1］

1.引例中的排列數(shù)怎么表示？值是多少？

2.如果將引例中的3位同學(xué)改為50位同學(xué)，那么排列數(shù)怎么表示？

3.問(wèn)題2用列舉法或樹(shù)狀圖來(lái)數(shù)排列數(shù)方便嗎？如果不用樹(shù)狀圖，還可以用什么方法

計(jì)數(shù)？

4.如果將引例中的3位同學(xué)改為及位同學(xué)，那么排列數(shù)怎么表示？值是多少？

5.如果從〃位同學(xué)中選出4位同學(xué)參加4*100米接力，那么排列數(shù)怎么表示？值是多

少？

［合作探究2］小組合作總結(jié)出從”個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)4"的計(jì)算公

式.

排列數(shù)公式：4"=_______________________________

［問(wèn)題探究2］你能找到哪些竅門(mén)記憶這個(gè)公式？

排列數(shù)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：_______________________________________________________

(四)回歸情境

你能用更簡(jiǎn)單的算式來(lái)解決情境引入問(wèn)題嗎？

(五)深化理解

［小試身手］

(1)4°=;

(2)(?-1)(?—2)???(/?-18)=；

(3)展：=.(xeN*).

［思考］將。，①c、3個(gè)元素全部取出的全排列的排列數(shù)是多少？你能列出所有的這些排

歹ij嗎？

［思考］如果上、下標(biāo)相等，即機(jī)=〃，那么排列數(shù)公式

A："=〃(〃-1)(〃-2＞一(〃一機(jī)+1)會(huì)變?yōu)槭裁葱螤睿?/p>

全排列的定義：一般地，”個(gè)不同元素的一個(gè)排列，叫做〃個(gè)不同元素的

一個(gè),全排列的排列數(shù)公式為.

階乘的定義：全排列的排列數(shù)公式等號(hào)右側(cè)為正整數(shù)由1到n的連乘積，叫做

，用.表示.

因此，〃個(gè)不同元素的全排列數(shù)公式為當(dāng)=〃!.

［思考］排列數(shù)公式2）…（〃-相+1）能否用階乘符號(hào)表示成另一種

形式呢？

排列數(shù)公式2：A：=

（六）鞏固應(yīng)用

例1計(jì)算：（1）6；（2）耳；（3）苫?.

A2

例2求證：A：+mA：T=A；］.

（七）目標(biāo)檢測(cè)

1.已知At=10x9x8*7x6x5,則"2=

2.計(jì)算?！?4；

A

3.已知4=89,求〃的值.

（八）歸納小結(jié)

請(qǐng)大家對(duì)照學(xué)習(xí)目標(biāo)，同桌互查，檢驗(yàn)本節(jié)課的學(xué)習(xí)效果.

（九）課后作業(yè)

知識(shí)鞏固：P14：練習(xí)Al~8思維提升：P23：習(xí)題Al~6

評(píng)價(jià)性練習(xí)：課后導(dǎo)學(xué)

?課后導(dǎo)學(xué)

1.下列各式中與排列數(shù)相等的是（）

n?

(A)---------------(B)〃(八一1)(，?-2)…(C)------——(D)

(〃一加+1)!n-m+\

2.若"GN且，?<20,則(27—a)(28—〃)…(34—〃)等于()

(A)心”(B)（C）⑴）蜀一“

3.若S=4+A；+&+……+4黑，則S的個(gè)位數(shù)字是（）

(A)0(B)3(C)5(D)8

4.%且40,則（50-左）（51-6（52-樸..（79-9用排列數(shù)符號(hào)表示為（）

（A）碌1（B）用乙(C)&匕(D)端*

5.計(jì)算(1)A^Q________；(2)A：=；⑶A；+4；=

6.已知A：=6A；5，則〃=.

7.己知A；；=H）x9x???x5,那么"？=

8.一個(gè)火車(chē)站有8股岔道，停放4列不同的火車(chē)，有多少種不同的停放方法（假定

每股岔道只能停放1列火車(chē)）

9.從卜9這九個(gè)數(shù)字中選出三個(gè)組成一個(gè)三位數(shù)，則這樣的三位數(shù)有..個(gè).

