《數(shù)學》復習人教A（新高考）-第9節(jié)　函數(shù)模型及其應用

第二章

第9節(jié)函數(shù)模型及其應用知識分類落實考點分層突破課后鞏固作業(yè)內(nèi)容索引///////123//////////////知識分類落實夯實基礎回扣知識1知識梳理///////1.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質比較函數(shù)性質y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性

單調(diào)

單調(diào)單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與

平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與

平行隨n值變化而各有不同遞增遞增y軸x軸2.幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與對數(shù)函數(shù)相關的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長量越來越小.2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵.3.易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗證數(shù)學結果對實際問題的合理性.1.判斷下列結論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)某種商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利. (

) (2)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大. (

)××∴每件賠1元，(1)錯誤.(2)中，當x＝2時，2x＝x2＝4.不正確.(3)不存在x0，使ax0<x<logax0. (

)(4)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度會超過并遠遠大于y＝xa(a>0)的增長速度. (

)×√2.(多選題)某工廠一年中各月的收入、支出情況的統(tǒng)計圖如圖所示，則下列說法中正確的是 (

) A.收入最高值與收入最低值的比是3∶1 B.結余最高的月份是7月

C.1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同

D.前6個月的平均收入為40萬元 解析

由題圖可知，收入最高值為90萬元，收入最低值為30萬元，其比是3∶1，故A正確；

ABC由題圖可知，7月份的結余最高，為80－20＝60(萬元)，故B正確；由題圖可知，1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同，故C正確；3.當生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.當死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到了.若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到，則它經(jīng)過的“半衰期”個數(shù)至少是 (

) A.8 B.9 C.10 D.11

解析設該死亡生物體內(nèi)原有的碳14的含量為1， 所以，若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到，則它至少需要經(jīng)過10個“半衰期”.C4.(2020·西安一中月考)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，對三個函數(shù)的增長速度進行比較，下列選項中正確的是 (

) A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x)

解析在同一坐標系內(nèi)，根據(jù)函數(shù)圖象變化趨勢， 當x∈(4，＋∞)時，增長速度大小排列為g(x)>f(x)>h(x).BC6.(2019·北京卷)李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%. (1)當x＝10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付________元； 解析

顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，原價應為60＋80＝140(元)，超過了120元可以優(yōu)惠，所以當x＝10時，顧客需要支付140－10＝130(元).1306.(2019·北京卷)李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%. (2)在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為________.

解析

由題意知，當x確定后，顧客可以得到的優(yōu)惠金額是固定的，所以顧客支付的金額越少，優(yōu)惠的比例越大.而顧客要想得到優(yōu)惠，最少要一次購買2盒草莓，此時顧客支付的金額為(120－x)元， 所以(120－x)×80%≥120×0.7， 所以x≤15.即x的最大值為15.15考點分層突破題型剖析考點聚焦21.(多選題)(2021·青島質檢)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務質量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.

根據(jù)該折線圖，下列結論正確的是 (

) A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn) 解析

由題圖可知，2014年8月到9月的月接待游客量在減少，則A選項錯誤.其余全部正確.考點一利用函數(shù)的圖象刻畫實際問題///////自主演練BCD則下列結論正確的是 (

)A.在[t1，t2]這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強B.在t2時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強C.在t3時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標D.甲企業(yè)在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時間中，在[0，t1]的污水治理能力最強對于A，在[t1，t2]這段時間內(nèi)，甲企業(yè)對應圖象的割線斜率的相反數(shù)大，故甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強，正確；ABC對于B，要比較t2時刻的污水治理能力，即看在t2時刻兩曲線的切線斜率，切線斜率的相反數(shù)越大，污水治理能力越強，故在t2時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強，正確；對于C，在t3時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水達標排放量以下，正確；對于D，甲在[t1，t2]這段時間內(nèi)的污水治理能力最強，錯誤.②解析

由散點圖的走勢，知模型①不合適.1.當根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選出符合實際情況的答案.2.圖形、表格能直觀刻畫兩變量間的依存關系，考查了數(shù)學直觀想象核心素養(yǎng).

感悟升華【例1】(2020·新高考山東卷)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)＝ert描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0＝1＋rT.有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0＝3.28，T＝6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69) (

) A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 解析

由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6， 由題意，累計感染病例數(shù)增加1倍，則I(t2)＝2I(t1)， 即e0.38t2＝2e0.38t1，所以e0.38(t2－t1)＝2，即0.38(t2－t1)＝ln2， 故選B.考點二已知函數(shù)模型的實際問題///////師生共研B1.求解已知函數(shù)模型解決實際問題的關注點.(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).2.利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質、導數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗.感悟升華則當Q＝300時，L(Q)的最大值為2500萬元.2500解析根據(jù)題意，要使附加稅不少于128萬元，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8].考點三構建函數(shù)模型的實際問題///////多維探究AC則22x≥100，解得x≥4.所以至少需要的年數(shù)是4.【例3】(2)(2021·唐山聯(lián)考)盡管目前人類還無法準確地預報地震，但科學家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震釋放出的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級M之間的關系為lgE＝4.8＋1.5M. ①已知地震等級劃分為里氏12級，根據(jù)等級范圍又分為三種類型，其中小于2.5級的為“小地震”，介于2.5級到4.7級之間的為“有感地震”，大于4.7級的為“破壞性地震”，若某次地震釋放能量約1012焦耳，試確定該次地震的類型；因為4.8>4.7，所以該次地震為“破壞性地震”.解

