2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第九章 第三節(jié) 圓的方程含答案

5版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第九章第三節(jié)圓的方程第三節(jié)圓的方程【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征,能根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握?qǐng)A的一般方程,能對(duì)圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行互化,了解二元二次方程表示圓的條件.【考情分析】考點(diǎn)考法:圓的方程高考一般不單獨(dú)考查,它常與直線、平面向量及圓錐曲線相結(jié)合出現(xiàn)在選擇題或填空題中.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.圓的定義與方程定義平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圓心坐標(biāo):(a,b)半徑為r一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0充要條件:D2+E2-4F>0圓心坐標(biāo):(-D2,-E半徑:r=1【微點(diǎn)撥】圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F為常數(shù))具有以下特點(diǎn):(1)x2,y2項(xiàng)的系數(shù)均為1;(2)沒(méi)有xy項(xiàng);(3)D2+E2-4F>0.2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系:(1)若M(x0,y0)在圓外,則(x0-a)2+(y0-b)2>r2.(2)若M(x0,y0)在圓上,則(x0-a)2+(y0-b)2=r2.(3)若M(x0,y0)在圓內(nèi),則(x0-a)2+(y0-b)2<r2.【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)12341.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的是 ()A.圓心位置和圓的半徑確定,圓就唯一確定B.方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圓C.圓(x+1)2+(y-1)2=2的圓心坐標(biāo)是(1,-1),半徑長(zhǎng)是2D.點(diǎn)(0,0)在圓(x-1)2+(y-2)2=1外【解析】選AD.確定圓的幾何要素就是圓心和半徑,故A正確;當(dāng)m=0時(shí),不表示圓,故B錯(cuò)誤;圓(x+1)2+(y-1)2=2的圓心坐標(biāo)是(-1,1),半徑長(zhǎng)是2,故C錯(cuò)誤;因?yàn)?0-1)2+(0-2)2>1,所以點(diǎn)(0,0)在圓(x-1)2+(y-2)2=1外,故D正確.2.(選擇性必修第一冊(cè)P88練習(xí)T1變形式)圓x2+y2-4x-1=0的圓心坐標(biāo)及半徑分別為 ()A.(2,0),5 B.(2,0),5C.(0,2),5 D.(2,2),5【解析】選B.依題意,圓x2+y2-4x-1=0轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x-2)2+y2=5,所以圓心為(2,0),半徑為5.3.(忽略D2+E2-4F>0)若點(diǎn)P(1,1)在圓C:x2+y2+x-y+k=0外,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ()A.(-2,+∞) B.[-2,-12C.(-2,12) D.【解析】選C.由題意得1+1+1解得-2<k<124.(2022·全國(guó)甲卷)設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y-1=0上,點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在☉M上,則☉M的方程為____________.

【命題意圖】本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法,關(guān)鍵是確定圓心和半徑.【解析】因?yàn)辄c(diǎn)M在直線2x+y-1=0上,所以設(shè)點(diǎn)M為(a,1-2a),又因?yàn)辄c(diǎn)(3,0)和(0,1)均在☉M上,所以點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R,所以(a-3)2a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,解得a=1,所以M(1,-1),R=5,☉M的方程為(x-1)2+(y+1)2=5.答案:(x-1)2+(y+1)2=5【巧記結(jié)論·速算】1.以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.2.同心圓系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是參數(shù).【即時(shí)練】1.“大漠孤煙直,長(zhǎng)河落日?qǐng)A”體現(xiàn)了我國(guó)古代勞動(dòng)人民對(duì)于圓的認(rèn)知.已知A(1,3),B(3,-1),則以AB為直徑的圓的方程為 ()A.(x-2)2+(y-1)2=5B.(x-2)2+(y-1)2=20C.(x+1)2+(y-2)2=5D.(x+1)2+(y-2)2=20【解析】選A.所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)(x-3)+(y-3)(y+1)=0,即(x-2)2+(y-1)2=5,即以AB為直徑的圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.2.與圓(x-1)2+y2=4同圓心且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-2,4)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ()A.(x-1)2+y2=17 B.(x+1)2+y2=25C.(x+1)2+y2=17 D.(x-1)2+y2=25【解析】選D.由圓(x-1)2+y2=4的方程可知圓心為(1,0),設(shè)所求圓的方程為(x-1)2+y2=r2(r>0),將點(diǎn)P(-2,4)代入得(-2-1)2+42=r2,解得r=5,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=25.【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一求圓的方程[例1](1)(一題多法)過(guò)點(diǎn)A(1,-1)與B(-1,1),且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程為 ()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4【解析】選C.方法一(待定系數(shù)法):設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),則(1-故所求圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=4.方法二(幾何法):圓心一定在AB的中垂線上,AB的中垂線方程為y=x.由y=所以r=(1所以圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=4.(2)(2022·全國(guó)乙卷)過(guò)四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為__________.