10.從4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的3塊土地上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，有.種

不同的種植方法.

、」但2A；+7A；

11.計(jì)算一!——盧

A8_A5

八8?

12.解方程：（1）UM=140A：；（2）3父=44，

13.解不等式：禺＞6圈々

14.計(jì)算下列各題：

⑴1!+2?2!+3?3!+……+〃?〃??；

附件2

《排列》拓展資源

一、排列組合問(wèn)題的起源

排列組合問(wèn)題，最早見(jiàn)于我國(guó)的《易經(jīng)》一書(shū).所謂“四象”就是每次取兩個(gè)爻的排列，

“八卦”是每次取三個(gè)爻的排列.在漢代數(shù)學(xué)家徐岳的《數(shù)術(shù)記遺》（公元2世紀(jì)）中，也曾

記載有與占卜有關(guān)的“八卦算”，即把卦按不同的方法在八個(gè)方位中排列起來(lái).它與“八個(gè)人

圍一張圓桌而坐，間有多少種不同坐法”這一典型的排列問(wèn)題類(lèi)似.11世紀(jì)時(shí)，邵雍還進(jìn)一

步研究了六十四卦的排列問(wèn)題.

唐朝僧人一行曾經(jīng)研究過(guò)圍棋布局的總數(shù)問(wèn)題.古代的棋盤(pán)共有17路，289個(gè)點(diǎn)，后

來(lái)發(fā)展到19路361個(gè)點(diǎn).一行曾計(jì)算過(guò)一切可能擺出的棋局總數(shù).后來(lái)，17世紀(jì)，北宋時(shí)

期沈括在《夢(mèng)溪筆談》中，進(jìn)一步討論了圍棋布局總數(shù)問(wèn)題.他利用一些排列、組合的辦法

對(duì)一行的計(jì)算作了分析.沈括指出，當(dāng)361個(gè)棋子全用上時(shí)，棋局總數(shù)達(dá)到100°°"的數(shù)量

級(jí).

以計(jì)數(shù)問(wèn)題為主要內(nèi)容的排列與組合,屬于現(xiàn)在發(fā)展很快且在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用

的組合數(shù)學(xué)的最初步知識(shí)，它不僅有著許多直接應(yīng)用，是學(xué)習(xí)概率理論的準(zhǔn)備知識(shí)，而且由

于其思維方法的新穎性與獨(dú)特性，它也是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的不可多得的好素材；作為初中

一種多項(xiàng)式乘法公式推廣二項(xiàng)式定理，不僅使前面組合等知識(shí)的學(xué)習(xí)得到強(qiáng)化，而且與后面

概率中的二項(xiàng)分布有著密切聯(lián)系.

二、排列組合問(wèn)題的常用策略

1.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略

例1.由0,123,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).

解：由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排，以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置.

先排末位共有G

然后排首位共有C：

最后排其它位置共有

由分步計(jì)數(shù)原理得=288.

2.相鄰元素捆綁策略

例2.7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法？

解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再

與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排.由分步計(jì)數(shù)原理可得共有

其用8=480種不同的排法.

要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題，可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題.即將需要相鄰的元素合

并為一個(gè)元素，再與其它元素一起作排列，同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.

3.不相鄰問(wèn)題插空策略

例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的

出場(chǎng)順序有多少種？

解：分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有A；種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的

6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種不同的方法，由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順

序共有種.

元素相離問(wèn)題可先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端.

4.定序問(wèn)題倍縮空位插入策略

例4.7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法？

解：（倍縮法）對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行

排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是:

4/用

（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個(gè)位置

甲乙丙共有」_種坐法，則共有種方法.

思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎？

（插入法）先排甲乙丙三個(gè)人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有方

法.

定序問(wèn)題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理.

5.重排問(wèn)題求惠策略

例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車(chē)間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法？

解:完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間有工種分法.把第二名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)

間也有7種分依此類(lèi)推，由分步計(jì)數(shù)原理共有76種不同的排法.

