人教版B版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊：第二章綜合測試 （含答案與解析）

第二章綜合測試

一、單選題（本大題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的）

1.二次三項式2/+區(qū)+。分解因式為2。-3）。+1）,則b,c的值分別為（）

A.3,1

B.—6,—2

C.—6,—4

D.-4,-6

2.不等式（x-l）g\/尤+220的解集是（）

A.{x\x>l}

B.{x\x^l}

C.{x|xNl§￡x=-2}

D.{x|xW-2或x=l}

3.已知a、b、c是八45。的三條邊，+bc=b2+ac,則AABC一定是（）

A.等腰三角形

B.等邊三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形

4.己知—1<。+6<3且2<4—/?<4,則2a+36的取值范圍是（）

5.己知0<b<l+a,若關(guān)于x的不等式（x-02>（ar）2的解集中的整數(shù)恰有3個，貝U（）

A.-Ka<0

B.0caVI

C.Ka<3

D.3<a<6

6.在R上定義運算：x(8)y=x(l-y),若HxeR使得(x-a)(8)(x+a)>l成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

7.某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為二天，且每

8

件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品

()

A.60件

B.80件

C.100件

D.120件

8.若兩個正實數(shù)滿足工+3=1,且不等式尤+?〈根2-3;九有解，則實數(shù)加的取值范圍是()

xy4

A.(-1,4)

B.(-oo,-l)U(4,+oo)

C.(M,l)

D.(-oo,0)U(3,+oo)

9.已知不等式d+fec+cK)的解集為{x|x>2或x<l},則不等式4+6%+IWO的解集為()

B.1-oo,g]u（l,+oo）

C.[-8,gU[l,+co)

D.-,1

2

二、多選題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.在每小題給出的選項中，有多個選項符合題目要求,

全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分)

10.下列不等式推理正確的是()

A.若兀>y>z,則網(wǎng)>|yz|

ii

B.若上<±<0,則而>/0

ab

C.若d>b,c>d,貝!Jac>bd

D.若a2x>a2y,則x>y

E.若c>0,則

11.已知14，則()

AA—1>、—1

ab

B.ab<l

C.1

D.a2>b2

E.a1>ab

12.若正實數(shù)a為滿足〃+b=l,則下列說法正確的是(

A.ab^-

4

B.+y/b

C.工+工。4

ab

D.a2+b2^-

2

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分。將答案填在題中橫線上)

13.關(guān)于工的不等式會;-/?<0的解集是(l,+oo),則關(guān)于工的不等式(雙+勿(％-3)>0的解集是

14.閱讀理解：

(1)特例運算：①(％+l)(x+2)=

②(％+3)(%—1)=；

(2)歸納結(jié)論：(x+a)(x+b)=x2+()x+；

(3)嘗試運用：直接寫出計算結(jié)果(加+99)(m-100)=；

(4)解決問題：根據(jù)你的理解，把下列多項式因式分解：

①不2-5x+6=,

②d—3x-10=；

(5)拓展延伸：若f+px—8可分解為兩個一次因式的積，則整數(shù)〃的所有可能值是.

15.某輛汽車以xkm/h的速度在高速公路上勻速行駛(考慮到高速公路行車安全，要求604W120)時，

每小時的油耗(所需要的汽油量)為號-k+胃)1,其中左為常數(shù).當汽車以120km/h的速度行駛

時，每小時的油耗為1L5L,欲使每小時的油耗不超過9L,則速度x的取值范圍為.

16.在實數(shù)集R中定義一種運算“*”，具有性質(zhì)：

(1)對任意；

(2)對任意wO=a；

(3)對任意￡R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(Z?*c)—5c.

則函數(shù)y=x*-(x>0)的最小值為.

X

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(10分)把幾個圖形拼成一個新的圖形，再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個

等式，也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積.例如，由圖1可得等式：(a+26)(a+b)=/+3ab+262.