【命題意圖】考查圓的一般方程,待定系數(shù)法.【解析】依題意設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,若過(guò)(0,0),(-1,1),(4,0),則F=016+4D所以圓的方程為x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13;若過(guò)(0,0),(4,0),(4,2),則F=016+4D所以圓的方程為x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5;若過(guò)(0,0),(-1,1),(4,2),則F=01+1-所以圓的方程為x2+y2-83x-143y=0,即(x-4若過(guò)(-1,1),(4,0),(4,2),則1+1-D+所以圓的方程為x2+y2-165x-2y-165=0,即(x-85)答案:(x-2)2+(y-3)2=13(或(x-2)2+(y-1)2=5或(x-43)2+(y-73)【誤區(qū)警示】選取不共線的三點(diǎn)求解即可.若考慮三點(diǎn)共線,既耽誤時(shí)間又無(wú)解.【解題技法】求圓的方程的兩種方法幾何法根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫出方程待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求出a,b,r的值.②若已知條件中涉及圓上的點(diǎn)的坐標(biāo),常選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F的方程組,進(jìn)而求出D,E,F的值提醒:解答圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí),應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合,充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2024·許昌模擬)以點(diǎn)A(3,4)為圓心,且與y軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ()A.(x+3)2+(y-4)2=16B.(x-3)2+(y+4)2=16C.(x-3)2+(y-4)2=9D.(x-3)2+(y+4)2=9【解析】選C.以點(diǎn)A(3,4)為圓心,且與y軸相切的圓的半徑為3,故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-3)2+(y-4)2=9.2.在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為______________.

【解析】方法一:設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),則F=0,故圓的方程為x2+y2-2x=0.方法二:設(shè)O(0,0),A(1,1),B(2,0),則kOA=1,kAB=-1,所以kOA·kAB=-1,即OA⊥AB,所以△OAB是以∠A為直角的直角三角形,則線段BO是所求圓的直徑,則圓心為(1,0),半徑r=12|OB|=1,圓的方程為(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0答案:x2+y2-2x=0【加練備選】若圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),且圓心在直線y=-2x+3上運(yùn)動(dòng),當(dāng)半徑最小時(shí),圓的方程為__________.

【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-2a+3),則圓的半徑r=(a-=5(當(dāng)a=65時(shí),rmin=3故所求圓的方程為(x-65)答案:(x-65考點(diǎn)二與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題教考銜接類題串串聯(lián)題號(hào)類題說(shuō)明(1)源自第89頁(yè)綜合運(yùn)用·T8.此題為定義圓(2)源自第87頁(yè)例5.此題為圓的伴生圓(3)源自第89頁(yè)拓廣探索·T9.此題為比例圓(阿氏圓)(4)源自第89頁(yè)拓廣探索·T10.此題為圓的參數(shù)方程[例2](1)長(zhǎng)為2a的線段的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng),則線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程為__________.