允許重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，可以逐一安排

各個(gè)元素的位置，一般地n不同的元素沒(méi)有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為mn種.

6.環(huán)排問(wèn)題線排策略

例68人圍桌而坐，共有多少種坐法？

解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒(méi)有首尾之分，所以固定一人并從此

位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）!種排法即7!

一般地，n個(gè)不同元素作圓形排列，共有（〃」）!種排法.如果從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)

元素作圓形排列共有2Ar

n

7.多排問(wèn)題直排策略

例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法？

解:8人排前后兩排，相當(dāng)于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.個(gè)特殊元素有A；種,

再排后4個(gè)位置上的特殊元素丙有A：種,其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有種，則

共有4種

前排后排

一般地，元素分成多排的排列問(wèn)題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段研究.

8.排列組合混合問(wèn)題先選后排策略

例8.有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝

法？

解：第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有C；種方法.再把4個(gè)元素（包含一個(gè)復(fù)

合元素）裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有A：種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有.

解決排列組合混合問(wèn)題，先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似

嗎？

9.小集團(tuán)問(wèn)題先整體后局部策略

例9.用123,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾1,5在兩個(gè)奇數(shù)之間,

這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？

解:把1,5,2,4當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與3排隊(duì)共有種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有界中排法,

由分步計(jì)數(shù)原理共有A；A；A；種排法.

10.元素相同問(wèn)題隔板策略

例10.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7個(gè)班，每班至少一個(gè)，有多少種分配方案？

解：因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成一排.相鄰名額之間形成9個(gè)空隙.

在9個(gè)空檔中選6個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成7份，對(duì)應(yīng)地分給7個(gè)班級(jí)，每一種

插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有C：種分法.

將n個(gè)相同的元素分成m份(〃，m為正整數(shù))，每份至少一個(gè)元素，可以用m-\塊隔板，

插入〃個(gè)元素排成一排的個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為C：；：.

11.正難則反總體淘汰策略

例11.從0』23,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同

的取法有多少種？

解：這問(wèn)題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難，可用總體淘汰法.這十個(gè)數(shù)字中有5個(gè)偶

數(shù)5個(gè)奇數(shù),所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有戲，只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有,和為

偶數(shù)的取法共有+再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的取法共有

-9.

有些排列組合問(wèn)題，正面直接考慮比較復(fù)雜，而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷，可以先求出它的

反面，再?gòu)恼w中淘汰.

12.平均分組問(wèn)題除法策略

例12.6本不同的書(shū)平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？

解：分三步取書(shū)得種方法，但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書(shū)為A8CZJER

若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則中還有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有用種取法，而這些分法

僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有/前種分法.

平均分成的組，不管它們的順序如何,都是一種情況，所以分組后要一定要除以(〃為

均分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù).

13.合理分類(lèi)與分步策略

例13.在一次演唱會(huì)上共10名演員，其中8人能能唱歌,5人會(huì)跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè)2人

唱歌2人伴舞的節(jié)目，有多少選派方法？

解：10演員中有5人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞3人為全能演員.選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研

究只會(huì)唱的5人中沒(méi)有人選上唱歌人員共有種，只會(huì)唱的5人中只有1人選上唱歌人

員種，只會(huì)唱的5人中只有2人選上唱歌人員有點(diǎn)《種，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理共有

解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)，按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分

步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確.分步層次清楚，不重不漏，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過(guò)程的始終.

14.構(gòu)造模型策略

例14.馬路上有編號(hào)為123,4,5,6,7,8,9的九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞，但不能關(guān)掉

相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？

解：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3個(gè)不亮的燈有種.

一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，

裝盒模型等，可使問(wèn)題直觀解決.

15.實(shí)際操作窮舉策略

例15.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)123,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒

子內(nèi)，要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,有多少投法？

解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有點(diǎn)種還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際操

作法，如果剩下3,4,5號(hào)球，3,4,5號(hào)盒3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí)，則4,5號(hào)球有只有1種裝法，

同理3號(hào)球裝5號(hào)盒時(shí),4,5號(hào)球有也只有1種裝法，由分步計(jì)數(shù)原理有2《種.

