2024-2025學年新教材高中數(shù)學第四章概率與統(tǒng)計4.2.4.1離散型隨機變量的均值課時素養(yǎng)檢測含解析新人教B版選擇性必修第二冊_第1頁
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PAGE課時素養(yǎng)檢測十四離散型隨機變量的均值(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.射手用手槍進行射擊,擊中目標就停止,否則接著射擊,他射中目標的概率是0.8,若槍內只有3顆子彈,則他射擊次數(shù)的數(shù)學期望是 ()A.0.8 B.0.992 C.1 D.1.24【解析】選D.記射擊次數(shù)為隨機變量X,則X的全部可能取值為1,2,3.P(X=1)=0.8,P(X=2)=0.2×0.8=0.16,P(X=3)=1-0.8-0.16=0.04,所以E(X)=1×0.8+2×0.16+3×0.04=1.24.2.今有兩臺獨立工作在兩地的雷達,每臺雷達發(fā)覺飛行目標的概率分別為0.9和0.85,設發(fā)覺目標的雷達臺數(shù)為X,則E(X)為 ()A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.22【解析】選B.X的取值為0,1,2,所以P(X=0)=0.1×0.15=0.015,P(X=1)=0.9×0.15+0.1×0.85=0.22,P(X=2)=0.9×0.85=0.765,E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.3.甲、乙兩工人在同樣的條件下生產,日產量相等,每天出廢品的狀況如表所示:工人甲乙廢品數(shù)01230123概率0.40.30.20.10.30.50.20則結論正確的是 ()A.甲生產的產品質量比乙生產的產品質量好一些B.乙生產的產品質量比甲生產的產品質量好一些C.兩人生產的產品質量一樣好D.無法推斷誰生產的產品質量好一些【解析】選B.甲出廢品的期望是1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,乙出廢品的期望是1×0.5+2×0.2=0.9,所以甲出廢品的期望大于乙出廢品的期望.故乙生產的產品質量好一些.4.某日A,B兩個沿海城市受臺風攻擊的概率相同,已知A市或B市至少有一個受臺風攻擊的概率為0.36,若用X表示這一天受臺風攻擊的城市個數(shù),則E(X)= ()A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【解析】選D.設A,B兩市受臺風攻擊的概率均為p,則A市或B市都不受臺風攻擊的概率為QUOTE=1-0.36,解得p=0.2或p=1.8(舍去),PQUOTE=1-0.36=0.64,PQUOTE=2×0.8×0.2=0.32,PQUOTE=0.2×0.2=0.04,所以EQUOTE=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4.5.設離散型隨機變量X的分布列如表,則E(X)=2的充要條件是 ()X123Pp1p2p3A.p1=p2 B.p1=p3C.p2=p3 D.p1=p2=p3【解析】選B.由題設及數(shù)學期望的公式可得QUOTE?p1=p3,則E(X)=2的充要條件是p1=p3.6.已知X~B(5,p),且E(X)=3,則P(X=1)= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因為X~B(5,p),故其期望為EQUOTE=5×p=3,解得p=QUOTE.故PQUOTE=QUOTEpQUOTE=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共10分)7.某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如表:X78910Px0.10.3y已知X的期望E(X)=8.9,則y的值為________.

【解析】因為x+y=0.6,7x+10y=8.9-0.8-2.7=5.4,解得QUOTE答案:0.48.已知隨機變量ξ和η,其中η=4ξ-2,且E(η)=7,若ξ的分布列如表,則n的值為________.