【解析】(1)如圖,設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M(x,y),點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí),它到原點(diǎn)O的距離為定長(zhǎng),即Rt△AOB的斜邊上的中線長(zhǎng)為定長(zhǎng).因?yàn)锳B=2a,即點(diǎn)M∈M|OM=a,點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2答案:x2+y2=a2(2)已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng),則線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為__________.

【解析】(2)如圖,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,y),點(diǎn)A的坐標(biāo)是x0由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),且M是線段AB的中點(diǎn),所以x=x0+42,y于是有x0=2x-4,y0=2y-3,①因?yàn)辄c(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng),所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程,即(x0+1)把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得x-322答案:x-32(3)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到兩定點(diǎn)O(0,0),A(3,0)的距離比為12,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為__________【解析】(3)如圖,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)題設(shè)有M∈M|MO||MA化簡(jiǎn),得點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2+2x-3=0.軌跡是圓心為-1,答案:x2+y2+2x-3=0(4)在平面直角坐標(biāo)系中,如果點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足x=a+rcosθ,【解析】(4)由于點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足x=a+rcosθ,y=b+rsinθ,其中θ為參數(shù),所以x-a=rcosθ,y-b=rsinθ,可得(x-a)2+(y-b)2=(rcos答案:(x-a)2+(y-b)2=r2【解題技法】求與圓有關(guān)軌跡問(wèn)題的兩種方法(1)直接法:當(dāng)題目條件中含有與該點(diǎn)有關(guān)的等式時(shí),可設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo),用坐標(biāo)表示等式,直接求解軌跡方程.(2)代入法:當(dāng)題目條件中已知某動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,而要求的點(diǎn)與該動(dòng)點(diǎn)有關(guān)時(shí),常找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系,代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求軌跡方程.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】(2024·宜昌模擬)已知定點(diǎn)M(1,0),N(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PN|=2|PM|.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;【解析】(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)镸(1,0),N(2,0),且|PN|=2|PM|,所以(x-2)2整理得x2+y2=2,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2+y2=2.(2024·宜昌模擬)已知定點(diǎn)M(1,0),N(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PN|=2|PM|.(2)已知點(diǎn)B(6,0),點(diǎn)A在軌跡C上運(yùn)動(dòng),求線段AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)Q的軌跡方程.【解析】(2)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,n),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(xA,yA),因?yàn)镼是線段AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),所以AQ=2QB,即(m-xA,n-yA)=2(6-m,-n),解得xA又點(diǎn)A在軌跡C上運(yùn)動(dòng),由(1)有(3m-12)2+(3n)2=2,化簡(jiǎn)得(m-4)2+n2=29即點(diǎn)Q的軌跡方程為(x-4)2+y2=29【加練備選】1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A0,-2,若動(dòng)點(diǎn)M滿足MAMO=2,則點(diǎn)M的軌跡方程是 A.x2+(y+2)2=22B.x2+(y-2)2=22C.x2+(y+2)2=8D.x2+(y-2)2=8【解析】選D.設(shè)M(x,y),因?yàn)镸AMO=2,A(0,-2),所以x2+所以x2+(y+2)2=2(x2+y2),所以x2+(y-2)2=8為點(diǎn)M的軌跡方程.2.已知等腰三角形ABC的底邊BC對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)是A(4,2),底邊的一個(gè)端點(diǎn)是B(3,5),則底邊另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程是______________.

