2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第六章 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積含答案

12版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第六章第三節(jié)平面向量的數(shù)量積第三節(jié)平面向量的數(shù)量積【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.通過物理中功等實例,理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會計算平面向量的數(shù)量積.2.通過幾何直觀,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.3.會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.4.能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積,會表示兩個平面向量的夾角.5.能用坐標(biāo)表示平面向量共線、垂直的條件.【考情分析】考點考法:平面向量數(shù)量積的運算、化簡、證明及數(shù)量積的應(yīng)用問題,如證明垂直、求夾角、模等是每年必考的內(nèi)容,單獨命題時,一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn).交匯命題時,向量一般與解析幾何、三角函數(shù)、平面幾何等相結(jié)合考查.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運算.【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.向量的夾角定義已知兩個非零向量a和b,作OA=a,OB=b,則∠AOB叫做a與b的夾角范圍設(shè)θ是a與b的夾角,則θ的取值范圍是0≤θ≤π共線與垂直θ=0或θ=π?a∥b,θ=π2?a⊥【微點撥】確定兩個非零向量a和b的夾角,必須將兩個向量平移至同一起點.2.平面向量的數(shù)量積條件兩個非零向量a與b的夾角為θ結(jié)論數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)記法記作a·b,即a·b=|a||b|cosθ規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為03.投影向量條件設(shè)a,b是兩個非零向量,它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量,AB=a,CD=b作圖過AB的起點A和終點B,分別作CD所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到A結(jié)論我們稱上述變換為向量a向向量b投影,A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.記為|a|cos4.向量數(shù)量積的運算律交換律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c數(shù)乘結(jié)合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)【微點撥】(1)數(shù)量積不滿足消去律,即a·b=a·c(a≠0)不能得出b=c;(2)數(shù)量積不滿足乘法結(jié)合律,即一般情況下,(a·b)·c≠a·(b·c).5.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b的夾角為θ.結(jié)論符號表示坐標(biāo)表示模|a|=a|a|=x夾角cosθ=acosθ=xa⊥b的充要條件a·b=0x1x2+y1y2=0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤x【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號12431.(多維辨析)(多選題)(2023·齊齊哈爾模擬)下列命題正確的是 ()A.若向量a,b滿足a·b=0,則a=0或b=0B.若向量a,b的夾角為鈍角,則a·b<0C.已知a=(3,4),b=(0,1),則向量a在向量b方向上的投影向量的長度為4D.設(shè)e1,e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量,若a=2e1+e2,b=e1-e2,則a,b可作為該平面的一個基底【解析】選BCD.A選項,當(dāng)非零向量a,b滿足a⊥b時,a·b=0,故A錯誤;B選項,當(dāng)向量a,b的夾角為鈍角時,cos<a,b><0,故a·b=|a||b|cos<a,b><0,故B正確;C選項,向量a在向量b方向上的投影向量的長度為|a·bD選項,e1,e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量,設(shè)a=λb,則2e1+e2=λ(e1-e2),故2=λ1=-λ,無解,所以a,b不共線,故a2.(必修第二冊P36練習(xí)T1·變條件)已知a=(-1,t-1),b=(3,2),且2a+b=3,則t=()A.2 B.3 C.±2 D.±2【解析】選C.由向量a=(-1,t-1),b=(3,2),可得2a+b=(1,2t),因為2a可得12+(2t)2=3,解得3.(2023·上海高考)已知向量a=(-2,3),b=(1,2),則a·b=__________.

【解析】因為向量a=(-2,3),b=(1,2),所以a·b=-2×1+3×2=4.答案:44.(向量夾角的概念不清致誤)在△ABC中,∠B=60°,AB=6,BC=5,則AB·BC=________.

