拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（一）課件-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

3.3.2拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)方程焦點(diǎn)位置lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px(p＞0)y2=-2px(p＞0)x2=2py(p＞0)x2=-2py(p＞0)四種拋物線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程

x軸的正半軸上

x軸的負(fù)半軸上

y軸的正半軸上

y軸的負(fù)半軸上課前回顧2.做一做:下列關(guān)于拋物線(xiàn)x2=4y的描述正確的是(

)A.開(kāi)口向上,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)答案:A1.了解拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.能利用性質(zhì)解決與拋物線(xiàn)有關(guān)的問(wèn)題.3.能利用方程與數(shù)形結(jié)合思想解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.范圍2.對(duì)稱(chēng)性3.頂點(diǎn)4.離心率填表:拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)

例1變式1例2ABFOxy變式2、

如圖,斜率為

的直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px的焦點(diǎn)F(1,0),且與拋物線(xiàn)相交于A(yíng),B兩點(diǎn).(1)求該拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線(xiàn)方程;(2)求線(xiàn)段AB的長(zhǎng).分析:(1)由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)得p的值,求出拋物線(xiàn)方程及其準(zhǔn)線(xiàn)方程.(2)由過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立,利用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可解.拋物線(xiàn)的焦半徑和焦點(diǎn)弦公式（一）拋物線(xiàn)的焦半徑和焦點(diǎn)弦公式（二）ABOFKNMHxy在拋物線(xiàn)的所有焦點(diǎn)弦中，通徑最短ABOFKNMHxyABOFKNMxyCDABOFyxOMBCDxyEP圖3.3-6例3OMBCDxyEP圖3.3-6當(dāng)堂檢測(cè)（第136頁(yè)）2．在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出下列拋物線(xiàn)，觀(guān)察它們開(kāi)口的大小，并說(shuō)明拋物線(xiàn)開(kāi)口大小與方程中的x系數(shù)的關(guān)系：拋物線(xiàn)如圖，x的系數(shù)的絕對(duì)值越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越大．∴p=3,且拋物線(xiàn)開(kāi)口向右,∴拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=6x.答案:C課后練習(xí)答案:A3.過(guò)拋物線(xiàn)y2=8x的焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線(xiàn),則被拋物線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為(

)A.8 B.16 C.32 D.61解析:由拋物線(xiàn)y2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),得直線(xiàn)的方程為y=x-2.代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0.∴x1+x2=12,弦長(zhǎng)等于x1+x2+p=12+4=16.答案:B4.拋物線(xiàn)y2=x上到其準(zhǔn)線(xiàn)和頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為

.

5.已知邊長(zhǎng)為1的等邊三角形AOB,O為坐標(biāo)原點(diǎn),

AB⊥x軸,以O(shè)為頂點(diǎn)且過(guò)A,B的拋物線(xiàn)方程是()

A.y2=x B.y2=-xC.y2=±x D.y2=±x解析:設(shè)拋物線(xiàn)方程為y2=ax(a≠0).又A(取點(diǎn)A在x軸上方),則有,解得a=±,故拋物線(xiàn)方程為.選C.答案:C6.過(guò)拋物線(xiàn)x2=4y的焦點(diǎn)F作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點(diǎn),若y1+y2=6,則|P1P2|的值為()

A.5 B.6 C.8 D.10解析:拋物線(xiàn)x2=4y的準(zhǔn)線(xiàn)為y=-1,因?yàn)镻1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點(diǎn)是過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn),所以P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離分別是y1+1,y2+1,所以|P1P2|的值為y1+y2+2=8.答案:C7.設(shè)拋物線(xiàn)y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為l,P為拋物線(xiàn)上一

點(diǎn),PA⊥l,A為垂足,如果直線(xiàn)AF的斜率為,那么

|PF|=

解析:設(shè)準(zhǔn)線(xiàn)交x軸于點(diǎn)B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),依題意kAF=-,則∠AFO=60°.因?yàn)閨BF|=4,所以|AB|=4,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4,所以(4)2=8xP,得xP=6,即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為6,所以|PF|=|PA|=8.答案:88.已知拋物線(xiàn)y2=4x截直線(xiàn)y=2x+m所得弦長(zhǎng)|AB|=3,求m的值.9.若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn),開(kāi)口向上,F為焦點(diǎn),M為準(zhǔn)線(xiàn)與y軸的交點(diǎn),A為拋物線(xiàn)上一點(diǎn),且|AM|=,|AF|=3,求此拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:設(shè)所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py(p>0),設(shè)A(x0,y0),由題知M.∵|AF|=3,∴y0+=3,∵|AM|=,∴=17,∴=8,代入方程=2py0,得8=2p,解得p=2或p=4.∴所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y或x2=8y.1011.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn),A為拋物線(xiàn)上一

點(diǎn),若=-4,求點(diǎn)A的坐標(biāo).解:由y2=4x,知F(1,0).∵點(diǎn)A在y2=4x上,∴不妨設(shè)A,則.代入=-4中,得,化簡(jiǎn)得y4+12y2-64=0.∴y2=4或y2=-16(舍去),y=±2.∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2)或(1,-2).12.已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)F,且與拋物線(xiàn)相交于A(yíng),B兩點(diǎn).

(1)若|AF|=4,求點(diǎn)A的坐標(biāo);

(2)求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)的最小值.解:由y2=4x,得p=2,其準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1,焦點(diǎn)F(1,0).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由拋物線(xiàn)的定義可知,|AF|=從而x1=4-1=3.代入y2=4x,解得y1=±2.故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)或(3,-2).(2)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k(x-1).

與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消去y,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

∵直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A(yíng),B兩