北師版九下數(shù)學2.4.1二次函數(shù)的應用（1）【導學案】

利用二次函數(shù)解決圖形問題導學案學習目標1、學會用二次函數(shù)解決幾何圖形問題。2、在運用知識解決問題時體會二次函數(shù)的應用意義及數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想。學習策略結(jié)合所學過的二次函數(shù)的知識，理解最值的意義；能根據(jù)實踐問題解設二次函數(shù)解決幾何圖形問題.學習過程 復習回顧：1、下列關(guān)系式中，屬于二次函數(shù)的是（x為自變量）（）A．y=B．y=C．y=a2x2D．y=2、（1）二次函數(shù)的定義：一般地，形如(a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù).（2）用畫出二次函數(shù)的圖象，可以從圖象上認識二次函數(shù)的性質(zhì)，確定二次函數(shù)的、開口方向和。二.新課學習：1.自學教材P46-47，回答以下問題在圖2-8中，四邊形ABCD是矩形；通過證明△EDC△EAF，而得到AD；矩形鐵皮的面積公式：。勾股定理公式：；例1中窗戶的面積公式：。2、自學課本P46-47思考下列問題：（1）你能指出例1中的變量跟常量嗎？（2）解決“面積最大”此類問題的基本思路是什么？三.嘗試應用：1、如圖，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．動點P從點A開始沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動．若P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，在運動過程中，△PBQ的最大面積是（）A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm2用一根長為32cm的鐵絲圍成一個矩形，則圍成矩形面積的最大值是cm2．3、如圖，有長為24米的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的長方形的花圃，且花圃的長可借用一段墻體（墻體的最大可用長度10米）：如果AB的長為，面積為.（1）求面積與的函數(shù)關(guān)系（寫出的取值范圍）；（2）取何值時，面積最大？面積最大是多少？自主總結(jié)：解決“面積最大”問題的基本思路：第一步：審題理解問題；第二步：分析問題中的和常量，自變量；第三步：分析問題中的變量和常量之間的關(guān)系，建立函數(shù)的；第四步：確定的取值范圍；第五步：根據(jù)頂點坐標公式或配方法求出最值或最值（在自變量的取值范圍內(nèi)）。五.達標測試一、選擇題1．如圖，假設籬笆（虛線部分）的長度16m，則所圍成矩形ABCD的最大面積是（）.A．60B．63C．64D．662．如圖，有一塊邊長為6cm的正三角形紙板，在它的三個角處分別截去一個彼此全等的箏形，再沿圖中的虛線折起，做成一個無蓋的直三棱柱紙盒，則該紙盒側(cè)面積的最大值是（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm23．如圖所示，在一個直角三角形的內(nèi)部作一個長方形ABCD，其中AB和BC分別在兩直角邊上，設AB=xm，長方形的面積為ym2，要使長方形的面積最大，其邊長x應為（）A．mB．6mC．25mD．m二、填空題4.已知：如圖，有長為24米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃．設花圃的寬AB為x米，面積為S米2．則S與x的函數(shù)關(guān)系式；自變量的取值范圍．5．若直角三角形的兩條直角邊的和等于12，兩條直角邊分別為____，使此直角三角形的面積最大6．如圖，用總長度為12米的不銹鋼材料設計成如圖所示的外觀為矩形的框架，所有橫檔和豎檔分別與AD、AB平行，則矩形框架ABCD的最大面積為m2．三、解答題7．為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻（墻長25m）的空地上修建一個矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍住（如圖）．若設綠化帶的BC邊長為xm，綠化帶的面積為ym2．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當x為何值時，滿足條件的綠化帶的面積最大．8．如圖，把一張長15cm，寬12cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的小正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計）．設剪去的小正方形的邊長為xcm．（1）請用含x的代數(shù)式表示長方體盒子的底面積；（2）當剪去的小正方形的邊長為多少時，其底面積是130cm2？（3）試判斷折合而成的長方體盒子的側(cè)面積是否有最大值？若有，試求出最大值和此時剪去的小正方形的邊長；若沒有，試說明理由．9．如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與拋物線交于點P、與直線BC相交于點M，連接PB．（1）求該拋物線的解析式；（2）在（1）中位于第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點D，使得△BCD的面積最大？若存在，求出D點坐標及△BCD面積的最大值；若不存在，請說明理由．（3）在（1）中的拋物線上是否存在點Q，使得△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．10．如圖，△ABC中，∠C=90°，BC=7cm，AC=5，點P從B點出發(fā)，沿BC方向以2m/s的速度移動，點Q從C出發(fā)，沿CA方向以1m/s的速度移動．（1）若P、Q同時分別從B、C出發(fā)，那么幾秒后，△PCQ的面積等于4？