高二分冊數(shù)學(xué)教案

高二分冊教案

第六章不等式

第一教時(shí)

教材：不等式、不等式的綜合性質(zhì)

目的：首先讓學(xué)生掌握不等式的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，了解并會(huì)證明不等式的基本性質(zhì)

1II0

過程：

一、引入新課

1.世界上所有的事物不等是絕對(duì)的，相等是相對(duì)的。

2.過去我們已經(jīng)接觸過許多不等式從而提出課題

二、幾個(gè)與不等式有關(guān)的名稱（例略）

1.“同向不等式與異向不等式”

2.“絕對(duì)不等式與矛盾不等式”

三、不等式的一個(gè)等價(jià)關(guān)系（充要條件）

1.從實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)談起

2.應(yīng)用：例一比較與的大小

解：（取差）一

例二已知#0,比較與的大小

解：（取差）-

從而〉

小結(jié)：步驟：作差一變形一判斷一結(jié)論

例三比較大小1.和

解：：

??

2.和

解：（取差）-???

.?.當(dāng)時(shí)〉;當(dāng)時(shí)=；當(dāng)時(shí)＜

3.設(shè)且，比較與的大小

解：

當(dāng)時(shí)W；當(dāng)時(shí)學(xué)

四、不等式的性質(zhì)

1.性質(zhì)1：如果，那么；如果，那么（對(duì)稱性）

證：???.?.由正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)

2.性質(zhì)2：如果，那么（傳遞性）

證：???，

?.?兩個(gè)正數(shù)的和仍是正數(shù)

??

由對(duì)稱性、性質(zhì)2可以表示為如果且那么

五、小結(jié)：1.不等式的概念2.一個(gè)充要條件

3.性質(zhì)1、2

六、作業(yè)：P5練習(xí)P8習(xí)題6.11—3

補(bǔ)充題：1.若，比較與的大小

解：......》

2.比較2sin0與sin29的大小（0<0<2兀）

略解：2sin0-sin20=2sin0（l-cos0）

當(dāng)。€（0,兀）時(shí)2sin0（l-cos0）》02sin0》sin20

當(dāng)（兀,2兀）時(shí)2sin0（l-cos0）<O2sin0<sin20

3.設(shè)且比較與的大小

解：

當(dāng)時(shí)，>

當(dāng)時(shí)..>

，總有〉

第二效時(shí)

教材：不等式基本性質(zhì)（續(xù)完）

目的：繼續(xù)學(xué)習(xí)不等式的基本性質(zhì)，并能用前面的性質(zhì)進(jìn)行論證，從而讓學(xué)生清

楚事物內(nèi)部是具有固有規(guī)律的。

過程：

一、復(fù)習(xí)：不等式的基本概念，充要條件，基本性質(zhì)1、2

二、1.性質(zhì)3：如果，那么（加法單調(diào)性）反之亦然

證：

從而可得移項(xiàng)法則：

推論：如果且，那么（相加法則）

證：

推論：如果且，那么（相減法則）

證：,/

或證：

上式>0.....

2.性質(zhì)4：如果且，那么；

如果且那么（乘法單調(diào)性）

證：

根據(jù)同號(hào)相乘得正，異號(hào)相乘得負(fù)，得：

時(shí)即：

時(shí)即：

推論1如果且，那么（相乘法則）

證：

推論1'（補(bǔ)充）如果且，那么（相除法則）

證：,//.

推論2如果，那么

3.性質(zhì)5：如果，那么

證：（反證法）假設(shè)

則：若這都與矛盾???

三、小結(jié)：五個(gè)性質(zhì)及其推論

口答P8練習(xí)1、2習(xí)題6.14

四、作業(yè)P8練習(xí)3習(xí)題6.15、6

五、供選用的例題（或作業(yè)）

1.已知，，，求證：

證：

2.若，求不等式同時(shí)成立的條件

解：

3.設(shè)，求證

證：,?

又；.\>0

4.比較與的大小

解：一當(dāng)時(shí)?.?即

當(dāng)時(shí)即

5.若求證：

解：：，

????

?????

6.若求證：

證：7T>1，

又???

，.?.原式成立

第三教時(shí)

教材：算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

目的：要求學(xué)生掌握算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的意義，并掌握“平均不等式”及

其推導(dǎo)過程。

過程：

一、定理：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）

證明：

1.指出定理適用范圍：

2.強(qiáng)調(diào)取“=”的條件

二、定理：如果是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）

證明：*/，

即：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)

注意：1.這個(gè)定理適用的范圍：

2.語言表述：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平

均數(shù)。

三、推廣：

定理：如果，那么

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）

證明：；

二上式NO從而

指出：這里?.?就不能保證

推論：如果，那么

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）

證明：

四、關(guān)于“平均數(shù)”的概念

1.如果則：

叫做這n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)

叫做這n個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)

