1.3空間向量及其運算的坐標(biāo)表示練習(xí)高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

1.3空間向量及其運算的坐標(biāo)表示一、必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點二]已知向量a=(3,5,1),b=(2,2,3),則向量2a3b的坐標(biāo)為()A.(0,4,11) B.(12,16,7)C.(0,16,7) D.(12,16,7)2.[探究點一、二](多選題)已知四邊形ABCD的頂點分別是A(3,1,2),B(1,2,1),C(1,1,3),D(3,5,3),那么以下說法中正確的是()A.AB=(2,3,3)B.CD=(4,6,6)C.線段AC的中點坐標(biāo)為(2,0,1)D.四邊形ABCD是一個梯形3.[探究點四]已知點A(2,5,1),B(2,2,4),C(1,4,1),則向量AB與AC的夾角為(A.30° B.45° C.60° D.90°4.[探究點三][2024浙江臺州期末]若向量a=(1,1,2),b=(2,x,y),且a∥b,則|b|=()A.2 B.22 C.6 D.265.[探究點三][2024四川威遠校級期末]已知向量a=(1,1,0),b=(1,0,2),且ka+b與a2b互相垂直,則k=()A.114 B.18 C.356.[探究點三]如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是BC1,CD1的中點,則下列說法錯誤的是()A.MN與CC1垂直 B.MN與AC垂直C.MN與BD平行 D.MN與A1B1平行7.[探究點一][2024安徽高二課時練習(xí)]已知{i,j,k}是空間的一個單位正交基底,向量b=5i+2k用坐標(biāo)形式可表示為.

8.[探究點二]已知向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=2,則實數(shù)x=.9.[探究點三][2024黑龍江建華校級期末]已知空間三點A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4),設(shè)a=AB,b=AC.(1)若|c|=3,c∥BC,求c;(2)若ka+b與ka2b互相垂直,求實數(shù)k.10.[探究點四]已知空間向量a=(2,4,2),b=(1,0,2),c=(x,2,1).(1)若a∥c,求|c|;(2)若b⊥c,求cos<a,c>的值.二、關(guān)鍵能力提升練11.已知空間向量OA=(x,y,8),OB=(z,3,4),OA∥OB,且|AB|=52,則實數(shù)z的值為(A.5 B.5C.5或5 D.10或1012.[2024北京豐臺高二期末]在空間直角坐標(biāo)系中,已知三點O(0,0,0),A(1,2,1),B(1,1,0),若點C在平面OAB內(nèi),則點C的坐標(biāo)可能是()A.(1,1,3) B.(3,0,1)C.(1,1,2) D.(1,1,2)13.[2024江蘇高二校聯(lián)考]若向量a=(1,λ,1),b=(2,1,2),且向量a與b夾角的余弦值為26,則λ=(A.2 B.2C.2或2 D14.已知動點P在正方體ABCDA1B1C1D1的體對角線BD1(不含端點)上.設(shè)D1PD∠APC為鈍角,則實數(shù)λ的取值范圍為()A.(0,13) B.(0,12) C.(13,1) D.(15.[2024江蘇徐州高二統(tǒng)考期末]已知A(1,1,0),B(0,3,0),C(2,2,2),則向量AB在AC上的投影向量的坐標(biāo)是16.在空間直角坐標(biāo)系中,A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),點Q在直線OP上運動,則當(dāng)QA·QB取得最小值時,|OQ|=17.已知空間三點A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5).(1)求以AB和AC為鄰邊的平行四邊形的面積;(2)若|a|=3,且a分別與AB,AC垂直,求向量a18.[北師大版教材習(xí)題]已知A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4),設(shè)a=AB,b=AC.(1)設(shè)|c|=3,c∥BC,求c的坐標(biāo);(2)求a與b的夾角;(3)若ka+b與ka2b互相垂直,求實數(shù)k的值.三、學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練19.在通用技術(shù)課上,老師給同學(xué)們提供了一個如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型PABCD,并要求同學(xué)們將該四棱錐切割成三個小四棱錐.某小組經(jīng)討論后給出如下方案:第一步,過點A作一個平面分別交PB,PC,PD于點E,F,G,得到四棱錐PAEFG;第二步,將剩下的幾何體沿平面ACF切開,得到另外兩個小四棱錐.在實施第一步的過程中,為方便切割,需先在模型表面畫出截面四邊形AEFG,若PEPB=35,PF答案1.A∵a=(3,5,1),b=(2,2,3),∴2a3b=(6,10,2)(6,6,9)=(0,4,11).