山東省濟(jì)南市商河縣2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市商河縣八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列各式：①x+3≠0；②-3<0，③3m=5，④a2+2ab+b2，A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2.下列生活現(xiàn)象中，屬于平移的是(

)A.鐘擺的擺動 B.拉開抽屜

C.足球在草地上滾動 D.投影片的文字經(jīng)投影轉(zhuǎn)換到屏幕上3.下列命題與它的逆命題均為真命題的是(

)A.內(nèi)錯角相等 B.對頂角相等

C.如果ab=0，那么a=0 D.互為相反數(shù)的兩個數(shù)和為04.下列由左到右的變形，屬于因式分解的是(

)A.(x+2)(x-2)=x2-4 B.x2-4=(x+2)(x-2)

5.某品牌自行車進(jìn)價為每輛800元，標(biāo)價為每輛1200元.店慶期間，商場為了答謝顧客，進(jìn)行打折促銷活動，但是要保證利潤率不低于5%，則最多可打折．(

)A.六 B.七 C.八 D.九6.如圖，將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)80°，得到△OCD.若∠A=2∠D=100°，則∠α的度數(shù)是

(

)

A.50° B.60° C.40° D.30°7.若關(guān)于x的不等式組a-2<xx+12≤1無解，則a的取值范圍是A.a≥3 B.a≤3 C.a>3 D.a<38.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分線交BC于點D.若BD=6，則AC的長為(

)A.3

B.4

C.5

D.69.如圖，三條公路兩兩相交，現(xiàn)計劃修建一個油庫，要求油庫到這三條公路的距離都相等，則滿足條件的油庫位置有個．(

)

A.1 B.2 C.3 D.410.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，把一個點從原點開始向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到點A1(1,1)；把點A1向上平移2個單位，再向左平移2個單位，得到點A2(-1,3)；把點A2向下平移3個單位，再向左平移3個單位，得到點A3(-4,0)；把點A3向下平移4個單位，再向右平移4個單位，得到點A.(-2024,0) B.(-2022,0) C.(0,-2024) D.(0,-2022)二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11.命題“若a>0，b>0，則a+b>0”這個命題是______命題(填“真”或“假”)．12.如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△CDE，點D恰好落在AB邊上，且∠B=70°，則∠ECA=______．

13.如圖，一艘船從A處向北偏西30°的方向行駛5海里到B處，再從B處向正東方向行駛8海里到C處，此時這艘船與出發(fā)點A處相距______海里．

14.直線y=k2x和y=k1x+b如圖所示，則關(guān)于x

15.用反證法證明，“在△ABC中，∠A、∠B對邊是a、b，若∠A>∠B，則a>b.”第一步應(yīng)假設(shè)______．16.對m、n定義一種新運(yùn)算“*”規(guī)定：m*n=am-bn+5(a、b均為非零常數(shù))，等式右邊的運(yùn)算是通常的四則運(yùn)算，例如3*4=3a-4b+5.已知2*3=1，3*(-1)=10.則關(guān)于x的不等式x*(2x-3)<9的最小整數(shù)解為______．三、解答題：本題共10小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題6分)

分解因式：

(1)16-b2；

(2)3ax18.(本小題6分)

解不等式組：x-3(x-2)>42x-13≤19.(本小題6分)

如圖，已知在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分線，且BD=BE，∠A=100°，試求∠DEC的度數(shù)．20.(本小題8分)

如圖，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AC于P點．

(1)若∠A=35°，求∠BPC的度數(shù)

(2)若AB=5cm，BC=3cm，求△PBC的周長．21.(本小題8分)

如圖所示的正方形網(wǎng)格中(每個小正方形的邊長是1，小正方形頂點叫作格點)，△ABC的頂點均在格點上，且A(1,0)，B(2,-2)，C(4,-1)，請在所給平面直角坐標(biāo)系中按要求畫圖和解答下列問題：

(1)△ABC的面積為______．

(2)作△A1B1C1，使它與△ABC關(guān)于坐標(biāo)原點O成中心對稱．

(3)在x軸上作一點22.(本小題8分)

認(rèn)真閱讀以下分解因式的過程，再回答所提出的問題：1+x+x(1+x)+x(1+x)2

=(1+x)[1+x+x(1+x)]

=(1+x)[(1+x)(1+x)]