②設汶川地震、日本地震所釋放的能量分別為E1，E2.由題意知，lgE1＝4.8＋1.5×8＝16.8，lgE2＝4.8＋1.5×9＝18.3，即E1＝1016.8，E2＝1018.3，故2011年日本地震所釋放的能量是2008年汶川地震所釋放的能量的32倍.1.數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構建模型解決問題的過程.主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構建模型，求解結論.2.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型解題，關鍵是對模型的判斷，先設定模型，將有關數(shù)據(jù)代入驗證，確定參數(shù)，求解時要準確進行指、對數(shù)運算，靈活進行指數(shù)與對數(shù)的互化.感悟升華【訓練2】(1)某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是 (

) A.10.5萬元 B.11萬元

C.43萬元 D.43.025萬元 解析設在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16－x)輛，所以可得利潤

y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32

＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×10.52＋32.

因為x∈[0，16]且x∈N， 所以當x＝10或11時，總利潤取得最大值43萬元.C解

①設每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1)，即

故到今年為止，該森林已砍伐了5年.課后鞏固作業(yè)提升能力分層訓練3一、選擇題1.在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)，現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是(

)

解析

由題中表格可知函數(shù)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增大得越來越快，分析選項可知B符合，故選B.x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01B解析設BC＝a米，CD＝b米，則ab＝4，D3.(多選題)(2021·濟南質檢)甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點出發(fā)向同一方向運動，它們的路程fi(x)(i＝1，2，3，4)關于時間x(x≥0)的函數(shù)關系式分別為f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，則下列結論正確的是 (

) A.當x>1時，甲走在最前面

B.當x>1時，乙走在最前面

C.當0<x<1時，丁走在最前面，當x>1時，丁走在最后面

D.如果它們一直運動下去，最終走在最前面的是甲 解析

甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1，2，3，4)關于時間x(x≥0)的函數(shù)關系式分別為f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它們對應的函數(shù)模型分別為指數(shù)型函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、一次函數(shù)模型、對數(shù)型函數(shù)模型.

當x＝2時，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正確； 當x＝5時，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正確；CD根據(jù)四種函數(shù)的變化特點，對數(shù)型函數(shù)的增長速度是先快后慢，又當x＝1時，甲、乙、丙、丁四個物體走過的路程相等，從而可知，當0<x<1時，丁走在最前面，當x>1時，丁走在最后面，所以C正確；指數(shù)型函數(shù)的增長速度是先慢后快，當運動的時間足夠長時，最前面的物體一定是按照指數(shù)型函數(shù)模型運動的物體，即一定是甲物體，所以D正確.4.(2020·青島模擬)某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料， 如圖，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取 矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當截取的矩形面積最大 時，矩形的兩邊長x，y應分別為 (

) A.x＝15，y＝12 B.x＝12，y＝15 C.x＝14，y＝10 D.x＝10，y＝14A所以當y＝12時，S有最大值，此時x＝15.檢驗符合題意.解析設老師上課時聲音強度，一般兩人小聲交談時聲音強度分別為x1W/m2，x2W/m2，B因此，老師上課時聲音強度約為一般兩人小聲交談時聲音強度的10倍.6.(2019·全國Ⅱ卷)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就.實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通信聯(lián)系.為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行.L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上.設地球質量為M1，月球質量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：D8.(2020·遼寧協(xié)作校模擬)考古學家經(jīng)常利用碳14的含量來推斷古生物死亡的大致時間.當有機體生存時，會持續(xù)不斷地吸收碳14，從而其體內(nèi)的碳14含量會保持在一定的水平；但當有機體死亡后，就會停止吸收碳14，其體內(nèi)的碳14含量就會逐漸減少，而且每經(jīng)過大約5730年后會變?yōu)樵瓉淼囊话?假設有機體生存時碳14的含量為1，如果用y表示該有機體死亡x年后體內(nèi)碳14的含量，則y與x的關 系可以表示為________________.240故為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對房間進行消毒，40故為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對房間進行消毒，解

由題意可知，當這種鳥類靜止時，它的速度為0m/s，此時耗氧量為30個單位，當耗氧量為90個單位時，速度為1m/s，即a，b的值分別為－1和1.所以要使飛行速度不低于2m/s，則有v≥2，所以若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s時，其耗氧量至少要270個單位.解

(1)當x＝128，即甲城市投資128萬元時，乙城市投資112萬元，因此，此時公司的總收益為88萬元.解

由題意知，甲城市投資x萬元，則乙城市投資(240－x)萬元，當80≤x<120，即120<240－x≤160時，當120≤x≤160，即80≤240－x≤120時，故f(x)的最大值為88.因此，當甲城市投資128萬元，乙城市投資112萬元時，總收益最大，且最大收益為88萬元.則下列說法正確的是 (

)A.隨著時間的增加，小菲的單詞記憶保持量降低B.第一天小菲的單詞記憶保持量下降的最多C.9天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%D.26天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%解析

由函數(shù)解析式可知f(x)隨著x的增加而減少，故A正確；由圖象可得B正確；ABC13.天文學中為了衡量天體的明暗程度，古希臘天文學家喜帕恰斯(H