2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.4-直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【課件】

第八章平面解析幾何第4節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎(chǔ)夯實11.直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相離相切相交圖形量化方程觀點Δ____0Δ____0Δ____0幾何觀點d____rd____rd____r<＝>>＝<2.圓與圓的位置關(guān)系則兩圓C1，C2有以下位置關(guān)系：位置關(guān)系外離內(nèi)含相交內(nèi)切外切圓心距與半徑的關(guān)系_________________________________________________________圖示公切線條數(shù)40213d>r1＋r2d<|r1－r2||r1－2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r21.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.×解析(1)“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的充分不必要條件；(2)除外切外，還有可能內(nèi)切；(3)兩圓還可能內(nèi)切或內(nèi)含.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的必要不充分條件.(

) (2)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切.(

) (3)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.(

) (4)過圓O：x2＋y2＝r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則O，P，A，B四點共圓，且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(

)××√AB解析聯(lián)立直線與圓的方程得2.(多選)直線x－y＋m＝0與圓x2＋y2－2x－1＝0有兩個不同交點的一個充分不必要條件是(

) A.0＜m＜1 B.－1＜m＜0 C.m＜1

D.－3＜m＜1得2x2＋(2m－2)x＋m2－1＝0，根據(jù)題意得Δ＝(2m－2)2－8(m2－1)＝－4(m＋1)2＋16＞0，得－3＜m＜1.∵{m|0＜m＜1}

{m|－3＜m＜1}，{m|－1＜m＜0}

{m|－3＜m＜1}，∴0＜m＜1和－1＜m＜0都是直線與圓相交的充分不必要條件.ABD3.(多選)已知直線l：ax＋by－r2＝0與圓C：x2＋y2＝r2，點A(a，b)，則下列說法正確的是(

) A.若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B.若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離 C.若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D.若點A在直線l上，則直線l與圓C相切4.兩圓x2＋y2－2y＝0與x2＋y2－4＝0的位置關(guān)系是________.內(nèi)切5.直線l：3x－y－6＝0與圓x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B兩點，則|AB|＝______.解析如圖，直線分別與兩個半徑相等的圓相切，由對稱性可知，直線與x軸的交點為A(2，0).6.已知直線y＝kx＋b(k＞0)與圓x2＋y2＝1和圓(x－4)2＋y2＝1均相切，則k＝__________，b＝__________.由AB＝2，BM＝1，∠AMB＝90°，得∠MAB＝30°，KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點突破題型剖析2解析因為M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圓心O到直線ax＋by＝1的距離1.已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是(

) A.相切

B.相交 C.相離

D.不確定B所以直線與圓相交.解析將直線l的方程整理為x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，2.(多選)已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.則以下幾個命題正確的有(

) A.直線l恒過定點(3，1) B.直線l與圓C相切 C.直線l與圓C恒相交 D.直線l與圓C相離AC則無論m為何值，直線l過定點(3，1)，故直線l與圓C恒相交，故AC正確.3.若圓x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4個點到直線l：x－y－2＝0的距離為1，則實數(shù)r的取值范圍是(

)A直線l：x－y－2＝0與圓相交，l1，l2與l平行，且與直線l的距離為1，解析圓M的一般方程為x2＋y2－8x＋6y＝0，則(x－4)2＋(y＋3)2＝25.圓的圓心坐標為(4，－3)，半徑為5.過原點的最短弦長為6，選項C不正確.ABD均正確.例1(1)(多選)已知圓M的一般方程為x2＋y2－8x＋6y＝0，則下列說法中正確的是(

) A.圓M的圓心為(4，－3) B.圓M被x軸截得的弦長為8 C.過原點的最短弦長為8 D.圓M被y軸截得的弦長為6ABD角度1圓的弦長問題取AB的中點M，連接OM(圖略)，則OM⊥AB.5解析當直線的斜率不存在時，直線方程為x＝2，此時，圓心到直線的距離等于半徑，直線與圓相切，符合題意；當直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離等于半徑，例2(1)過點P(2，4)引圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方程為______________________.角度2圓的切線問題x＝2或4x－3y＋4＝0即4x－3y＋4＝0.綜上，切線方程為x＝2或4x－3y＋4＝0.設(shè)切點為A，B，則OA⊥AP，OB⊥BP，OA＝OB，AP＝BP，AP⊥BP，C解析如圖所示.解析圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1的圓心為C(1，－1)，半徑為1，故|CB|＝|CA|＝1，又△CAB為等邊三角形，訓(xùn)練1(1)已知圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1與直線kx＋y＋1＝0相交于A，B兩點，若△CAB為等邊三角形，則k的值為(

)A(2)在圓x2＋y2－2x－6y＝0內(nèi)，過點E(0，1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為______.解析點A(－2，－3)關(guān)于y軸的對稱點為A′(2，－3)，故可設(shè)反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，化為kx－y－2k－3＝0，∵反射光線與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴圓心(－3，2)到直線的距離(3)若一條光線從點(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為______________.化為24k2＋50k＋24＝0，解