(1)如圖2,將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為(a+6+c)的正方形，試用不同的形式

表示這個大正方形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請用等式表示出來；

(2)利用(1)中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+6+c=U,ab+bc+ac=3S,^a2+b2+c2

的值；

(3)如圖3,將兩個邊長分別為。和匕的正方形拼在一起，&C,G三點在同一直線上，連接班)和3戶.這

兩個正方形的邊長滿足。+匕=10,而=20,請求出陰影部分的面積.

18.(12分)解關(guān)于x的不等式—+(a-2)x-2a20.

19.(12分)已知不等式0?一3%+2<0的解集為A={x[l<x<6}..

(1)求的值；

Q

(2)求函數(shù)y=(2a+b)x-------------(xeA)的最小值.

(a-b)x

20.(12分)已知方程/+px+4=0的兩個根是西,％2,那么%+々4毛=’,反過來，如果

+x

玉2=~P，xlx2=q,那么以占,々為兩根的一元二次方程是％?+.+4=0.請根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問

題：

(1)已知關(guān)于尤的方程/+如+“=()5?())，求一個一元二次方程，使它的兩根分別是已知方程兩根的倒

數(shù)；

(2)已知a、b滿足/一15。-5=012一156-5=0,求@+令的值；

ba

(3)已知a、b、c均為實數(shù)，且a+〃+c=0,abc=16,求正數(shù)c的最小值.

21.(12分)問題情境：我們知道，若一個矩形的周長固定，當其相鄰兩邊相等，即為正方形時，面積是最

大的，反過來，若一個矩形的面積固定，它的周長是否會有最值呢？

用兩條直角邊邊長分別為以人的四個全等的直角三角形可以拼成一個正方形.若可以拼成如圖①

的正方形，從而得至即/+62>2"；若可以拼成如圖②的正方形，從而得到

2

/+/=4/!而，即。2+■=2".于是我們可以得至1」結(jié)論：a、b為正數(shù)時，總有/+62三2"，且當a=b

2

時，代數(shù)式/+〃取得最小值2ab.

圖①

另外，我們也可以通過代數(shù)式運算得到類似上面的結(jié)論.

Q(a-8)2=°2_2a6+8,0,+Z?2》2a。.對于任意實數(shù),總有/，且當a=6時，代數(shù)

式/+廿取得最小值2".

(1)探究方法：

仿照上面的方法，對于正數(shù)a/,試比較a+b和2j茄的大小關(guān)系;

(2)類比應(yīng)用：

利用上面所得到的結(jié)論，完成填空：

(i)，代數(shù)式f+［有最值，為；

ao

(ii)當%>0時，％+—2，代數(shù)式X+—有最________值，為;

XX

(iii)當x>2時，x+2_,代表式了色—有最________值，為；

x—2x—2

(3)問題解決:

若一個矩形的面積固定為n,則它的周長是否會有最值呢？若有，求出周長的最值及此時矩形的長和寬；若

沒有，請說明理由，由此你能得到怎樣的結(jié)論？

22.(12分)某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物的生長規(guī)律，計劃利用學(xué)校空地建造一間室內(nèi)面積為

900m2的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔1m,

三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留1m寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左右內(nèi)墻保留3m寬

的通道，如圖.設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長為x（單位：m）,三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為S（單位：m2）.

（1）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

（2）求S的最大值

第二章綜合測試

答案解析

1.【答案】D

【解析】Q2(x-3)(x+1)=2x2-4x-6,b=-4,c=-6,故選C.

2.【答案】C

【解析】當x=-2時，0,0成立；當心>—2時，原不等式等價與x—1N0,即xNl....原不等式的解集為

{x\x^l或x=-2}.

3.【答案】A

【解析】等式變形為(。+》)(。-6)-。(。-6)=0,即(440。場6)力a-eQ/a-b=0，即a=〃，

???△ABC為等腰三角形.故選A.

4.【答案】D

5

m-—,

m+n=2,一22

【解析】用特定系數(shù)法，設(shè)2a+3b=m(a-^-b)+n(a-b),則C解得所以

m-n=3,

n=~2"

2a+3b=-(a+b)--(a-b),因為一lVa+6<3,2<a-b<4,所以—9<D(a+b)(士，-2<--.