=(1+x)3

(1)上述分解因式的方法是______；

(2)分解因式：23.(本小題10分)

小白同學(xué)想利用中考后的暑假時間，體驗一下社會實踐活動.他發(fā)現(xiàn)路邊賣的腌制青芒果生意特別火爆，于是他開始做準(zhǔn)備工作.先上網(wǎng)查閱資料，了解腌制青芒果的制作工序，需要的原材料有青芒果、鹽、白糖.他去市場打聽到了青芒果一斤4元，白糖一斤6元.小白媽媽說鹽家里有好多，鹽就由她贊助給小白.在制作過程中，他發(fā)現(xiàn)一斤青芒果削皮去核后，青芒果肉只剩下半斤.用少許鹽腌制后，清洗干凈再用白糖腌制.一斤白糖可以腌制三斤青芒果肉.小白覺得在制作過程中挺費(fèi)勁的，而且在實際售賣過程中，只能撈出芒果肉售賣.他想利潤率不低于50%，請你幫他計算一下，售價至少定為多少元？24.(本小題10分)

如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，△ABC是等邊三角形.線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接AE，DE．

(1)求證：∠CBD=∠CAE；

(2)若∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求DE的長．25.(本小題12分)

觀察下列等式：

第一個等式：22-21=4-2=2=21；

第二個等式：23-22=8-4=4=22；

第三個等式：24-23=16-8=8=26.(本小題12分)

【問題提出】如圖1，四邊形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四邊形ABCD的面積．

【嘗試解決】

旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時，往往可以通過旋轉(zhuǎn)來解決問題．

(1)如圖2，連接BD，由于AD=CD，可將△DCB繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△DAB'，則△BDB'的形狀是______；

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，求四邊形ABCD的面積．

[類比應(yīng)用](3)如圖3，四邊形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC=2，求四邊形ABCD的面積．

答案和解析1.C

解析：解：不等式有x+3≠0，-3<0，3a+2b<0，共3個，

故選：C．

根據(jù)不等式的定義逐個判斷即可．

本題考查了不等式的定義，能熟記不等式的定義是解此題的關(guān)鍵，用不等號表示大小關(guān)系的式子，叫不等式，不等號有：<，>，≤，≥，≠．2.B

解析：解：A.鐘擺的擺動是旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，不屬于平移，故本選項錯誤；

B.拉開抽屜符合平移的定義，屬于平移，故本選項正確；

C.足球在草地上滾動方向變化，不符合平移的定義，不屬于平移，故本選項錯誤；

D.投影片的文字經(jīng)投影轉(zhuǎn)換到屏幕上，屬于縮放，不符合平移的定義，不屬于平移，故本選項錯誤．

故選：B．

根據(jù)平移的定義，對選項進(jìn)行一一分析，排除錯誤答案．

本題考查了圖形的平移，圖形的平移只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀、大小和方向，學(xué)生易混淆圖形的平移與旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)，而選擇錯誤．注意平移是圖形整體沿某一直線方向移動．3.D

解析：解：A、內(nèi)錯角相等，是假命題，故本選項不符合題意；

B、對頂角相等，是真命題，

它的逆命題是：相等的角是對頂角，是假命題，故本選項不符合題意；

C、如果ab=0，那么a=0，是假命題，故本選項不符合題意；

D、互為相反數(shù)的兩個數(shù)和為0，是真命題，

它的逆命題是：和為0的兩個數(shù)化為相反數(shù)，是真命題，故本選項符合題意．

故選：D．

首先判斷原命題的真假，寫出原命題是真命題的逆命題，再進(jìn)行判斷即可．

本題考查的是命題的真假判斷、逆命題的概念，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．4.B

解析：解：A、是整式的乘法，故A錯誤；

B、把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故B正確；

C、沒把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故C錯誤；

D、沒把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故D錯誤；

故選：B．

根據(jù)因式分解的定義，可得答案．

本題考查了因式分解的定義，因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式．5.B

解析：解：設(shè)該自行車能打x折，

由題意得1200×x10-800≥800×5%，

解得：x≥7，即最多可打7折．

故選：B．

設(shè)該自行車能打x折，則根據(jù)利潤率不低于6.A

解析：【分析】

本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角是解決本題的關(guān)鍵．

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得知∠A=∠C，∠AOC為旋轉(zhuǎn)角等于80°，則可以利用三角形內(nèi)角和度數(shù)為180°列出式子進(jìn)行求解．