【解析】在△ABC中,∠B=60°,AB=6,BC=5,則AB·BC=|AB||BC|cos(180°-60°)=6×5×(-12)=-15答案:-15【核心考點·分類突破】考點一平面向量的數(shù)量積的運算[例1](1)(2023·全國乙卷)正方形ABCD的邊長是2,E是AB的中點,則EC·ED=()A.5 B.3 C.25 D.5【解析】選B.正方形ABCD的邊長是2,E是AB的中點,所以EB·EA=-1,EB⊥AD,EA⊥BC,BC·AD=2×2=4,則EC·ED=(EB+BC)·(EA+AD)=EB·EA+EB·AD+EA·BC+BC·AD=-1+0+0+4=3.(2)(2023·福州模擬)四邊形ABCD為平行四邊形,AB=6,AD=3.若點M,N滿足BM=2MC,DN=NC,則AM·NM= ()A.20 B.16 C.9 D.6【解析】選B.因為BM=2MC,DN=NC,所以AM=AB+BM=AB+23NM=CM-CN=-13AD+12AB,所以AM·NM=(AB+23AD)·=12AB2-29AD2(3)(2022·全國甲卷)設(shè)向量a,b的夾角的余弦值為13,且|a|=1,|b|=3,則(2a+b)·b=__________【解析】由題意可得a·b=1×3×13=1,b2=9,則(2a+b)·b=2a·b+b2=2+9=11答案:11【解題技法】解決向量數(shù)量積的運算問題的三種方法(1)當(dāng)已知向量的長度和夾角時,直接利用定義法求解;若不知長度和夾角,選擇知道夾角和模的不共線向量為基底來表示要求的向量,再結(jié)合運算律展開求解;(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)或可通過建立平面直角坐標(biāo)系表示向量的坐標(biāo)時,可利用坐標(biāo)法求解;(3)利用向量數(shù)量積的幾何意義求解.【對點訓(xùn)練】1.(2022·全國乙卷)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,則a·b= ()A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】選C.因為|a-2b|2=|a|2-4a·b+4|b|2,|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,所以9=1-4a·b+4×3=13-4a·b,所以a·b=1.2.(2022·上海高考)若平面向量|a|=|b|=|c|=λ,且滿足a·b=0,a·c=2,b·c=1,則λ=__________.

【解析】由題意,有a·b=0,則a⊥b,設(shè)<a,c>=θ,a·c則②①得,tanθ=12,由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得cosθ=則a·c=|a||c|cosθ=λ·λ·255=2,λ2=5,則λ=答案:4【加練備選】已知點O是△ABC內(nèi)部的一點,且滿足OA+OB+OC=0,AC=3,AC·AB=-1,則AC·BO的值為 ()A.53 B.32 C.2 【解析】選A.記角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,由題意OA+OB+OC=0,OA+OC=-OB=BO,設(shè)D是線段AC的中點,則2OD=BO,所以B,O,D三點共線,且O為△ABC的重心,所以BO=23BD=23×12(=13(BA+BC),所以AC·BO=(BC-BA)·13(BA+BC)=13(a2-c2),又由AC·AB=bc可得bc·b2+c2-a22bc=-1?a2-考點二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用【考情提示】高考對數(shù)量積的考查主要從模、夾角、垂直等角度出發(fā),常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).角度1求平面向量的模[例2](1)(2022·全國乙卷)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),則|a-b|= ()A.2 B.3 C.4 D.5【命題意圖】考查向量的模、向量坐標(biāo)形式的運算.【解析】選D.因為a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以|a-b|=42+(2)已知向量a,b,c滿足a+b與c互為相反向量,a=2,c=1,a·c=1,則b= ()A.2 B.7 C.2 D.7【解析】選D.由a+b與c互為相反向量,得c=-(a+b),兩邊平方得,c2=a2+b2+2a·b=1,即b2+2a又由a·c=1,在c=-(a+b)兩邊同時點乘向量a,得a·c=-a2-a·b=1,即a·b=-5,聯(lián)立①②,解得b2=7,所以b=7(3)(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b滿足|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,則|b|=__________.