222222

95113

(a-b)<-l,所以一二〈9(°+加一一(a-b)<—.故選D.

2222

5.【答案】C

【解析】由(X—6)2>(ox)2,整理可得(1_。2卜2_2"+/>0,由于該不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，則

有1—/<0,此時/>1,而OVKl+a,故a>l,由不等式(/—1)/+2匕“劣解得

-2b-2ab<x<-2b+2ab即二且〈日上，而0<_也VI,要使該不等式的解集中的整數(shù)恰有3個,

2a2-1]2(?2-1)o-la+1a+1

那么—3W*V—2,由衛(wèi)<一2得一。則有0<2+1,即。<2+1<1±且+1,解得4<3,

a-\a-\''222

由-3W*得3a-3三6>0,解得a>l,貝也<。<3.

a—1

6.【答案】A

[解析]由題知(%—。)區(qū)(％+〃)=(%—a)[1—(％+〃)]=-x2+x+a2

若去ER,使得不等式(JV—Q)九+成立，則需函數(shù)>=一(九一；1+。2一。+；的最大值大于1,即

111Q

%=—時，y=〃2一〃+—>1成立，解得——或a>—.故選A.

2422

7.【答案】B

【解析】若每批生產(chǎn)X件產(chǎn)品，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用是陋元，倉儲費用是二元，總X的費用是

x8

曬+二22*性獨第=20元，當且僅當期=二，即x=80時取等號。

x8Vx8x8

8.【答案】B

:不等式x+^<m2-3m有解,<m2-3m,Qx>0,y>0,且-+-=1

..”+?=[+（用+3]="+亳+2/2白/+2=4,當且僅當好=十，即x=2,y=8時取等號,

x+—=4,m2-3m>4即(zn+1)加-韋>i.解得m<-l或m>4,故實數(shù)加的取值范圍是

4Jmin

(-oo,-l)U(4,+oo).

9.【答案】D

【解析】不等式f+fcc+cX)的解集為{幻">2或x<l},所以與之對應(yīng)的二次方程/+云+。=。的兩個根

為1,2,由根與系數(shù)的關(guān)系得〃=一3,c=2,所以不等式c?+區(qū)+1<0化為2——3%+反0,即

意-1)(2-蜀,解得gwxWl,所以所求不等式的解集為卜igwxWl，.

--、

10.【答案】DE

【解析1A中,例如1>—2>—3,此時11x(—2)1<1(—2)x(—3)，所以A不正確;B中,若一V」V0，則b<a<。,

ab

則/>ab,所以B不正確；C中，例如—1>—2,—3>—4,此時—1x(―3)V—2x(—4),所以C不正確；D中，

若［2元>〃2>，則。2(%一丁)>0,貝|jx-y>o,貝所以D正確；E中，根據(jù)不等式的可加性可知E正

確.故選DE.

n.【答案】DE

【解析】由1<攵|4，可知0W網(wǎng)<問，由不等式的性質(zhì)可知同2〈問2,所以片>〃，故D正確；

QaV同，.二aV0,QaV6,「.a2>ab,故E正確.故選DE.

12.【答案】CD

【解析】QaX),b>0，且a+b=l，:A=a+b^2y[ab，ab^—，A錯誤；

4

(y/a+y/~爐)=a+a國—復(fù)/％+,「.&+揚W夜，「.B錯誤；—+—==J-^4,

v4ababab

二.C正確；tz2+Z?2=(?+/?)2—2ab=1-—2x—=—,二.D正確.故選CD.

42

—1、

13.【答案】(T3)

b_

【解析】由于不等式以-XX)的解集是(1,+oo),所以。<0且X=1,故a=wo.所求不等式可化為

a

(x+1)(%-3)<0,解得-l<x<3.