【解答】

解：∵將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)80°，

∴∠A=∠C，∠AOC=80°，

∴∠DOC=80°-α，

∵∠A=2∠D=100°，

∴∠D=50°，

∵∠C+∠D+∠DOC=180°，

∴100°+50°+80°-α=180°，解得α=50°，

故選：A．7.A

解析：解：解關(guān)于x的不等式組a-2<x①x+12≤1②，

由①得：x>a-2，

由②得：x≤1，

∵不等式無解，

∴a-2≥1，

∴a≥3．

故選：A8.A

解析：解：∵AB的垂直平分線交BC于點D，

∴DA=DB=6，

∴∠DAB=∠B=15°，

∴∠ADC=∠B+∠DAB=30°，

∵∠C=90°，

∴AC=12DA=3．

∴故選：A．

由線段垂直平分線的性質(zhì)推出DA=DB=6，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAB=∠B=15°，由三角形外角的性質(zhì)得到∠ADC=∠B+∠DAB=30°，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)推出AC=12DA=3．

本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是由線段垂直平分線的性質(zhì)推出9.D

解析：解：∵三條公路兩兩相交，要求油庫到這三條公路的距離都相等，

∴油庫在角平分線的交點處，畫出油庫位置如圖所示．

故選D．

根據(jù)角平分的性質(zhì)，即可得出油庫的位置在角平分線的交點處，依此畫出圖形，由此即可得出結(jié)論．

本題考查了角平分線的性質(zhì)，依照題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問題是解題的關(guān)鍵．10.A

解析：解：∵把一個點從原點開始向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到點A1(1,1)；

把點A1向上平移2個單位，再向左平移2個單位，得到點A2(-1,3)；

把點A2向下平移3個單位，再向左平移3個單位，得到點A3(-4,0)；

把點A3向下平移4個單位，再向右平移4個單位，得到點A4(0,-4)，

∴第n次變換時，相當(dāng)于把點的坐標(biāo)向右或向左平移n個單位長度，再向右或向上平移n個單位長度得到下一個點，

∵O到A1是向右平移1個單位長度，向上平移1個單位長度，A1到A2是向左2個單位長度，向上平移2個單位長度，A2到A3是向左平移3個單位長度，向下平移3個單位長度，A3到A4是向右平移4個單位長度，向下平移4個單位長度，A4到A5是向右平移5個單位長度，向上平移5個單位長度，

∴可以看作每四次坐標(biāo)變換為一個循環(huán)，

∴點A4n的坐標(biāo)為(0,-4n)，

∵2023=4×505+3，

∴點A2024的坐標(biāo)為11.真

解析：【分析】

本題考查命題，根據(jù)兩個正數(shù)的和依然為正數(shù)可判斷命題為真命題．

【解答】

解：若a>0，b>0，則a+b>0”，這個命題是真命題．12.40°

解析：解：由旋轉(zhuǎn)得：∠DCB=∠ECA，CD=CB，

∴∠B=∠CDB=70°，

∴∠DCB=180°-∠B-∠CDB=40°，

∴∠DCB=∠ECA=40°，

故答案為：40°．

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠DCB=∠ACE，CD=CB，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠CDB=70°，從而利用三角形內(nèi)角和定理可得∠DCB=40°，即可解答．

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解題的關(guān)鍵．13.7

解析：解：如圖：

∵BC⊥AE，

∴∠AEB=90°，

∵∠EAB=30°，AB=5海里，

∴BE=52海里，AE=532海里，

∴CE=BC-BE=8-52=112(海里)，

∴AC=CE2+AE2=14.x<1

解析：解：直線y=k2x和y=k1x+b的交點坐標(biāo)為(-1,-2)，

根據(jù)圖像，k2x<k1x+b的解集為x<-1，

∵直線y=k2(x-2)和y=k1(x-2)+b是直線y=k2x和y=k115.a≤b

解析：解：用反證法證明，“在△ABC中，∠A、∠B對邊是a、b，若∠A>∠B，則a>b.”

