四年級(jí)奧數(shù)教程完美修復(fù)版本

精品資料歡迎下載精品資料歡迎下載精品資料歡迎下載小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）第1講速算與巧算（一）第2講速算與巧算（二）第3講高斯求和第4講4，8，9整除的數(shù)的特征第5講棄九法第6講數(shù)的整除性（二）第7講找規(guī)律（一） 第8講找規(guī)律（二） 第9講數(shù)字謎（一） 第10講數(shù)字謎（二）第11講歸一問題與歸總問題第12講年齡問題第13講雞兔同籠問題與假設(shè)法第14講盈虧問題與比較法（一）第15講盈虧問題與比較法（二）第16講數(shù)陣圖（一）第17講數(shù)陣圖（二）第18講數(shù)陣圖（三）第19將乘法原理第20講加法原理（一）第21講加法原理（二）第22講還原問題（一）第23講還原問題（二）第24講頁碼問題第25講智取火柴第26講邏輯問題（一）第27講邏輯問題（二）第28講最不利原則第29講抽屜原理（一）第30講抽屜原理（二）第1講速算與巧算（一）計(jì)算是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，小學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須具有過硬的計(jì)算本領(lǐng)。準(zhǔn)確、快速的計(jì)算能力既是一種技巧，也是一種思維訓(xùn)練，既能提高計(jì)算效率、節(jié)省計(jì)算時(shí)間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進(jìn)思維和智力的發(fā)展。我們在三年級(jí)已經(jīng)講過一些四則運(yùn)算的速算與巧算的方法，本講和下一講主要介紹加法的基準(zhǔn)數(shù)法和乘法的補(bǔ)同與同補(bǔ)速算法。例1四年級(jí)一班第一小組有10名同學(xué)，某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)的成績（分?jǐn)?shù)）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。求這10名同學(xué)的總分。分析與解：通常的做法是將這10個(gè)數(shù)直接相加，但這些數(shù)雜亂無章，直接相加既繁且易錯(cuò)。觀察這些數(shù)不難發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)雖然大小不等，但相差不大。我們可以選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)作“基準(zhǔn)”，比如以“80”作基準(zhǔn)，這10個(gè)數(shù)與80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”號(hào)表示這個(gè)數(shù)比80小。于是得到總和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。實(shí)際計(jì)算時(shí)只需口算，將這些數(shù)與80的差逐一累加。為了清楚起見，將這一過程表示如下：通過口算，得到差數(shù)累加為9，再加上80×10，就可口算出結(jié)果為809。例1所用的方法叫做加法的基準(zhǔn)數(shù)法。這種方法適用于加數(shù)較多，而且所有的加數(shù)相差不大的情況。作為“基準(zhǔn)”的數(shù)（如例1的80）叫做基準(zhǔn)數(shù)，各數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差的和叫做累計(jì)差。由例1得到：總和數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)×加數(shù)的個(gè)數(shù)+累計(jì)差，平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)+累計(jì)差÷加數(shù)的個(gè)數(shù)。在使用基準(zhǔn)數(shù)法時(shí)，應(yīng)選取與各數(shù)的差較小的數(shù)作為基準(zhǔn)數(shù)，這樣才容易計(jì)算累計(jì)差。同時(shí)考慮到基準(zhǔn)數(shù)與加數(shù)個(gè)數(shù)的乘法能夠方便地計(jì)算出來，所以基準(zhǔn)數(shù)應(yīng)盡量選取整十、整百的數(shù)。例2某農(nóng)場有10塊麥田，每塊的產(chǎn)量如下（單位：千克）：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每塊麥田的產(chǎn)量。解：選基準(zhǔn)數(shù)為450，則累計(jì)差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11＝50，平均每塊產(chǎn)量=450＋50÷10＝455（千克）。答：平均每塊麥田的產(chǎn)量為455千克求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學(xué)們熟知，如7×7＝49（七七四十九）。對于兩位數(shù)的平方，大多數(shù)同學(xué)只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。有沒有什么竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里向同學(xué)們介紹一種方法——湊整補(bǔ)零法。所謂湊整補(bǔ)零法，就是用所求數(shù)與最接近的整十?dāng)?shù)的差，通過移多補(bǔ)少，將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個(gè)整十?dāng)?shù)乘以另一數(shù)，再加上零頭的平方數(shù)。下面通過例題來說明這一方法。例3求292和822的值。解：292=29×29＝（29＋1）×（29-1）＋12＝30×28＋1＝840+1＝841。822＝82×82＝（82－2）×（82＋2）＋22＝80×84＋4＝6720+4＝6724。由上例看出，因?yàn)?9比30少1，所以給29“補(bǔ)”1，這叫“補(bǔ)少”；因?yàn)?2比80多2，所以從82中“移走”2，這叫“移多”。因?yàn)槭莾蓚€(gè)相同數(shù)相乘，所以對其中一個(gè)數(shù)“移多補(bǔ)少”后，還需要在另一個(gè)數(shù)上“找齊”。本例中，給一個(gè)29補(bǔ)1，就要給另一個(gè)29減1；給一個(gè)82減了2，就要給另一個(gè)82加上2。最后，還要加上“移多補(bǔ)少”的數(shù)的平方。由湊整補(bǔ)零法計(jì)算352，得35×35＝40×30＋52=1225。這與三年級(jí)學(xué)的個(gè)位數(shù)是5的數(shù)的平方的速算方法結(jié)果相同。這種方法不僅適用于求兩位數(shù)的平方值，也適用于求三位數(shù)或更多位數(shù)的平方值。例4求9932和20042的值。解：9932=993×993＝（993＋7）×（993-7）+72＝1000×986＋49＝986000＋49＝986049。20042=2004×2004＝（2004-4）×（2004+4）＋42＝2000×2008＋16＝4016000＋16＝4016016。下面，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。請看下面的算式：66×46，73×88，19×44。這幾道算式具有一個(gè)共同特點(diǎn)，兩個(gè)因數(shù)都是兩位數(shù)，一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)相同，另一因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)之和為10。這類算式有非常簡便的速算方法。例588×64＝？分析與解：由乘法分配律和結(jié)合律，得到88×64＝（80＋8）×（60＋4）＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4＝80×（60＋6＋4）＋8×4＝80×（60＋10）＋8×4＝8×（6＋1）×100+8×4。于是，我們得到下面的速算式：由上式看出，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積，本例為8×4；積中從百位起前面的數(shù)是“個(gè)位與十位相同的因數(shù)”的十位數(shù)與“個(gè)位與十位之和為10的因數(shù)”的十位數(shù)加1的乘積，本例為8×（6＋1）。例677×91＝？解：由例3的解法得到由上式看出，當(dāng)兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積是一位數(shù)時(shí)，應(yīng)在十位上補(bǔ)一個(gè)0，本例為7×1＝07。用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數(shù)的乘法計(jì)算。練習(xí)11.求下面10個(gè)數(shù)的總和：165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。2.農(nóng)業(yè)科研小組測定麥苗的生長情況，量出12株麥苗的高度分別為（單位：厘米）：26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求這批麥苗的平均高度。3.某車間有9個(gè)工人加工零件，他們加工零件的個(gè)數(shù)分別為：68，91，84，75，78，81，83，72，79。他們共加工了多少個(gè)零件？4.計(jì)算：13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。5.計(jì)算下列各題：（1）372；（2）532；（3）912；（4）682：（5）1082；（6）3972。6.計(jì)算下列各題：（1）77×28；（2）66×55；（3）33×19；（4）82×44；（5）37×33；（6）46×99。