【解析】因為|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,所以a2+b2-2a·b=3,a2+b2+2a·b=4a2+b2-4a·b,所以a2=2a·b,所以b2=3,所以|b|=3.答案:3【解題技法】求平面向量模的兩種方法(1)公式法:利用|a|=a·a及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2(2)幾何法:利用向量的幾何意義,即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量,再利用余弦定理等方法求解.角度2求平面向量的夾角[例3](1)(2023·全國甲卷)向量|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,則cos<a-c,b-c>= ()A.-15 B.-C.25 D.【解析】選D.因為向量|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,所以-c=a+b,所以c2=a2+b2+2a·b,即2=1+1+2×1×1×cos<a,b>,解得cos<a,b>=0,所以a⊥b.又a-c=2a+b,b-c=a+2b,所以(a-c)·(b-c)=(2a+b)·(a+2b)=2a2+2b2+5a·b=2+2+0=4,|a-c|=|b-c|=4a2+4a·所以cos<a-c,b-c>=(a-c)·(b(2)已知向量a與a+b的夾角為60°,且a=8,b=7,則a與b夾角的余弦值為__________.

【解析】設(shè)向量a與b的夾角為θ,由a=8,b=7,可得a·(a+b)=a2+a·b=64+8×7cosθ=64+56cosθ,且a+b=a2+b又因為向量a與a+b的夾角為60°,可得cos60°=a·(a+即64+56cosθ8×113+112cosθ=12解得cosθ=-1314或cosθ=-1114,即a與b夾角的余弦值為-1314答案:-1314或-(3)金榜原創(chuàng)·易錯對對碰①設(shè)a=(-3,m),b=(4,3),若a與b的夾角是鈍角,則實數(shù)m的取值范圍是________.

②已知向量a=(2,0),b=(1,4).若向量ka+b與a+2b的夾角為銳角,則k的取值范圍為________.

【解析】①由a與b的夾角是鈍角,則a·b=(-3,m)·(4,3)=-12+3m<0,解得m<4,又a與b的夾角不等于180°,則a與b不平行,即-9≠4m,解得m≠-94所以實數(shù)m的取值范圍是m<4且m≠-94答案:(-∞,-94)∪(-94②ka+b=(2k+1,4),a+2b=(4,8),因為向量ka+b與a+2b的夾角為銳角,所以4×(2k+1)+4×8>0且8×(2k+1)≠4×4,解得k>-92且k≠1所以k的取值范圍是(-92,12)∪(12答案:(-92,12)∪(1【解題技法】求平面向量夾角的兩種方法定義法由cosθ=a·b|a坐標(biāo)法若a=(x1,y1)與b=(x2,y2),則cos<a,b>=x1<a,b>∈[0,π]角度3平面向量的垂直問題[例4](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),則 ()A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1C.λμ=1 D.λμ=-1【解析】選D.由題意得a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).因為(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,即(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.(2)(2022·全國甲卷)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,則m=__________.

