河南省2025屆高三數(shù)學(xué)階段性測(cè)試試題七文含解析

PAGE21-河南省2025屆高三數(shù)學(xué)階段性測(cè)試試題（七）文（含解析）考生留意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.或【答案】D【解析】【分析】先解分式不等式得或，再依據(jù)集合運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)榛?，，所以或．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的解法以及集合運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.2.若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則正整數(shù)的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意可知只能為偶數(shù)，分別計(jì)算比較即可.【詳解】因?yàn)椋哉麛?shù)的最小值為4．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.3.已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的焦距為（）A.4 B.5 C.8 D.10【答案】D【解析】【分析】依據(jù)雙曲線方程和雙曲線的漸近線方程得，再依據(jù)計(jì)算即可解決.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，由雙曲線的漸近線方程為，可得，所以，．所以雙曲線的焦距為10．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程及性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.4.某地自2024年起，新高考科目設(shè)置采納“”模式，一般中學(xué)學(xué)生從高一上升二時(shí)將面臨著物理、歷史二選一的問題．該地，，三個(gè)學(xué)校高一的人數(shù)及高一學(xué)生選擇物理的狀況分別如圖（1）和圖（2）所示．為了解該地這三個(gè)學(xué)校學(xué)生選課的緣由，當(dāng)?shù)卣_定采納分層抽樣的方法抽取20%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則學(xué)校抽取的選擇物理的學(xué)生人數(shù)為（）A.40 B.30 C.20 D.10【答案】C【解析】【分析】由題知抽取的學(xué)校人數(shù)為，其中選擇物理的學(xué)生占比，即可求解.【詳解】由題意得，抽取的學(xué)校人數(shù)為，其中選擇物理的學(xué)生占比，故學(xué)校抽取的選擇物理的學(xué)生人數(shù)為人．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，是基礎(chǔ)題.5.若圓臺(tái)的母線與高的夾角為，且上、下底面半徑之差為2，則該圓臺(tái)的高為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】干脆計(jì)算即可.【詳解】設(shè)上、下底面半徑分別為，，圓臺(tái)高為，由題可知：，即，所以．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查圓臺(tái)的幾何特征，屬基礎(chǔ)題.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】列出每一次循環(huán)，直到計(jì)數(shù)變量滿意退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán)：；其次次循環(huán)：；第三次循環(huán)：，退出循環(huán)，輸出的為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果，要留意在哪一步退出循環(huán)，是一道簡(jiǎn)單題.7.函數(shù)在的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由可解除選項(xiàng)C、D；再由可解除選項(xiàng)A.【詳解】因?yàn)椋蕿槠婧瘮?shù)，解除C、D；又，解除A.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)函數(shù)解析式選出函數(shù)圖象的問題，在做這類題時(shí)，一般要利用函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、特別點(diǎn)的函數(shù)值等，是一道基礎(chǔ)題.8.若，滿意約束條件，則的最大值為（）A.21 B.16 C.13 D.11【答案】B【解析】【分析】首先畫出可行域，確定最優(yōu)點(diǎn)，并求最大值.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，聯(lián)立解得．視察可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，有最大值16．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合分析問題，屬于基礎(chǔ)題型.9.已知函數(shù)，則有關(guān)函數(shù)的說(shuō)法正確的是（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.的最大值為【答案】B【解析】【分析】先利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)得，再依據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解即可.詳解】由題可知．令，可得．當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，也不關(guān)于直線對(duì)稱，故A，C錯(cuò)誤；函數(shù)的最小正周期，故B正確；函數(shù)的最大值為1，故D錯(cuò)誤；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題.10.若角，，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】逆用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)所給等式可推出之間的關(guān)系，再利用二倍角的余弦公式可求得，依據(jù)的范圍即可確定的值.【詳解】由題意可得．∵，，∴，則，∴，又，解得，又，∴．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的正弦公式、二倍角的余弦公式，屬于中檔題.11.