練習(xí)1答案1.1596。2.26厘米。3.711個(gè)。4.147。5.（1）1369；（2）2809；（3）8281；（4）4624；（5）11664；（6）157609。6.（1）2156；（2）3630；（3）627；（4）3608；（5）1221；（6）4554。第2講速算與巧算（二）上一講我們介紹了一類兩位數(shù)乘法的速算方法，這一講討論乘法的“同補(bǔ)”與“補(bǔ)同”速算法。兩個(gè)數(shù)之和等于10，則稱這兩個(gè)數(shù)互補(bǔ)。在整數(shù)乘法運(yùn)算中，常會(huì)遇到像72×78，26×86等被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同或互補(bǔ)，或被乘數(shù)與乘數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同或互補(bǔ)的情況。72×78的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個(gè)位數(shù)字互補(bǔ)，這類式子我們稱為“頭相同、尾互補(bǔ)”型；26×86的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補(bǔ)、個(gè)位數(shù)字相同，這類式子我們稱為“頭互補(bǔ)、尾相同”型。計(jì)算這兩類題目，有非常簡捷的速算方法，分別稱為“同補(bǔ)”速算法和“補(bǔ)同”速算法。例1（1）76×74＝？（2）31×39＝？分析與解：本例兩題都是“頭相同、尾互補(bǔ)”類型。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到76×74＝（7＋6）×（70+4）＝（70＋6）×70＋（7＋6）×4＝70×70＋6×70＋70×4＋6×4＝70×（70＋6＋4）＋6×4＝70×（70＋10）＋6×4＝7×（7+1）×100＋6×4。于是，我們得到下面的速算式：（2）與（1）類似可得到下面的速算式：由例1看出，在“頭相同、尾互補(bǔ)”的兩個(gè)兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積（不夠兩位時(shí)前面補(bǔ)0，如1×9＝09），積中從百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)（或乘數(shù)）的十位數(shù)與十位數(shù)加1的乘積?！巴a(bǔ)”速算法簡單地說就是：積的末兩位是“尾×尾”，前面是“頭×（頭+1）”。我們在三年級(jí)時(shí)學(xué)到的15×15，25×25，…，95×95的速算，實(shí)際上就是“同補(bǔ)”速算法。例2（1）78×38＝？（2）43×63＝？分析與解：本例兩題都是“頭互補(bǔ)、尾相同”類型。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到78×38＝（70＋8）×（30＋8）＝（70＋8）×30＋（70＋8）×8＝70×30+8×30＋70×8＋8×8＝70×30＋8×（30＋70）＋8×8＝7×3×100＋8×100＋8×8＝（7×3＋8）×100＋8×8。于是，我們得到下面的速算式：（2）與（1）類似可得到下面的速算式：由例2看出，在“頭互補(bǔ)、尾相同”的兩個(gè)兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積（不夠兩位時(shí)前面補(bǔ)0，如3×3＝09），積中從百位起前面的數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)（或乘數(shù)）的個(gè)位數(shù)?！把a(bǔ)同”速算法簡單地說就是：積的末兩位數(shù)是“尾×尾”，前面是“頭×頭+尾”。例1和例2介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補(bǔ)”或“補(bǔ)同”形式的速算法。當(dāng)被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時(shí)，情況會(huì)發(fā)生什么變化呢？我們先將互補(bǔ)的概念推廣一下。當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和是10，100，1000，…時(shí)，這兩個(gè)數(shù)互為補(bǔ)數(shù)，簡稱互補(bǔ)。如43與57互補(bǔ)，99與1互補(bǔ)，555與445互補(bǔ)。在一個(gè)乘法算式中，當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)相同，后面的幾位數(shù)互補(bǔ)時(shí)，這個(gè)算式就是“同補(bǔ)”型，即“頭相同，尾互補(bǔ)”型。例如，因?yàn)楸怀藬?shù)與乘數(shù)的前兩位數(shù)相同，都是70，后兩位數(shù)互補(bǔ)，77＋23＝100，所以是“同補(bǔ)”型。又如，等都是“同補(bǔ)”型。當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補(bǔ)，后面的幾位數(shù)相同時(shí)，這個(gè)乘法算式就是“補(bǔ)同”型，即“頭互補(bǔ)，尾相同”型。例如，等都是“補(bǔ)同”型。在計(jì)算多位數(shù)的“同補(bǔ)”型乘法時(shí)，例1的方法仍然適用。例3（1）702×708=？（2）1708×1792＝？解：（1）（2）計(jì)算多位數(shù)的“同補(bǔ)”型乘法時(shí)，將“頭×（頭+1）”作為乘積的前幾位，將兩個(gè)互補(bǔ)數(shù)之積作為乘積的后幾位。注意：互補(bǔ)數(shù)如果是n位數(shù)，則應(yīng)占乘積的后2n位，不足的位補(bǔ)“0”。在計(jì)算多位數(shù)的“補(bǔ)同”型乘法時(shí)，如果“補(bǔ)”與“同”，即“頭”與“尾”的位數(shù)相同，那么例2的方法仍然適用（見例4）；如果“補(bǔ)”與“同”的位數(shù)不相同，那么例2的方法不再適用，因?yàn)闆]有簡捷實(shí)用的方法，所以就不再討論了。例42865×7265＝？解：

練習(xí)2計(jì)算下列各題：1.68×62；2.93×97；3.27×87；4.79×39；5.42×62；6.603×607；7.693×607；8.4085×6085。

第3講高斯求和德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時(shí)代聰明過人，上學(xué)時(shí)，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計(jì)算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計(jì)算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢？原來小高斯通過細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。1～100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為（1+100）×100÷2＝5050。小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。若干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)，其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)。后項(xiàng)與前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)之差稱為公差。例如：（1）1，2，3，4，5，…，100；（2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71。其中（1）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項(xiàng)為8，末項(xiàng)為71，公差為7的等差數(shù)列。由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2。例11＋2＋3＋…＋1999＝？分析與解：這串加數(shù)1，2，3，…，1999是等差數(shù)列，首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是1999，共有1999個(gè)數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個(gè)加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。例211＋12＋13＋…＋31＝？分析與解：這串加數(shù)11，12，13，…，31是等差數(shù)列，首項(xiàng)是11，末項(xiàng)是31，共有31-11＋1＝21（項(xiàng)）。原式=（11+31）×21÷2=441。在利用等差數(shù)列求和公式時(shí)，有時(shí)項(xiàng)數(shù)并不是一目了然的，這時(shí)就需要先求出項(xiàng)數(shù)。根據(jù)首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差的關(guān)系，可以得到項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1，末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）。例33＋7＋11＋…＋99＝？分析與解：3，7，11，…，99是公差為4的等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。例4求首項(xiàng)是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項(xiàng)的和。解：末項(xiàng)=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。利用等差數(shù)列求和公式及求項(xiàng)數(shù)和末項(xiàng)的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題。例5在下圖中，每個(gè)最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時(shí)，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表：由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。解：（1）最大三角形面積為（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（厘米2）。2）火柴棍的數(shù)目為3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）。答：最大三角形的面積是768厘米2，整個(gè)圖形由108例6盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里……第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時(shí)盒子里共有多少只乒乓球？分析與解：一只球變成3只球，實(shí)際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋…＋10）＝2×55＝110（只）。加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。綜合列式為：（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。

