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第四節(jié)重積分的應用工科數學分析北京理工大學第二學期重積分的應用問題的提出曲面的面積平面薄片的質心（形心）平面薄片的轉動慣量引力小結一、問題的提出把定積分的元素法推廣到二重積分的應用中.若要計算的某個量U對于閉區(qū)域D具有可加性(即當閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時，所求量U相應地分成許多部分量，且U等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域D內任取一個直徑很小的閉區(qū)域時，相應地部分量可近似地表示為的形式，其中在內．這個稱為所求量U的元素，記為，所求量的積分表達式為二、曲面的面積衛(wèi)星１．設曲面的方程為：如圖，?曲面S的面積元素曲面面積公式為：周口店猿人洞“魚鱗”保護棚３．設曲面的方程為：曲面面積公式為：２．設曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得分析：Viviani曲線含在圓柱面內的部分球體解面積xyzoa2a解解方程組得兩曲面的交線為圓周在平面上的投影域為三、平面薄片的質心當薄片是均勻的，質心稱為形心.由元素法由元素法旋輪線（一拱）旋輪線（Cycloid）也叫擺線。一個半徑為a

的圓在x軸上滾動時，圓上一個點的軌跡就是旋輪線。brachistochrone解旋輪線（一拱）四、平面薄片的轉動慣量轉動慣量是剛體繞軸轉動時慣性(回轉物體保持其勻速圓周運動或靜止的特性)的量度。一質量為m的質點，到直線或點的距離為d,則I=m

d

2

為質點對直線或點的轉動慣量.

質點系對于原點的轉動慣量薄片對于

軸的轉動慣量薄片對于

軸的轉動慣量薄片對于原點的轉動慣量

對于

軸的轉動慣量

對于

軸的轉動慣量對于

軸的轉動慣量對于原點的轉動慣量解解五、引力物體對質點的引力為引力常數平面薄片對質點的引力為引力常數薄片對

軸上單位質點的引力解由積分區(qū)域的對稱性知所求引力為幾何應用：曲面的面積物理應用：質心、轉動慣量、對質點的引力（注意審題，熟悉相關物理知識）六、小結作業(yè)P139-141

1(1),(2),(4);

2;3;

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