3號(hào)盒4號(hào)盒5號(hào)盒

對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫(huà)出樹(shù)狀

圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果.

16.分解與合成策略

例16.30030能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除？

分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2x3x5x7x11x13,依題意可知偶因

數(shù)必先取2,再?gòu)钠溆?個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積，所有的偶因數(shù)為：

C；+C；+C；+C；+C；.

分解與合成策略是排列組合問(wèn)題的一種最基本的解題策略,把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成幾個(gè)

小問(wèn)題逐一解決,然后依據(jù)問(wèn)題分解后的結(jié)構(gòu)，用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問(wèn)題合成,

從而得到問(wèn)題的答案，每個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題都要用到這種解題策略.

17.化歸策略

例17.25人排成5x5方陣,現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的選

法有多少種？

解：將這個(gè)問(wèn)題退化成9人排成3x3方陣,現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一

列,有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉，

如此繼續(xù)下去.從3x3方隊(duì)中選3人的方法有C\C\C\種.再?gòu)?x5方陣選出3x3方陣便可解

決問(wèn)題.從5x5方隊(duì)中選取3行3列有選法所以從5x5方陣選不在同一行也不在同一

列的3人有選法.

處理復(fù)雜的排列組合問(wèn)題時(shí)可以把一個(gè)問(wèn)題退化成一個(gè)簡(jiǎn)要的問(wèn)題，通過(guò)解決這個(gè)簡(jiǎn)要

的問(wèn)題的解決找到解題方法，從而進(jìn)下一步解決原來(lái)的問(wèn)題.

18.數(shù)字排序問(wèn)題查字典策略

例18.由0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)的比324105大的數(shù)？

解：N=2{+2A：+A；+A；+A：=297

數(shù)字排序問(wèn)題可用查字典法,查字典的法應(yīng)從高位向低位查,依次求出其符合要求的個(gè)

數(shù),根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理求出其總數(shù).

19.樹(shù)圖策略

例19.3人相互傳球，由甲開(kāi)始發(fā)球,并作為第一次傳球,經(jīng)過(guò)5次傳求后,球仍回到甲的

手中，則不同的傳球方式有

解：N=1O

對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，不易用.

20.復(fù)雜分類(lèi)問(wèn)題表格策略

例20.有紅、黃、蘭色的球各5只，分別標(biāo)有A、B、C、D、E五個(gè)字母，現(xiàn)從中取5

只，要求各字母均有且三色齊備,則共有多少種不同的取法

紅111223

黃123121

321211

取法C?

一些復(fù)雜的分類(lèi)選取題，要滿足的條件比較多，無(wú)從入手，經(jīng)常出現(xiàn)重復(fù)遺漏的情況，用表

格法，則分類(lèi)明確，能保證題中須滿足的條件，能達(dá)到好的效果.

21.住店法策略

解決“允許重復(fù)排列問(wèn)題”要注意區(qū)分兩類(lèi)元素:一類(lèi)元素可以重復(fù)，另一類(lèi)不能重復(fù),

把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.

例21.七名學(xué)生爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)

有.

解：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得〃項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作7家“店”，

五項(xiàng)冠軍看作5名“客”，每個(gè)“客”有7種住宿法，由乘法原理得種.

《排列》學(xué)情分析

一、知識(shí)基礎(chǔ)

在上一節(jié)課中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了計(jì)數(shù)原理，因此可以利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決情境問(wèn)

題.只是算式太復(fù)雜，由此點(diǎn)明本節(jié)課的主題一一探究更簡(jiǎn)潔的計(jì)數(shù)方法及表示，激發(fā)學(xué)生

的求知精神和探索欲望.

在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)列舉法和樹(shù)狀圖，因此能夠熟練通過(guò)列舉法或者列樹(shù)狀圖的方法

數(shù)出排列數(shù)，所以對(duì)于本節(jié)課的引例，能夠輕松完成.在引入課題的同時(shí)，也給學(xué)生帶來(lái)成

功的體驗(yàn)，使課堂更具吸引力.而學(xué)生有分步乘法計(jì)數(shù)原理的基礎(chǔ)，因此在推導(dǎo)排列數(shù)公式

的環(huán)節(jié)中，學(xué)生已經(jīng)具備分析解決問(wèn)題的知識(shí)和能力，因此這部分知識(shí)學(xué)生接受起來(lái)應(yīng)該比

較輕松.