練習(xí)31.計(jì)算下列各題：（1）2＋4＋6＋…＋200；（2）17＋19＋21＋…＋39；（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。2.求首項(xiàng)是5，末項(xiàng)是93，公差是4的等差數(shù)列的和。3.求首項(xiàng)是13，公差是5的等差數(shù)列的前30項(xiàng)的和。4.時(shí)鐘在每個(gè)整點(diǎn)敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點(diǎn)數(shù)，每半點(diǎn)鐘也敲一下。問：時(shí)鐘一晝夜敲打多少次？5.求100以內(nèi)除以3余2的所有數(shù)的和。6.在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)比個(gè)位數(shù)大的數(shù)共有多少個(gè)？第四講我們在三年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被2，3，5整除的數(shù)的特征，這一講我們將討論整除的性質(zhì)，并講解能被4，8，9整除的數(shù)的特征。數(shù)的整除具有如下性質(zhì)：性質(zhì)1如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性質(zhì)2如果兩個(gè)數(shù)都能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差也一定能被這個(gè)自然數(shù)整除。例如，21與15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。性質(zhì)3如果一個(gè)數(shù)能分別被兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)一定能被這兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質(zhì)，那么126能被9×7＝63整除。利用上面關(guān)于整除的性質(zhì)，我們可以解決許多與整除有關(guān)的問題。為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)的整除性，我們把學(xué)過的和將要學(xué)習(xí)的一些整除的數(shù)字特征列出來：（1）一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是0，2，4，6，8中的一個(gè)，那么這個(gè)數(shù)就能被2整除。（2）一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是0或5，那么這個(gè)數(shù)就能被5整除。（3）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被3整除，那么這個(gè)數(shù)就能被3整除。（4）一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)如果能被4（或25）整除，那么這個(gè)數(shù)就能被4（或25）整除。（5）一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)如果能被8（或125）整除，那么這個(gè)數(shù)就能被8（或125）整除。（6）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被9整除，那么這個(gè)數(shù)就能被9整除。其中（1）（2）（3）是三年級(jí)學(xué)過的內(nèi)容，（4）（5）（6）是本講要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。因?yàn)?00能被4（或25）整除，所以由整除的性質(zhì)1知，整百的數(shù)都能被4（或25）整除。因?yàn)槿魏巫匀粩?shù)都能分成一個(gè)整百的數(shù)與這個(gè)數(shù)的后兩位數(shù)之和，所以由整除的性質(zhì)2知，只要這個(gè)數(shù)的后兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個(gè)數(shù)就能被4（或25）整除。這就證明了（4）。類似地可以證明（5）。（6）的正確性，我們用一個(gè)具體的數(shù)來說明一般性的證明方法。837＝800＋30＋7＝8×100＋3×10＋7＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7＝8×99＋8＋3×9＋3＋7＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。因?yàn)?9和9都能被9整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)1和性質(zhì)2知，（8x99＋3x9）能被9整除。再根據(jù)整除的性質(zhì)2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判斷837能被9整除。利用（4）（5）（6）還可以求出一個(gè)數(shù)除以4，8，9的余數(shù)：（4‘）一個(gè)數(shù)除以4的余數(shù)，與它的末兩位除以4的余數(shù)相同。（5＇）一個(gè)數(shù)除以8的余數(shù)，與它的末三位除以8的余數(shù)相同。（6＇）一個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)，與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同。例1在下面的數(shù)中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728.8064。解：能被4整除的數(shù)有7756，3728，8064；能被8整除的數(shù)有3728，8064；能被9整除的數(shù)有234，8865，8064。例2在四位數(shù)56□2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時(shí)，這個(gè)四位數(shù)分別能被9，8，4整除？解：如果56□2能被9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□應(yīng)能被9整除，所以當(dāng)十位數(shù)是5，即四位數(shù)是5652時(shí)能被9整除；如果56□2能被8整除，那么6□2應(yīng)能被8整除，所以當(dāng)十位數(shù)是3或7，即四位數(shù)是5632或5672時(shí)能被8整除；如果56□2能被4整除，那么□2應(yīng)能被4整除，所以當(dāng)十位數(shù)是1，3，5，7，9，即四位數(shù)是5612，5632，5652，5672，5692時(shí)能被4整除。到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學(xué)過能被2，3，5，4，8，9整除的數(shù)的特征。根據(jù)整除的性質(zhì)3，我們可以把判斷整除的范圍進(jìn)一步擴(kuò)大。例如，判斷一個(gè)數(shù)能否被6整除，因?yàn)?＝2×3，2與3互質(zhì)，所以如果這個(gè)數(shù)既能被2整除又能被3整除，那么根據(jù)整除的性質(zhì)3，可判定這個(gè)數(shù)能被6整除。同理，判斷一個(gè)數(shù)能否被12整除，只需判斷這個(gè)數(shù)能否同時(shí)被3和4整除；判斷一個(gè)數(shù)能否被72整除，只需判斷這個(gè)數(shù)能否同時(shí)被8和9整除；如此等等。例3從0，2，5，7四個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)，組成能同時(shí)被2，5，3整除的數(shù)，并將這些數(shù)從小到大進(jìn)行排列。解：因?yàn)榻M成的三位數(shù)能同時(shí)被2，5整除，所以個(gè)位數(shù)字為0。根據(jù)三位數(shù)能被3整除的特征，數(shù)字和2＋7＋0與5＋7＋0都能被3整除，因此所求的這些數(shù)為270，570，720，750。例4五位數(shù)能被72整除，問：A與B各代表什么數(shù)字？分析與解：已知能被72整除。因?yàn)?2＝8×9，8和9是互質(zhì)數(shù)，所以既能被8整除，又能被9整除。根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，要求能被8整除，由此可確定B＝6。再根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，的各位數(shù)字之和為A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，因?yàn)閘≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在這個(gè)范圍內(nèi)只有27能被9整除，所以A＝7。解答例4的關(guān)鍵是把72分解成8×9，再分別根據(jù)能被8和9整除的數(shù)的特征去討論B和A所代表的數(shù)字。在解題順序上，應(yīng)先確定B所代表的數(shù)字，因?yàn)锽代表的數(shù)字不受A的取值大小的影響，一旦B代表的數(shù)字確定下來，A所代表的數(shù)字就容易確定了。例5六位數(shù)是6的倍數(shù)，這樣的六位數(shù)有多少個(gè)？分析與解：因?yàn)?＝2×3，且2與3互質(zhì)，所以這個(gè)整數(shù)既能被2整除又能被3整除。由六位數(shù)能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8這五個(gè)值。再由六位數(shù)能被3整除，推知3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B能被3整除，故2B能被3整除。B可取0，3，6，9這4個(gè)值。由于B可以取4個(gè)值，A可以取5個(gè)值，題目沒有要求A≠B，所以符合條件的六位數(shù)共有5×4＝20（個(gè)）。例6要使六位數(shù)能被36整除，而且所得的商最小，問A，B，C各代表什么數(shù)字？分析與解：因?yàn)?6＝4×9，且4與9互質(zhì)，所以這個(gè)六位數(shù)應(yīng)既能被4整除又能被9整除。六位數(shù)能被4整除，就要能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。要使所得的商最小，就要使這個(gè)六位數(shù)盡可能小。因此首先是A盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小。先試取A=0。六位數(shù)的各位數(shù)字之和為12＋B＋C。它應(yīng)能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。因?yàn)锽，C應(yīng)盡量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使盡可能小，應(yīng)取B＝1，C＝5。當(dāng)A=0，B=1，C＝5時(shí)，六位數(shù)能被36整除，而且所得商最小，為150156÷36＝4171。練習(xí)41．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪幾個(gè)數(shù)整除？2．個(gè)位數(shù)是5，且能被9整除的三位數(shù)共有多少個(gè)？3．一些四位數(shù)，百位上的數(shù)字都是3，十位上的數(shù)字都是6，并且它們既能被2整除又能被3整除。在這樣的四位數(shù)中，最大的和最小的各是多少？4．五位數(shù)能被12整除，求這個(gè)五位數(shù)。5．有一個(gè)能被24整除的四位數(shù)□23□，這個(gè)四位數(shù)最大是幾？最小是幾？6．從0，2，3，6，7這五個(gè)數(shù)碼中選出四個(gè)，可以組成多少個(gè)可以被8整除的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？7．