（2）若P、Q同時分別從B、C出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于5？（3）△PCQ的面積何時最大，最大面積是多少？達標測試答案一、選擇題1．【解析】設BC=xm，則AB=（16﹣x）m，矩形ABCD面積為y，根據(jù)題意得：y=（16﹣x）x=+16x=+64，利用二次函數(shù)性質(zhì)可得，當x=8m時，=64，則所圍成矩形ABCD的最大面積是64．故選：C．考點：二次函數(shù)的應用．2．【解析】∵△ABC為等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．∵箏形ADOK≌箏形BEPF≌箏形AGQH，∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．∵折疊后是一個三棱柱，∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四邊形ODEP、四邊形PFGQ、四邊形QHKO都為矩形．∴∠ADO=∠AKO=90°．連結(jié)AO，在Rt△AOD和Rt△AOK中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．∴∠OAD=∠OAK=30°．設OD=x，則AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，∴DE=6﹣2x，∴紙盒側(cè)面積=3x（6﹣2x）=﹣6x2+18x，=﹣6（x﹣）2+，∴當x=時，紙盒側(cè)面積最大為．故選C．考點：二次函數(shù)的應用；展開圖折疊成幾何體；等邊三角形的性質(zhì)．3．【解析】根據(jù)題意得：AD=BC=，上邊三角形的面積為：（5﹣x），右側(cè)三角形的面積為：x（12﹣），所以y=30﹣（5﹣x）﹣x（12﹣），整理得y=﹣x2+12x，=﹣[x2﹣5x+（）2﹣]，=﹣（x﹣）2+15，∵﹣＜0∴長方形面積有最大值，此時邊長x應為m．故要使長方形的面積最大，其邊長m．故選：D．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值．二、填空題4．【解析】由題可知，花圃的寬AB為x米，則BC為（24-3x）米．這時面積S=x（24-3x）=-3x2+24x．∵0＜24-3x≤10得≤x＜8，故答案為：S=-3x2+24x．≤x＜8考點：根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式．5.【解析】設一條直角邊為x，三角形的面積為S，則，所以當x=6時，S最大=18，此時12-x=6，所以當兩條直角邊都是6時，此直角三角形的面積最大.考點：二次函數(shù)的應用.6．【解析】∵AB為x米，則AD==4﹣x，S長方形框架ABCD=AB×AD=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，當x=2時，S取得最大值=4；∴長方形框架ABCD的面積S最大為4m2．故答案為：4．考點：二次函數(shù)的應用．三、解答題7．【解析】試題分析：（1）BC=x，則AB=，然后根據(jù)面積=長×寬列出函數(shù)解析式，BC的長度不等大于墻的長度；（2）首先將函數(shù)解析式配成頂點式，然后進行求最值．試題解析：（1）由題意得：自變量x的取值范圍是0＜x≤25（2）∵20＜25，∴當x=20時，y有最大值200平方米即當x=20時，滿足條件的綠化帶面積最大．考點：二次函數(shù)的應用．8．【解析】試題分析：（1）由圖可知：長方體盒子的底面的長和寬分別是原矩形的長和寬減去兩個小正方形的邊長，根據(jù)矩形的面積=長×寬；（2）得出一個關(guān)于正方形邊長x的方程．從而求解；（2）長方體盒子的側(cè)面積是四個小矩形，都是以正方形的邊長為寬，以盒子的底面的長或?qū)挒殚L，根據(jù)這個關(guān)系，我們可列出關(guān)于側(cè)面積和正方形邊長x的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來求出這個最值．試題解析：（1）（15﹣2x）（12﹣2x）cm2；（2）依題意得：（15﹣2x）（12﹣2x）=130，即2x2﹣27x+25=0，解得x1=1，（不合題意，舍去），∴當剪去的小正方形的邊長為1cm時，其底面積是130cm2；（3）設長方體盒子的側(cè)面積是S，則S=2[（15﹣2x）x+（12﹣2x）x]，即S=54x﹣8x2，S=﹣8（x﹣）2+，（0＜x＜6），當x=時，，即當剪去的小正方形的邊長為cm時，長方體盒子的側(cè)面積有最大值．考點：二次函數(shù)的應用；一元二次方程的應用．9．【解析】試題分析：（1）由得，則拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）設D（t，﹣t2+2t+3），過點D作DH⊥x軸，則S△BCD=S梯形OCDH+S△BDH﹣S△BOC=（﹣t2+2t+3+3）t+（3﹣t）（﹣t2+2t+3）﹣×3×3=﹣t2+t，∵﹣＜0，∴當t=﹣=時，D點坐標是（，），△BCD面積的最大值是；（3）設過點P與BC平行的直線與拋物線的交點為Q，∵P點的坐標為（1，4），直線BC的解析式為y=﹣x+3，∴過點P與BC平行的直線為y=﹣x+5，由得Q的坐標為（2，3），∵PM的解析式為x=1，直線BC的解析式為y=﹣x+3，∴M的坐標為（1，2），設PM與x軸交于點E，∵PM=EM=2，∴過點E與BC平行的直線為y=﹣x+1，由得或，∴點Q的坐標為（，﹣），（，﹣），∴使得△QMB與△PMB的面積相等的點Q的坐標為（2，3），（，﹣），（，﹣）．考點：二次函數(shù)綜合題．10.【解析】試題分析：（1）分別表示出線段CP和線段CQ的長，利用三角形的面積公式列出方程求解即可；（2）表示出線段CP和CQ后利用勾股定理列出方程求解即可；（3）列出△PCQ的面積關(guān)于t的函數(shù)解析式，配方可得最大值．試題解析：（1）設t秒后△PCQ的面積等于4，根據(jù)題意得：CQ=t，BP=2t，則CP=7-2t，CQ×CP=×t（7-2t）=4，整理，得：t1=，t2=，故若P