ξ1234Pmn【解析】因為η=4ξ-2,所以E(η)=4E(ξ)-2,所以7=4·E(ξ)-2,解得E(ξ)=QUOTE,依據均值的計算公式得:QUOTE=1×QUOTE+2×m+3×n+4×QUOTE,又QUOTE+m+n+QUOTE=1,聯(lián)立求解可得n=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.廠家在產品出廠前,需對產品做檢驗,廠家將一批產品發(fā)給商家時,商家按合同規(guī)定也需隨機抽取肯定數(shù)量的產品做檢驗,以確定是否接收這批產品.若廠家發(fā)給商家20件產品,其中有3件不合格,按合同規(guī)定該商家從中任取2件,都進行檢驗,只有2件都合格時才接收這批產品,否則拒收.求該商家可能檢驗出不合格產品數(shù)X的分布列及均值E(X).【解析】X可能的取值為0,1,2.P(X=0)=QUOTE=QUOTE,P(X=1)=QUOTE=QUOTE,P(X=2)=QUOTE=QUOTE.所以X的分布列為:X012PE(X)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE=QUOTE.10.不透亮箱中裝有3個白球和mQUOTE個黑球.規(guī)定取出一個白球得2分,取出一個黑球得1分.現(xiàn)從箱中任取2個球,假設每個球被取出的可能性都相等,記隨機變量X為取出的2個球所得分數(shù)之和.(1)若PQUOTE=QUOTE,求m的值;(2)當m=2時,列出X的分布列并求其期望.【解析】(1)由題意,當取出的2個球都是白球時,此時隨機變量X=4.可得P(X=4)=QUOTE=QUOTE,即QUOTE=6,即m2+5m-6=0,解得m=1(負值舍去).(2)由題意,隨機變量X全部可能的取值為2,3,4,可得P(X=2)=QUOTE=QUOTE,P(X=3)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,P(X=4)=QUOTE=QUOTE,所以隨機變量X的分布列為:X234P所以E(X)=2×QUOTE+3×QUOTE+4×QUOTE=QUOTE.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.已知隨機變量X的分布列是X123Pa則EQUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.由分布列的性質可得QUOTE+QUOTE+a=1,得a=QUOTE,所以EQUOTE=1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE,因此EQUOTE=EQUOTE=2EQUOTE+QUOTE=2×QUOTE+QUOTE=QUOTE.2.不透亮袋中裝有5個同樣大小且質地相同的球,編號為1,2,3,4,5.現(xiàn)從該袋內隨機取出3個球,記被取出的球的最大號碼數(shù)為x,則E(x)等于()A.4 B.4.5 C.4.75 D.5【解析】選B.因為袋中裝有5個同樣大小且質地相同的球,編號為1,2,3,4,5.現(xiàn)從該袋內隨機取出3個球,記被取出的球的最大號碼數(shù)為ξ,所以ξ的可能取值為3,4,5,P(ξ=3)=QUOTE=QUOTE,P(ξ=4)=QUOTE=QUOTE,P(ξ=5)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以E(ξ)=3×QUOTE+4×QUOTE+5×QUOTE=4.5.3.從4名男生和2名女生中任選3人參與演講競賽,用X表示所選3人中女生的人數(shù),則E(X)為 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選B.由題意,X的可能取值為0,1,2,由題中數(shù)據可得PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,所以E(X)=QUOTE×0+1×QUOTE+2×QUOTE=1.4.設不透亮口袋中有黑球、白球共7個(球除顏色不同外,其他均相同,且白球個數(shù)大于2個),從中任取2個球,已知取到白球個數(shù)的數(shù)學期望為QUOTE,則口袋中白球的個數(shù)為 ()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】選A.設白球x個,則黑球(7-x)個,取出的2個球中所含白球的個數(shù)為ξ,則ξ取值為0,1,2,P(ξ=0)=QUOTE=QUOTE,P(ξ=1)=QUOTE=QUOTE,P(ξ=2)=QUOTE=QUOTE,所以0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE=QUOTE,所以x=3.二、填空題(每小題5分,共20分)5.一次英語測驗由50道選擇題構成,每道題有4個選項,其中有且僅有一個是正確的,每個選對得3分,選錯或不選均不得分,滿分150.某學生選對每一道題的概率均為0.7,則該學生在這次測驗中的成果的期望是________.

【解析】因為X~B(50,0.7),所以E(X)=50×0.7=35.所以成果的期望是35×3=105.答案:1056.已知甲盒中僅有一個球且為紅球,乙盒中有3個紅球和4個藍球,從乙盒中隨機抽取i(i=1,2)個球放在甲盒中(每個小球被取到的可能性相同),放入i個球后,甲盒中含有紅球的個數(shù)為ξi(i=1,2),則EQUOTE+EQUOTE的值為________.