【解析】因為向量a=(m,3),b=(1,m+1),a⊥b,所以a·b=m+3(m+1)=0,則m=-34答案:-3【解題技法】平面向量垂直問題的解法(1)坐標(biāo)法:a=(x1,y1),b=(x2,y2)時,若要證明a⊥b,則只需證明a·b=0,即證明x1x2+y1y2=0.(2)向量法:把a(bǔ),b用已知(模與夾角)的基底向量表示,進(jìn)行運算證明a·b=0.【對點訓(xùn)練】1.(2023·濟(jì)南模擬)若向量a,b滿足a=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,則b= ()A.2 B.2 C.1 D.2【解析】選B.因為(a+b)⊥a,a=1,故(a+b)·a=0,即a2+a·b=0,a·b=-a2=-a2=-1又(2a+b)⊥b,故(2a+b)·b=2a·b+b2=-2+b2=0,故b2=2,故b=2.2.已知平面向量a,b的夾角為120°,且|a|=3,|b|=2.(1)求(2a+b)·(a-2b);(2)若a+b與a-kb垂直,求實數(shù)k的值.【解析】(1)由a,b的夾角為120°,|a|=3,|b|=2,則a·b=|a||b|cos120°=3×2×(-12)=-3,故(2a+b)·(a-2b)=2a2-3a·b-2b2(2)由a+b與a-kb垂直,則(a+b)·(a-kb)=0,故a2-kb2+(1-k)a·b=0,可得9-4k-3(1-k)=0,解得k=6.3.(2023·蕪湖模擬)如圖,在平行四邊形ABCD中,AD=2,AB=4,∠DAB=π3,點E是AB的中點,連接DE,AC,記它們的交點為點G,設(shè)AB=a,AD=b(1)用a,b表示AG;(2)求<AG,AB>的余弦值.【解析】(1)不難得出△AGE,△DGC是一對相似三角形,且AECD=12,故AGGC=12,即AG根據(jù)向量的加法法則,得AG=13AC=13(a(2)由a·b=4×2×12=4,a=4,b=2,于是AC2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=16+4+8=28,所以AC=27.又AC·AB=a2+a·b=20,所以cos<AG,AB>=cos<AC,AB=2027×4考點三投影向量[例5](2023·常州模擬)已知平面向量a,b,滿足a=2,b=(1,1),a+b=10,則a在b方向上的投影向量的坐標(biāo)為【解析】由a=2,b=2,且a+b=10,平方得a2+2a·b+b2=4+2a·b+2=10,解得a·b=2,所以a在b方向上的投影向量為a·bb·bb=a·b答案:(1,1)【解題技法】a在b方向上的投影向量公式:|a|cos<a,b>·bb=a·b【對點訓(xùn)練】(2023·衡陽模擬)平面向量a⊥b,已知a=(6,-8),b=5,且b與向量(1,0)的夾角是鈍角,則b在向量(1,0)上的投影向量為 ()A.(-3,0) B.(-4,0)C.(0,3) D.(0,-4)【解析】選B.設(shè)b=(x,y),因為a=(6,-8),a⊥b,所以6x-8y=0,即3x=4y①.又b=5,所以x2+y2=25②,由①②解得x=4y=3設(shè)c=(1,0),因為b與向量c的夾角是鈍角,所以b·c=x<0,所以b=(-4,-3),則b在向量c上的投影向量為b·cc·【加練備選】已知向量a,b滿足a+b=a-2b,其中b是單位向量,則a【解析】因為b是單位向量,所以b=1.因為a+b=a-2b,所以(a+b)2=(a-2b)2,化簡得2a·b=b2=1,即a·b=12,所以a在b方向上的投影向量是a答案:12第四節(jié)平面向量的應(yīng)用【核心考點·分類突破】考點一平面向量與幾何問題的綜合[例1](1)(2023·漳州模擬)已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點,AB+2PB+2PC=0,AB=4,PB=PC=3,則△ABC的面積等于 ()A.43 B.83 C.42 D.82【解析】選D.因為PB=PC=3,所以P位于線段BC的垂直平分線上,設(shè)線段BC的中點為D,由AB+2PB+2PC=0得,AB=-2(PB+PC)=-4PD=4DP,所以AB⊥BC,DP=1,如圖所示,所以BC=2BD=232-12=42,所以S△ABC=12BC·AB=1(2)如圖所示,已知在正方形ABCD中,E,F分別是邊AB,BC的中點,AF與DE交于點M.①設(shè)AB=a,AD=b,用a,b表示AF,DE;②猜想AF與DE的位置關(guān)系,并用向量法證明你的猜想.【解析】①AF=AB+BF=AB+12BC=AB+12AD=a+12b,DE=AE-AD=12②AF⊥DE,證明如下:由①知AF=a+12b,DE=12所以AF·DE=(a+12b)·(12a-b)=12a2-12b2-3設(shè)a=b=t,則AF·DE=12a2-12b2-34a·b=12t2-12t2-34×0=0,所以AF⊥DE【解題技法】平面向量與幾何綜合問題的求解方法(1)坐標(biāo)法:把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中,則有關(guān)點與向量就可以用坐標(biāo)表示,這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算,從而使問題得到解決.(2)基向量法:適當(dāng)選取一組基底,溝通向量之間的聯(lián)系,利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進(jìn)行求解.【對點訓(xùn)練】1.P為△ABC內(nèi)一點,滿足PA+PB+2PC=0,則△PAB和△ABC的面積比為________.