在123的左右各添一個(gè)數(shù)碼，使得到的五位數(shù)能被72整除。8．學(xué)校買了72只小足球，發(fā)票上的總價(jià)有兩個(gè)數(shù)字已經(jīng)辨認(rèn)不清，只看到是□67.9□元，你知道每只小足球多少錢嗎？第5講棄九法從第4講知道，如果一個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那么這個(gè)數(shù)能被9整除；如果一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和被9除余數(shù)是幾，那么這個(gè)數(shù)被9除的余數(shù)也一定是幾。利用這個(gè)性質(zhì)可以迅速地判斷一個(gè)數(shù)能否被9整除或者求出被9除的余數(shù)是幾。例如，3645732這個(gè)數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732這個(gè)數(shù)不能被9整除，且被9除后余數(shù)為3。但是，當(dāng)一個(gè)數(shù)的數(shù)位較多時(shí)，這種計(jì)算麻煩且易錯(cuò)。有沒有更簡便的方法呢？因?yàn)槲覀冎皇桥袛噙@個(gè)式子被9除的余數(shù)，所以凡是若干個(gè)數(shù)的和是9時(shí)，就把這些數(shù)劃掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把這些數(shù)劃掉后，最多只剩下一個(gè)3（如下圖），所以這個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)是3。這種將和為9或9的倍數(shù)的數(shù)字劃掉，用剩下的數(shù)字和求除以9的余數(shù)的方法，叫做棄九法。一個(gè)數(shù)被9除的余數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的九余數(shù)。利用棄九法可以計(jì)算一個(gè)數(shù)的九余數(shù)，還可以檢驗(yàn)四則運(yùn)算的正確性。例1求多位數(shù)7645821369815436715除以9的余數(shù)。分析與解：利用棄九法，將和為9的數(shù)依次劃掉。只剩下7，6，1，5四個(gè)數(shù)，這時(shí)口算一下即可?？谒阒?，6，5的和是9的倍數(shù)，又可劃掉，只剩下1。所以這個(gè)多位數(shù)除以9余1。例2將自然數(shù)1，2，3，…依次無間隔地寫下去組成一個(gè)數(shù)1234567891011213…如果一直寫到自然數(shù)100，那么所得的數(shù)除以9的余數(shù)是多少？分析與解：因?yàn)檫@個(gè)數(shù)太大，全部寫出來很麻煩，在使用棄九法時(shí)不能逐個(gè)劃掉和為9或9的倍數(shù)的數(shù)，所以要配合適當(dāng)?shù)姆治觥Ｎ覀円呀?jīng)熟知1＋2＋3＋…＋9＝45，而45是9的倍數(shù)，所以每一組1，2，3，…，9都可以劃掉。在1～99這九十九個(gè)數(shù)中，個(gè)位數(shù)有十組1，2，3，…，9，都可劃掉；十位數(shù)也有十組1，2，3，…，9，也都劃掉。這樣在這個(gè)大數(shù)中，除了0以外，只剩下最后的100中的數(shù)字1。所以這個(gè)數(shù)除以9余1。在上面的解法中，并沒有計(jì)算出這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和，而是利用棄九法分析求解。本題還有其它簡捷的解法。因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)與它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同，所以題中這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和，與1＋2＋…＋100除以9的余數(shù)相同。利用高斯求和法，知此和是5050。因?yàn)?050的數(shù)字和為5＋0＋5＋0=10，利用棄九法，棄去一個(gè)9余1，故5050除以9余1。因此題中的數(shù)除以9余1。例3檢驗(yàn)下面的加法算式是否正確：2638457＋3521983＋6745785＝12907225。分析與解：若干個(gè)加數(shù)的九余數(shù)相加，所得和的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谶@些加數(shù)的和的九余數(shù)。如果不等，那么這個(gè)加法算式肯定不正確。上式中，三個(gè)加數(shù)的九余數(shù)依次為8，4，6，8+4+6的九余數(shù)為0；和的九余數(shù)為1。因?yàn)?≠1，所以這個(gè)算式不正確。例4檢驗(yàn)下面的減法算式是否正確：7832145-2167953＝5664192。分析與解：被減數(shù)的九余數(shù)減去減數(shù)的九余數(shù)（若不夠減，可在被減數(shù)的九余數(shù)上加9，然后再減）應(yīng)當(dāng)?shù)扔诓畹木庞鄶?shù)。如果不等，那么這個(gè)減法計(jì)算肯定不正確。上式中被減數(shù)的九余數(shù)是3，減數(shù)的九余數(shù)是6，由（9+3）-6＝6知，原題等號(hào)左邊的九余數(shù)是6。等號(hào)右邊的九余數(shù)也是6。因?yàn)?＝6，所以這個(gè)減法運(yùn)算可能正確。值得注意的是，這里我們用的是“可能正確”。利用棄九法檢驗(yàn)加法、減法、乘法（見例5）運(yùn)算的結(jié)果是否正確時(shí)，如果等號(hào)兩邊的九余數(shù)不相等，那么這個(gè)算式肯定不正確；如果等號(hào)兩邊的九余數(shù)相等，那么還不能確定算式是否正確，因?yàn)榫庞鄶?shù)只有0，1，2，…，8九種情況，不同的數(shù)可能有相同的九余數(shù)。所以用棄九法檢驗(yàn)運(yùn)算的正確性，只是一種粗略的檢驗(yàn)。例5檢驗(yàn)下面的乘法算式是否正確：46876×9537＝447156412。分析與解：兩個(gè)因數(shù)的九余數(shù)相乘，所得的數(shù)的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔趦蓚€(gè)因數(shù)的乘積的九余數(shù)。如果不等，那么這個(gè)乘法計(jì)算肯定不正確。上式中，被乘數(shù)的九余數(shù)是4，乘數(shù)的九余數(shù)是6，4×6＝24，24的九余數(shù)是6。乘積的九余數(shù)是7。6≠7，所以這個(gè)算式不正確。說明：因?yàn)槌ㄊ浅朔ǖ哪孢\(yùn)算，被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，所以當(dāng)余數(shù)為零時(shí)，利用棄九法驗(yàn)算除法可化為用棄九法去驗(yàn)算乘法。例如，檢驗(yàn)383801÷253=1517的正確性，只需檢驗(yàn)1517×253=383801的正確性。練習(xí)51．求下列各數(shù)除以9的余數(shù)：（1）7468251；（2）36298745；（3）2657348；（4）6678254193。2．求下列各式除以9的余數(shù)：（1）67235＋82564；（2）97256-47823；（3）2783×6451；（4）3477+265×841。3．用棄九法檢驗(yàn)下列各題計(jì)算的正確性：（1）228×222＝50616；（2）334×336＝112224；（3）23372428÷6236＝3748；（4）12345÷6789＝83810105。4．有一個(gè)2000位的數(shù)A能被9整除，數(shù)A的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是B，數(shù)B的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是C，數(shù)C的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是D。求D。第6講數(shù)的整除性（二）這一講主要講能被11整除的數(shù)的特征。一個(gè)數(shù)從右邊數(shù)起，第1，3，5，…位稱為奇數(shù)位，第2，4，6，…位稱為偶數(shù)位。也就是說，個(gè)位、百位、萬位……是奇數(shù)位，十位、千位、十萬位……是偶數(shù)位。例如9位數(shù)768325419中，奇數(shù)位與偶數(shù)位如下圖所示：能被11整除的數(shù)的特征：一個(gè)數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大數(shù)減小數(shù)）如果能被11整除，那么這個(gè)數(shù)就能被11整除。例1判斷七位數(shù)1839673能否被11整除。分析與解：奇數(shù)位上的數(shù)字之和為1＋3＋6＋3=13，偶數(shù)位上的數(shù)字之和為8＋9＋7=24，因?yàn)?4-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征，也能求出一個(gè)數(shù)除以11的余數(shù)。一個(gè)數(shù)除以11的余數(shù)，與它的奇數(shù)位上的數(shù)字之和減去偶數(shù)位上的數(shù)字之和所得的差除以11的余數(shù)相同。如果奇數(shù)位上的數(shù)字之和小于偶數(shù)位上的數(shù)字之和，那么應(yīng)在奇數(shù)位上的數(shù)字之和上再增加11的整數(shù)倍，使其大于偶數(shù)位上的數(shù)字之和。例2求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：（1）41873；（2）296738185。分析與解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11=7÷11＝0……7，所以41873除以11的余數(shù)是7。（2）奇數(shù)位之和為2＋6＋3＋1＋5=17，偶數(shù)位之和為9＋7＋8＋8＝32。因?yàn)?7＜32，所以應(yīng)給17增加11的整數(shù)倍，使其大于32。（17+11×2）-32＝7，所以296738185除以11的余數(shù)是7。需要說明的是，當(dāng)奇數(shù)位數(shù)字之和遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于偶數(shù)位數(shù)字之和時(shí)，為了計(jì)算方便，也可以用偶數(shù)位數(shù)字之和減去奇數(shù)位數(shù)字之和，再除以11，所得余數(shù)與11的差即為所求。如上題（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余數(shù)是11-4=7。例3求除以11的余數(shù)。分析與解：奇數(shù)位是101個(gè)1，偶數(shù)位是100個(gè)9。（9×100-1×101）÷11=799÷11=72……7，11-7=4，所求余數(shù)是4。例3還有其它簡捷解法，例如每個(gè)“19”奇偶數(shù)位上的數(shù)字相差9-1＝8，奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和相差8×99=8×9×11，能被11整除。所以例3相當(dāng)于求最后三位數(shù)191除以11的余數(shù)。