2.點(diǎn)題：算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

3.基本不等式：力

這個(gè)結(jié)論最終可用數(shù)學(xué)歸納法，二項(xiàng)式定理證明（這里從略）

語言表述：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

4.的幾何解釋：

以為直徑作圓，在直徑AB上取一點(diǎn)C,

過C作弦DDUAB則

從而

而半徑

五、例一已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：

證：,/

以上三式相加：

六、小結(jié)：算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的概念

基本不等式（即平均不等式）

七、作業(yè)：P11-12練習(xí)1、2P12習(xí)題5.21-3

補(bǔ)充：1.已知，分別求的范圍

（8,11）（3,6）（2,4）

2.試比較與（作差〉）

3.求證：

證：

三式相加化簡即得

第四數(shù)時(shí)

教材：極值定理

目的：要求學(xué)生在掌握平均不等式的基礎(chǔ)上進(jìn)而掌握極值定理，并學(xué)會(huì)初步應(yīng)用。

過程：

一、復(fù)習(xí)：算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定義，平均不等式

二、若，設(shè)

求證：

加權(quán)平均；算術(shù)平均；幾何平

均；調(diào)和平均

證：,/

...即：（俗稱累平均不等式）

由平均不等式

即：

綜上所述：

例一、若求證

證：由幕平均不等式：

三、極值定理

已知都是正數(shù)，求證：

1°如果積是定值，那么當(dāng)時(shí)和有最小值

20如果和是定值，那么當(dāng)時(shí)積有最大值

證：,//.

1。當(dāng)（定值）時(shí)，

?.?上式當(dāng)時(shí)取“="當(dāng)時(shí)有

2。當(dāng)（定值州寸，/.

?.?上式當(dāng)時(shí)取“=”，當(dāng)時(shí)有

注意強(qiáng)調(diào)：1。最值的含義（“》”取最小值，“W”取最大值）

2。用極值定理求最值的三個(gè)必要條件：

一“正”、二“定”、三“相等”

四、例題

1.證明下列各題：

（1）

、丁???

證：...

于是

⑵若上題改成，結(jié)果將如何？

解：：

于是

從而

⑶若則

解：若則顯然有

若異號(hào)或一個(gè)為。則

2.①求函數(shù)的最大值

②求函數(shù)的最大值

解：①???，，當(dāng)即時(shí)

即時(shí)

②：，

，當(dāng)時(shí)

3.若，則為何值時(shí)有最小值，最小值為幾？

解：：/.

?一

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)

五、小結(jié)：1.四大平均值之間的關(guān)系及其證明

2.極值定理及三要素

六、作業(yè)：P12練習(xí)3、4習(xí)題6.24、5、6

補(bǔ)充：下列函數(shù)中取何值時(shí)，函數(shù)取得最大值或最小值，最值是多少？

10時(shí)

2°

3。時(shí)

第五數(shù)時(shí)

教材：極值定理的應(yīng)用

目的：要求學(xué)生更熟悉基本不等式和極值定理,從而更熟練地處理一些最值問題。

過程：

一、復(fù)習(xí)：基本不等式、極值定理

二、例題：1.求函數(shù)的最大值，下列解法是否正確？為什么？

解一：

解二：當(dāng)即時(shí)

答：以上兩種解法均有錯(cuò)誤。解一錯(cuò)在取不到“=”，即不存在使得；解二

錯(cuò)在不是定值（常數(shù)）

正確的解法是：

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)

2.若，求的最值

缶刀x~-2x+21(x—I)2+1]11[、1]

解?———=------;-=-[(x-l)+--]=--[-rUz.1)+——-]

2x—22x—12x—12—(x—1)

從而

即

3.設(shè)且，求的最大值

解：；

又

即

4.已知且，求的最小值

解：

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)

三、關(guān)于應(yīng)用題

1.PU例(即本章開頭提出的問題)(略)

2.將一塊邊長為的正方形鐵皮，剪去四個(gè)角(四個(gè)全等的正方形)，作成

一個(gè)無蓋的鐵盒，要使其容積最大，剪去的小正方形的邊長為多少？最大容

積是多少？

解：設(shè)剪去的小正方形的邊長為

則其容積為

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”

即當(dāng)剪去的小正方形的邊長為時(shí),

四、作業(yè)：P12練習(xí)4習(xí)題6.2

補(bǔ)充：

1.求下列函數(shù)的最值:

1°(min=6)

2°()

2.1。時(shí)求的最小值，的最小值

2。設(shè)，求的最大值(5)

3。若，求的最大值

4。若且，求的最小值

3.若，求證：的最小值為3

4.制作一個(gè)容積為的圓柱形容器(有底有蓋)，問圓柱底半徑和

高各取多少時(shí)，用料最?。?不計(jì)加工時(shí)的損耗及接縫用料)

第六數(shù)時(shí)

教材：不等式證明一(比較法)