【解析】設(shè)C(x,y).由題意知,|AB|=(3-4因?yàn)椤鰽BC是以BC為底邊的等腰三角形,所以|CA|=|AB|=10,即點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)A為圓心,10為半徑的圓.又點(diǎn)A,B,C構(gòu)成三角形,所以三點(diǎn)不可共線,所以軌跡中需去掉點(diǎn)B(3,5)及點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)(5,-1),所以點(diǎn)C的軌跡方程為(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)兩點(diǎn)).答案:(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)兩點(diǎn))考點(diǎn)三圓的對(duì)稱性問(wèn)題[例3](1)(2022·北京高考)若直線2x+y-1=0是圓(x-a)2+y2=1的一條對(duì)稱軸,則a= ()A.12 B.-12 C.1 D【命題意圖】考查直線與圓的位置關(guān)系,基礎(chǔ)題.【解析】選A.因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸,所以直線過(guò)圓心.又因?yàn)閳A心坐標(biāo)為(a,0),所以由2a+0-1=0,解得a=12(2)(多選題)圓上的點(diǎn)(2,1)關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上,且圓的半徑為5,則圓的方程可能是 ()A.x2+y2=5B.(x-1)2+y2=5C.x2+(y+1)2=5D.(x-1)2+(y+1)2=5【解析】選AD.因?yàn)閳A上的點(diǎn)(2,1)關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)仍在這個(gè)圓上,所以圓心在直線x+y=0上,因此設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-a),則由(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=0或a=1.所以所求圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5.【解題技法】圓的對(duì)稱性的兩點(diǎn)推廣由于圓既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形,因此過(guò)圓心的直線必定平分圓的周長(zhǎng),且圓上的點(diǎn)關(guān)于過(guò)圓心直線的對(duì)稱點(diǎn)也在圓上.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】(多選題)關(guān)于圓(x-2)2+y2=5,下列說(shuō)法正確的是 ()A.關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱B.關(guān)于直線y=0對(duì)稱C.關(guān)于直線x-y+2=0對(duì)稱D.關(guān)于直線x+3y-2=0對(duì)稱【解析】選ABD.由題意知圓心的坐標(biāo)為(2,0).圓是關(guān)于圓心對(duì)稱的中心對(duì)稱圖形,所以A正確;圓是關(guān)于直徑對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形,直線y=0過(guò)圓心,所以B正確;直線x-y+2=0不過(guò)圓心,所以C不正確;直線x+3y-2=0過(guò)圓心,所以D正確.【加練備選】(2024·沈陽(yáng)模擬)已知直線l:mx+y-1=0(m∈R)是圓C:x2+y2-4x+2y+1=0的對(duì)稱軸,則m的值為 ()A.1 B.-1 C.2 D.3【解析】選A.由圓C方程得:圓心C(2,-1),因?yàn)橹本€l是圓C的對(duì)稱軸,所以圓心C在直線l上,即2m-1-1=0,解得m=1.第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題.【考情分析】考點(diǎn)考法:直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一,其中直線與圓相切及直線與圓相交是重點(diǎn)考查的內(nèi)容,多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d,圓的半徑為r)位置關(guān)系相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δ<0Δ=0Δ>0幾何觀點(diǎn)d>rd=rd<r【微點(diǎn)撥】判斷直線與圓的位置關(guān)系,常用幾何法而不用代數(shù)法.2.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r圓O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2位置關(guān)系方法公切線條數(shù)幾何法:圓心距d與r1,r2的關(guān)系代數(shù)法:聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況外離d>r1+r2無(wú)解4外切d=r1+r2一組實(shí)數(shù)解3相交|r1-r2|<d<r1+r2兩組不同的實(shí)數(shù)解2內(nèi)切d=|r1-r2|(r1≠r2)一組實(shí)數(shù)解1內(nèi)含0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)無(wú)解03.