例4用3，3，7，7四個(gè)數(shù)碼能排出哪些能被11整除的四位數(shù)？解：只要奇數(shù)位和偶數(shù)位上各有一個(gè)3和一個(gè)7即可。有3377，3773，7337，7733。例5用1～9九個(gè)數(shù)碼組成能被11整除的沒有重復(fù)數(shù)字的最大九位數(shù)。分析與解：最大的沒有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)是987654321，由（9＋7＋5＋3＋1）-（8＋6＋4＋2）＝5知，987654321不能被11整除。為了保證這個(gè)數(shù)盡可能大，我們盡量調(diào)整低位數(shù)字，只要使奇數(shù)位的數(shù)字和增加3（偶數(shù)位的數(shù)字和自然就減少3），奇數(shù)位的數(shù)字之和與偶數(shù)位的數(shù)字之和的差就變?yōu)?＋3×2=11，這個(gè)數(shù)就能被11整除。調(diào)整“4321”，只要4調(diào)到奇數(shù)位，1調(diào)到偶數(shù)位，奇數(shù)位就比原來增大3，就可達(dá)到目的。此時(shí)，4，3在奇數(shù)位，2，1在偶數(shù)位，后四位最大是2413。所求數(shù)為987652413。例6六位數(shù)能被99整除，求A和B。分析與解：由99=9×11，且9與11互質(zhì)，所以六位數(shù)既能被9整除又能被11整除。因?yàn)榱粩?shù)能被9整除，所以A+2+8+7+5+B＝22+A+B應(yīng)能被9整除，由此推知A＋B＝5或14。又因?yàn)榱粩?shù)能被11整除，所以（A＋8＋5）－（2＋7＋B）＝A-B＋4應(yīng)能被11整除，即A-B+4=0或A-B+4=11?；喌肂-A＝4或A-B＝7。因?yàn)锳+B與A-B同奇同偶，所以有在（1）中，A≤5與A≥7不能同時(shí)滿足，所以無解。在（2）中，上、下兩式相加，得（B＋A）＋（B-A）＝14＋4，2B＝18，B=9。將B=9代入A＋B=14，得A＝5。所以，A=5，B＝9。

練習(xí)61．為使五位數(shù)6□295能被11整除，□內(nèi)應(yīng)當(dāng)填幾？2．用1，2，3，4四個(gè)數(shù)碼能排出哪些能被11整除的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？3．求能被11整除的最大的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)。4．求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：（1）2485；（2）63582；（3）987654321。5．求除以11的余數(shù)。6．六位數(shù)5A634B能被33整除，求A+B。7．七位數(shù)3A8629B是88的倍數(shù)，求A和B。第7講找規(guī)律（一）我們在三年級(jí)已經(jīng)見過“找規(guī)律”這個(gè)題目，學(xué)習(xí)了如何發(fā)現(xiàn)圖形、數(shù)表和數(shù)列的變化規(guī)律。這一講重點(diǎn)學(xué)習(xí)具有“周期性”變化規(guī)律的問題。什么是周期性變化規(guī)律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛開的春季過后就是夏天，赤日炎炎的夏季過后就是秋天，果實(shí)累累的秋季過后就是冬天，白雪皚皚的冬季過后又到了春天。年復(fù)一年，總是按照春、夏、秋、冬四季變化，這就是周期性變化規(guī)律。再比如，數(shù)列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，…是按照0，1，2三個(gè)數(shù)重復(fù)出現(xiàn)的，這也是周期性變化問題。下面，我們通過一些例題作進(jìn)一步講解。例1節(jié)日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍(lán)燈、再接3盞黃燈，然后又是5盞紅燈、4盞藍(lán)燈、3盞黃燈、……這樣排下去。問：（1）第100盞燈是什么顏色？（2）前150盞彩燈中有多少盞藍(lán)燈？分析與解：這是一個(gè)周期變化問題。彩燈按照5紅、4藍(lán)、3黃，每12盞燈一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)。（1）100÷12＝8……4，所以第100盞燈是第9個(gè)周期的第4盞燈，是紅燈。（2）150÷12=12……6，前150盞燈共有12個(gè)周期零6盞燈，12個(gè)周期中有藍(lán)燈4×12＝48（盞），最后的6盞燈中有1盞藍(lán)燈，所以共有藍(lán)燈48＋1=49（盞）。例2有一串?dāng)?shù)，任何相鄰的四個(gè)數(shù)之和都等于25。已知第1個(gè)數(shù)是3，第6個(gè)數(shù)是6，第11個(gè)數(shù)是7。問：這串?dāng)?shù)中第24個(gè)數(shù)是幾？前77個(gè)數(shù)的和是多少？分析與解：因?yàn)榈?，2，3，4個(gè)數(shù)的和等于第2，3，4，5個(gè)數(shù)的和，所以第1個(gè)數(shù)與第5個(gè)數(shù)相同。進(jìn)一步可推知，第1，5，9，13，…個(gè)數(shù)都相同。同理，第2，6，10，14，…個(gè)數(shù)都相同，第3，7，11，15，…個(gè)數(shù)都相同，第4，8，12，16…個(gè)數(shù)都相同。也就是說，這串?dāng)?shù)是按照每四個(gè)數(shù)為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)的。所以，第2個(gè)數(shù)等于第6個(gè)數(shù)，是6；第3個(gè)數(shù)等于第11個(gè)數(shù)，是7。前三個(gè)數(shù)依次是3，6，7，第四個(gè)數(shù)是25-（3+6+7）=9。這串?dāng)?shù)按照3，6，7，9的順序循環(huán)出現(xiàn)。第24個(gè)數(shù)與第4個(gè)數(shù)相同，是9。由77÷4＝9……1知，前77個(gè)數(shù)是19個(gè)周期零1個(gè)數(shù)，其和為25×19+3=478。例3下面這串?dāng)?shù)的規(guī)律是：從第3個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是它前面兩個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)。問：這串?dāng)?shù)中第88個(gè)數(shù)是幾？628088640448…分析與解：這串?dāng)?shù)看起來沒有什么規(guī)律，但是如果其中有兩個(gè)相鄰數(shù)字與前面的某兩個(gè)相鄰數(shù)字相同，那么根據(jù)這串?dāng)?shù)的構(gòu)成規(guī)律，這兩個(gè)相鄰數(shù)字后面的數(shù)字必然與前面那兩個(gè)相鄰數(shù)字后面的數(shù)字相同，也就是說將出現(xiàn)周期性變化。我們試著將這串?dāng)?shù)再多寫出幾位：當(dāng)寫出第21，22位（豎線右面的兩位）時(shí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們與第1，2位數(shù)相同，所以這串?dāng)?shù)按每20個(gè)數(shù)一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)。由88÷20=4……8知，第88個(gè)數(shù)與第8個(gè)數(shù)相同，所以第88個(gè)數(shù)是4。從例3看出，周期性規(guī)律有時(shí)并不明顯，要找到它還真得動(dòng)點(diǎn)腦筋。例4在下面的一串?dāng)?shù)中，從第五個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是它前面四個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)字。那么在這串?dāng)?shù)中，能否出現(xiàn)相鄰的四個(gè)數(shù)是“2000”？135761939237134…分析與解：無休止地將這串?dāng)?shù)寫下去，顯然不是聰明的做法。按照例3的方法找到一周期，因?yàn)檫@個(gè)周期很長，所以也不是好方法。那么怎么辦呢？仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，這串?dāng)?shù)的前四個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，按照“每個(gè)數(shù)都是它前面四個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)字”，如果不看具體數(shù)，只看數(shù)的奇偶性，那么將這串?dāng)?shù)依次寫出來，得到奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇……可以看出，這串?dāng)?shù)是按照四個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)的，永遠(yuǎn)不會(huì)出現(xiàn)四個(gè)偶數(shù)連在一起的情況，即不會(huì)出現(xiàn)“2000”。例5A，B，C，D四個(gè)盒子中依次放有8，6，3，1個(gè)球。第1個(gè)小朋友找到放球最少的盒子，然后從其它盒子中各取一個(gè)球放入這個(gè)盒子；第2個(gè)小朋友也找到放球最少的盒子，然后也從其它盒子中各取一個(gè)球放入這個(gè)盒子……當(dāng)100位小朋友放完后，A，B，C，D分析與解：按照題意，前六位小朋友放過后，A，B，C，D四個(gè)盒子中的球數(shù)如下表：可以看出，第6人放過后與第2人放過后四個(gè)盒子中球的情況相同，所以從第2人放過后，每經(jīng)過4人，四個(gè)盒子中球的情況重復(fù)出現(xiàn)一次。（100-1）÷4＝24……3，所以第100次后的情況與第4次（3＋1＝4）后的情況相同，A，B，C，D盒中依次有4，6，3，5個(gè)球。

練習(xí)71．有一串很長的珠子，它是按照5顆紅珠、3顆白珠、4顆黃珠、2顆綠珠的順序重復(fù)排列的。問：第100顆珠子是什么顏色？前200顆珠子中有多少顆紅珠？2．將1，2，3，4，…除以3的余數(shù)依次排列起來，得到一個(gè)數(shù)列。求這個(gè)數(shù)列前100個(gè)數(shù)的和。3．有一串?dāng)?shù)，前兩個(gè)數(shù)是9和7，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)是它前面兩個(gè)數(shù)乘積的個(gè)位數(shù)。這串?dāng)?shù)中第100個(gè)數(shù)是幾？前100個(gè)數(shù)之和是多少？4．有一列數(shù)，第一個(gè)數(shù)是6，以后每一個(gè)數(shù)都是它前面一個(gè)數(shù)與7的和的個(gè)位數(shù)。這列數(shù)中第88個(gè)數(shù)是幾？5．小明按1～3報(bào)數(shù)，小紅按1～4報(bào)數(shù)。兩人以同樣的速度同時(shí)開始報(bào)數(shù)，當(dāng)兩人都報(bào)了100個(gè)數(shù)時(shí)，有多少次兩人報(bào)的數(shù)相同？6．A，B，C，D四個(gè)盒子中依次放有9，6，3，0個(gè)小球。第1個(gè)小朋友找到放球最多的盒子，從中拿出3個(gè)球放到其它盒子中各1個(gè)球；第2個(gè)小朋友也找到放球最多的盒子，也從中拿出3個(gè)球放到其它盒子中各1個(gè)球……當(dāng)100個(gè)小朋友放完后，A，B，C，D四個(gè)盒子中各放有幾個(gè)球？

