人教A版新教材高中數(shù)學(xué)第二冊第二冊第六章章末復(fù)習(xí)

第六章章末復(fù)習(xí)

『知識(shí)系統(tǒng)整合』

幾何表示

平面向量的概念字母表示

坐標(biāo)表示

平

面

向

量

及

其

應(yīng)

用

余弦定理、

正弦定理

應(yīng)用

已知兩邊及其中一邊的

應(yīng)用舉例對角，求其他邊和角

『規(guī)律方法收藏』

1.本章我們學(xué)習(xí)的向量具有大小和方向兩個(gè)要素.用有向線段表示向量時(shí)，與有向線段的

起點(diǎn)位置沒有關(guān)系，同向且等長的有向線段都表示同一向量.數(shù)學(xué)中的向量指的是自由向量,

根據(jù)需要可以進(jìn)行平移.

2.共線向量條件和平面向量基本定理，揭示了共線向量和平面向量的基本結(jié)構(gòu)，它們是進(jìn)

一步研究向量正交分解和用坐標(biāo)表示向量的基礎(chǔ).

3.向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)，當(dāng)兩個(gè)向量的夾角是銳角或零角時(shí)，它們的數(shù)量積為正數(shù)；當(dāng)

兩個(gè)向量的夾角為鈍角或180。角時(shí)，它們的數(shù)量積為負(fù)數(shù)；當(dāng)兩個(gè)向量的夾角是90。時(shí)，它

們的數(shù)量積等于0.零向量與任何向量的數(shù)量積等于0.

通過向量的數(shù)量積，可以計(jì)算向量的長度(模卜平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離、兩個(gè)向量的夾角，判

斷相應(yīng)的兩條直線是否垂直.

4.平面向量的應(yīng)用中，用平面向量解決平面幾何問題，要注意“三部曲”；用向量解決物理

問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的要求，要根據(jù)題意結(jié)合物理意義作出圖形，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再通

過向量運(yùn)算使問題解決.

5.正、余弦定理將三角形邊和角的關(guān)系進(jìn)行量化，為我們解三角形或求三角形的面積提供

了依據(jù)，而三角形中的問題常與向量、函數(shù)、方程及平面幾何相結(jié)合，通常可以利用正、余

弦定理完成證明，求值問題.

(1)解三角形與向量的交匯問題，可以結(jié)合向量的平行、垂直、夾角、模等知識(shí)轉(zhuǎn)化求解.

(2)解三角形與其他知識(shí)交匯問題，可以運(yùn)用三角形的基礎(chǔ)知識(shí)，正、余弦定理、三角形的

面積公式與三角恒等變換，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化構(gòu)造方程及函數(shù)求解.

6.學(xué)習(xí)本章要注意類比，如向量的運(yùn)算法則及運(yùn)算律可與實(shí)數(shù)相應(yīng)的運(yùn)算法則及運(yùn)算律進(jìn)

行橫向類比.

7.向量是數(shù)形結(jié)合的載體.在本章學(xué)習(xí)中，一方面通過數(shù)形結(jié)合來研究向量的概念和運(yùn)算；

另一方面，我們又以向量為工具，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題和物理的相關(guān)問題.同

時(shí)，向量的坐標(biāo)表示為我們用代數(shù)方法研究幾何問題提供了可能，豐富了我們研究問題的范

圍和手段.

『學(xué)科思想培優(yōu)』

一、向量的線性運(yùn)算

向量的線性運(yùn)算包含向量及其坐標(biāo)運(yùn)算的加法、減法、數(shù)乘，向量的加法遵循三角形法則和

平行四邊形法則，減法可以轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行運(yùn)算，向量的加法滿足交換律、結(jié)合律，數(shù)乘向

量滿足分配律，向量的線性運(yùn)算也叫向量的初等運(yùn)算，它們的運(yùn)算法則在形式上很像實(shí)數(shù)加

減法與乘法滿足的運(yùn)算法則，但在具體含義上是不同的.不過由于它們在形式上相類似，因

此，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等變形手段在向量的線性運(yùn)算中都可以使用.如

果ei,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量。，有且只有一

對實(shí)數(shù)九，九2，使a=%1為+%202.

DC

『典例U如圖，梯形/BCD中，AB//CD,點(diǎn)N分別是8C的中點(diǎn)，且工蘇=總

AD

設(shè)E=ei，Ai=e2,以｛ei，4｝為基底表示向量虎，前,Mk.

『典例2」已知線段的端點(diǎn)為N(x,5),5(-2,y),直線N3上的點(diǎn)C(l,l),且兇丁尸

求x,y的值.