對(duì)于排列的定義和階乘的定義，學(xué)生是第一次接觸，因此對(duì)于排列概念的理解和相鄰兩

個(gè)整數(shù)的階乘的關(guān)系的探究要在教師的引導(dǎo)下一一解決.

1.對(duì)排列概念的深入理解

設(shè)計(jì)4個(gè)辨析題一一讓學(xué)生從給出的四個(gè)問(wèn)題中找出排列問(wèn)題：

通過(guò)同一情境下的排列問(wèn)題與非排列問(wèn)題的對(duì)比，幫助學(xué)生對(duì)比分析，弄清排列問(wèn)題與

非排列問(wèn)題的區(qū)別.讓學(xué)生更加深刻地感受排列的實(shí)質(zhì)：先選后排.

2.階乘關(guān)系的探究

讓學(xué)生口答卜5的階乘，引導(dǎo)學(xué)生思考4!與5!之間的關(guān)系，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)相鄰正整數(shù)的

階乘之間的關(guān)系，從具體到一般總結(jié)規(guī)律，由此推導(dǎo)出加與(〃+1)!之間的關(guān)系.在熟練階

乘運(yùn)算的同時(shí);為排列數(shù)的階乘形式的推導(dǎo)打下基礎(chǔ).

二、生活經(jīng)驗(yàn)準(zhǔn)備

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活.用生活中的實(shí)例引入課題，可以讓學(xué)生代入感更強(qiáng)，效果更好.

1.情境引入環(huán)節(jié)

由學(xué)生感興趣的綜藝節(jié)目《最強(qiáng)大腦》引入課題.設(shè)計(jì)“心算一姐”陳冉冉用大位數(shù)乘

法秒殺對(duì)手的情境，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情，激起學(xué)生的探索欲望，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.讓

學(xué)生思考問(wèn)題”如果按照下面的兩個(gè)原則設(shè)計(jì)7位數(shù)與10位數(shù)的乘法公式，《最強(qiáng)大腦》題

庫(kù)中有多少這樣的乘法算式可供隨機(jī)選擇？

(5)7位乘數(shù)中的每個(gè)數(shù)字都不為0：

(6)每個(gè)乘數(shù)中的各個(gè)數(shù)字不重復(fù).”

于是順理成章地引出本節(jié)課的課題，自然不突兀.

2.概念形成環(huán)節(jié)

在排列概念的理解環(huán)節(jié)，可以從生活實(shí)際入手，設(shè)計(jì)如下四個(gè)辨析題：

(1)從甲、乙、丙三位同學(xué)中選出兩名，分別擔(dān)任語(yǔ)文課代表和數(shù)學(xué)課代表；

(2)從甲、乙、丙三位同學(xué)中選出兩名，擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表；

(3)從甲、乙、丙、丁四個(gè)足球隊(duì)中任選2個(gè)，進(jìn)行主客場(chǎng)比賽；

(4)從甲、乙、丙、丁四個(gè)足球隊(duì)中任選2個(gè)，進(jìn)行單循環(huán)比賽.

用貼近學(xué)生生活的選課代表的實(shí)例和男生普遍關(guān)注的足球比賽的實(shí)例，容易引起學(xué)生的

興趣.這四個(gè)問(wèn)題兩兩一組，對(duì)比鮮明，能夠較好地幫助學(xué)生對(duì)比分析，弄清排列問(wèn)題與非

排列問(wèn)題的區(qū)別.

通過(guò)這四個(gè)辨析題做示范,讓學(xué)生心里有了排列的模型，再讓學(xué)生合作舉出排列的例子.

從感知到認(rèn)識(shí)，再到掌握(能自己設(shè)計(jì)情境舉出排列和非排列的例子)，層層遞進(jìn).在模仿中

改進(jìn)，在改進(jìn)中提升，這樣設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律與思維習(xí)慣.