第一步應(yīng)假設(shè)a≤b，

故答案為：a≤b．

反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．

本題考查的是反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．16.1

解析：解：∵2*3=1，3*(-1)=10，

∴2a-3b=-43a+b=5，

解得a=1b=2，

∵x*(2x-3)<9，

∴ax-b(2x-3)+5=-3x+11<9，

解得x>23，

∴關(guān)于x的不等式x*(2x-3)<9的最小整數(shù)解為1．

故答案為：1．

已知等式利用題中的新定義化簡，計算即可求出a與b的值，即可由x*(2x-3)<9，得出ax-b(2x-3)+5=-3x+11<9，解得x>23，從而得出關(guān)于17.解：(1)原式=(4+b)(4-b)；

(2)原式=3a(x2解析：(1)直接利用平方差進(jìn)行分解即可；

(2)首先提公因式3a，再利用完全平方公式分解即可．

本題考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項式進(jìn)行因式分解，一般來說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運(yùn)用公式法分解．18.解：x-3(x-2)>4①2x-13≤x+12②，

解不等式①得：x<1，

解不等式②得：x≤5，解析：先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集即可．

本題考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式組，能根據(jù)不等式的解集求出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵．19.解：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=12(180°-∠A)=12(180°-100°)=40°．

∵BD是∠ABC的角平分線，

∴∠DBE=12∠ABC=20°．

解析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可求出∠ABC，根據(jù)角平分線的定義可求出∠DBE，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可求出∠DEB，根據(jù)平角的定義就可求出∠DEC的度數(shù)．

本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義、平角的定義等知識，屬于基礎(chǔ)題，應(yīng)熟練掌握．20.解：(1)∵AB的垂直平分線交AC于P點，

∴AP=BP，

∴∠A=∠ABP=35°，

∴∠BPC=∠A+∠ABP=35°+35°=70°；

(2)△PBC的周長=BP+PC+BC，

=AP+PC+BC，

=AC+BC，

=AB+BC，

∵AB=5cm，BC=3cm，

∴△PBC的周長=5+3=8cm．

解析：(1)根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AP=BP，根據(jù)等邊對等角可得∠A=∠ABP，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解；

(2)求出△PBC的周長=AB+BC，代入數(shù)據(jù)計算即可得解．

本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．21.2.5

解析：解：(1)S△ABC=3×2-12×1×2-12×1×2-12×1×3=2.5，

故答案為：2.5；

(2)如圖，△A1B1C1即為所求；

(3)如圖2，點P即為所求；

．

(1)用割補(bǔ)法求三角形的面積即可；

(2)先作出△ABC各頂點關(guān)于原點成中心對稱的對應(yīng)點，再描點即可；22.(1)提公因式法；

～(2)方法一：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3

=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)2]

=(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x)]

=(1+x)(1+x)(1+x)[1+x]

=(1+x)4；

方法二：1+x+x(1+x)+x(1+x解析：解：(1)上述分解因式的方法是：提公因式法；

故答案為：提公因式法；

(2)見答案；

(3)1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)n分解因式的結(jié)果是：(1+x)n+1．

故答案為：(1+x)n+1．

(1)直接利用已知解題方法分析得出答案；23.解：設(shè)售價應(yīng)定為x元/斤，

根據(jù)題意得：x-4×2-6×13≥(4×2+6×13)×50%，

解得：x≥15，

∴x的最小值為15．解析：設(shè)售價應(yīng)定為x元/斤，利用利潤=售價-成本，結(jié)合利潤率不低于50%，可列出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論．

本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．24.(1)證明：由旋轉(zhuǎn)可知∠DCE=60°，CD=CE，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=60°，AC=BC，

∴∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

在△BCD和△ACE中，

BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE，

∴△BCD≌△ACE(SAS)，

∴∠CBD=∠CAE；

(2)∵△BCD≌△ACE，

∴AE=BD=5，

∵∠DCE=60°，CD=CE，

∴△CDE是等邊三角形，

∴∠CDE=60°，

又∵∠ADC=30°，

∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，

在Rt△ADE中，DE=解析：(1)結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可知∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，由“SAS”可證△BCD≌△ACE，可得結(jié)論；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得AE=BD=5，再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可推導(dǎo)∠ADE=90°，在Rt△ADE中由勾股定理即可獲得答案．

本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，理解并掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．25.解：(1)第四個等式：25-24=32-16=16=24；