第8講找規(guī)律（二）整數(shù)a與它本身的乘積，即a×a叫做這個(gè)數(shù)的平方，記作a2，即a2＝a×a；同樣，三個(gè)a的乘積叫做a的三次方，記作a3，即a3＝a×a×a。一般地，n個(gè)a相乘，叫做a的n次方，記作an，即本講主要講an的個(gè)位數(shù)的變化規(guī)律，以及an除以某數(shù)所得余數(shù)的變化規(guī)律。因?yàn)榉e的個(gè)位數(shù)只與被乘數(shù)的個(gè)位數(shù)和乘數(shù)的個(gè)位數(shù)有關(guān)，所以an的個(gè)位數(shù)只與a的個(gè)位數(shù)有關(guān)，而a的個(gè)位數(shù)只有0，1，2，…，9共十種情況，故我們只需討論這十種情況。為了找出一個(gè)整數(shù)a自乘n次后，乘積的個(gè)位數(shù)字的變化規(guī)律，我們列出下頁的表格，看看a，a2，a3，a4，…的個(gè)位數(shù)字各是什么。從表看出，an的個(gè)位數(shù)字的變化規(guī)律可分為三類：（1）當(dāng)a的個(gè)位數(shù)是0，1，5，6時(shí)，an的個(gè)位數(shù)仍然是0，1，5，6。（2）當(dāng)a的個(gè)位數(shù)是4，9時(shí)，隨著n的增大，an的個(gè)位數(shù)按每兩個(gè)數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個(gè)位數(shù)是4時(shí)，按4，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個(gè)位數(shù)是9時(shí)，按9，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。（3）當(dāng)a的個(gè)位數(shù)是2，3，7，8時(shí)，隨著n的增大，an的個(gè)位數(shù)按每四個(gè)數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個(gè)位數(shù)是2時(shí)，按2，4，8，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個(gè)位數(shù)是3時(shí)，按3，9，7，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當(dāng)a的個(gè)位數(shù)是7時(shí)，按7，9，3，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當(dāng)a的個(gè)位數(shù)是8時(shí)，按8，4，2，6的順序循環(huán)出現(xiàn)。例1求67999的個(gè)位數(shù)字。分析與解：因?yàn)?7的個(gè)位數(shù)是7，所以67n的個(gè)位數(shù)隨著n的增大，按7，9，3，1四個(gè)數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)。999÷4＝249……3，所以67999的個(gè)位數(shù)字與73的個(gè)位數(shù)字相同，即67999的個(gè)位數(shù)字是3。例2求291+3291的個(gè)位數(shù)字。分析與解：因?yàn)?n的個(gè)位數(shù)字按2，4，8，6四個(gè)數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，91÷4＝22……3，所以，291的個(gè)位數(shù)字與23的個(gè)位數(shù)字相同，等于8。類似地，3n的個(gè)位數(shù)字按3，9，7，1四個(gè)數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，291÷4＝72……3，所以3291與33的個(gè)位數(shù)相同，等于7。最后得到291+3291的個(gè)位數(shù)字與8+7的個(gè)位數(shù)字相同，等于5。例3求28128-2929的個(gè)位數(shù)字。解：由128÷4＝32知，28128的個(gè)位數(shù)與84的個(gè)位數(shù)相同，等于6。由29÷2＝14……1知，2929的個(gè)位數(shù)與91的個(gè)位數(shù)相同，等于9。因?yàn)?＜9，在減法中需向十位借位，所以所求個(gè)位數(shù)字為16－9＝7。例4求下列各除法運(yùn)算所得的余數(shù)：（1）7855÷5；（2）555÷3。分析與解：（1）由55÷4＝13……3知，7855的個(gè)位數(shù)與83的個(gè)位數(shù)相同，等于2，所以7855可分解為10×a＋2。因?yàn)?0×a能被5整除，所以7855除以5的余數(shù)是2。（2）因?yàn)閍÷3的余數(shù)不僅僅與a的個(gè)位數(shù)有關(guān)，所以不能用求555的個(gè)位數(shù)的方法求解。為了尋找5n÷3的余數(shù)的規(guī)律，先將5的各次方除以3的余數(shù)列表如下：注意：表中除以3的余數(shù)并不需要計(jì)算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余數(shù)乘以5后，再除以3去求。比如，52除以3的余數(shù)是1，53除以3的余數(shù)與1×5=5除以3的余數(shù)相同。這是因?yàn)?2＝3×8+1，其中3×8能被3整除，而53=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5，（3×8）×5能被3整除，所以53除以3的余數(shù)與1×5除以3的余數(shù)相同。由上表看出，5n除以3的余數(shù)，隨著n的增大，按2，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。由55÷2=27……1知，555÷3的余數(shù)與51÷3的余數(shù)相同，等于2。例5某種細(xì)菌每小時(shí)分裂一次，每次1個(gè)細(xì)茵分裂成3個(gè)細(xì)菌。20時(shí)后，將這些細(xì)菌每7個(gè)分為一組，還剩下幾個(gè)細(xì)菌？分析與解：1時(shí)后有1×3=31（個(gè)）細(xì)菌，2時(shí)后有31×3=32（個(gè)）細(xì)菌……20時(shí)后，有320個(gè)細(xì)菌，所以本題相當(dāng)于“求320÷7的余數(shù)”。由例4（2）的方法，將3的各次方除以7的余數(shù)列表如下：由上表看出，3n÷7的余數(shù)以六個(gè)數(shù)為周期循環(huán)出現(xiàn)。由20÷6＝3……2知，320÷7的余數(shù)與32÷7的余數(shù)相同，等于2。所以最后還剩2個(gè)細(xì)菌。最后再說明一點(diǎn)，an÷b所得余數(shù)，隨著n的增大，必然會(huì)出現(xiàn)周期性變化規(guī)律，因?yàn)樗糜鄶?shù)必然小于b，所以在b個(gè)數(shù)以內(nèi)必會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。

練習(xí)81．求下列各數(shù)的個(gè)位數(shù)字：（1）3838；（2）2930；（3）6431；（4）17215。2．求下列各式運(yùn)算結(jié)果的個(gè)位數(shù)字：（1）9222＋5731；（2）615+487+349；（3）469-6211；（4）37×48+59×610。3．求下列各除法算式所得的余數(shù)：（1）5100÷4；（2）8111÷6；（3）488÷7第9講數(shù)字謎（一）我們在三年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過一些簡單的數(shù)字謎問題。這兩講除了復(fù)習(xí)鞏固學(xué)過的知識(shí)外，還要學(xué)習(xí)一些新的內(nèi)容。例1在下面算式等號(hào)左邊合適的地方添上括號(hào)，使等式成立：5+7×8+12÷4-2＝20。分析：等式右邊是20，而等式左邊算式中的7×8所得的積比20大得多。因此必須設(shè)法使這個(gè)積縮小一定的倍數(shù)，化大為小。從整個(gè)算式來看，7×8是4的倍數(shù)，12也是4的倍數(shù)，5不能被4整除，因此可在7×8+12前后添上小括號(hào)，再除以4得17，5＋17-2=20。解：5+（7×8+12）÷4-2=20。例2把1～9這九個(gè)數(shù)字填到下面的九個(gè)□里，組成三個(gè)等式（每個(gè)數(shù)字只能填一次）：分析與解：如果從加法與減法兩個(gè)算式入手，那么會(huì)出現(xiàn)許多種情形。如果從乘法算式入手，那么只有下面兩種可能：2×3＝6或2×4＝8，所以應(yīng)當(dāng)從乘法算式入手。因?yàn)樵诩臃ㄋ闶健?□=□中，等號(hào)兩邊的數(shù)相等，所以加法算式中的三個(gè)□內(nèi)的三個(gè)數(shù)的和是偶數(shù)；而減法算式□-□=可以變形為加法算式□=□+□，所以減法算式中的三個(gè)□內(nèi)的三個(gè)數(shù)的和也是偶數(shù)。于是可知，原題加減法算式中的六個(gè)數(shù)的和應(yīng)該是偶數(shù)。若乘法算式是2×4＝8，則剩下的六個(gè)數(shù)1，3，5，6，7，9的和是奇數(shù)，不合題意；若乘法算式是2×3＝6，則剩下的六個(gè)數(shù)1，4，5，7，8，9可分為兩組：4＋5＝9，8-7＝1（或8-1＝7）；1＋7＝8，9－5＝4（或9－4＝5）。所以答案為與例3下面的算式是由1～9九個(gè)數(shù)字組成的，其中“7”已填好，請將其余各數(shù)填入□，使得等式成立：□□□÷□□=□-□=□-7。分析與解：因?yàn)樽蠖顺ㄊ阶拥纳瘫卮笥诘扔?，所以右端被減數(shù)只能填9，由此知左端被除數(shù)的百位數(shù)只能填1，故中間減式有8-6，6-4，5-3和4-2四種可能。經(jīng)逐一驗(yàn)證，8-6，6-4和4-2均無解，只有當(dāng)中間減式為5-3時(shí)有如下兩組解：128÷64=5-3=9-7，或164÷82＝5-3＝9-7。例4將1～9九個(gè)數(shù)字分別填入下面四個(gè)算式的九個(gè)□中，使得四個(gè)等式都成立：□+□=6，□×□=8，□-□=6，□□÷□=8。分析與解：因?yàn)槊總€(gè)□中要填不同的數(shù)字，對于加式只有兩種填法：1＋5或2＋4；對于乘式也只有兩種填法：1×8或2×4。加式與乘式的數(shù)字不能相同，搭配后只有兩種可能：（1）加式為1＋5，乘式為2×4；（2）加式為2+4，乘式為1×8。對于（1），還剩3，6，7，8，9五個(gè)數(shù)字未填，減式只能是9-3，此時(shí)除式無法滿足；對于（2），還剩3，5，6，7，9五個(gè)數(shù)字未填，減式只能是9-3，此時(shí)除式可填56÷7。答案如下：2＋4＝6，1×8＝8，9－3＝6，56÷7＝8。例2～例4都是對題目經(jīng)過初步分析后，將滿足題目條件的所有可能情況全部列舉出來，再逐一試算，決定取舍。這種方法叫做枚舉法，也叫窮舉法或列舉法，它適用于只有幾種可能情況的題目，如果可能的情況很多，那么就不宜用枚舉法。例5從1～9這九個(gè)自然數(shù)中選出八個(gè)填入下式的八個(gè)○內(nèi)，使得算式的結(jié)果盡可能大：[○÷○×（○+○）]-[○×○+○-○]。分析與解：為使算式的結(jié)果盡可能大，應(yīng)當(dāng)使前一個(gè)中括號(hào)內(nèi)的結(jié)果盡量大，后一個(gè)中括號(hào)內(nèi)的結(jié)果盡量小。為敘述方便，將原式改寫為：[A÷B×（C＋D）]-[E×F＋G－H]。通過分析，A，C，D，H應(yīng)盡可能大，且A應(yīng)最大，C，D次之，H再次之；B，E，F(xiàn)，G應(yīng)盡可能小，且B應(yīng)最小，E，F(xiàn)次之，G再次之。于是得到A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2，F(xiàn)=3，G=4，其中C與D，E與F的值可互換。將它們代入算式，得到[9÷1×（8＋7）]－[2×3＋4－6]=131。