直線被圓截得的弦長(zhǎng)(1)幾何法:弦心距d、半徑r和弦長(zhǎng)|AB|的一半構(gòu)成直角三角形,弦長(zhǎng)|AB|=2r2(2)代數(shù)法:設(shè)直線y=kx+m與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于點(diǎn)M,N,代入,消去y,得關(guān)于x的一元二次方程,則|MN|=1+k(x【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)12,3541.(多維辨析)(多選題)下列說(shuō)法正確的是 ()A.若直線與圓有公共點(diǎn),則直線與圓相交或相切B.若兩圓沒(méi)有公共點(diǎn),則兩圓一定外離C.若兩圓外切,則兩圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),反之也成立D.若兩圓有公共點(diǎn),則|r1-r2|≤d≤r1+r2【解析】選AD.直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn),則直線與圓相切,有兩個(gè)公共點(diǎn),則直線與圓相交,故A正確;兩圓沒(méi)有公共點(diǎn),則兩圓外離或內(nèi)含,故B錯(cuò)誤;若兩圓外切,則兩圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn);若兩圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則兩圓外切或內(nèi)切,故C錯(cuò)誤;若兩圓有公共點(diǎn),則兩圓外切或相交或內(nèi)切,所以|r1-r2|≤d≤r1+r2,故D正確.2.(選擇性必修第一冊(cè)P96例5變條件)圓O1:x2+y2-4y+3=0和圓O2:x2+y2-16y=0的位置關(guān)系是 ()A.外離 B.相交 C.相切 D.內(nèi)含【解析】選D.O1:x2+(y-2)2=1,O2:x2+(y-8)2=64,所以O(shè)1(0,2),r1=1,O2(0,8),r2=8,O1O2=(0-0)2+(3.(選擇性必修第一冊(cè)P93練習(xí)T3變條件)直線x-y+3=0被圓(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦長(zhǎng)等于 ()A.62 B.3 C.23 D.【解析】選D.圓心(-2,2)到直線x-y+3=0的距離d=22,圓的半徑r=2,解直角三角形得,半弦長(zhǎng)為62,所以弦長(zhǎng)等于4.(2023·新高考Ⅰ卷)過(guò)點(diǎn)(0,-2)與圓x2+y2-4x-1=0相切的兩條直線的夾角為α,則sinα= ()A.1 B.154 C.104 D【解析】選B.圓C:x2+y2-4x-1=0化為標(biāo)準(zhǔn)形式得(x-2)2+y2=5,所以圓心C(2,0),半徑r=5,設(shè)∠CPA=θ,則α=2θ.如圖,sinθ=CACP=522=104,則cos所以sinα=sin2θ=2sinθcosθ=1545.(忽視直線斜率不存在的情形致誤)過(guò)點(diǎn)P(2,2)的圓C:x2+(y-1)2=2的切線方程為x=2或x+22y-52=0.

【解析】由圓C方程知:圓心C(0,1),半徑r=2;當(dāng)過(guò)P的直線斜率不存在,即直線方程為x=2時(shí),直線與圓C相切;設(shè)過(guò)P點(diǎn)且斜率存在的圓C的切線方程為y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0,則圓心C到直線的距離d=1-2kk2+1=2,即k=-24,所以該切線方程為-即x+22y-52=0;綜上所述:所求切線方程為x=2或x+22y-52=0.【巧記結(jié)論·速算】1.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過(guò)圓x2+y2=r2(r>0)上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.(2)過(guò)圓x2+y2=r2外一點(diǎn)M(x0,y0)作圓的兩條切線,則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x+y0y=r2.2.當(dāng)兩圓外切時(shí),兩圓有一條內(nèi)公切線,該公切線垂直于兩圓圓心的連線;當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),兩圓有一條外公切線,該公切線垂直于兩圓圓心的連線.無(wú)論兩圓外切還是內(nèi)切,將兩圓方程(方程等號(hào)右邊是0的形式)左右兩邊直接作差,消去x2,y2得到兩圓的公切線方程.3.兩圓相交時(shí)公共弦的性質(zhì)圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E12-4F1>0)與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22(1)將兩圓方程直接作差,消去x2,y2得到兩圓公共弦所在直線方程;(2)兩圓圓心的連線垂直平分公共弦;(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)表示過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程(不包括C2).【即時(shí)練】1.已知過(guò)圓x2+y2=4外一點(diǎn)P(3,4)作圓的兩條切線,切點(diǎn)為A,B兩點(diǎn),則A,B所在的直線方程為 ()A.3x+4y-4=0 B.3x+4y+4=0C.3x-4y-4=0 D.3x-4y+4=0【解析】選A.A,B所在的直線方程為3x+4y-4=0.2.圓(x-2)2+y2=4與圓x2+(y-2)2=4的公共弦所在直線的方程為x-y=0.