已知，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.9 C.5 D.【答案】A【解析】【分析】計(jì)算，可得，且，，然后結(jié)合基本不等式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題可知．因，為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，，故，，又，則且所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取得最小值．此時(shí)，符合條件．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的極值點(diǎn)的性質(zhì)以及利用基本不等式求最值，屬基礎(chǔ)題.12.已知函數(shù)，若，恒成立，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意畫出和的大致圖象，視察可知，若，恒成立，則函數(shù)和在上有共同的零點(diǎn)，求解即可.【詳解】令，，畫出和的大致圖象，如圖所示．視察可知，若，恒成立，則函數(shù)和在上有共同的零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)為，所以當(dāng)函數(shù)和有共同的零點(diǎn)時(shí)，恒成立，于是，解得．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題，是中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，．若，則實(shí)數(shù)的值為__________．【答案】【解析】【分析】先計(jì)算出，再依據(jù)向量垂直時(shí)數(shù)量積為零求解即可.【詳解】由題意知．若，則，解得．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積以及向量的坐標(biāo)表示，是中檔題.14.設(shè)是正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的公比_________．【答案】1【解析】【分析】將變形為，再利用等比數(shù)列性質(zhì)求解即可.【詳解】由，得，即，所以，因?yàn)槭钦?xiàng)等比數(shù)列，所以，，所以．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式以及等比數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.15.在中，，，邊上的中線，則的面積為_________．【答案】【解析】【分析】利用，干脆依據(jù)余弦定理以及面積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，利用，可得，解得或（舍）所以，，．所以．所以．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理、三角形面積公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系，著重考查計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，，，垂足分別為，，若，則________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)拋物線的性質(zhì)可知，，進(jìn)一步可知，然后運(yùn)用勾股定理可得，最終利用等面積法可求得【詳解】如圖，設(shè)的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為．由拋物線的性質(zhì)知，，，因?yàn)檩S，所以，，所以．在中，由勾股定理得，所以，所以．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)和直線與拋物線的位置關(guān)系，本題關(guān)鍵得到，屬中檔題.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟，第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答第22，23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（Ⅰ）求、；（Ⅱ）設(shè)，的前項(xiàng)和為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）．；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依據(jù)題意得出關(guān)于和的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可得出和；（Ⅱ）求得，利用裂項(xiàng)相消法求得，可得出，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為．由題意可得，解得，所以，；（Ⅱ）由，得．所以．因?yàn)椋?，若恒成立，需．故的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及求和公式的求解，同時(shí)也考查了利用數(shù)列不等式恒成立求參數(shù)，考查裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.18.如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的正方形的中心，平面，，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）先證明平面，再證明平面平面；（2）利用幾何關(guān)系和等體積法求解即可.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以．因?yàn)槠矫妫矫?，所以．因?yàn)槠矫妫矫?，且，所以平面．所以平面平面．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，為點(diǎn)到平面的高．所以．連接．因?yàn)槠矫妫矫?，所以．因?yàn)椋?，所以．又因，所以．在中，，，所以．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，所以．所以點(diǎn)到平面的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的線面關(guān)系以及等體積法求點(diǎn)到平面的距離，是中檔題.19.