故選A.2.AD∵A(3,1,2),B(1,2,1),C(1,1,3),D(3,5,3),∴AB=(2,3,3),CD=(4,6,6),故A正確,B錯誤;線段AC的中點坐標(biāo)為(1,0,12)CD=2AB,故AB和CD共線,即AB∥AD=(0,4,1),BC=(2,1,2),AD與BC不共線,即AD與BC不平行,故四邊形ABCD為梯形.3.C由已知得AB=(0,3,3),AC=(1,1,0),因此cos<AB,AC>=所以向量AB與AC4.D因為a=(1,1,2),b=(2,x,y),且a∥b,則21=x1=y2,解得所以|b|=22+22+45.D由題可得,ka+b=(k+1,k,2),a2b=(3,1,4).∵ka+b與a2b垂直,∴(ka+b)·(a2b)=3(k+1)+k8=0,解得k=114.故選D6.D設(shè)正方體的棱長為1,如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),M(12,1,12),N(0,1∴MN=(12,12,0),CAC=(1,1,0),BD=(1,1,0),A1B1=(0,1,0).∴MN⊥CC1,故A正確;MN·AC=12-1易知BD=2MN,且M,N?BD,∴MN∥BD,故C正確;設(shè)MN=λA1B1,得-12=0×λ,-故選D.7.(5,0,2)因為{i,j,k}是空間的一個單位正交基底,則b=5i+2k=5i+0j+2k=(5,0,2).8.8由已知得c+a=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以4+8+2(x+1)=2,解得x=8.9.解(1)由題可得,BC=(2,1,2).∵|c|=3,且c∥BC,則c=(2x,x,2x),∴|c|2=4x2+x2+4x2=9x2=9,解得x=±1,∴c=(2,1,2)或c=(2,1,2).(2)由題可得,a=AB=(1,1,0),b=AC=(1,0,2),若ka+b與ka2b互相垂直,則(ka+b)·(ka2b)=0,∴k2a2ka·b2b2=0,即k2·(12+12+02)k·(1+0+0)2·[(1)2+02+22]=0,化簡得2k2+k10=0,解得k=52或k=210.解(1)空間向量a=(2,4,2),b=(1,0,2),c=(x,2,1),因為a∥c,所以存在實數(shù)k,使得c=ka,所以x=2k,2=4k,-1=(2)因為b⊥c,則b·c=x+02=0,解得x=2,所以c=(2,2,1),故cos<a,c>=a·11.C因為OA∥OB,所以存在λ∈R,使得OA=λ又|AB|=52,而AB=OB-OA=(zx則x解得x=10,12.B由題可得,OA=(1,2,1),OB=(1,1,0),則向量OA,OB不根據(jù)向量基本定理,可得OC=λOA+μOB=(λ+μ,2λμ,λ),故C點坐標(biāo)為(λ+μ,2λμ,λ),經(jīng)驗證,B選項符合條件,此時λ=1,μ=2.故選B.13.A因為a=(1,λ,1),b=(2,1,2),所以a·b=2λ2=λ,|a|=2+λ2,|b|=4+1+4=又a與b夾角的余弦值為26,a·b=|a||b|cos<a,b>所以λ=2+λ2×3×26,解得λ2因為λ>0,即λ<0,所以λ=2.故選A.14.C由題設(shè),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,則有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),∴D1B=(1,1,1),則D1P=(λ,∴PA=PD1+D1A=(λ,λ,λ)+(1,0,1)PC=PD1+D1C=(λ,λ,λ)+(0,1,1)=∵∠APC為鈍角,則cos∠APC<0,∴PA·PC∴(1λ)(λ)+(λ)(1λ)+(λ1)2=(λ1)(3λ1)<0,解得13<λ<1,∴λ的取值范圍是(13,1).15.16,16,13所以AB=(1,2,0),AC=(1,1,2),所以|AB|=(-1|AC|=12+12+22=6,AB·AC=(所以向量AB在AC上的投影向量是|AB|·所以向量AB在AC上的投影向量的坐標(biāo)是16.463因為點Q在直線OP上運動,OP=(1,1,2),所以設(shè)Q(t,t,2則QA·QB=(1t,2t,32t)·(2t,1t,22t)=(1t)(2t)+(2t)(1t)+(32t)(22t)=6t216所以當(dāng)t=162×6=43時,QA·QB取得最小值,此時Q417.解(1)由題中條件可知,AB=(2,1,3),AC=(1,3,2),所以cos<AB,AC>=于是sin<AB,AC>=故以AB和AC為鄰邊的平行四邊形的面積為S=|AB||AC|sin<AB,AC>=14×32=(2)設(shè)a=(x,y,z),由題意得x解得x故a=(1,1,1)或a=(1,1,1).18.解(1)BC=(3,0,4)(1,1,2)=(2,1,2),c=λ(2,1,2)=(2λ,λ,2λ).所以|c|=4λ2+λ2+4λ2=所以c=(2,1,2)或c=(2,1,2).(2)a=AB=(1,1,2)(2,0,2)=(1,1,0),b=AC=(3,0,4)(2,0,2)=(1,0,2),a·b=1×(1)+1×0+0×2=1,|a|=12+12+02=2,|b|=(-1)因為<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=πarccos1010(3)由(ka+b)⊥(ka2b)得(ka+b)·(ka2b)=0,所以k2a22ka·b+ka·b2b2=0,所以2k2k·(1)2×5=0,所以2k2+k10=0,所以k=2或k=5219.34建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)P(0,0,b),A(a,0,0),B(0,a,0)