【解析】如圖,取AB的中點D,連接PA,PB,PC,PD,則PA+PB=2PD,又由題意PA+PB+2PC=0,所以2PD+2PC=0,故C,D,P三點共線,且滿足CP=12CD,所以P為從而S△PAB∶S△ABC=1∶2.答案:1∶22.(一題多法)(2023·東莞模擬)如圖,在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=π3,D是BC邊的中點,CE⊥AB,AD與CE交于點(1)求CE和AD的長度;(2)求cos∠CFD.【解析】(1)因為CE是高,所以∠AEC=π2,在Rt△AEC中,AC=2,∠EAC=π所以CE=ACsin∠EAC=2sinπ3=3.因為AD是中線,所以AD=12(AB+所以AD2=[12(AB+AC)]2=14(AB2+2AB·AC+AC2所以AD=192(2)方法一:因為AE=AC·cosπ3=1=13AB,所以AE=所以EC=AC-AE=AC-13AB,所以AD·EC=12(AB+AC)·(AC=12(AC2+23AB·AC-13AB2)=12(22+23×3×2cos所以cos∠CFD=cos<AD,EC>=AD·ECADEC=方法二:過D作DG∥CE交BE于G,因為D是BC的中點,所以G是BE的中點,所以AE=EG=GB=1,EF是△AGD的中位線,DG是△BCE的中位線,所以EF=12GD=14CE=34,AF=12cos∠CFD=cos∠AFE=EFAF=3419考點二平面向量在物理中的應(yīng)用[例2](1)若平面上的三個力F1,F2,F3作用于一點,且處于平衡狀態(tài).已知F1=1N,F3=2N,F1與F3的夾角為60°,則F2的大小為 (A.1N B.3N C.7N D.3N【解析】選C.根據(jù)三力平衡得F1+F3+F2=0,即F1+F3=-F2,兩邊同時平方得F12+2F1·F3+F3即F12+2F1F3即12+2×1×2×12+22=7=F22,解得F2(2)(2023·溫州模擬)物理學(xué)中,如果一個物體受到力的作用,并在力的方向上發(fā)生了一段位移,我們就說這個力對物體做了功,功的計算公式:W=F·s(其中W是功,F是力,s是位移).一物體在力F1=(2,4)和F2=(-5,3)的作用下,由點A(1,0)移動到點B(2,4),在這個過程中這兩個力的合力對物體所做的功等于()A.25 B.5 C.-5 D.-25【解析】選A.因為F1=(2,4),F2=(-5,3),所以F1+F2=(-3,7),又A(1,0),B(2,4),所以AB=(1,4),故W=(F1+F2)·AB=-3+7×4=25.【解題技法】平面向量對物理背景問題主要研究下面三類1.求幾個力的合力,可以用幾何法通過解三角形求解,也可以用向量法求解.2.如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移為s,那么力F所做的功W=|F||s|cosθ,其中θ是F與s的夾角.由于力和位移都是向量,所以力所做的功就是力與位移的數(shù)量積.3.速度向量速度向量是具有大小和方向的向量,因而可用求向量和的平行四邊形法則,求兩個速度的合速度.【對點訓(xùn)練】1.在日常生活中,我們會看到如圖所示的情境,兩個人共提一個行李包.假設(shè)行李包所受重力為G,作用在行李包上的兩個拉力分別為F1,F2,且F1=F2,F1與F2的夾角為①θ越大越費力,θ越小越省力;②θ的范圍為[0,π];③當(dāng)θ=π2時,F1=G;④當(dāng)θ=2π3時,F其中正確結(jié)論的序號是 ()A.①③ B.①④C.②③ D.②④【解析】選B.對于②,當(dāng)θ=π時,F1+F2=0,故無法提動行李包,故②錯誤;對于①,根據(jù)題意,得G=F1所以G2=F12+F22+2F1F解得F12=G22(1+cosθ),因為θ∈(0,π)時,y=cos對于③,因為F12=G22(1+cosθ),所以當(dāng)θ=π2時,F對于④,因為F12=G22(1+cosθ),所以當(dāng)θ=2π3時,F12.某河流南北兩岸平行,一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸,假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為v1=8km/h,水流速度的大小為v2=4km/h,設(shè)v1和v2的夾角為θ(0°<θ<180°),北岸的點B在A的正北方向,游船正好到達(dá)B處時,cosθ=(A.32 B.