目的：以不等式的等價(jià)命題為依據(jù)，揭示不等式的常用證明方法之-----比較法,

要求學(xué)生能教熟練地運(yùn)用作差、作商比較法證明不等式。

過程：

一、復(fù)習(xí)：

1.不等式的一個(gè)等價(jià)命題

2.比較法之一(作差法)步驟：作差一一變形一一判斷一一結(jié)論

二、作差法：(P13—14)

1.求證：X2+3>3x

證：*.*(x2+3)-3x=

.,.X1+3>3x

2.已知。，仇加都是正數(shù)，并且a<b,求證：

證：

,.,a,/?,都是正數(shù)，并且a。，.\b+m>0,b-a>0

：,即：

變式：若a>b,結(jié)果會(huì)怎樣？若沒有％<5”這個(gè)條件，應(yīng)如何判斷？

3.已知a,Z?都是正數(shù)，并且。力匕，求證：a5+b5>crb3+a3b2

證：(a5+b5)-(a2&3+a3/?2)=(a5-cPb2)+(b5-c^b3)

=a3(a2-b2)-b3(a2-〃)=(a2-b2)(?3-護(hù))

=(a+b)(a-/?)2(?2+ab+b2)

,.,a,b都是正數(shù)，...a+b,屋+"+〃〉()

又?：a豐b,(a-b)2>0(a+h)(a-Z?)2(a2+ab+b2)>0

即：a5+b5>a2b3+a'tr

4.甲乙兩人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度相

行走，另一半時(shí)間以速度”行走；有一半路程乙以速度機(jī)行走，另一

半路程以速度”行走，如果〃?*“，問：甲乙兩人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)？

解：設(shè)從出發(fā)地到指定地點(diǎn)的路程為S,

甲乙兩人走完全程所需時(shí)間分別是力"2,

貝U：可得：

'.'S"找，〃都是正數(shù)，且"27〃，，力一f2<0即：力</2

從而：甲先到到達(dá)指定地點(diǎn)。

變式：若m=n,結(jié)果會(huì)怎樣？

三、作商法

5.設(shè)a,Z?eR+,求證：

證：作商：

當(dāng)a=〃時(shí)，

當(dāng)a>。>0時(shí)，

當(dāng)。>a>0時(shí)，

.??(其余部分布置作業(yè))

作商法步驟與作差法同，不過最后是與1比較。

四、小結(jié)：作差、作商

五、作業(yè)：P15練習(xí)

P18習(xí)題6.31—4

第七放時(shí)

教材：不等式證明二(比較法、綜合法)

目的：加強(qiáng)比商法的訓(xùn)練，以期達(dá)到熟練技巧，同時(shí)要求學(xué)生初步掌握用綜合法

證明不等式。

過程：

一、比較法：

a)復(fù)習(xí)：比較法，依據(jù)、步驟

比商法，依據(jù)、步驟、適用題型

b)例一、證明：在是增函數(shù)。

證：設(shè)2WXI<JQ,則

*/%2-XI>0,XI+X2-4>0/.

又力1>0,.*.yi>y2.,?在是增函數(shù)

二、綜合法：

定義：利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的

不等式，這個(gè)證明方法叫綜合法。

i.已知a,",c是不全相等的正數(shù)，

求證：+c2)+仇c2+屋)+c(屋+b2)>6abc

證：b2+c22Ibc,a>0,aib1+c2)/labc

同理:b(c2+a2)》labc,c(tz2+b2)》labc

：.a(b2+c2)+^(c2+a2)+c(a2+/?2)06abe

當(dāng)且僅當(dāng)b=c,c=a,a=b時(shí)取等號(hào)，而a,Z?,c是不全相等的正數(shù)

a（b2+c2）+b（心+a2）+c（a2+b2）>6abe

ii.設(shè)a,b,ceR,

1。求證：

2。求證:

3。若a+b-1,求證：

證：1°V

2。同理：，

三式相加：

3。由嘉平均不等式：

iii.a,h,ceR,求證：1°

2°

3°

證：1。法一：，，兩式相乘即得。

法二：左邊

23+2+2+2=9

2°V

兩式相乘即得

3。由上題：

即：

三、小結(jié)：綜合法

四、作業(yè)：P15—16練習(xí)1,2

P18習(xí)題6.31,2,3

補(bǔ)充：

1.已知a,beR+且aH〃，求證：（取差）

2.設(shè)aeR,x,yeR,求證：（取商）

3.已知a,beR+,求證：

證：?:a,beR+：.：.

4.設(shè)〃>0,〃>0,且a+力=1,求證:

證：*/JI.

第八教時(shí)

教材：不等式證明三（分析法）

目的：要求學(xué)生學(xué)會(huì)用分析法證明不等式。

過程：

一、介紹“分析法”：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條

件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題。

二、例一、求證：

證：???綜合法：

只需證明：?；21<25

展開得：???

即：/.

??

????

