3.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

3.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性課標(biāo)要求精細(xì)考點(diǎn)素養(yǎng)達(dá)成1.了解函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性3.會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間通過求函數(shù)的單調(diào)性,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)已知單調(diào)性求參數(shù)的范圍通過含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用通過函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)1.(概念辨析)(多選)下列命題正確的有().A.若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,則一定有f'(x)>0B.如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0,那么f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性C.函數(shù)f(x)=x3ax為R上增函數(shù)的一個(gè)充分不必要條件是a≤0D.函數(shù)f(x)=lnxx的單調(diào)遞減區(qū)間是(e,2.(對(duì)接教材)函數(shù)f(x)=x33x2+1的單調(diào)遞減區(qū)間為().A.(2,+∞) B.(∞,2)C.(∞,0) D.(0,2)3.(對(duì)接教材)已知f(x)在R上是可導(dǎo)函數(shù),y=f(x)的圖象如圖所示,則不等式f'(x)>0的解集為().(2,0)∪(2,+∞)B.(∞,2)∪(2,+∞)C.(∞,1)∪(1,+∞)D.(2,1)∪(1,2)4.(易錯(cuò)自糾)已知函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是().A BC D5.(真題演練)(2023·新高考全國(guó)Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)=aexlnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,則a的最小值為().A.e2 B.e C.e1 D.e2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1.無參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性典例1(1)函數(shù)f(x)=13x2lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.62,+∞ B.-62,6(2)已知定義在區(qū)間(π,π)上的函數(shù)f(x)=xsinx+cosx,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的三種方法(1)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時(shí),解不等式f'(x)>0或f'(x)<0,求出單調(diào)區(qū)間.(2)當(dāng)方程f'(x)=0可解時(shí),解出方程的實(shí)根,按實(shí)根把函數(shù)的定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間,確定各區(qū)間f'(x)的符號(hào),從而確定單調(diào)區(qū)間.(3)若導(dǎo)函數(shù)的方程、不等式都不可解,根據(jù)f'(x)的結(jié)構(gòu)特征,利用其圖象與性質(zhì)確定f'(x)的符號(hào),從而確定單調(diào)區(qū)間.若所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè),這些區(qū)間之間不能用并集“∪”及“或”連接,只能用“,”“和”隔開.訓(xùn)練1(1)函數(shù)f(x)=x-3e2x的單調(diào)遞減區(qū)間是A.(∞,2) B.(2,+∞)C.72,+∞ D.(3,(2)下列函數(shù)中,在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是().A.f(x)=sin2x B.f(x)=xexC.f(x)=x3x D.f(x)=x+lnx2.含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性典例2(1)(2023·南京師大附中?？寄M預(yù)測(cè))已知f(x)=ln(x+1)ax(a∈R),討論f(x)的單調(diào)性.已知函數(shù)f(x)=12x2(1+a)x+alnx,其中a為實(shí)數(shù),求f(x)的單調(diào)區(qū)間1.(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性,要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),要在函數(shù)定義域內(nèi)討論,還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn).2.個(gè)別導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不影響所在區(qū)間的單調(diào)性,如f(x)=x3,f'(x)=3x2≥0(f'(x)=0在x=0時(shí)取到),f(x)在R上是增函數(shù).訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a2)exx,討論f(x)的單調(diào)性.已知單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍典例3已知函數(shù)f(x)=lnx12ax22x(a≠0)在[1,4]上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是變式本例條件變?yōu)椤昂瘮?shù)f(x)在[1,4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路(1)由函數(shù)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減)可知f'(x)≥0(f'(x)≤0)在區(qū)間[a,b]上恒成立,列出不等式.(2)利用分離參數(shù)法或函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問題.(3)對(duì)等號(hào)單獨(dú)檢驗(yàn),檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f'(x)在整個(gè)區(qū)間恒等于0.若f'(x)恒等于0,則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去;若只有在個(gè)別點(diǎn)處有f'(x)=0,則參數(shù)可取這個(gè)值.注意當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題;當(dāng)已知函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)時(shí),則轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上有零點(diǎn)問題.訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)=12x23x+4lnx在(t,t+2)上不單調(diào),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用1.利用單調(diào)性解不等式典例4已知函數(shù)f(x)=x32x+ex1ex,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若f(a1)+f(2a2)≤0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是訓(xùn)練4已知定義在(3,3)上的奇函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f'(x),當(dāng)x≥0時(shí),y=f(x)的圖象如圖所示,則關(guān)于x的不等式f'(x)x>2.比較大小典例5已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則下列不等關(guān)系正確的是().A.ln2>2e B.ln3<3eC.lnπ>πe D.訓(xùn)練5設(shè)a=0.1e0.1,b=19,c=ln0.9,則()A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.a<c<b構(gòu)造函數(shù)研究不等關(guān)系在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與數(shù)列中經(jīng)常有不等關(guān)系的處理,常見的有比較大小、不等式的證明、恒成立(或存在性)等不等式問題,解決這些問題最常用的方法就是構(gòu)造函數(shù).構(gòu)造法證明不等式是指在證明與函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí),根據(jù)所要證明的不等式,構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值加以證明.常見的構(gòu)造方法有:(1)直接構(gòu)造法:證明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明f(x)g(x)>0(f(x)g(x)<0),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)=f(x)g(x);(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法:一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮,二是利用常見的放縮結(jié)論,如lnx≤x1,ex≥x+1,lnx<x<ex(x>0),xx+1≤ln(x+1)≤x(x>1)等;(3)構(gòu)造“形似”函數(shù):稍作變形再構(gòu)造,對(duì)原不等式同解變形,如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù),把不等式轉(zhuǎn)化為左、右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的形式,根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù);(4)構(gòu)造雙函數(shù):若直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)難以判斷符號(hào),導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)也不易求得,因此若函數(shù)單調(diào)性與極值點(diǎn)都不易獲得,則可構(gòu)造函數(shù)f(x)和g(x),典例(1)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=1,且對(duì)任意的x∈R都有f'(x)<12,則不等式f(lgx)>lgx+1(2)設(shè)f'(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),且f(1)=0,當(dāng)x>0時(shí),xf'(x)f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍為.