-32 C.12 【解析】選D.設(shè)游船的實際速度為v,則v=v1+v2,北岸的點B在A的正北方向,游船正好到達(dá)B處,則v⊥v2,所以v·v2=0,即(v1+v2)·v2=v1v2cosθ32cosθ+16=0,解得cosθ=-12考點三平面向量與三角函數(shù)的綜合[例3](1)(2023·蕪湖模擬)向量a=(2cosx,2sinx),b=(cosx,3cosx),x∈R,若存在整數(shù)m使得方程m=a·b在[0,π2]上有兩個不同的實數(shù)根,則m= (A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.a·b=2cos2x+3sin2x=cos2x+3sin2x+1=2sin(2x+π6)+1若m=a·b在[0,π2]上有兩個不同的實數(shù)根,則sin(2x+π6)=0≤x≤π2,π6≤2x+π6≤7π6,有sinπ6=12,sin7π6=-12.令t=2要使得sin(2x+π6)=m-12有兩個不同的實數(shù)根,12≤m所以m=2.(2)(2023·天水模擬)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,-sinβ),a-b=①求cos(α+β)的值;②若0<α<π2,-π2<β<0,且sinβ=-513,求sin【解析】①根據(jù)題意可知a=cos2α+sin2且a·b=cosαcosβ-sinαsinβ;由a-b=255可得a2-2a·b即2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)=45,可得cos(α+β)=3②由-π2<β<0,且sinβ=-513,可得cosβ=1213,又cosβ=1213>32=cos(-π6因此-π6<α+β<π2,由①得cos(α+β)=35,所以0<α+β因此sin(α+β)=45,所以sinα=sin(α+β)-β=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=(-513)=63【解題技法】平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)以向量為載體考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用題目,通過向量的坐標(biāo)運算構(gòu)建出三角函數(shù),然后再考查有關(guān)三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、周期性等三角函數(shù)性質(zhì)問題,有時還加入?yún)?shù),考查分類討論的思想方法.(2)向量與三角函數(shù)結(jié)合時,通常以向量為表現(xiàn)形式,實現(xiàn)三角函數(shù)問題,所以要靈活運用三角函數(shù)中的相關(guān)方法與技巧求解.(3)注意向量夾角與三角形內(nèi)角的區(qū)別與聯(lián)系,避免出現(xiàn)將內(nèi)角等同于向量夾角的錯誤.【對點訓(xùn)練】已知向量m=(cosx,-1),n=(3sinx,-12),設(shè)函數(shù)f(x)=(m+n)·m(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)已知a,b,c分別為三角形ABC的內(nèi)角對應(yīng)的三邊長,A為銳角,a=1,c=3,且f(A)恰是函數(shù)f(x)在[0,π2]上的最大值,求三角形ABC的面積【解析】(1)由題意可得,f(x)=(m+n)·m=m2+m·n=cos2x+1+3sinxcosx+12=1+cos2x2+1+32sin2x+12=12cos2x+32sin2x+2=sin所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π2由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,得-π3+kπ≤x≤π6+k所