二、向量的數(shù)量積運(yùn)算

向量的數(shù)量積運(yùn)算是本章的核心，由于向量數(shù)量積的運(yùn)算及其性質(zhì)涵蓋向量的長度、角度以

及不等式等，因此它的應(yīng)用也最為廣泛.利用向量的數(shù)量積可以求長度、也可判斷直線與直

線之間的關(guān)系(相交的夾角以及垂直)，還可以通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算將代數(shù)中的有關(guān)函數(shù)、不

等式等知識(shí)融合在一起.

『典例3』在△CM2中，0^=a,0^=b,是邊上的高，若力)=訕則實(shí)數(shù)%

等于

（十一〃）?〃（〃一〃）〃

A.B.

\a-b\|?—6|2

（〃一4）4（〃一』）"

C.D.

|?—6|2\a-b\

『典例4」平面內(nèi)有向量9=(1,7),仍=(5,1),9=(2』)，點(diǎn)M為直線。尸上的一動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)扇?林取最小值時(shí)，求麗勺坐標(biāo);

(2)在(1)的條件下，求cosZAMB的值.

三、向量的應(yīng)用

向量的應(yīng)用是多方面的，但由于我們所學(xué)的知識(shí)范圍較窄，因此我們目前的應(yīng)用主要限于平

面幾何以及用來探討函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)等方面，當(dāng)然還有在物理方面的應(yīng)用.

『典例5』在中，港?就=0,|卷=12,|此|=15,/為線段3C的垂直平分線，I

與8C交于點(diǎn)。，￡為/上異于。的任意一點(diǎn).

⑴求布?費(fèi)的值；

(2)判斷港?國的值是否為一個(gè)常數(shù)，并說明理由.

『典例6』平面向量。=(小，-1),6=@，孚)，若存在不同時(shí)為。的實(shí)數(shù)人和/,使x

=。+仁-3)力，y=~ka+tbf且*_1>,試求函數(shù)關(guān)系式左=人。.

『典例7」已知△ZBC中，4(2,4),5(-1,-2),C(4,3),邊上的高為4D

⑴求證：AB±AC；

⑵求點(diǎn)D和向量T)的坐標(biāo);

(3)設(shè)求cos。；

⑷求證：AD2=BDCD.

『典例8』在△4BC中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知向量朋=(a+c,6)與

向量”=(“一c,a)互相垂直.

⑴求角C；

⑵求siiL4+siiiB的取值范圍.

四、數(shù)形結(jié)合思想

向量本身既有大小，又有方向，可以用幾何法表示，而向量又有良好的運(yùn)算性質(zhì)一坐標(biāo)運(yùn)

算，可把向量與數(shù)聯(lián)系起來，這樣向量具備了“數(shù)"與“形''的兩方面特征.兩條直線平行、垂

直，三點(diǎn)共線等幾何問題，可通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算這種代數(shù)手段實(shí)現(xiàn)證明，還可利用向量的

數(shù)量積處理線段的長度、角度等問題.

『典例9」已知向量。與6不共線，且同=例加，則下列結(jié)論正確的是()

A.向量a+b與a—5垂直

B.向量a—6與a垂直

C.向量與“垂直

D.向量a+b與a—5共線

『典例10』已知向量份=(2,0),向量比=(2,2),向量第=(娘cosa,Musina),則向量次

與

向量份的夾角的取值范圍為()

八兀715兀

A.B.

°,4A912.

5兀71兀5兀

,D.

C.122_12'12.

『典例11」如圖，A,8是海面上位于東西方向相距5（3+?。┖＠锏膬蓚€(gè)觀測點(diǎn).現(xiàn)位于

A點(diǎn)北偏東45°,B點(diǎn)北偏西60。的。點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點(diǎn)南偏西60。且與

B點(diǎn)相距2M海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船

到達(dá)。點(diǎn)需要多長時(shí)間？

★參*考*答*案★

『學(xué)科思想培優(yōu)』

一、向量的線性運(yùn)算

「典例1」

解?:就=02,且2^=匕.??力=笈2.

AD

'：Ai+Bt+cb+Dk=Q,

:.BC=一一ct)一DA=一A^-\-DC-\-At)=ei-\-(k-1)名.

又：痰+肪+或+m=0,

且肪=T虎,At4—^At),

：.Mk=一晶一/一曲=-9t）+成+顯=斗工2,

「典例2」

解由磔3|=2內(nèi)'?|,可得

-

又^^=(1一乂1-5),2JB?=2(l+2,l-j；)=(6,2-2y),

11%=6,x=—5,

①當(dāng)/?=2分？時(shí)，有解得-

—4=2—2》,)=3.