練習(xí)91．在下面的算式里填上括號(hào)，使等式成立：（1）4×6+24÷6-5=15；（2）4×6+24÷6-5=35；（3）4×6+24÷6-5=48；（4）4×6+24÷6-5＝0。2．加上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)和括號(hào)，使下式成立：12345＝100。3．把0～9這十個(gè)數(shù)字填到下面的□里，組成三個(gè)等式（每個(gè)數(shù)字只能填一次）：□+□=□，□-□=□，□×□=□□。4．在下面的□里填上+，-，×，÷，（）等符號(hào)，使各個(gè)等式成立：4□4□4□4＝1，4□4□4□4＝3，4□4□4□4＝5，4□4□4□4＝9。5．將2～7這六個(gè)數(shù)字分別填入下式的□中，使得等式成立：□+□-□=□×□÷□。6．將1～9分別填入下式的九個(gè)□內(nèi)，使算式取得最大值：□□□×□□□×□□□。7．將1～8分別填入下式的八個(gè)□內(nèi)，使算式取得最小值：□□×□□×□□×□□。第10講數(shù)字謎（二）例1把下面算式中缺少的數(shù)字補(bǔ)上：分析與解：一個(gè)四位數(shù)減去一個(gè)三位數(shù)，差是一個(gè)兩位數(shù)，也就是說被減數(shù)與減數(shù)相差不到100。四位數(shù)與三位數(shù)相差不到100，三位數(shù)必然大于900，四位數(shù)必然小于1100。由此我們找出解決本題的突破口在百位數(shù)上。（1）填百位與千位。由于被減數(shù)是四位數(shù)，減數(shù)是三位數(shù)，差是兩位數(shù)，所以減數(shù)的百位應(yīng)填9，被減數(shù)的千位應(yīng)填1，百位應(yīng)填0，且十位相減時(shí)必須向百位借1。（2）填個(gè)位。由于被減數(shù)個(gè)位數(shù)字是0，差的個(gè)位數(shù)字是1，所以減數(shù)的個(gè)位數(shù)字是9。（3）填十位。由于個(gè)位向十位借1，十位又向百位借1，所以被減數(shù)十位上的實(shí)際數(shù)值是18，18分解成兩個(gè)一位數(shù)的和，只能是9與9，因此，減數(shù)與差的十位數(shù)字都是9。所求算式如右式。由例1看出，考慮減法算式時(shí)，借位是一個(gè)重要條件。例2在下列各加法算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求出這兩個(gè)算式：分析與解：（1）這是一道四個(gè)數(shù)連加的算式，其特點(diǎn)是相同數(shù)位上的數(shù)字相同，且個(gè)位與百位上的數(shù)字相同，即都是漢字“學(xué)”。從個(gè)位相同數(shù)相加的情況來看，和的個(gè)位數(shù)字是8，有兩種可能情況：2＋2＋2＋2＝8與7＋7＋7＋7＝28，即“學(xué)”＝2或7。如果“學(xué)”＝2，那么要使三個(gè)“數(shù)”所代表的數(shù)字相加的和的個(gè)位數(shù)字為8，“數(shù)”只能代表數(shù)字6。此時(shí)，百位上的和為“學(xué)”＋“學(xué)”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。因此“學(xué)”≠2。如果“學(xué)”＝7，那么要使三個(gè)“數(shù)”所代表的數(shù)字相加再加上個(gè)位進(jìn)位的2，和的個(gè)位數(shù)字為8，“數(shù)”只能代表數(shù)字2。百位上兩個(gè)7相加要向千位進(jìn)位1，由此可得“我”代表數(shù)字3。滿足條件的解如右式。（2）由千位看出，“努”=4。由千、百、十、個(gè)位上都有“努”，5432-4444=988，可將豎式簡化為左下式。同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可將左下式簡化為下中式，從而求出“學(xué)”=9，“習(xí)”=1。滿足條件的算式如右下式。例2中的兩題形式類似，但題目特點(diǎn)并不相同，解法也不同，請同學(xué)們注意比較。例3下面豎式中每個(gè)漢字代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求被乘數(shù)。分析與解：由于個(gè)位上的“賽”ד賽”所得的積不再是“賽”，而是另一個(gè)數(shù)，所以“賽”的取值只能是2，3，4，7，8，9。下面采用逐一試驗(yàn)的方法求解。（1）若“賽”＝2，則“數(shù)”＝4，積=444444。被乘數(shù)為444444÷2＝222222，而被乘數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字各不相同，所以“賽”≠2。（2）若“賽”＝3，則“數(shù)”=9，仿（1）討論，也不行。（3）若“賽”＝4，則“數(shù)”＝6，積=666666。666666÷4得不到整數(shù)商，不合題意。（4）若“賽”＝7，則“數(shù)”＝9，積=999999。被乘數(shù)為999999÷7＝142857，符合題意。（5）若“賽”＝8或9，仿上討論可知，不合題意。所以，被乘數(shù)是142857。例4在□內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使左下式的乘法豎式成立。分析與解：為清楚起見，我們用A，B，C，D，…表示□內(nèi)應(yīng)填入的數(shù)字（見右上式）。由被乘數(shù)大于500知，E=1。由于乘數(shù)的百位數(shù)與被乘數(shù)的乘積的末位數(shù)是5，故B，C中必有一個(gè)是5。若C＝5，則有6□□×5=（600+□□）×5=3000+□□×5，不可能等于□5□5，與題意不符，所以B=5。再由B=5推知G=0或5。若G=5，則F=A=9，此時(shí)被乘數(shù)為695，無論C為何值，它與695的積不可能等于□5□5，與題意不符，所以G=0，F(xiàn)=A=4。此時(shí)已求出被乘數(shù)是645，經(jīng)試驗(yàn)只有645×7滿足□5□5，所以C=7；最后由B=5，G=0知D為偶數(shù)，經(jīng)試驗(yàn)知D=2。右式為所求豎式。此類乘法豎式題應(yīng)根據(jù)已給出的數(shù)字、乘法及加法的進(jìn)位情況，先填比較容易的未知數(shù)，再依次填其余未知數(shù)。有時(shí)某未知數(shù)有幾種可能取值，需逐一試驗(yàn)決定取舍。例5在□內(nèi)填入適當(dāng)數(shù)字，使左下方的除法豎式成立。分析與解：把左上式改寫成右上式。根據(jù)除法豎式的特點(diǎn)知，B=0，D=G=1，E=F=H=9，因此除數(shù)應(yīng)是99的兩位數(shù)的約數(shù)，可能取值有11，33和99，再由商的個(gè)位數(shù)是5以及5與除數(shù)的積是兩位數(shù)得到除數(shù)是11，進(jìn)而知A＝C-9。至此，除數(shù)與商都已求出，其余未知數(shù)都可填出（見右式）。此類除法豎式應(yīng)根據(jù)除法豎式的特點(diǎn)，如商的空位補(bǔ)0、余數(shù)必須小于除數(shù)，以及空格間的相互關(guān)系等求解，只要求出除數(shù)和商，問題就迎刃而解了。例6把左下方除法算式中的*號(hào)換成數(shù)字，使之成為一個(gè)完整的式子（各*所表示的數(shù)字不一定相同）。分析與解：由上面的除法算式容易看出，商的十位數(shù)字“*”是0，即商為。因?yàn)槌龜?shù)與8的積是兩位數(shù)，除數(shù)與商的千位數(shù)字的積是三位數(shù)，知商的千位數(shù)是9，即商為9807。因?yàn)椤俺龜?shù)×9”是三位數(shù)，所以除數(shù)≥12；又因?yàn)椤俺龜?shù)×8”是兩位數(shù)，所以除數(shù)≤12。推知除數(shù)只能是12。被除數(shù)為9807×12＝117684。除法算式如上頁右式。練習(xí)101．在下面各豎式的□內(nèi)填入合適的數(shù)字，使豎式成立：2．右面的加法算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。問：“小”代表什么數(shù)字？3．在下列各算式中，不同的漢字代表不同的數(shù)字相同的漢字代表相同的數(shù)字。求出下列各式：4．在下列各算式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。這些算式中各字母分別代表什么數(shù)字？第11講歸一問題與歸總問題在解答某些應(yīng)用題時(shí)，常常需要先找出“單一量”，然后以這個(gè)“單一量”為標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)其它條件求出結(jié)果。用這種解題思路解答的應(yīng)用題，稱為歸一問題。所謂“單一量”是指單位時(shí)間的工作量、物品的單價(jià)、單位面積的產(chǎn)量、單位時(shí)間所走的路程等。例1一種鋼軌，4根共重1900千克，現(xiàn)在有95000分析：以一根鋼軌的重量為單一量。（1）一根鋼軌重多少千克？1900÷4＝475（千克）。（2）95000千克95000÷475＝200（根）。解：95000÷（1900÷4）＝200（根）。答：可以制造200根鋼軌。例2王家養(yǎng)了5頭奶牛，7天產(chǎn)牛奶630千克，照這樣計(jì)算，8頭奶牛15分析：以1頭奶牛1天產(chǎn)的牛奶為單一量。（1）1頭奶牛1天產(chǎn)奶多少千克？630÷5÷7＝18（千克）。（2）8頭奶牛15天可產(chǎn)牛奶多少千克？18×8×15＝2160（千克）。解：（630÷5÷7）×8×15=2160（千克）。答：可產(chǎn)牛奶2160千克例3三臺(tái)同樣的磨面機(jī)2.5時(shí)可以磨面粉2400千克，8臺(tái)這樣的磨面機(jī)磨25600分析與解：以1臺(tái)磨面機(jī)1時(shí)磨的面粉為單一量。（1）1臺(tái)磨面機(jī)1時(shí)磨面粉多少千克？2400÷3÷2.5=320（千克）。（2）8臺(tái)磨面機(jī)磨25600千克25600÷320÷8=10（時(shí)）。綜合列式為25600÷（2400÷3÷2.5）÷8=10（時(shí)）。例44輛大卡車運(yùn)沙土，7趟共運(yùn)走沙土336噸?，F(xiàn)在有沙土420噸，要求5趟運(yùn)完。問：需要增加同樣的卡車多少輛？分析與解：以1輛卡車1趟運(yùn)的沙土為單一量。