函數(shù)專題簡單函數(shù)值域的求法（6大題型）

簡單函數(shù)值域的求法一、函數(shù)的最大（?。┲?、最大值：對于函數(shù)y＝f(x)，其定義域?yàn)镈，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得對于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我們稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值，即當(dāng)x＝x0時(shí)，f(x0)是函數(shù)y＝f(x)的最大值，記作ymax＝f(x0)．2、最小值：對于函數(shù)y＝f(x)，其定義域?yàn)镈，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得對于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我們稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值，即當(dāng)x＝x0時(shí)，f(x0)是函數(shù)y＝f(x)的最小值，記作ymin＝f(x0)．3、幾何意義：函數(shù)最大值對應(yīng)圖象中的最高點(diǎn)，最小值對應(yīng)圖象中的最低點(diǎn)，它們不一定只有一個(gè)．二、求函數(shù)值域的6種常用求法1、單調(diào)性法：如果一個(gè)函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則由定義域結(jié)合單調(diào)性可快速求出函數(shù)的最值(值域)．（1）若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．（2）若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，則ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．（3）若函數(shù)y＝f(x)有多個(gè)單調(diào)區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再從各區(qū)間的最值中決定出最大(小)值．函數(shù)的最大(小)值是整個(gè)值域范圍內(nèi)的最大(小)值．2、圖象法：作出函數(shù)的圖象，通過觀察曲線所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域，以下函數(shù)常會(huì)考慮進(jìn)行數(shù)形結(jié)合．（1）分段函數(shù)：盡管分段函數(shù)可以通過求出每段解析式的范圍再取并集的方式解得值域，但對于一些便于作圖的分段函數(shù)，數(shù)形結(jié)合也可很方便的計(jì)算值域．（2）的函數(shù)值為多個(gè)函數(shù)中函數(shù)值的最大值或最小值，此時(shí)需將多個(gè)函數(shù)作于同一坐標(biāo)系中，然后確定靠下(或靠上)的部分為該函數(shù)的圖象，從而利用圖象求得函數(shù)的值域．3、配方法：主要用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的函數(shù)，要特別注意自變量的取值范圍.4、換元法：換元法是將函數(shù)解析式中關(guān)于x的部分表達(dá)式視為一個(gè)整體，并用新元t代替，將解析式化歸為熟悉的函數(shù)，進(jìn)而解出最值(值域)．（1）在換元的過程中，因?yàn)樽詈笫且眯略鉀Q值域，所以一旦換元，后面緊跟新元的取值范圍．（2）換元的作用有兩個(gè)：①通過換元可將函數(shù)解析式簡化，例如當(dāng)解析式中含有根式時(shí)，通過將根式視為一個(gè)整體，換元后即可“消滅”根式，達(dá)到簡化解析式的目的．②可將不熟悉的函數(shù)轉(zhuǎn)化為會(huì)求值域的函數(shù)進(jìn)行處理5、分離常數(shù)法：主要用于含有一次的分式函數(shù)，形如或（，至少有一個(gè)不為零）的函數(shù)，求其值域可用此法以為例，解題步驟如下：第一步，用分子配湊出分母的形式，將函數(shù)變形成的形式，第二步，求出函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的值域，進(jìn)而求出的值域。6、判別式法：主要用于含有二次的分式函數(shù)，形如：將函數(shù)式化成關(guān)于x的方程，且方程有解，用根的判別式求出參數(shù)y的取值范圍，即得函數(shù)的值域。應(yīng)用判別式法時(shí)必須考慮原函數(shù)的定義域，并且注意變形過程中的等價(jià)性。另外，此種形式還可使用分離常數(shù)法解法。題型一單調(diào)性求函數(shù)的值域【例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上的最小值為，最大值為.【答案】【解析】由函數(shù)，可得函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，.故答案為：；.【變式11】（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最大值與最小值分別是（）A．B．2，5C．1，2D．【答案】A【解析】∵y＝x2+1在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且y＞1，∴在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最大值與最小值分別是f（1），f（2），故選：A．【變式12】（2022秋·北京海淀·高一?？计谥校┖瘮?shù)的值域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，又，故，故的值域?yàn)?故選：C.【變式13】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥恳驗(yàn)?，所以，所以此函?shù)的定義域?yàn)椋忠驗(yàn)槭菧p函數(shù)，當(dāng)當(dāng)所以值域?yàn)椤咀兪?4】（2023秋·湖北武漢·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最小值為.【答案】【解析】因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.題型二圖象法求函數(shù)的值域【例2】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)f（x）在[－2，2]上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是（）A．