即：21<25（顯然成立）I.

??

????

例二、設(shè)x>0,y>0,證明不等式：

證一：（分析法）所證不等式即：

即：

即：

只需證：

,成立

證二：（綜合法）

Vx>0,y>0,工

例三、已知：a+h+c=0,求證：ab+he+caW0

證一：（綜合法）?/?+/?+c=0=0

展開得：

Jab+be+ca<0

證二：（分析法）要證Q〃+〃C+CYZW0?.?。+力+。=0

故只需證ab+be+caW（〃+/?+c）2

即證：

即：（顯然）

???原式成立

證三：?.?。+。+。=0；?-c=a+b

ab+be+ca=ab+（a+b）c=ah-（a+ft）2=-a2-b2-ah

例四、（課本例）證明：通過水管放水，當(dāng)流速相等時(shí)，如果水管截面（指

橫截面）的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水

管流量大。

證：設(shè)截面周長為/,則周長為/的圓的半徑為，截面積為，

周長為/的正方形邊長為，截面積為

問題只需證：>

即證：>

兩邊同乘，得：

因此只需證：4>兀（顯然成立）

/.>也可用比較法（取商）證，也不困難。

三、作業(yè)：P18練習(xí)1—3及習(xí)題6.3余下部分

補(bǔ)充作業(yè)：

1.已知0<。v兀，證明：

略證：只需證：VO<0<7t.*.sin0>0

故只需證：

即證：V1+cos0>0

只需證：

即只需證：

即：（成立）

2.已知。為銳角，求證：

略證：只需證：

即：（成立）

3.設(shè)是的AABC三邊，S是三角形的面積，求證：

略證：正弦、余弦定理代入得：

即證:

即：

即證：（成立）

第九數(shù)時(shí)

教材：不等式證明四（換元法）

目的：增強(qiáng)學(xué)生“換元”思想，能較熟練地利用換元手段解決某些不等式證明問

題。

過程：

一、提出課題：（換元法）

二、三角換元：

例一、求證：

證一：（綜合法）

即：Z.

證二：（換元法）.'.令x=cos9,0e[O,n]

貝U

例二、已知x>0,y>0,2x+y=L求證:

證一：即：

證二：由九>0,y>0,2x+y=l,可設(shè)

貝I

例

若求證:

設(shè)

則

例四：若x>1,y>\,求證：

證：設(shè)

則

例五：已知：a>l,b>O,a-h=1,求證:

iiE：'.'a>\,b>Q,a-b=\，不妨設(shè)

貝！I

V,.\O<sin0<1

小結(jié)：若OWxWl,則可令x=sinO()或3=sin2。()。

若，則可令x=cosO,y=sin。()。

若，則可令x=sec。,y=tanO()。

若則可令x=secO()。

若xeR,則可令x=tanO()。

三、代數(shù)換元：

例六：證明：若。>0,則

證：設(shè)

則

(當(dāng)a=1時(shí)取“=”)

?*?

即.?.原式成立

四、小結(jié)：

還有諸如“均值換元”“設(shè)差換元”的方法，有興趣的課后還可進(jìn)一步學(xué)

習(xí)。

五、作業(yè)：

1.若，求證：

2.若同<1,依<1,貝I

3.若因<1,求證：

4.a>l,b>O,a-b=1,求證：

5.求證：

6.已知|a|Wl,|例《1,求證：

第十教時(shí)

教材：不等式證明五(放縮法、反證法)

目的：要求學(xué)生掌握放縮法和反證法證明不等式。

過程：

一、簡要回顧已經(jīng)學(xué)習(xí)過的幾種不等式證明的方法

提出課題：放縮法與反證法

二、放縮法：

例一、若a,b,c,deR+,求證：

證：t己/"=

'."a,b,c,d&R+

/.1<m<2即原式成立

例二、當(dāng)?>2時(shí)，求證：

證：'：n>2：.

一2一,2

1//clog?(n-l)+log?(n+l)log?(rt--1)

log?(/?-1)log?(/?+1)<---------------------------=-------------

?*.?>2時(shí),

例三、求證：

證：

1iii,,11111c1C

+—+—+???+—7<1+1一一+----+???+-H-—----—2—<2

F2232n2223n-1nn

三、反證法：

例四、設(shè)0<a,"c<l,求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,不可能同時(shí)大于

證：設(shè)(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,

則三式相乘:ab<(\-d)b'(1-b)c"(\-c)a<①

XV0<a,b,c<1,

同理：，

以上三式相乘：(1-?)??(1-/?)/??(1-c)c^與①矛盾

，原式成立

例五、已知a+〃+c>0,ah+be+ca>Q,abc>0,求證：a,b,c>0

證：設(shè)"0,"/abc>0,be<0

又由a+Z?+c>0,則/?+c=—a>0

ab+be+ca=a(b+c)+be<0與題設(shè)矛盾

又：若a=0,則與出?c>0矛盾，二必有a>0

同理可證：b>0,c>0

四、作業(yè)：證明下列不等式：

1.設(shè)無>0,y>0,,,求證：a<b

放縮法：

2.Ig94gll<1

3.