（1）1輛卡車1趟運(yùn)沙土多少噸？336÷4÷7=12（噸）。（2）5趟運(yùn)走420噸沙土需卡車多少輛？420÷12÷5＝7（輛）。（3）需要增加多少輛卡車？7-4＝3（輛）。綜合列式為420÷（336÷4÷7）÷5-4＝3（輛）。與歸一問題類似的是歸總問題，歸一問題是找出“單一量”，而歸總問題是找出“總量”，再根據(jù)其它條件求出結(jié)果。所謂“總量”是指總路程、總產(chǎn)量、工作總量、物品的總價(jià)等。例5一項(xiàng)工程，8個(gè)人工作15時(shí)可以完成，如果12個(gè)人工作，那么多少小時(shí)可以完成？分析：（1）工程總量相當(dāng)于1個(gè)人工作多少小時(shí)？15×8＝120（時(shí)）。（2）12個(gè)人完成這項(xiàng)工程需要多少小時(shí)？120÷12＝10（時(shí)）。解：15×8÷12＝10（時(shí)）。答：12人需10時(shí)完成。例6一輛汽車從甲地開往乙地，每小時(shí)行60千米，5時(shí)到達(dá)。若要4分析：從甲地到乙地的路程是一定的，以路程為總量。（1）從甲地到乙地的路程是多少千米？60×5=300（千米）。（2）4時(shí)到達(dá)，每小時(shí)需要行多少千米？300÷4＝75（千米）。（3）每小時(shí)多行多少千米？75－60＝15（千米）。解：（60×5）÷4——60＝15（千米）。答：每小時(shí)需要多行15千米例7修一條公路，原計(jì)劃60人工作，80天完成。現(xiàn)在工作20天后，又增加了30人，這樣剩下的部分再用多少天可以完成？分析：（1）修這條公路共需要多少個(gè)勞動(dòng)日（總量）？60×80＝4800（勞動(dòng)日）。（2）60人工作20天后，還剩下多少勞動(dòng)日？4800-60×20=3600（勞動(dòng)日）。（3）剩下的工程增加30人后還需多少天完成？3600÷（60＋30）=40（天）。解：（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。答：再用40天可以完成。

練習(xí)111．2臺(tái)拖拉機(jī)4時(shí)耕地20公頃，照這樣速度，5臺(tái)拖拉機(jī)62．4臺(tái)織布機(jī)5時(shí)可以織布2600米，24臺(tái)織布機(jī)幾小時(shí)才能織布249603．一種幻燈機(jī)，5秒鐘可以放映80張片子。問：48秒鐘可以放映多少張片子？4．3臺(tái)抽水機(jī)8時(shí)灌溉水田48公頃，照這樣的速度，5臺(tái)同樣的抽水機(jī)65．平整一塊土地，原計(jì)劃8人平整，每天工作7.5時(shí)，6天可以完成任務(wù)。由于急需播種，要求5天完成，并且增加1人。問：每天要工作幾小時(shí)？6．食堂管理員去農(nóng)貿(mào)市場買雞蛋，原計(jì)劃按每千克3.00元買35千克。結(jié)果雞蛋價(jià)格下調(diào)了，他用這筆錢多買了2.57．鍋爐房按照每天4.5噸的用量儲(chǔ)備了120天的供暖煤。供暖40天后，由于進(jìn)行了技術(shù)改造，每天能節(jié)約0.9噸煤。問：這些煤共可以供暖多少天？第12講年齡問題年齡問題是一類以“年齡為內(nèi)容”的數(shù)學(xué)應(yīng)用題。年齡問題的主要特點(diǎn)是：二人年齡的差保持不變，它不隨歲月的流逝而改變；二人的年齡隨著歲月的變化，將增或減同一個(gè)自然數(shù)；二人年齡的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長而發(fā)生變化，年齡增大，倍數(shù)變小。根據(jù)題目的條件，我們常將年齡問題化為“差倍問題”、“和差問題”、“和倍問題”進(jìn)行求解。例1兒子今年10歲，5年前母親的年齡是他的6倍，母親今年多少歲？分析與解：兒子今年10歲，5年前的年齡為5歲，那么5年前母親的年齡為5×6＝30（歲），因此母親今年是30＋5=35（歲）。例2今年爸爸48歲，兒子20歲，幾年前爸爸的年齡是兒子的5倍？分析與解：今年爸爸與兒子的年齡差為“48——20”歲，因?yàn)槎说哪挲g差不隨時(shí)間的變化而改變，所以當(dāng)爸爸的年齡為兒子的5倍時(shí)，兩人的年齡差還是這個(gè)數(shù)，這樣就可以用“差倍問題”的解法。當(dāng)爸爸的年齡是兒子年齡的5倍時(shí)，兒子的年齡是（48——20）÷（5——1）＝7（歲）。由20－7＝13（歲），推知13年前爸爸的年齡是兒子年齡的5倍。例3兄弟二人的年齡相差5歲，兄3年后的年齡為弟4年前的3倍。問：兄、弟二人今年各多少歲？分析與解：根據(jù)題意，作示意圖如下：由上圖可以看出，兄3年后的年齡比弟4年前的年齡大5＋3＋4＝12（歲），由“差倍問題”解得，弟4年前的年齡為（5＋3＋4）÷（3－1）＝6（歲）。由此得到弟今年6＋4＝10（歲），兄今年10＋5＝15（歲）。例4今年兄弟二人年齡之和為55歲，哥哥某一年的歲數(shù)與弟弟今年的歲數(shù)相同，那一年哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的2倍，請問哥哥今年多少歲？分析與解：在哥哥的歲數(shù)是弟弟的歲數(shù)2倍的那一年，若把弟弟歲數(shù)看成一份，那么哥哥的歲數(shù)比弟弟多一份，哥哥與弟弟的年齡差是1份。又因?yàn)槟且荒旮绺鐨q數(shù)與今年弟弟歲數(shù)相等，所以今年弟弟歲數(shù)為2份，今年哥哥歲數(shù)為2＋1=3（份）（見下頁圖）。由“和倍問題”解得，哥哥今年的歲數(shù)為55÷(3+2)×3=33(歲)。例5哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等，哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲，請問二人今年各多少歲？分析與解：由“哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等”可知兄妹二人的年齡差為“4＋5”歲。由“哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲”，可知兄妹二人今年的年齡和為“97——2——8”歲。由“和差問題”兄[（97——2——8）＋（4＋5）]÷2＝48（歲），妹[（97——2——8）-（4＋5）]÷2=39（歲）。例61994年父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的4倍。2000年，父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的2倍。問：父親出生在哪一年？分析與解：如果用1段線表示兄弟二人1994年的年齡和，則父親1994年的年齡要用4段線來表示（見下頁圖）。父親在2000年的年齡應(yīng)是4段線再加6歲，而兄弟二人在2000年的年齡之和是1段線再加2×6＝12（歲），它是父親年齡的一半，也就是2段線再加3歲。由1段＋12歲=2段＋3歲，推知1段是9歲。所以父親1994年的年齡是9×4＝36（歲），他出生于1994——36＝1958（年）。例7今年父親的年齡為兒子的年齡的4倍，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍。問：父子今年各多少歲？解法一：假設(shè)父親的年齡一直是兒子年齡的4倍，那么每過一年兒子增加一歲，父親就要增加4歲。這樣，20年后兒子增加20歲，父親就要增加80歲，比兒子多增加了80－20＝60（歲）。事實(shí)上，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍，根據(jù)剛才的假設(shè)，多增加的60歲，正好相當(dāng)于20年后兒子年齡的（4——2＝）2倍，因此，今年兒子的年齡為（20×4－20）÷（4－2）－20＝10（歲），父親今年的年齡為10×4＝40（歲）。解法二：如果用1段線表示兒子今年的年齡，那么父親今年的年齡要用4段線來表示（見下圖）。20年后，父親的年齡應(yīng)是4段線再加上20歲，而兒子的年齡應(yīng)是1段線再加上20歲，是父親年齡的一半，也就是2段線再加上10歲。由1段＋20=2段＋10，求得1段是10歲，即兒子今年10歲，從而父親今年40歲。例8今年?duì)敔?8歲，長孫27歲，次孫23歲，三孫16歲。問：幾年后爺爺?shù)哪挲g等于三個(gè)孫子年齡之和？分析：今年三個(gè)孫子的年齡和為27＋23＋16=66（歲），爺爺比三個(gè)孫子的年齡和多78——66＝12（歲）。每過一年，爺爺增加一歲，而三個(gè)孫子的年齡和卻要增加1＋1＋1＝3（歲），比爺爺多增加3－1＝2（歲）。因而只需求出12里面有幾個(gè)2即可。解：[78－（27＋23＋16）]÷（1＋1＋1－1）＝6（年）。答：6年后爺爺?shù)哪挲g等于三個(gè)孫子年齡的和。

練習(xí)121．父親比兒子大30歲，明年父親的年齡是兒子年齡的3倍，那么今年兒子幾歲？2．王梅比舅舅小19歲，舅舅的年齡比王梅年齡的3倍多1歲。問：他們二人各幾歲？3．小明今年9歲，父親39歲，再過多少年父親的年齡正好是小明年齡的2倍？4．父親年齡是女兒的4倍，三年前父女年齡之和是49歲。問：父女兩人現(xiàn)在各多少歲？5．一家三口人，三人年齡之和是74歲，媽媽比爸爸小2歲，媽媽的年齡是兒子年齡的4倍。問：三人各是多少歲？6．今年老師46歲，學(xué)生16歲，幾年后老師年齡的2倍與學(xué)生年齡的5倍相等？7．已知祖孫三人，祖父和父親年齡的差與父親和孫子年齡的差相同，祖父和孫子年齡之和為82歲，明年祖父的年齡恰好等于孫子年齡的5倍。問：祖孫三人各多少歲？8．小樂問劉老師今年有多少歲，劉老師說：“當(dāng)我像你這么大時(shí)，你才3歲；當(dāng)你像我這么大時(shí)，我已經(jīng)42歲了。”你能算出劉老師有多少歲嗎？第13講雞兔同籠問題與假設(shè)法雞兔同籠問題是按照題目的內(nèi)容涉及到雞與兔而命名的，它是一類有名的中國古算題。許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題，都可以轉(zhuǎn)化為雞兔同籠問題來加以計(jì)算。例1小梅數(shù)她家的雞與兔，數(shù)頭有16個(gè)，數(shù)腳有44只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？分析：假設(shè)16只都是雞，那么就應(yīng)該有2×16＝32（只）腳，但實(shí)際上有44只腳，比假設(shè)的情況多了44-32＝12（只）腳，出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當(dāng)作雞了。如果我們以同樣數(shù)量的兔去換同樣數(shù)量的雞，那么每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)增加了2只。因此只要算出12里面有幾個(gè)2，就可以求出兔的只數(shù)。解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有雞16-6＝10（只）。答：有6只兔，10只雞。當(dāng)然，我們也可以假設(shè)16只都是兔子，那么就應(yīng)該有4×16＝64（只）腳，但實(shí)際上有44只腳，比假設(shè)的情況少了64－44＝20（只）腳，這是因?yàn)榘央u當(dāng)作兔了。我們以雞去換兔，每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)減少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有幾