【解析】甲盒中含有紅球的個數(shù)ξ1的取值為1,2,則PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE.則EQUOTE=1×QUOTE+2×QUOTE=QUOTE;甲盒中含有紅球的個數(shù)ξ2的取值為1,2,3,則PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE.則EQUOTE=1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE.所以EQUOTE+EQUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.一袋中裝有分別標記著1,2,3數(shù)字的3個小球,每次從袋中取出一個球(每只小球被取到的可能性相同),現(xiàn)連續(xù)取3次球,若每次取出一個球后放回袋中,記3次取出的球中標號最小的數(shù)字與最大的數(shù)字分別為X,Y,設ξ=Y-X,則E(ξ)=________.

【解析】由題意知ξ的取值為0,1,2,ξ=0,表示X=Y;ξ=1表示X=1,Y=2,或X=2,Y=3;ξ=2表示X=1,Y=3.所以P(ξ=0)=QUOTE=QUOTE,P(ξ=1)=QUOTE=QUOTE,P(ξ=2)=1-QUOTE-QUOTE=QUOTE,所以E(ξ)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.有10件產品,其中3件是次品,從這10件產品中任取兩件,用ξ表示取到次品的件數(shù),則ξ=1的概率是________;EQUOTE=________.

【解析】依據題意ξ的全部取值為0,1,2,P(ξ=0)=QUOTE=QUOTE,P(ξ=1)=QUOTE=QUOTE,P(ξ=2)=QUOTE=QUOTE,故EQUOTE=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.德陽中學數(shù)學競賽培訓共開設初等代數(shù)、初等幾何、初等數(shù)論和微積分初步四門課程,要求初等代數(shù)、初等幾何都要合格,且初等數(shù)論和微積分初步至少有一門合格,則能取得參與數(shù)學競賽復賽的資格,現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學報名參與數(shù)學競賽培訓,每一位同學對這四門課程考試是否合格相互獨立,其合格的概率均相同,(見表),且每一門課程是否合格相互獨立,課程初等代數(shù)初等幾何初等數(shù)論微積分初步合格的概率(1)求甲同學取得參與數(shù)學競賽復賽的資格的概率;(2)記ξ表示三位同學中取得參與數(shù)學競賽復賽的資格的人數(shù),求ξ的分布列及期望E(ξ).【解析】(1)分別記甲對這四門課程考試合格為事務A,B,C,D,則“甲同學取得參與數(shù)學競賽復賽的資格”的概率為P(ABCD)+P(ABCQUOTE)+P(ABQUOTED),事務A,B,C,D相互獨立,P(ABCD)+P(ABCQUOTE)+P(ABQUOTED)=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)P(ξ=0)=QUOTE,P(ξ=1)=QUOTE,P(ξ=2)=QUOTE,P(ξ=3)=QUOTE,因此,ξ的分布列如表:ξ0123P因為ξ~BQUOTE,所以E(ξ)=3×QUOTE=QUOTE.10.某銷售公司在當?shù)谹,B兩家超市各有一個銷售點,每日從同一家食品廠一次性購進一種食品,每件200元,統(tǒng)一零售價每件300元,兩家超市之間調配食品不計費用,若進貨不足食品廠以每件250元補貨,若銷售有剩余食品廠以每件150元回收.現(xiàn)需決策每日購進食品數(shù)量,為此搜集并整理了A,B兩家超市往年同期各50天的該食品銷售記錄,得到如下數(shù)據:銷售件數(shù)891011頻數(shù)20402020以頻率代替兩家超市的食品銷售件數(shù)的概率,記X表示這兩家超市每日共銷售食品件數(shù),n表示銷售公司每日共需購進食品的件數(shù).(1)求X的分布列;(2)以銷售食品利潤的期望為決策依據,在n=19與n=20之中選其一,應選哪個?【解析】(1)由已知一家超市銷售食品件數(shù)8,9,10,11的概率分別為QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,X取值為16,17,18,19,20,21,22.PQUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE×QUOTE×2=QUOTE;PQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE

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