4.若a>/?>c,則

5.

左邊

6.

7.已知a,c>0,且/+左=，，求證:cf+bn<(f(n^3,neR*)

;，又a,b,c>0,：.

??

8.設(shè)Ova,"c<2,求證：(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b,不可能同時(shí)大于1

仿例四

9.若x,y>0,且x+y>2,則和中至少有一個(gè)小于2

反設(shè)22,22??3,y>0,可得x+yW2與x+y>2矛盾第r^一

敬時(shí)

教材：不等式證明六(構(gòu)造法及其它方法)

目的：要求學(xué)生逐步熟悉利用構(gòu)造法等方法證明不等式。

過程：

一、構(gòu)造法：

i.構(gòu)造函數(shù)法

例一、已知x>0,求證：

證：構(gòu)造函數(shù)則，設(shè)2Wa<|3

由

顯然V2<a<p/.a-p>0,ap-1>0,ap>0,上式〉

0

在上單調(diào)遞增，.?.左邊

例二、求證：

證：設(shè)則

用定義法可證：f⑺在上單調(diào)遞增

令：3W/V2則

?*?

2.構(gòu)造方程法：

例三、已知實(shí)數(shù)a,/?,c,滿足a+b+c=0和abc=2,求證：a,8,c中至

少有一個(gè)不小于2o

證：由題設(shè)：顯然a,。,c中必有一個(gè)正數(shù)，不妨設(shè)。>0,

則即仇c是二次方程的兩個(gè)實(shí)根。

，即：心2

例四、求證：

證：設(shè)則：(y-l)tan20+(y+l)tan0+(y-1)=0

當(dāng)y=1時(shí)，命題顯然成立

當(dāng)yw1時(shí)，△=(y+Ip-4(y-I)2=(3y-1)(^-3)^0

綜上所述，原式成立。(此法也稱判別式法)

3.構(gòu)造圖形法：

例五、已知0<。<1,0</?<L求證:

y/a2+b2+7(?-1)2+b2+yja2+(/?-1)2+-J(?~l)2+(b-l)2>242

證：構(gòu)造單位正方形，。是正方形內(nèi)一點(diǎn)

0到AD,AB的距離為a,b,

則|A0|+\BO\+\C0\+\DO\^\AC\+\BD\

其中，

又：

5.作業(yè)：證明下列不等式：

令，則(y-l)^2+(y+l)x+(y-1)=0

用△法，分情況討論

6.已知關(guān)于x的不等式(M一1)/一(口一1比一1<0(aeR),對(duì)任意實(shí)數(shù)x

恒成立，求證：。

分/-1=o和討論

7.若*>0,y>0,x+y=1,則

左邊令t=xy,則

在上單調(diào)遞減???

8.若，且次〈。一力，則

令，又，在上單調(diào)遞增

9.t己，a>/?>0,貝！J|f(a)-f(b)|<|a-例

構(gòu)造矩形ABC。，尸在CO上，

使|AB|=a,\DF\=b,\AD\=1,

則|AC|-m<|CF|

10.若x,y,z>0,則

作NAOB=ZBOC=ZCOA=120°,設(shè)|0A|=x,\OB\=y,\OC\=z

第十二數(shù)時(shí)

教材：不等式證明綜合練習(xí)

目的：系統(tǒng)小結(jié)不等式證明的幾種常用方法，滲透“化歸”“類比”“換元”等

數(shù)學(xué)思想。

過程：

四、簡述不等式證明的幾種常用方法

比較、綜合、分析、換元、反證、放縮、構(gòu)造

五、例一、已知0<x<1,0<a<1,試比較的大小。

解一：

2

110gti(l-x)|-|log?(1+x)『=[logfl(l-x)+log”(l-x)][logfl(1-x)-logfl(l+x)]

V0<1—/<1,

解二：

鬻鬲卜|10g*l-X)|=Tog"lT)=log”,占=log”,汽

V0<1-%2<1,1+x>1,

解三:"0<x<1,/.0<1-x<1,1<1+x<2,

.?.左—右=

V0<1-^<1,且0<a<1

變題：若將”的取值范圍改為a>0且a#1,其余條件不變。

例二、已知<=。2+序，y2=c2+d2,且所有字母均為正，求證：xy^ac+

bd

證一：（分析法）c,d,x,y都是正數(shù)