有這樣一類題型,題目中不是給出具體的函數(shù)解析式,而是給出函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)滿足的條件,需要據(jù)此條件構(gòu)造抽象函數(shù),再根據(jù)條件得出構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性,應(yīng)用單調(diào)性解決問題.訓(xùn)練(1)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),對(duì)任意x∈R,都有f'(x)>f(x)成立.若f(ln2)=12,則滿足不等式f(x)>1ex的x的取值范圍是(A.(1,+∞) B.(0,1)C.(ln2,+∞) D.(0,ln2)(2)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+2f'(x)>0恒成立,且f(2)=1e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則不等式exf(x)ex2>0一、單選題1.已知函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,則該函數(shù)的圖象可能是().A BC D2.函數(shù)f(x)=(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是().A.(∞,2) B.(0,3)C.(1,4) D.(2,+∞)3.設(shè)函數(shù)f(x)=2x+sinx,則().A.f(1)>f(2) B.f(1)<f(2)C.f(1)=f(2) D.以上都不正確4.“m<4”是“函數(shù)f(x)=2x2mx+lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增”的().A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件二、多選題5.函數(shù)f(x)=xlnx().A.在0,1e上是減函數(shù) B.在0,1e上是增函數(shù)C.在1e6.下面比較大小正確的有().A.3π>πe B.πe>eπ C.3π>eπ D.eπ>πe三、填空題7.設(shè)函數(shù)f(x)=12x29lnx在區(qū)間[a1,a+1]上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是8.已知函數(shù)f(x)=x+lnx+cosx,若f(x24)≤f(3x),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

四、解答題9.(2023·福建莆田)已知函數(shù)f(x)=x3ax1.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)在R上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.10.(2024·南通如皋市押題卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2alnx,g(x)=1x1ex-1,其中a∈R,e=2(1)討論f(x)的單調(diào)性;(