【解析】根據(jù)題意(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0,①x2+(y-2)2=4,即x2+y2-4y=0.②由②-①得x-y=0,即為兩圓公共弦所在直線的方程.【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系【考情提示】直線與圓相切求切線方程以及直線與圓相交求弦長(zhǎng)是高考的重點(diǎn),正確利用圓心到直線的距離與半徑之間的關(guān)系是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.角度1直線與圓的位置關(guān)系的判斷[例1](1)(一題多法)已知圓C:x2+y2-6x-8y+21=0和直線l:kx-y+3-4k=0的位置關(guān)系是 ()A.相交、相切或相離 B.相交或相切C.相交 D.相切【解析】選C.圓C:x2+y2-6x-8y+21=0,即(x-3)2+(y-4)2=22,圓心為C(3,4),半徑為r=2.方法一直線l:kx-y+3-4k=0,即k(x-4)-y+3=0,所以直線l過(guò)定點(diǎn)B(4,3).(4-3)2+(3-4)2=2<4,所以點(diǎn)B(4,3)在圓C內(nèi),所以直線l與圓C相交.方法二圓心C(3,4)到直線l:kx-y+3-4k=0的距離為|3k-4+3-4k|1+所以直線與圓相交.(2)(多選題)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直線l:ax+by-r2=0與圓C:x2+y2=r2,點(diǎn)A(a,b),則下列說(shuō)法正確的是 ()A.若點(diǎn)A在圓C上,則直線l與圓C相切B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi),則直線l與圓C相離C.若點(diǎn)A在圓C外,則直線l與圓C相離D.若點(diǎn)A在直線l上,則直線l與圓C相切【解析】選ABD.圓心C(0,0)到直線l的距離d=r2a2+b2,若點(diǎn)A(a,b)在圓C上,則a2+b2=r2,所以d=r2若點(diǎn)A(a,b)在圓C內(nèi),則a2+b2<r2,所以d=r2a2+b2>若點(diǎn)A(a,b)在圓C外,則a2+b2>r2,所以d=r2a2+b2<若點(diǎn)A(a,b)在直線l上,則a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以d=r2a2+b2=r【解題技法】判斷直線與圓的位置關(guān)系的一般方法(1)幾何法:圓心到直線的距離與圓半徑比較大小,特點(diǎn)是計(jì)算量較小;(2)代數(shù)法:將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組,通過(guò)解的情況判斷,適合于判斷直線與圓的位置關(guān)系.角度2弦長(zhǎng)問(wèn)題[例2](2024·昆明模擬)已知直線y=2x與圓(x-2)2+(y-2)2=1交于A,B兩點(diǎn),則AB= ()A.55 B.255 C.35【解析】選B.因?yàn)閳A的方程為(x-2)2+(y-2)2=1,所以圓心坐標(biāo)為(2,2),半徑r=1,則圓心(2,2)到直線y=2x的距離d=2×2-22所以弦長(zhǎng)AB=2r2-d2=2【解題技法】直線和圓相交弦長(zhǎng)的兩種求法(1)代數(shù)法:將直線和圓的方程聯(lián)立方程組,根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng).(2)幾何法:若弦心距為d,圓的半徑長(zhǎng)為r,則弦長(zhǎng)l=2r2根據(jù)弦長(zhǎng)求直線方程時(shí)要注意驗(yàn)證斜率不存在的情況.角度3切線問(wèn)題[例3]已知點(diǎn)P(2+1,2-2),點(diǎn)M(3,1),圓C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線方程;【解析】由題意得圓心C(1,2),半徑r=2.(1)因?yàn)?2+1-1)2+(2-2-2)2=4,所以點(diǎn)P在圓C上.又kPC=2-2-22+1所以過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線方程是y-(2-2)=x-(2+1),即x-y+1-22=0.[例3]已知點(diǎn)P(2+1,2-2),點(diǎn)M(3,1),圓C:(x-1)2+(y-2)2=4.(2)求過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線方程,并求出切線長(zhǎng).