三、難度分析

不同層次的學(xué)生對(duì)本節(jié)的知識(shí)掌握程度是不同的.如果沒(méi)有考慮到學(xué)生的知識(shí)水平差距,

沒(méi)有設(shè)置適當(dāng)?shù)膯?wèn)題啟發(fā)引導(dǎo)，大約只能有三分之一的學(xué)生能掌握；但是通過(guò)由易到難、層

層遞進(jìn)的問(wèn)題引導(dǎo)，絕大部分學(xué)生都能掌握好本節(jié)的知識(shí).當(dāng)然，仍然很少一部分同學(xué)因?yàn)?/p>

水平較差，在課堂上很難掌握全部?jī)?nèi)容，這就要求教師可以在課前為這部分同學(xué)布置恰當(dāng)?shù)?/p>

復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)任務(wù).

高二學(xué)生具有i般的歸納推理能力，學(xué)生思維較活躍，但是創(chuàng)新思維能力較弱.在以往

的教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，重視定理、公式的結(jié)論，而不重視其形成過(guò)程.

事實(shí)上，排列數(shù)公式的推導(dǎo)過(guò)程才是本節(jié)課的重點(diǎn).

在排列數(shù)公式的推導(dǎo)過(guò)程中，教材的設(shè)計(jì)沒(méi)有鋪墊，理論性太強(qiáng)，學(xué)生不易接受，這也

是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn).

為了突破這個(gè)難點(diǎn)，在對(duì)排列數(shù)公式的探究環(huán)節(jié)，我設(shè)計(jì)了如下五個(gè)問(wèn)題：

1.引例中的排列數(shù)怎么表示？值是多少？

2.如果將引例中的3位同學(xué)改為50位同學(xué)，那么排列數(shù)怎么表示？

3.問(wèn)題2用列舉法或樹(shù)狀圖來(lái)數(shù)排列數(shù)方便嗎？如果不用樹(shù)狀圖，還可以用什么方法

計(jì)數(shù)？

4.如果將引例中的3位同學(xué)改為n位同學(xué)，那么排列數(shù)怎么表示？值是多少？

5.如果從n位同學(xué)中選出4位同學(xué)參加4*100米接力，那么排列數(shù)怎么表示？值是多

少？

由引例中較小的耳，到稍大的小）,再到抽象的A；及a：,層層遞進(jìn)，思路流暢，

降低了難度.學(xué)生在輕松回答問(wèn)題的同時(shí)，也一次次地經(jīng)歷用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決排列問(wèn)

題的過(guò)程，熟練這個(gè)過(guò)程之后，學(xué)生合作推導(dǎo)排列數(shù)的第一個(gè)公式時(shí)，自然就會(huì)順理成章、

輕松自如了.

四、課前準(zhǔn)備

首先，復(fù)習(xí)鞏固上節(jié)課計(jì)數(shù)原理的知識(shí)，為本節(jié)課做好準(zhǔn)備.

其次，按照老師的要求組成方便課堂討論、合作探究的4-6人學(xué)習(xí)小組，并選派一名

組長(zhǎng).在合作探究環(huán)節(jié)，以學(xué)習(xí)小組為單位進(jìn)行，養(yǎng)成主動(dòng)探究、交流合作的好習(xí)慣.

最后，對(duì)照導(dǎo)學(xué)案預(yù)習(xí)本節(jié)知識(shí)，把不理解的問(wèn)題標(biāo)記下來(lái)，帶著問(wèn)題聽(tīng)課，以提高

聽(tīng)課效果.

《排列》效果分析

一、學(xué)習(xí)效果評(píng)測(cè)工具

(1)評(píng)價(jià)量規(guī)；

(2)學(xué)生座談，小組成員相互評(píng)價(jià).

