數(shù)學(xué)必修一 第三章 3.2.1 第1課時(shí) 函數(shù)的單調(diào)性 課件

第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性第三章

3.2.1

單調(diào)性與最大(小)值學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能借助函數(shù)圖象理解函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增(或遞減)和增函數(shù)、減函數(shù)的概念.2.理解函數(shù)在某區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的概念.3.能運(yùn)用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性.導(dǎo)語(yǔ)同學(xué)們，大家有沒有體驗(yàn)過過山車？我可是過山車的資深體驗(yàn)師哦，風(fēng)馳電掣、瘋狂刺激的上升與下落伴隨著吶喊聲和尖叫聲，簡(jiǎn)直是一場(chǎng)視覺與聽覺的盛宴.當(dāng)然，過山車的設(shè)計(jì)可是離不開數(shù)學(xué)家的身影，我們今天的這節(jié)課就和刺激的過山車游戲有關(guān)哦.課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、直觀感知函數(shù)的單調(diào)性二、利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性三、函數(shù)單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用隨堂演練內(nèi)容索引直觀感知函數(shù)的單調(diào)性

一問題1

觀察下面三個(gè)函數(shù)圖形，他們的圖象有什么變化規(guī)律？這反映了相應(yīng)函數(shù)值的哪些變化規(guī)律？提示函數(shù)y＝x的圖象從左向右看是上升的；函數(shù)y＝x2的圖象在y軸左側(cè)是下降的，在y軸右側(cè)是上升的；函數(shù)y＝－x2的圖象在y軸左側(cè)是上升的，在y軸右側(cè)是下降的.問題2

如何理解函數(shù)圖象是上升的？提示按從左向右的方向看函數(shù)的圖象，意味著圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐漸增大即函數(shù)的自變量逐漸增大.圖象是上升的意味著圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)逐漸變大，也就是對(duì)應(yīng)的函數(shù)值逐漸增大.也就是說(shuō)從左向右看圖象上升，反映了函數(shù)值隨著自變量的增大而增大.知識(shí)梳理函數(shù)的單調(diào)性一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I：如果?x1，x2∈D，當(dāng)x1

x2時(shí)，都有f(x1)

f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增.特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱它是

.如果?x1，x2∈D，當(dāng)x1

x2時(shí)，都有f(x1)

f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱它是

.增函數(shù)<<<>減函數(shù)(1)區(qū)間D可以是整個(gè)定義域I，也可以是定義域的真子集.(2)同區(qū)間性，即x1，x2∈D.(3)任意性，即不可以用區(qū)間D上的特殊值代替.(4)有序性，即要規(guī)定x1，x2的大小.(5)“單調(diào)遞增(遞減)”“x1，x2的大小”“f(x1)與f(x2)的大小”知二求一.(6)單調(diào)遞增(遞減)是函數(shù)的局部性質(zhì)，增(減)函數(shù)是函數(shù)的整體性質(zhì).注意點(diǎn)：

已知函數(shù)f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.根據(jù)圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間.例1如圖.由圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－2,0)，[2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－2)，[0,2).(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，若所給函數(shù)是常見的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，可根據(jù)其單調(diào)性寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，若函數(shù)不是上述函數(shù)且函數(shù)圖象容易作出，可作出其圖象，根據(jù)圖象寫出其單調(diào)區(qū)間.(2)一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能用“∪”連接兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，而要用“和”連接或用“，”分開.反思感悟

畫出函數(shù)y＝|x|(x－2)的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.跟蹤訓(xùn)練1函數(shù)的圖象如圖實(shí)線部分所示.由函數(shù)的圖象知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0]和[1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性

二

證明函數(shù)f(x)＝

在區(qū)間(2，＋∞)上單調(diào)遞減.例2?x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2，因?yàn)?<x1<x2，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)取值并規(guī)定大小：設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x1<x2；(2)作差變形：作差f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)，并通過因式分解、通分、配方、有理化等方法，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的關(guān)系式；(3)定號(hào)：確定f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)的符號(hào)，當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)，進(jìn)行分類討論.(4)結(jié)論：根據(jù)定義確定單調(diào)性.反思感悟

求證：函數(shù)f(x)＝－

－1在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增.跟蹤訓(xùn)練2?x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2<0，由題設(shè)可得，x1－x2<0，x1x2>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函數(shù)單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用

三

(1)若函數(shù)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在區(qū)間(－∞，3]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.例3f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－a－1]，由f(x)在(－∞，3]上單調(diào)遞增知3≤－a－1，解得a≤－4，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－4].(－∞，－4]解得4≤a<8.[4,8)延伸探究在本例(1)中，若函數(shù)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，3]，則實(shí)數(shù)a的值為______.－4f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－a－1]，由題意得－a－1＝3，a＝－4.由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍的處理方法(1)由函數(shù)解析式求參數(shù)若為二次函數(shù)——判斷開口方向與對(duì)稱軸——利用單調(diào)性確定參數(shù)滿足的條件.若為一次函數(shù)——由一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定單調(diào)性.若為函數(shù)y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——數(shù)形結(jié)合，探求參數(shù)滿足的條件.(2)當(dāng)函數(shù)f(x)的解析式未知時(shí)，欲求解不等式，可以依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)，將符號(hào)“f”去掉，列出關(guān)于自變量的不等式(組)，然后求解，此時(shí)注意函數(shù)的定義域.反思感悟