1—x——6,x=7,

②當(dāng)，^=一2庭時(shí)，有—4=—2+2》,解得

尸一L

x=~5x=7,

由①②可知或

了=3尸一L

二、向量的數(shù)量積運(yùn)算

「典例3」

『解析」?：疝=派,???歷一次=2（仍一次），仍=丸彷+（1一丸）次=勸+（1—0”,

又用是A8邊上的高，：.obAi=0,即祖?（份—次）=0,『（1—以+勸』。―"）=0.

整理可得2（〃一力）2=（。-bya,即.

『答案』B

「典例4J

解⑴設(shè)血=（x,＞）,?.?點(diǎn)朋■在直線O尸上,

向量成與海共線，又改=(2,1).

???尤x]—y*2=0,即x=2y,；?=(2y,y).

又就=次一成，次=(1,7),.?.就=(1-2弘7一了).

同理誦=仍一血=(5_2y,1_了).

于是就?林=(l_2y)(5_2y)+(7-y)(l-y)=5y2_20y+12.

2Q

可知當(dāng)>=再=2時(shí)，就?就有最小值一8,此時(shí)而=(4,2).

(2)當(dāng)況f=(4,2),即y=2時(shí)，

有癥=(一3,5),磁=(1,一1),麗尸用，麗尸卷

3)xl+5x(—1)=—8.

,,扁硒-84V17

cosNAMB=r-i———irn.

加I麗I取他17

三、向量的應(yīng)用

『典例5J

解⑴：益?就=0,：.AB±AC.

又|港|=12,|比|=15,二冠|=9.

由已知可得歷=；(港+就)，&=戲一公,

.,.歷.國■(京+(力—=g(Z§2—^2)=/[44—81)=與

(2)命?屈的值為一個(gè)常數(shù).

理由：為線段BC的垂直平分線，/與BC交于點(diǎn)。，E為/上異于。的任意一點(diǎn),

：.Dici=0,故港?厘=誕+曲國=4)?屈+應(yīng)?費(fèi)=乃曰=晝.

r典例6j

解由a=(S，—1),Z>=Q,當(dāng)?shù)?/p>

a?方=0,|M=2,網(wǎng)=1,

由x_Ly,得X?尸『〃+(?—3)〃』?(一左〃+仍)=0,

即一ka2-\-tab—k(t2—3)〃必+，仁—3)62—0,

—4k+t3—,3t=0,左=；(戶一3。，

即左=/⑺，

『典例7J

解⑴證明:港=(-1,-2)-(2,4)=(-3,-6),

次=(4,3)—(2,4)=(2,-1).

?.,成前=-3x2+(—6)x(-1)=0,：.AB±AC.

(2)設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則助＞=(x—2,y—4),此=(5,5).

?：AD±BC,.,.Z5-JBt=5(x-2)+5(y-4)=0.?

又筋=(無+1,y+2),而炭)與此共線，

.,.5(x+l)-5(y+2)=0,②

聯(lián)立①②解得x=T，y=|.故。點(diǎn)坐標(biāo)為&|).

二勸WB1-4)=(1,一!).

血錠3義5+6乂53#5

⑶局法至2+阪小+52—10-

(4)證明：?.?歷=仔—|),筋=(|,|),虎=&

???I初2=|,的="圖+卷=畢,或=y(￡)2+(A當(dāng)

A\At)\^=\Bb[\Db\,即力O2=80.CD

『典例8」

解(1)由已知可得，(Q+C)(Q—c)+b(b—〃)=0=/+62—c2=qb,

222

「a+b~c1廿…「7i

cos、2ab=5所以

(2)由。=$得4+5=半，

..D..Q兀八..2兀/27r.

SIIL4十sinn=SIIL4十ZI=SIIL4十sin-ycos^—cos-ysinn

,八，2兀兀一兀5兀1

由，<-<sin

0<Zv-377o<^4+7oFo=>2o

所以siiL4+sin5的取值范圍是4].

四、數(shù)形結(jié)合思想

『典例9」

『解析』如圖所示，作流=。，Ot=b,以。/和0c為鄰邊作口04BC.

由于同=步快0,則四邊形CM8C是菱形.所以必有NCLO8.

又因?yàn)椤?分=仍，a~b=ck,所以(a+8)_L(a—6).

『答案』A

『典例10』

『解析』如圖，向量成的終點(diǎn)N在以點(diǎn)C(2,2)為圓心、半徑為吸的圓上,

OAI,O/2是圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為4,A2.

在Rtz\OC4中，|能=2吸，河1|=