－1，0B．0，2C．－1，2D．，2【答案】C【解析】根據(jù)圖象觀察知，故選：【變式21】（2023·高一單元測試）用分段函數(shù)表示，并作出其圖象，指出函數(shù)的定義域與值域．【答案】圖象見解析，定義域?yàn)?，值域?yàn)椋窘馕觥浚瑘D象如圖所示，函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋咀兪?2】（2023秋·湖南婁底·高一統(tǒng)考期末）給定函數(shù)，用表示中的較大者，記為，例如當(dāng)時(shí)，，則的最小值為（）A．B．0C．1D．4【答案】B【解析】令，可得，即，解得；令，可得，即，解得或.所以.作出的圖象如圖所示：由圖象可得的最小值為0.故選:B.【變式23】（2023·全國·高一專題練習(xí)）規(guī)定表示取、中的較大者，例如，，則函數(shù)的最小值為.【答案】【解析】在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出與的圖象如圖，兩個(gè)函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)A，B，C，D．由圖可知，B為函數(shù)圖象的最低點(diǎn)，聯(lián)立方程組，解得或（舍去），所以的最小值為．故答案為：．【變式24】（2022秋·黑龍江哈爾濱·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，其中表示不超過的最大整數(shù)，例，．則函數(shù)的值域是．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上;圖象如圖所示:函數(shù)的值域是.題型三配方法求函數(shù)的值域【例3】函數(shù)的值域是【答案】【解析】因?yàn)?，故的值域?yàn)?【變式31】（2022秋·湖北鄂州·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)的值域是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，所以.故選：A.【變式32】（2023秋·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的取值范圍（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，.故選：B【變式33】（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·高三蘆溪中學(xué)校考開學(xué)考試）函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【解析】由題得且.因?yàn)?且.所以原函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：題型四換元法求函數(shù)的值域【例4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢．[0,1）B．C．D．【答案】D【解析】令，則，可得，且開口向上，對稱軸為，可得在上單調(diào)遞增，可知當(dāng)時(shí)，取到最小值2，所以的值域?yàn)?，即函?shù)的值域?yàn)?故選：D.【變式41】（2023秋·四川內(nèi)江·高一校考開學(xué)考試）函數(shù)的最大值為（）A．8B．C．2D．4【答案】A【解析】設(shè)，則，即，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為.故選：A【變式42】求函數(shù)的值域【答案】【答案】令，則，當(dāng)時(shí)，取到最大值5，無最小值，故的值域?yàn)?【變式43】（2021秋·河南濮陽·高一濮陽一高校考期中）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】C【解析】，則，令，則，則轉(zhuǎn)化為，開口向下，對稱軸為，所以的最大值為，最小值為，所以的值域?yàn)?故選：C題型五分離常數(shù)法求函數(shù)的值域【例5】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）若，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】A【解析】，因?yàn)椋?，所以，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?故選：A.【變式51】（2023秋·河南南陽·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)?【答案】,,【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?,∵；又，；函數(shù)的值域?yàn)?,.故答案為：,,.【變式52】（2023秋·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若集合的值域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】B【解析】由可得，由于函數(shù)，所以，故，故選：B【變式53】（2023秋·浙江寧波·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在上的值域是.【答案】【解析】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，，則，所以，當(dāng)時(shí)，，則，所以，綜上所述，函數(shù)在上的值域是.故答案為：【變式54】（2022秋·遼寧·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是.【答案】【解析】因?yàn)?，因?yàn)?，所以，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以，因?yàn)?，所以，則函數(shù)的值域?yàn)?題型六判別式法求函數(shù)的值域【例6】（2022·高一單元測試）求函數(shù)的值域【答案】【解析】將函數(shù)化為①時(shí)，方程不成立；②時(shí)，由得，解得：綜上：所以函數(shù)的值域?yàn)?【變式61】（2022秋·浙江衢州·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的值域是．【答案】【解析】由題知函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，將整理得，所以，?dāng)時(shí)，