已知函數(shù)y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，且f(2x－3)>f(5x－6)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為____________.若該函數(shù)f(x)是定義在(0，＋∞)上的減函數(shù)，則x的取值范圍為__________.跟蹤訓(xùn)練3(－∞，1)若f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，且f(2x－3)>f(5x－6)，則2x－3>5x－6，即x<1.∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為(－∞，1).若函數(shù)f(x)是定義在(0，＋∞)上的減函數(shù)，課堂小結(jié)1.知識(shí)清單：(1)增函數(shù)、減函數(shù)的定義.(2)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合法.3.常見誤區(qū)：(1)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集.(2)利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍忽略函數(shù)的定義域.隨堂演練

1.函數(shù)y＝f(x)，x∈[－4,4]的圖象如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是A.[－4,4]B.[－4，－3]∪[1,4]C.[－3,1]D.[－3,4]√1234由圖象知f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－3,1].12342.若函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)，則有A.f(3)<f(5) B.f(3)≤f(5)C.f(3)>f(5) D.f(3)≥f(5)√因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上是減函數(shù)，3<5，所以f(3)>f(5).12343.若y＝(2k－1)x＋b是R上的減函數(shù)，則有√12344.已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f(x2－2)<f(－x)，則x的取值范圍是________.由x2－2<－x，即x2＋x－2<0，解得－2<x<1.(－2,1)課時(shí)對(duì)點(diǎn)練

12345678910111213141516基礎(chǔ)鞏固1.函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是A.(0,1)B.(－∞，1)C. D.(－∞，3)√123456789101112131415162.下列說(shuō)法中，正確的有①函數(shù)y＝x2在R上是增函數(shù)；②函數(shù)y＝－

在定義域上是增函數(shù)；③函數(shù)y＝

的單調(diào)區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞).A.0個(gè)

B.1個(gè)

C.2個(gè)

D.3個(gè)√123456789101112131415163.如果函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，那么對(duì)于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列結(jié)論中不正確的是B.(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C.若x1<x2，則f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)√12345678910111213141516因?yàn)閒(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，對(duì)于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2與f(x1)－f(x2)的符號(hào)相同，故A，B，D都正確，而C中應(yīng)為若x1<x2，則f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b).123456789101112131415164.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)在(4，＋∞)上單調(diào)遞減，且函數(shù)y＝f(x)的對(duì)稱軸為x＝4，則A.f(2)>f(3)

B.f(2)>f(5)C.f(3)>f(5)

D.f(3)>f(6)√∵f(x)關(guān)于x＝4對(duì)稱且在(4，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(x)在(－∞，4)上單調(diào)遞增，且f(5)＝f(3)，f(6)＝f(2)，∴f(3)>f(2)＝f(6)，故選D.123456789101112131415165.已知函數(shù)f(x)＝4x2－kx－8在(－∞，5]上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是A.(－24,40) B.[－24,40]C.(－∞，－24] D.[40，＋∞)√且函數(shù)f(x)＝4x2－kx－8在(－∞，5]上具有單調(diào)性，123456789101112131415166.(多選)下列函數(shù)中，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增的是A.f(x)＝－

B.f(x)＝xC.f(x)＝－x2

D.f(x)＝1－x√由函數(shù)的圖象知f(x)＝－

，f(x)＝x，f(x)＝－x2

在(－∞，0)上單調(diào)遞增.√√123456789101112131415167.函數(shù)y＝|x2－2x－3|的單調(diào)遞增區(qū)間是___________________.y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|，作出該函數(shù)的圖象，如圖.由圖象可知，其單調(diào)遞增區(qū)間為[－1,1]和[3，＋∞).[－1,1]和[3，＋∞)123456789101112131415168.已知函數(shù)y＝f(x)在定義域(－1,1)上是減函數(shù)，且f(1－a)<f(2a－1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.123456789101112131415169.畫出下列函數(shù)的圖象，并寫出它的單調(diào)區(qū)間.(1)f(x)＝|x＋2|；圖象如右，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－2).12345678910111213141516圖象如右，(2)f(x)＝|x2－3x＋2|.1234567891011121314151610.證明函數(shù)f(x)＝x－

在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.設(shè)x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，因?yàn)閤1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.12345678910111213141516綜合運(yùn)用11.已知函數(shù)f(x)＝

若f(4－a)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(－∞，2) B.(2，＋∞)C.(－∞，－2) D.(－2，＋∞)√畫出f(x)的圖象(圖略)可判斷f(x)在R上單調(diào)遞增，故f(4－a)>f(a)?4－a>a，解得a<2.1234567891011121314151612.函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(2)＝－1，則滿足f(2x－4)>－1的實(shí)數(shù)x的取值范圍是A.(3，＋∞) B.(－∞，3)C.[2,3) D.[0,3)√1234567891011121314151613.已知函數(shù)f(x)＝

在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(－∞，－2] B.[－2,0)C.[－3,0) D.[－3，－2]√12345678910111213141516因此函數(shù)h(x)＝－x2－ax－5在區(qū)間(－∞，1]上單調(diào)遞增，解得－3≤a≤－2.1234567891011121314151614.若函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.[－3,0]12345678910111213141516①a＝0時(shí)，f(x)＝－3x＋1在R上單調(diào)遞減，∴a＝0滿足條件；②a≠0時(shí)，f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1，