，要證：xy^ac+bd

只需證：（孫）22（ac+bd）2

222

即：（a+/?）（c+法）*2c2+—+2abcd

展開得:crc2++a2d2+b2c22“2c2+阱於+2abcd

即：a2^+b2c2^2abcd由基本不等式，顯然成立

.'.xy^ac+bd

證二：（綜合法）xy-

證三：（三角代換法）

Vx2=a2+lr,；.不妨設(shè)a=xsina,b=xcosa

V=c2+/c=ysinp,d=ycosp

/.ac+bd=xysinasinp+孫cosacosfB=xycos（a-P）Wxy

例三、已知孫垃均為正數(shù)，求證：

證一：（分析法）由于不等式兩邊均為正數(shù)，平方后只須證：

即：

再平方：

化簡整理得：（顯然成立）

，原式成立

證二：（反證法）假設(shè)

化簡可得：（不可能）

二原式成立

證三：（構(gòu)造法）構(gòu)造矩形ABCD,

使AB=CD=1,BP=xi,PC=X2

當(dāng)NAPS=NOPC時(shí)，AP+尸。為最短。

B

APM

取BC中點(diǎn)M,有NAMB=NDMC,BM=MC=

：.AP+PD>AM+MD

即：

?*?

六、作業(yè)：2000版高二課課練第6課

第十三敢時(shí)

教材：復(fù)習(xí)一元一次不等式

目的：通過復(fù)習(xí)要求學(xué)生能熟練地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是對(duì)含

有參數(shù)的一元一次和一元二次不等式，能正確地對(duì)參數(shù)分區(qū)間討論。

過程：

一、提出課題：不等式的解法（復(fù)習(xí)）：一元一次與一元二次不等式

板演：1.解不等式：

2.解不等式組：（）

3.解不等式：

4.解不等式：

5.解不等式：

二、含有參數(shù)的不等式

例一、解關(guān)于x的不等式

解：將原不等式展開，整理得：

討論：當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，若》0時(shí)；若<0時(shí)

當(dāng)時(shí)，

例二、解關(guān)于x的不等式

解：原不等式可以化為：

若即則或

若即則

若即則或

例三、關(guān)于x的不等式的解集為

求關(guān)于x的不等式的解集.

解：由題設(shè)且，

從而可以變形為

即：/.

例四、關(guān)于x的不等式對(duì)于恒成立，

求a的取值范圍.s

解：當(dāng)?>0時(shí)不合?=0也不合

...必有：

例五、若函數(shù)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)女的

取值范圍

解：顯然由0時(shí)滿足而2<0時(shí)不滿足

”的取值范圍是[0,1]

三、簡單絕對(duì)不等式

例六、（課本6.4例1）解不等式

解集為：

四、小結(jié)

五、作業(yè)：6.4練習(xí)1、2P25習(xí)題6.41

補(bǔ)充：1.解關(guān)于x的不等式：

1°2°

2.不等式的解集為，求（）

3.不等式對(duì)于恒成立，求。的取值伍>4）

4.已知，且324,求p的取值范圍（p

24）

5.已知當(dāng)-IWXWI時(shí)y有正有負(fù)，求a的取值范圍

第十四教時(shí)

教材：高次不等式與分式不等式

目的：要求學(xué)生能熟練地運(yùn)用列表法和標(biāo)根法解分式不等式和高次不等式。

過程：

一、提出課題：分式不等式與高次不等式

二、例一（P22-23）解不等式

略解一（分析法）

或

解二：（列表法）原不等式可化為列表（見P23略）

注意：按根的由小到大排列

解三：（標(biāo)根法）作數(shù)軸；標(biāo)根；畫曲線，定解

小結(jié)：在某一區(qū)間內(nèi)，一個(gè)式子是大于0（還是小于0）取決于這個(gè)式子的

各因式在此區(qū)間內(nèi)的符號(hào)；而區(qū)間的分界線就是各因式的根；上述的列

表法和標(biāo)根法，幾乎可以使用在所有的有理分式與高次不等式，其中最

值得推薦的是“標(biāo)根法”

例二解不等式

解：原不等式化為

???原不等式的解為

例三解不等式

解：?.?恒成立

.?.原不等式等價(jià)于即一1<X<5

例四解不等式

解：原不等式等價(jià)于且

???原不等式的解為

若原題目改為呢？

例五解不等式

解：原不等式等價(jià)于

即：

三、例六解不等式

解：原不等式等價(jià)于

原不等式的解為：

例七人為何值時(shí)，下式恒成立：

解：原不等式可化為：

而

???原不等式等價(jià)于

由得14<3

四、小結(jié)：列表法、標(biāo)根法、分析法

五、作業(yè)：P24練習(xí)P25習(xí)題6.42、3、4

補(bǔ)充:

1.人為何值時(shí)，不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立

2.求不等式的解集

3.解不等式

4.求適合不等式的光的整數(shù)解（x=2）

5.若不等式的解為,求的值

第十五教時(shí)

教材：無理不等式

目的：通過分析典型類型例題，討論它們的解法，要求學(xué)生能正確地解答無理不

等式。

過程：

一、提出課題：無理不等式一關(guān)鍵是把它同解變形為有理不等式組

二、

例一解不等式

解：???根式有意義???必須有：

又有原不等式可化為

兩邊平方得：解之：

例二解不等式

解：原不等式等價(jià)于下列兩個(gè)不等式組得解集的并集:

I：II：

解I：解II：

???原不等式的解集為

四、

例三解不等式

解：原不等式等價(jià)于

特別提醒注意：取等號(hào)的情況

五、例四解不等式

解：要使不等式有意義必須：

原不等式可變形為因?yàn)閮蛇吘鶠榉秦?fù)

即

?.3+1》0，不等式的解為2x+l00即

例五解不等式

解：要使不等式有意義必須：

在0WxW3內(nèi)0WW30WW3

???>3-因?yàn)椴坏仁絻蛇吘鶠榉秦?fù)

兩邊平方得：即“

因?yàn)閮蛇叿秦?fù)，再次平方：解之04<3

綜合得：原不等式的解集為。令<3

例六解不等式

解：定義域x-lZO

原不等式可化為：

兩邊立方并整理得：

在此條件下兩邊再平方，整理得：

解之并聯(lián)系定義域得原不等式的解為

六、小結(jié)

七、作業(yè)：P24練習(xí)1、2、3P25習(xí)題6.45

補(bǔ)充：解下列不等式

1.

2.

3.()s

4.

5.

第十六放時(shí)(機(jī)動(dòng))

教材：指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式

目的：通過復(fù)習(xí)，要求學(xué)生能比較熟練地掌握指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式的解法。

過程：

一、提出課題：指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式

強(qiáng)調(diào)：利用指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式的單調(diào)性解題

因此必須注意它們的“底”及它們的定義域

二、例一解不等式

解：原不等式可化為：???底數(shù)2>1

二整理得：

解之，不等式的解集為{肝3令<2}

例二解不等式

解：原不等式可化為：

即：解之：或

：.x>2或，不等式的解集為｛x|x>2或｝

例三解不等式

解：原不等式等價(jià)于或

解之得：4<xW5

，原不等式的解集為｛x[4<xW5｝

例四解關(guān)于x的不等式：

解：原不等式可化為

當(dāng)a>\時(shí)有

（其實(shí)中間一個(gè)不等式可?。?/p>

當(dāng)0<a<l時(shí)有

當(dāng)。>1時(shí)不等式的解集為；

當(dāng)0<“<1時(shí)不等式的解集為

例五解關(guān)于x的不等式

解：原不等式等價(jià)于

I：或II：

解I：解II：，

當(dāng)a>l時(shí)有0<x<a當(dāng)0<?<1時(shí)有x>a

...原不等式的解集為｛x[O<x<“,a〉l｝或｛犬氏>”,0<a<l｝

例六解不等式

解：兩邊取以。為底的對(duì)數(shù)：

當(dāng)0<。<1時(shí)原不等式化為：

當(dāng)。>1時(shí)原不等式化為：

???原不等式的解集為

或

三、小結(jié)：注意底（單調(diào)性）和定義域s

四、作業(yè)：補(bǔ)充：解下列不等式

1.

（當(dāng)。>1時(shí)當(dāng)0<。<1時(shí)）

2.

（-2<r<l或4<x<7）

3.（-l<x<3）

4.

5.當(dāng)，求不等式：(a<x<1)

6..求證：

7.(-l<r<0)

8.時(shí)解關(guān)于x的不等式

(；；)

第十七教時(shí)

教材：含絕對(duì)值的不等式

目的：要求學(xué)生掌握和、差的絕對(duì)值與絕對(duì)值的和、差的性質(zhì)，并能用來證明有

關(guān)含絕對(duì)值的不等式。

過程：一、復(fù)習(xí)：絕對(duì)值的定義，含有絕對(duì)值的不等式的解法

當(dāng)4>0時(shí)，

二、定理：

證明：???

①

又a=a+b-b\-b\=\b\

由①|(zhì)a|=|—由引w|K8|+|-b|即同-族閆。+加②

綜合①②：

注意：1。左邊可以“加強(qiáng)”同樣成立，即

2°這個(gè)不等式俗稱“三角不等式”一一三角形中兩邊之和大于

第三邊，兩邊之差小于第三邊

3。a力同號(hào)時(shí)右邊取“,a/異號(hào)時(shí)左邊取“=”

推論1：W

推論2：

證明：在定理中以功代。得：

即：

三、應(yīng)用舉例

例一至例三見課本P26-27略

例四設(shè)|加<1求證|a+M+|a-/?|<2

證明：當(dāng)a+b與a-h同號(hào)時(shí)，\a+b\+\a-b\=\a+b+a-b\=2\a\<2

當(dāng)a+b與a-b異號(hào)時(shí)，\a+b\+\a-b\=\a+b-(a-b)\=2\b\<2

：.\a+b\+\a-b\<2

例五已知當(dāng)a幼時(shí)求證：

證一：

證二：(構(gòu)造法)