二、學(xué)習(xí)效果評(píng)測(cè)匯總

(1)情境引入環(huán)節(jié)：以熱門(mén)節(jié)目《最強(qiáng)大腦》中“心算一姐”陳冉冉秒殺對(duì)手的7位

數(shù)乘10位數(shù)的大位數(shù)乘法運(yùn)算設(shè)置問(wèn)題情境,激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情，激起學(xué)生的探索欲望，

引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

事實(shí)證明，學(xué)生能夠用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決這個(gè)問(wèn)題，只不過(guò)算式比較復(fù)雜，因此

迫切想探求一個(gè)簡(jiǎn)單的表示形式，由此引入課題，自然流暢.

(2)概念形成環(huán)節(jié)：學(xué)生通過(guò)積極思考，通過(guò)同一情境下的排列問(wèn)題與非排列問(wèn)題的

對(duì)比，輕松完成辨析問(wèn)題.先給出辨析題做示范，讓學(xué)生心里有了排列的模型，再讓學(xué)生合

作舉出排列的例子.從感知到認(rèn)識(shí)，再到掌握(能自己設(shè)計(jì)情境舉出排列和非排列的例子),

層層遞進(jìn).在模仿中改進(jìn)，在改進(jìn)中提升，這樣設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律與思維習(xí)慣.

事實(shí)證明，學(xué)生的創(chuàng)造力是可以被培養(yǎng)的.學(xué)生能夠舉出“從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中，

選出兩個(gè)數(shù)字分別作點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)”和“從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中，選出兩個(gè)數(shù)字作為

一個(gè)集合中的元素”這樣的例子，讓我刮目相看，效果比我想象中要好.

(3)深入探究環(huán)節(jié)：通過(guò)設(shè)計(jì)的層次分明的5個(gè)問(wèn)題，由引例中較小的,到稍大

的后，再到抽象的耳及,層層遞進(jìn)，思路流暢，降低了難度.

事實(shí)證明，學(xué)生在輕松回答問(wèn)題的同時(shí)，也一次次地經(jīng)歷用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決排列

問(wèn)題的過(guò)程，熟練這個(gè)過(guò)程之后，學(xué)生合作推導(dǎo)排列數(shù)的第一個(gè)公式就非常流暢，效果不錯(cuò).

(4)深化理解環(huán)節(jié)：通過(guò)碇；(xeN*)這個(gè)問(wèn)題，不僅可以幫助學(xué)生鞏固排列數(shù)

上、下標(biāo)的關(guān)系，而且也給出了上、下標(biāo)相等的特例，順理成章地提出的表示形式，給

出全排列的概念.

事實(shí)證明，學(xué)生在教師的提示下，能夠根據(jù)排列數(shù)上、下標(biāo)的關(guān)系，從而求出統(tǒng)；

(xeN*)中x的值，得到最終的形式A；,得到答案6.

(5)鞏固應(yīng)用環(huán)節(jié)：從正確率的角度來(lái)看，基本所有同學(xué)都能夠正確計(jì)算排列數(shù)，但

是有的同學(xué)由于對(duì)公式不太熟練，速度有點(diǎn)兒慢.對(duì)于證明題，教師引導(dǎo)學(xué)生思考，熟練排

列數(shù)的第二個(gè)公式的應(yīng)用，在排列的學(xué)習(xí)之初，不要求學(xué)生獨(dú)立解決.

(6)目標(biāo)檢測(cè)環(huán)節(jié)：大部分學(xué)生能獨(dú)立完成題目，但是有同學(xué)對(duì)于第三個(gè)問(wèn)題選擇排

列數(shù)的第一個(gè)公式，導(dǎo)致書(shū)寫(xiě)繁雜，其它題目完成的很好.

三、學(xué)習(xí)效果評(píng)測(cè)分析

由于本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是排列的第一課時(shí)，新授的知識(shí)理解起來(lái)會(huì)有一點(diǎn)難度，所以我

在這節(jié)課的教學(xué)中，采取以學(xué)生為主體，問(wèn)題探究及小組合作學(xué)習(xí)的教學(xué)模式.回顧整節(jié)課

的教學(xué)過(guò)程，從學(xué)生課堂參與教學(xué)的積極表現(xiàn)，回答問(wèn)題和提出問(wèn)題的深度，評(píng)價(jià)檢測(cè)的成

績(jī)，以及對(duì)后續(xù)章節(jié)學(xué)習(xí)帶來(lái)的效益看，學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握是相當(dāng)不錯(cuò)的.