【解析】(2)因?yàn)?3-1)2+(1-2)2=5>4,所以點(diǎn)M在圓C外部.當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線斜率不存在時(shí),直線方程為x=3,即x-3=0.又點(diǎn)C(1,2)到直線x-3=0的距離d=3-1=2=r,即此時(shí)滿足題意,所以直線x=3是圓的切線.當(dāng)切線的斜率存在時(shí),設(shè)切線方程為y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,則圓心C到切線的距離d=|k-2+1-3k|所以切線方程為y-1=34(x即3x-4y-5=0.綜上可得,過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線方程為x-3=0或3x-4y-5=0.因?yàn)閨MC|=(3-1所以過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線長(zhǎng)為|MC|2-【解題技法】1.過(guò)一點(diǎn)求圓的切線方程的兩種求法(1)代數(shù)法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),與圓的方程組成方程組,消元后得到一個(gè)一元二次方程,然后令判別式Δ=0進(jìn)而求得k.注意斜率不存在的情況.(2)幾何法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d,然后令d=r,進(jìn)而求出k.注意斜率不存在的情況.特別地,當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí),可直接利用圓心與切點(diǎn)的連線的斜率及切線的性質(zhì)求切線方程.2.過(guò)圓外一點(diǎn)P引圓的切線,求切線長(zhǎng)時(shí),常利用點(diǎn)P、圓心、切點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形求解.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2024·南京模擬)直線3x+4y+12=0與圓(x-1)2+(y+1)2=9的位置關(guān)系是 ()A.過(guò)圓心 B.相切C.相離 D.相交但不過(guò)圓心【解析】選D.由題意知,圓(x-1)2+(y+1)2=9的圓心為(1,-1),半徑r=3,則圓心到直線3x+4y+12=0的距離d=3×1+4×(-1)因?yàn)?<d<r,所以直線與圓相交但不過(guò)圓心.2.過(guò)點(diǎn)(-33,0)且傾斜角為π3的直線l交圓x2+y2-6y=0于A,B兩點(diǎn),則弦AB的長(zhǎng)為 (A.42 B.22 C.210 D.10【解析】選A.過(guò)點(diǎn)(-33,0)且傾斜角為π3的直線l的方程為y=3(x+33),即3x又圓x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,所以圓心(0,3),半徑r=3,則圓心(0,3)到直線l的距離d=|-3+1所以直線被圓截得的弦AB=232-13.(2024·曲靖模擬)若直線3x+4y-b=0與圓(x-1)2+(y-1)2=1相切,則b的值是 ()A.-2或12 B.2或-12C.-2或-12 D.2或12【解析】選D.由(x-1)2+(y-1)2=1得圓的圓心坐標(biāo)為(1,1),半徑為1,因?yàn)橹本€3x+4y-b=0與圓相切,所以|3+4-b|32【加練備選】(2024·宜春模擬)已知圓C經(jīng)過(guò)三點(diǎn)O(0,0),A(1,1),B(4,2).(1)求圓C的方程;【解析】(1)設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由圓C經(jīng)過(guò)三點(diǎn)O(0,0),A(1,1),B(4,2),得F=02+D所以圓C的方程為x2+y2-8x+6y=0.(2024·宜春模擬)已知圓C經(jīng)過(guò)三點(diǎn)O(0,0),A(1,1),B(4,2).(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,-4)的直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)為45,求直線l的方程.