如圖：

由三角形兩邊之差小于第三邊得：

四、小結(jié)：“三角不等式”

五、作業(yè)：P28練習(xí)和習(xí)題6.5

第十八敖時(shí)

教材：含參數(shù)的不等式的解法

目的：在解含有參數(shù)的不等式時(shí)，要求學(xué)生能根據(jù)參數(shù)的“位置”正確分組討論,

解不等式。

過程：一、課題：含有參數(shù)的不等式的解法

二、例一解關(guān)于x的不等式

解：原不等式等價(jià)于即：

若a>]

若0<?<1

例二解關(guān)于x的不等式

解：原不等式可化為

即：S

當(dāng)m>l時(shí)/.

當(dāng)時(shí).'.xe。

當(dāng)0<加<1時(shí)

當(dāng)"W0時(shí)x<0

例三解關(guān)于x的不等式

解：原不等式等價(jià)于

當(dāng)即時(shí)

當(dāng)即時(shí).?.#-6

當(dāng)即時(shí)xeR

例四解關(guān)于x的不等式

解：當(dāng)即。6(0,)時(shí)，x>2或x<l

當(dāng)即0=時(shí)xe0

當(dāng)即0e(,)時(shí)：.\<x<2

例五滿足的x的集合為A；滿足的X

的集合為81。若AuB求a的取值范圍2。若求a

的取

值范圍3。若ACB為僅含一個(gè)元素的集合，求a的值。

解：A=[l,2]B={x\(x-d)(x-1)=50}

當(dāng)時(shí)B=[a,l]當(dāng)a>\時(shí)B=[l,a]

當(dāng)a>2時(shí)AuB

當(dāng)lWaW2時(shí)A^B

當(dāng)aWl時(shí)ACB僅含一個(gè)元素

例六方程有相異兩實(shí)根，

求。的取值范圍

解：原不等式可化為

令：則

設(shè)又?；a〉0

三、小結(jié)

四、作業(yè)：

1.

2.若

求a的取值范圍(a/1)

3.

4.

5.當(dāng)a在什么范圍內(nèi)方程：有兩個(gè)

不同的負(fù)根

6.若方程的兩根都對(duì)于2,求實(shí)數(shù)機(jī)的范圍

第七章直線和圓的方程

直線的傾斜角和斜率

一、教學(xué)目標(biāo)

(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

知道一次函數(shù)的圖象是直線，了解直線方程的概念，掌握直線的傾斜角和斜率的概念

以及直線的斜率公式.

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過對(duì)研究直線方程的必要性的分析，培養(yǎng)學(xué)生分析、提出問題的能力；通過建立直

線上的點(diǎn)與直線的方程的解的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系、方程和直線的對(duì)應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)轉(zhuǎn)化、

遷移能力.

（三）學(xué)科滲透點(diǎn)

分析問題、提出問題的思維品質(zhì)，事物之間相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義思想.

二、教材分析

1.重點(diǎn)：通過對(duì)一次函數(shù)的研究，學(xué)生對(duì)直線的方程己有所了解，要對(duì)進(jìn)

一步研究直線方程的內(nèi)容進(jìn)行介紹，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)這一部分知識(shí)的興趣；直線

的傾斜角和斜率是反映直線相對(duì)于X軸正方向的傾斜程度的，是研究兩條直線位

置關(guān)系的重要依據(jù)，要正確理解概念；斜率公式要在熟練運(yùn)用上多下功夫.

2.難點(diǎn)：一次函數(shù)與其圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系、直線方程與直線的對(duì)應(yīng)關(guān)系是難

點(diǎn).由于以后還要專門研究曲線與方程，對(duì)這一點(diǎn)只需一般介紹就可以了.

3.疑點(diǎn)：是否有繼續(xù)研究直線方程的必要？

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

啟發(fā)、思考、問答、討論、練習(xí).

四、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)一次函數(shù)及其圖象

己知一次函數(shù)y=2x+l,試判斷點(diǎn)A（1,2）和點(diǎn)B（2,1）是否在函數(shù)圖象上.

初中我們是這樣解答的：

?；A（1,2）的坐標(biāo)滿足函數(shù)式，

.??點(diǎn)A在函數(shù)圖象上.

1）的坐標(biāo)不滿足函數(shù)式，

.?.點(diǎn)B不在函數(shù)圖象上.

現(xiàn)在我們問：這樣解答的理論依據(jù)是什么？（這個(gè)問題是本課的難點(diǎn)，要給足夠

的時(shí)間讓學(xué)生思考、體會(huì).）

討論作答：判斷點(diǎn)A在函數(shù)圖象上的理論依據(jù)是：滿足函數(shù)關(guān)系式的點(diǎn)都在函

數(shù)的圖象上；判斷點(diǎn)B不在函數(shù)圖象上的理論依據(jù)是：函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)

滿