工科數(shù)學分析 課件 8-3 三重積分

第三節(jié)三重積分工科數(shù)學分析北京理工大學第二學期三重積分三重積分的定義利用直角坐標系計算三重積分小結(jié)一、三重積分的定義由于探討引力、多體力學等問題，法國數(shù)學家拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德等人開始了關(guān)于三重積分的研究。三重積分的定義可以形象地用求一個土豆的質(zhì)量來理解，土豆的形狀很不規(guī)則，即使其密度是常數(shù)，它的體積也很難求得。如果把土豆切成很小的、規(guī)則的土豆丁，而每個土豆丁的質(zhì)量可以求出來，然后把所有的土豆丁相加，就得到了整個土豆的質(zhì)量的一個近似值，顯然土豆切得越細，則這樣求出的土豆的質(zhì)量就越接近于土豆質(zhì)量的真實值，數(shù)學上這可以通過取極限的過程達到。這里，土豆丁的體積就是三重積分的微元，求和的極限就是三重積分，密度函數(shù)就是被積函數(shù)。三重積分的定義三重積分的存在性與二重積分的存在性是一樣的；性質(zhì)也相類似。1.直角坐標系中將三重積分化為三次積分---投影法二、利用直角坐標系計算三重積分如圖，得注意解故

：解如圖，解2.計算三重積分的截面法原式解原式解如圖,三重積分的定義和計算在直角坐標系下的體積元素（計算時將三重積分化為三次積分）三、小結(jié)利用柱面坐標和球面坐標計算三重積分利用柱面坐標計算三重積分利用球面坐標計算三重積分小結(jié)一、利用柱面坐標計算三重積分規(guī)定：柱面坐標與直角坐標的關(guān)系為如圖，三坐標面分別為圓柱面；半平面；平面．如圖，柱面坐標系中的體積元素為柱坐標系中三重積分的計算實質(zhì)上是一個方向采用直角坐標系，另外兩個方向采用極坐標系。在投影法中，投影區(qū)域上的二重積分采用極坐標系計算；在截面法中，截面上的二重積分采用極坐標計算。投影區(qū)域或截面為圓域或扇形最好。解知交線為解所圍成的立體如圖，所圍成立體的投影區(qū)域如圖，

原式本題也可使用截面法求解。二、利用球面坐標計算三重積分球面坐標與直角坐標的關(guān)系為如圖，規(guī)定：如圖，三坐標面分別為圓錐面；球面；半平面．如圖，球面坐標系中的體積元素為解2

采用柱面坐標(投影法)本題也可使用截面法求解。解補充：利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應(yīng)注意：１、積分區(qū)域關(guān)于坐標面的對稱性；２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標軸的奇偶性．解積分域關(guān)于三個坐標面都對稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù),解

是關(guān)于的奇函數(shù),同理×φ

不容易求出采用何種坐標系計算三重積分？在計算三重積分的時候，第一步驟就是選擇合適的坐標系，注意到不同坐標系下積分計算的難易程度是有區(qū)別的。常見的坐標系有直角坐標系、柱坐標系和球坐標系。從換元的角度來說，后兩個坐標系分別對應(yīng)的是柱坐標變換和球坐標變換。積分變換做換元首要考慮的就是積分區(qū)域的性狀，當然還要照顧被積函數(shù)的形式。1、直角坐標系：如果積分區(qū)域是長方體、四面體或一般的任意形體時，采用直角坐標系進行積分計算；2、柱面坐標系：如果積分區(qū)域是柱形體域、錐形體域或拋物體域時，采用柱面坐標系進行積分計算；3、球面坐標系：如果積分區(qū)域是球形體域或球形體域的一部分時，采用球面坐標系進行積分計算。球面坐標系下的積分計算有一定的適用范圍，即積分區(qū)域要和球體相關(guān)，其次積分區(qū)域與z

軸正向的夾角，也就是φ

要容易求出才行。補充：兩個有趣的立體維維安尼體牟合方蓋1、維維安尼（Viviani）曲線與維維安尼體,p131維維安尼（Viviani）曲線與維維安尼體2、牟合方蓋:兩個直交圓柱面所圍成的立體，我國古代

數(shù)學家劉徽把這個立體稱為牟合方蓋(Steinmetzsolid).(p.139,習題8?4，題目1（8）的幾何體?兩個直交圓柱面x2

+y2

=R2和x2+z2=R2所圍成的立體)牟合方蓋（1）柱面坐標的體積元素（2）球面坐標的體積元素（3）對稱性簡化運算三重積分換元法柱面坐標