【解析】(2)由(1)知圓C:(x-4)2+(y+3)2=25,即圓心C(4,-3),半徑為5,由直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)為45,得圓心C到直線l的距離d=52-(而直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,-4),顯然直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y+4=k(x-1),即kx-y-4-k=0,于是d=4k+3-4-kk2+1所以直線l的方程為2x-y-6=0或x+2y+7=0.考點(diǎn)二圓與圓的位置關(guān)系[例4](1)已知圓E的圓心在y軸上,且與圓x2+y2-2x=0的公共弦所在直線的方程為x-3y=0,則圓E的方程為 ()A.x2+(y-3)2=2 B.x2+(y+3)2=2C.x2+(y-3)2=3 D.x2+(y+3)2=3【解析】選C.兩圓圓心連線與公共弦垂直,不妨設(shè)所求圓心的坐標(biāo)為(0,a),半徑為r.又圓x2+y2-2x=0的圓心為(1,0),半徑為1,故a-1×13=-1,解得a故所求圓心為(0,3).點(diǎn)(1,0)到直線x-3y=0的距離為11+3=1所以x2+y2-2x=0截直線x-3y=0所得弦長(zhǎng)為212-14=3,圓心(0,3)到直線x-3y=0的距離為32,所以圓截直線x-3y=0所得弦長(zhǎng)為2r2-故圓心坐標(biāo)為(0,3),半徑為3.得圓E的方程為x2+(y-3)2=3.(2)已知兩圓C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0.①判斷兩圓公切線的條數(shù);【解析】①兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,則圓C1的圓心為(1,-5),半徑r1=52;圓C2的圓心為(-1,-1),半徑r2=10.又|C1C2|=25,r1+r2=52+10,r1-r2=52-10,所以r1-r2<|C1C2|<r1+r2,所以兩圓相交,所以兩圓有兩條公切線.(2)已知兩圓C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0.②求公共弦所在的直線方程以及公共弦的長(zhǎng)度.【解析】②將兩圓方程相減,得公共弦所在直線方程為x-2y+4=0.圓心C1到直線x-2y+4=0的距離d=|1-2×設(shè)公共弦長(zhǎng)為2l,由勾股定理得r2=d2+l2,得50=45+l2,解得l=5,所以公共弦長(zhǎng)2l=25.一題多變[變式1]本例(2)中,若兩圓相交于A,B兩點(diǎn),不求交點(diǎn),則線段C1C2(C1,C2分別為兩個(gè)圓的圓心)的垂直平分線所在的直線方程為x-2y-6=0.

【解析】由圓C1的圓心坐標(biāo)為(1,-5),圓C2的圓心坐標(biāo)為(-1,-1),可知kC1C2=-5-(-1)1-(-1因此線段C1C2的垂直平分線所在的直線方程為y+3=12x,即x-2y-6=0[變式2]本例(2)中的兩圓若相交于兩點(diǎn)A,B,則經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A,B且圓心在直線x+y=0上的圓的方程為x2+y2+6x-6y+8=0.

【解析】設(shè)所求的圓的方程為x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),整理可得(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(2λ+10)y-8λ-24=0,因此圓的圓心坐標(biāo)為(1-λ1+λ,-λ+51+λ),由于圓心在x解得λ=-2,因此所求的圓的方程為x2+y2+6x-6y+8=0.【解題技法】圓與圓的位置關(guān)系問(wèn)題的解題策略(1)判斷兩圓位置關(guān)系常用幾何法,即用兩圓圓心距與兩圓半徑和及差的絕對(duì)值的大小關(guān)系判斷.(2)兩圓相交時(shí),兩圓的公共弦所在直線的方程,可由兩圓的方程作差消去x2,y2項(xiàng)得到.(3)求兩圓公共弦長(zhǎng),常選其中一圓,由弦心距d、半弦長(zhǎng)l2、半徑r構(gòu)成直角三角形,利用勾股定理求解考點(diǎn)三與圓有關(guān)的最值、范圍問(wèn)題[例5](2024·沈陽(yáng)模擬)已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1)yx【解析】(1)由圓的一般方程可得:圓心為(2,0),半徑r=3;因?yàn)?2+02-4×0+1=1>0,所以原點(diǎn)在圓x2+y2-4x+1=0的