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-π3+kπ,π6+kπ],k∈(2)由(1)知f(x)=sin(2x+π6)+2,又f(A)恰是函數(shù)f(x)在[0,π2]上的最大值,可得A=π6,由余弦定理可得12=b2+3-2b×3×32,解得b=1或當(dāng)b=1時,三角形ABC的面積S=12bcsinA=34,當(dāng)b=2時,三角形ABC的面積S=12bcsinA考點四和向量有關(guān)的最值、范圍問題【考情提示】平面向量主要解決與平面向量基本定理有關(guān)的最值、范圍問題,數(shù)量積的最值、范圍問題,模的最值、范圍問題.高考題中選擇題、填空題、解答題都有考查.角度1與平面向量基本定理有關(guān)的最值、范圍問題[例4](1)已知△ABC內(nèi)一點O是其外心,sinA=223(0<A<π2),且AO=mAB+nAC,則m+n【解析】如圖所示,延長AO交BC于D,令A(yù)O=λAD?AD=AOλ=mλAB+nλAC,因為B,C,D三點共線,所以mλ+nλ=1所以λ取最大值時,m+n取最大值,則λ=AOAD,因為AO所以當(dāng)AD取得最小值時,λ取得最大值,此時AD⊥BC,所以△ABC為等腰三角形,且sin∠BAC=223(0<∠BAC<π所以cos∠BAC=13,則sin∠BAC2=33,cos∠BAC2=設(shè)∠BAC對的邊為a,則AO=a2sin∠BAC=3a42,AD所以(m+n)max=λmax=3a42答案:3(2)如圖,在△ABC中,BO=2OC,過點O的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點M,N.設(shè)AB=mAM,AC=nAN,則1m+1n的最小值為【解析】因為BO=2OC,所以BO=23BC,所以AO=AB+BO=AB=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC,又AB=mAM,AC=nAN,所以AO因為M,O,N三點共線,所以m3+2n3=1,由圖可知m所以1m+1n=(1m+1n)(m3+2n3)=13(3+mn+2n當(dāng)且僅當(dāng)mn=2nm,即n=6-322,m=32答案:3+2角度2與數(shù)量積有關(guān)的最值、范圍問題[例5](1)(2022·北京高考)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動點,且PC=1,則PA·PB的取值范圍是 ()A.[-5,3] B.[-3,5]C.[-6,4] D.[-4,6]【解析】選D.在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°,以C為坐標(biāo)原點,CA,CB所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖:則A(3,0),B(0,4),C(0,0),設(shè)P(x,y),因為PC=1,所以x2+y2=1,又PA=(3-x,-y),PB=(-x,4-y),所以PA·PB=-x(3-x)-y(4-y)=x2+y2-3x-4y=-3x-4y+1.設(shè)x=cosθ,y=sinθ,所以PA·PB=-(3cosθ+4sinθ)+1=-5sin(θ+φ)+1,其中tanφ=34當(dāng)sin(θ+φ)=1時,PA·PB有最小值,為-4,當(dāng)sin(θ+φ)=-1時,PA·PB有最大值,為6,所以PA·PB∈[-4,6].(2)(2023·福州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(1,1),B(3,2),P(1,2),點M是直線OP上的一個動點.①若M為OP的中點,求|MA+MB|的值;②求MA·MB的最小值.【解析】①因為M為OP的中點,所以M(12,1),因為A(1,1),B(3,2),MA=(12,0MB=(52,1),所以MB+MA=(3,1),所以MB+MA=3②由題意可得OP=(1,2),因為點M是直線OP上的一個動點,所以O(shè)M=λOP,λ∈R,所以M(λ,2λ),MA=(1-λ,1-2λ),MB=(3-λ,2-2λ),MA·MB=(1-λ,1-2λ)·(3-λ,2-2