14.【答案】(1)①好+3彳+2@2X2+2X-3

(2)a+bab

(3)m2-m-9900

(4)?(x-2)(x-3)(g)(x-5)(x+2)

(5)-7,-2,2,7

【解析】(1)特例運算：?(x+l)(x+2)=x2+3x+2,

②(x+3)(x—1)=尤2+2x—3.

(2)歸納結(jié)論：(x+a)(x+b)=x1+{a+b)x+ab.

(3)嘗試運用：直接寫出計算結(jié)果(加+99)-(機-100)=機2—機一9900.

(4)解決問題：根據(jù)你的理解，把下列多項式因式分解：

①)公—5%+6=(x-2)(x-3),

(2)x2-3%-10=(x-5)(%+2).

(5)拓展延伸：若"2+/-8可分解為兩個一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是-7,-2,2,7.

15.【答案】[60,100]

【解析】解析因為“汽車以120km/h的速度行駛時，每小時的油耗為11.5L”，所以

4120-左+型也］=11.5.解得上=100.故汽車以xkm/h的速度在高速公路上勻速行使時，每小時的油耗

51120)

為[+空H-20.依題意號/[x+竺型]一20<9,解得45WxW100,因為60&W120,所以60^x^100,

所以欲使每小時的油耗不超過9L,速度x的取值范圍為[60,100].

16.【答案】3

【解析】對任意R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+3*c)-5c,令c=0,

代入得(a*b)*0=0*(aZ?)+(a*0)+(Z?*0).

由a*b=b*a可得(a*b)蛆0Q?>*(h?*/,由a*0=a可得&aMa，所以

y=x*L=i+x+L,因為xX),由均值不等式可得y=l+x+L、3(當且僅當x=L,即X=1時，等號成

XXXX

立).所以y=x*』(x>0)的最小值為3.

X

四、

17.【咨](1)(a+Z?+c)?=a?+〃+/+2cib+2bc+2ac.

(2)Qa+/?+c=n,ab+bc+ac=3S,

.Q?+Z??++Z?+c)2—2(ab+ac+be)—121—76—45.

(3)Qa+b=10,ab=20,

**-S陰影=〃2+b12--(a+b)^--a2

=—a2+—Z?2--ab

222

17、237

——(zu+b)—cib

22

13

=-xl09-一一x20

22

=50-30

=20

18.【答案】+(a-2)x-2a>0可化為(x+a)(x—2)20.當一a=2,即。=一2時，。一2)2三0,止匕時xeR；

當一。>2,即。<一2時，解得xN—a或xW2；當一a<2,即a>-2時，解得xN2或xW—a.

綜上所述，當心一2時，xe(-00,-a)u[2,+oo)；當。=一2時，xeR；當aV-2時，xe(^?,2]U[-a,+oo).

19.【答案】(1)：不等式依2_33+2<0的解集為人={%|1<%<6},

/.1和b是方程a?_3%+2=0的兩根,

。一3+2=0

f。=]

<ab2-3Z?+2=0,解得<5

\b=2.

b>li

9,—93

(2)由(1)得y=4x+—N2^^=12,當且僅當4x=—,即1=—EA時，等號成立，.??函數(shù)y的最小值

xx2.

為12.

20.【答案】(1)設(shè)方程/+加元+〃=0(〃工0),的兩個根分別是%1，%2，則%+%2=-m,xxx2=n,

-+—若一個一元二次方程的兩個根分別是已知方程兩根的倒數(shù)，則這個一元二次方程

n

X2再入2

j^y2+—y+—=0,整理得ny1+my+1=0.

nn

(2)分兩種情況討論：①當iwZ?時，?；a、〃滿足。2一15。一5=0,〃一15人一5=0,

a>b是無?一15%—5=0的兩個根，.?.Q+〃=15,ab=-5,

,aba2-\-b2(a+Z?)2-2ab152-2x(-5)

??—I—=---------=-------------------=------------------=—47.

baabab-5

②當a=〃時，-+-=2.

ba

(3)Va+b+c=G,abc=

716

/.a+。7=—c,ab——,

c

a>Z?是方程f