某動(dòng)漫影視制作公司長(zhǎng)期堅(jiān)持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動(dòng)漫題材，創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動(dòng)漫影視作品，獲得市場(chǎng)和廣闊觀眾的一樣好評(píng)，同時(shí)也為公司贏得豐厚的利潤(rùn).該公司2013年至2024年的年利潤(rùn)關(guān)于年份代號(hào)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表(已知該公司的年利潤(rùn)與年份代號(hào)線性相關(guān)):年份2013201420152024202420242024年份代號(hào)1234567年利潤(rùn)(單位:億元)（Ⅰ）求關(guān)于的線性回來(lái)方程，并預(yù)料該公司2024年(年份代號(hào)記為)的年利潤(rùn)；（Ⅱ）當(dāng)統(tǒng)計(jì)表中某年年利潤(rùn)的實(shí)際值大于由中線性回來(lái)方程計(jì)算出該年利潤(rùn)的估計(jì)值時(shí)，稱該年為級(jí)利潤(rùn)年，否則稱為級(jí)利潤(rùn)年.將中預(yù)料的該公司2024年的年利潤(rùn)視作該年利潤(rùn)的實(shí)際值，現(xiàn)從2015年至2024年這年中隨機(jī)抽取年，求恰有年為級(jí)利潤(rùn)年的概率.參考公式:【答案】（Ⅰ），63億元；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）依據(jù)公式計(jì)算即可；（II）被評(píng)為級(jí)利潤(rùn)年的有年，分別記為，評(píng)為級(jí)利潤(rùn)年的有年，分別記為，采納枚舉法列出從2015至2024年中隨機(jī)抽取年的總的狀況以及恰有一年為級(jí)利潤(rùn)年的狀況，再利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】依據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算可得又關(guān)于的線性回來(lái)方程為.將代入，(億元).該公司2024年的年利潤(rùn)的預(yù)料值為億元.由可知2015年至2024年的年利潤(rùn)的估計(jì)值分別為(單位:億元)，其中實(shí)際利潤(rùn)大于相應(yīng)估計(jì)值的有年.故這年中，被評(píng)為級(jí)利潤(rùn)年有年，分別記為；評(píng)為級(jí)利潤(rùn)年的有年，分別記為從2015至2024年中隨機(jī)抽取年，總的狀況分別為:，共計(jì)種狀況.其中恰有一年為級(jí)利潤(rùn)年的狀況分別為:，共有種狀況.記“從2015至2024年這年的年利潤(rùn)中隨機(jī)抽取年，恰有一年為級(jí)利潤(rùn)年”的概率為，故所求概率【點(diǎn)睛】本題考查線性回來(lái)方程的應(yīng)用及古典概型的概率計(jì)算問題，考查學(xué)生運(yùn)算求解實(shí)力，是一道簡(jiǎn)單題.20.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).已知當(dāng)時(shí)，，且的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)當(dāng)時(shí)，求過點(diǎn)且圓心在軸上的圓的方程.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由當(dāng)時(shí)，，且的面積為，得到，進(jìn)而求出，求解即可得到，，從而可得橢圓方程；(2)當(dāng)時(shí)，，代入橢圓方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得線段的中垂線方程，從而可求出所求圓心和半徑，得到所求圓的方程.【詳解】(1)由已知得：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以，，所以橢圓的方程為.(2)當(dāng)時(shí)，，代入橢圓的方程得：，所以，，所以，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，線段的中垂線方程為，令，即圓心坐標(biāo)為，所以半徑，因此所求圓的方程為：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線方程，通常須要聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合題中條件求解，屬于常考題型.21.已知函數(shù).（1）探討函數(shù)單調(diào)性；（2）設(shè)，證明：曲線沒有經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線.【答案】（1）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先求得導(dǎo)函數(shù),依據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可推斷單調(diào)區(qū)間.（2）先探討過原點(diǎn)的切線斜率是否存在.當(dāng)斜率不存在時(shí),切線為y軸,分析可知不成立.當(dāng)斜率存在時(shí),可設(shè)出切線方程和切點(diǎn)坐標(biāo).建立方程組,推斷方程組無(wú)解,即可證明不存在這樣的切線.【詳解】（1）定義域?yàn)?.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.（2）因?yàn)槎x域?yàn)?所以軸不是曲線的切線.當(dāng)經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線不是軸時(shí),設(shè)是曲線的切線,切點(diǎn)是.因?yàn)?所以.消去得,即.由（1）知在處取得最小值,則,所以無(wú)解.因此曲線沒有經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)導(dǎo)函數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,利用導(dǎo)數(shù)探討曲線的切線方程,利用導(dǎo)數(shù)探討不等式成立問題,屬于中檔題.（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與交于、兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，的垂直平分線交于、.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系.（1）求的直角坐標(biāo)方程與點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（2）求證：.【答案】（1），；（2）見解析.【解析】【分析】（1）將曲線的極坐標(biāo)方程變形為