通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)實(shí)踐，最大的收獲是學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)的改變一一動(dòng)靜相宜，熱鬧不流于

形式，而在思維的碰撞.以前總是把課堂的著眼點(diǎn)放在如何講好一堂課，課堂的設(shè)計(jì)花費(fèi)在

老師如何把知識(shí)點(diǎn)講明白，這次確實(shí)是遵循以學(xué)生為主體，小組合作學(xué)習(xí)的教學(xué)理念，把上

課的著眼點(diǎn)放在如何引導(dǎo)學(xué)生獲取知識(shí)、探究知識(shí)和應(yīng)用知識(shí)上，所以這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，

都是教師設(shè)置問(wèn)題，以學(xué)生自主探索，合作交流為主，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，加

深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，從而突破重難點(diǎn).由于學(xué)生學(xué)習(xí)水平參差不齊，教學(xué)過(guò)程我們時(shí)刻關(guān)

注學(xué)生的活動(dòng)情況，對(duì)于生成過(guò)程中的突發(fā)事件，因勢(shì)利導(dǎo)，隨機(jī)應(yīng)變，對(duì)各層次的學(xué)生把

握好評(píng)價(jià)的時(shí)機(jī)和尺度，力求達(dá)到全體學(xué)生共同體驗(yàn)學(xué)習(xí)樂(lè)趣的目的，力求課堂效果達(dá)到最

佳狀態(tài).

另外多媒體也是取得成效的有力助手.從情境引入的《最強(qiáng)大腦》視頻，上課伊始就定

下了本節(jié)課的基調(diào)一一節(jié)奏快，勤動(dòng)腦.投影儀展示學(xué)生的習(xí)題完成情況能夠使教師更加準(zhǔn)

確地把握學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，使課堂教學(xué)更有實(shí)效.

經(jīng)歷了本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上的精神面貌有了質(zhì)的變化，課下和學(xué)生交流了

解到，大部分同學(xué)為了課堂上小組合作學(xué)習(xí)時(shí)有精彩的表現(xiàn)，代表小組陳述的結(jié)果能得到師

生高度的評(píng)價(jià)，課前自覺(jué)復(fù)習(xí)、預(yù)習(xí).所以我覺(jué)得可以以本節(jié)課的教學(xué)為依托，在后續(xù)的學(xué)

習(xí)過(guò)程中推廣開(kāi)來(lái)，也為后續(xù)課堂教學(xué)帶來(lái)正能量.

課堂學(xué)習(xí)效果評(píng)價(jià)量規(guī)見(jiàn)附件.

附件課堂學(xué)習(xí)效果評(píng)價(jià)量規(guī)

4321

合作交流1我能清晰理解排我能基本理解排我對(duì)排列的定義我不太理解排列

列的定義，并能列的定義，并能?chē)L似是而非，不能獨(dú)的定義，不能獨(dú)立

輕松舉出排列問(wèn)試舉出排列問(wèn)題立舉出排列問(wèn)題舉出排列問(wèn)題和

題和非排列問(wèn)和非排列問(wèn)題（不和非排列問(wèn)題，但非排列問(wèn)題，同伴

題，所舉例子會(huì)一定完全正確）.能在同伴的啟發(fā)的啟發(fā)對(duì)我的思

對(duì)同伴有啟發(fā).下舉出例子.維也沒(méi)有幫助.

合作交流2我能夠準(zhǔn)確利用我能夠模仿前面我能猜想出排列我不會(huì)利用分步

分步乘法計(jì)數(shù)原的例題嘗試用分?jǐn)?shù)公式的形式，但乘法計(jì)數(shù)原理推

理推導(dǎo)排列數(shù)公步乘法計(jì)數(shù)原理需要在同伴的啟導(dǎo)排列數(shù)公式.

式，并能清晰表推導(dǎo)排列數(shù)公式，發(fā)下才明白原理.