兩圓的標準方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圓心分別為M(1，3)，N(5，6)，例3

已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求： (1)m取何值時兩圓外切？當兩圓外切時，兩圓的公共弦所在直線的方程為(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.由圓的半徑、弦長、弦心距間的關(guān)系，不難求得公共弦的長為(2)求m＝45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.解

兩圓的標準方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圓心分別為M(1，3)，N(5，6)，B(2)已知圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0與圓C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B兩點.公共弦|AB|的長為________，經(jīng)過A，B兩點且面積最小的圓的方程為____________________.解析兩圓的方程作差可得x－2y＋4＝0.∴圓C1與圓C2的公共弦AB所在的直線方程為x－2y＋4＝0，(x＋2)2＋(y－1)2＝5不妨設(shè)A(－4，0)，B(0，2)，以AB為直徑的圓即為面積最小的圓.∴(x＋2)2＋(y－1)2＝5.阿波羅尼斯圓到兩定點距離之比等于已知數(shù)的動點軌跡為直線或圓.點A，B為兩定點，動點P滿足|PA|＝λ|PB|.則λ＝1時，動點P的軌跡為直線；當λ＞0且λ≠1時，動點P的軌跡為圓，后世稱之為阿波羅尼斯圓.解

如圖所示，設(shè)動點M(x，y)，連接MO，MA，有|MA|＝2|MO|，化簡得x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4①，則方程①即為所求點M的軌跡方程，它表示以C(－1，0)為圓心，2為半徑的圓.解

點C在直線l：y＝2x－4上，故設(shè)C的坐標為(a，2a－4).因為半徑r1＝1，所以圓C的方程是(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1.設(shè)點M(x，y)，則由|MA|＝2|MO|可得點M的軌跡正是阿波羅尼斯圓D，(2)在平面直角坐標系xOy中，點A(0，3)，直線l：y＝2x－4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.若圓C上存在點M，使|MA|＝2|MO|，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.化簡整理得x2＋(y＋1)2＝4.所以點M(x，y)在以D(0，－1)為圓心，r2＝2為半徑的圓上.又點M(x，y)在圓C上，所以兩圓有公共點的條件是|r1－r2|≤|DC|≤|r1＋r2|，F(xiàn)ENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升31.直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是(

) A.相交

B.相切

C.相離 D.不確定A解析圓O1的圓心坐標為(1，0)，半徑長r1＝1，圓O2的圓心坐標為(0，2)，半徑長r2＝2，2.圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系是(

) A.相離

B.相交

C.外切 D.內(nèi)切B而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，則有r2－r1＜d＜r1＋r2，所以兩圓相交.解析過點(3，1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，∴點(3，1)在圓(x－1)2＋y2＝r2上，3.過點(3，1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為(

) A.2x＋y－5＝0

B.2x＋y－7＝0 C.x－2y－5＝0

D.x－2y－7＝0B∴切線的斜率為－2，則圓的切線方程為y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.圓方程配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝5.D解析若弦AB的中點為M(0，1)，則點M(0，1)一定在圓內(nèi)，且方程表示圓，5.(多選)已知直線l與圓C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B兩點，弦AB的中點為M(0，1)，則下列結(jié)論正確的是(

) A.實數(shù)a的取值范圍為a＜3 B.實數(shù)a的取值范圍為a＜5 C.直線l的方程為x＋y－1＝0 D.直線l的方程為x－y＋1＝0AD由圓的方程得，圓心坐標為C(－1，2)，又M(0，1)，則kCM＝－1，則kAB＝1，由點斜式得，直線l的方程為y－1＝x，即x－y＋1＝0，故D正確.解析直線l：y－1＝k(x－3)恒過D(3，1)，A正確；6.(多選)已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：y－1＝k(x－3).則以下幾個命題正確的有(

)ABD對于C，因為(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25，則點D在圓C內(nèi)部，直線l與圓C相交，故C不正確；7.圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦長為________.又過點P作圓C的切線有兩條，所以點P在圓的外部，故1＋4＋k＋4＋k2>0，解得k∈R，8.已知點P(1，2)和圓C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，過點P作圓C的切線有兩條，則實數(shù)k的取值范圍是______________.解析因為C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0為圓，解析圓C1：x2＋y2＝1的圓心為C1(0，0)，半徑r1＝1，圓C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圓心為C2(3，－4)，半徑r2＝2，∴|C1C2|＝5.又A為圓C1上的動點，B為圓C2上的動點，∴線段AB長度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.9.若A為圓C1：x2＋y2＝1上的動點，B為圓C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的動點，則線段AB長度的最大值是________.8解

設(shè)切線方程為x＋y＋b＝0(b≠－4)，10.已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求滿足下列條件的圓的切線方程； (1)與直線l1：x＋y－4＝0平行；(2)與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；解

設(shè)切線方程為2x＋y＋m＝0，∴過切點A(4，－1)的切線斜率為－3，∴過切點A(4，－1)的切線方程為y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.(3)過切點A(4，－1).解

∵直線4x＋3y＋1＝0∴