蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第5章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5-3-2極大值與極小值課件

5.3.2

極大值與極小值知識(shí)點(diǎn)1

函數(shù)極值、極值點(diǎn)的概念1.極大值與極大值點(diǎn)一般地,若存在δ>0,當(dāng)x∈(x1-δ,x1+δ)時(shí),都有f(x)≤f(x1),則稱f(x1)為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值,稱x1為

函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn).2.極小值與極小值點(diǎn)一般地,若存在δ>0,當(dāng)x∈(x2-δ,x2+δ)時(shí),都有f(x)≥f(x2),則稱f(x2)為函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值,稱x2為

函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn).3.極值與極值點(diǎn)函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,函數(shù)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點(diǎn).1.極大值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)2

函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系xx1左側(cè)x1x1右側(cè)f'(x)f'(x)>0f'(x)=0f'(x)<0f(x)↗極大值f(x1)↘2.極小值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系xx2左側(cè)x2x2右側(cè)f'(x)f'(x)<0f'(x)=0f'(x)>0f(x)↘極小值f(x2)↗知識(shí)辨析1.函數(shù)的極值點(diǎn)是平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)嗎?2.導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎?3.函數(shù)的極大值一定比極小值大嗎?4.若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)有極值,則f(x)在(a,b)內(nèi)一定不單調(diào),這種說(shuō)法正確嗎?5.在可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)處,該函數(shù)圖象的切線與x軸一定平行或重合嗎?6.函數(shù)的極值點(diǎn)一定只能出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)部嗎?區(qū)間的端點(diǎn)能不能成為極值點(diǎn)?一語(yǔ)破的1.不是.函數(shù)的極值點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù).如f(x)在x=a處取得極值,則實(shí)數(shù)a是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn).2.不一定.只有導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號(hào)時(shí)才是極值點(diǎn),但極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值必定為0,所

以函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0是函數(shù)在這點(diǎn)處取得極值的必要不充分條件.3.不一定.函數(shù)的極大值一定大于相鄰的極小值,對(duì)于不相鄰的極大值與極小值不能確定大小

關(guān)系.如圖所示,x1是極大值點(diǎn),x4是極小值點(diǎn),但f(x1)<f(x4).4.正確.根據(jù)極值的概念,極值點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)值不同號(hào),所以函數(shù)不單調(diào).5.一定.由極值的概念可知,可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值為0,即函數(shù)圖象的切線的斜率為

0,所以切線與x軸平行或重合.6.根據(jù)函數(shù)極值的定義,若x1為極值點(diǎn),則存在δ>0,當(dāng)x∈(x1-δ,x1+δ)時(shí),都有f(x)≤f(x1)或f(x)≥f(x1),極值點(diǎn)x1的左、右兩側(cè)應(yīng)該都存在f(x),故函數(shù)的極值點(diǎn)只能出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)部,區(qū)間的端點(diǎn)

不能成為極值點(diǎn).1.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'(x);(3)由f'(x)=0,求出全部的根;(4)列表:方程的根將整個(gè)定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間(如果根中含有參數(shù),則需根據(jù)參數(shù)的范圍

分類劃分區(qū)間),把x,f'(x),f(x)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化情況列在一個(gè)表格內(nèi);(5)得結(jié)論:若導(dǎo)數(shù)在根x0附近左正右負(fù),則函數(shù)在x0處取得極大值;若左負(fù)右正,則取得極小值.2.有關(guān)含參數(shù)的函數(shù)的極值問(wèn)題(1)求含參數(shù)的函數(shù)的極值,要根據(jù)f'(x)=0的不同類型對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.通常要考慮以下

幾個(gè)方面:定點(diǎn)1利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題關(guān)鍵能力定點(diǎn)破①方程f'(x)=0有無(wú)實(shí)數(shù)根;②方程f'(x)=0的實(shí)數(shù)根是否在定義域內(nèi);③方程f'(x)=0的實(shí)數(shù)根的大小.(2)由極值求參數(shù)的值或取值范圍,解題的切入點(diǎn)是極值存在的條件:極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0,

極值點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號(hào).解題步驟如下:①求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'(x);②由極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0,列出方程(組),求解參數(shù).注意:求出參數(shù)后,一定要驗(yàn)證是否滿足題目的條件.典例1已知f(x)=[x2-(a+3)x+a+3]ex-a+1,a∈R,求f(x)的極值.解析

f(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)=[x2-(a+3)x+a+3+2x-(a+3)]ex=x[x-(a+1)]ex,令f'(x)=0,得x=0或x=a+1,①當(dāng)a=-1時(shí),f'(x)≥0恒成立,則f(x)在R上單調(diào)遞增,無(wú)極值;②當(dāng)a<-1時(shí),列表如下:x(-∞,a+1)a+1(a+1,0)0(0,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值f(a+1)↘極小值f(0)↗所以f(x)的極大值為f(a+1)=(1-a)(ea+1+1),極小值為f(0)=4;x(-∞,0)0(0,a+1)a+1(a+1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值f(0)↘極小值f(a+1)↗所以f(x)的極大值為f(0)=4,極小值為f(a+1)=(1-a)(ea+1+1).綜上,當(dāng)a=-1時(shí),f(x)無(wú)極值;當(dāng)a<-1時(shí),f(x)極大值=f(a+1)=(1-a)(ea+1+1),f(x)極小值=f(0)=4;當(dāng)a>-1時(shí),f(x)極大值=f(0)=4,f(x)極小值=f(a+1)=(1-a)(ea+1+1).③當(dāng)a>-1時(shí),列表如下:典例2(1)若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10,求a,b的值;(2)已知函數(shù)f(x)=

x3-

(m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m為常數(shù))在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.思路點(diǎn)撥

(1)求f'(x)

建立關(guān)于a,b的方程組

解方程組

求出a,b的值并檢驗(yàn).(2)由題知f'(x)的圖象在(1,+∞)內(nèi)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

列關(guān)于m的不等式組

解不等式組,得到m的取值范圍.解析

(1)由f(x)=x3+ax2+bx+a2得f'(x)=3x2+2ax+b,依題意得

整理得

解得

或

當(dāng)a=-3,b=3時(shí),f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,故f(x)在R上單調(diào)遞增,不可能在x=1處取得極值,所以a=-3,b=3不符合題意,舍去.而當(dāng)a=4,b=-11時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)符合題意,故a,b的值分別為4,-11.(2)由f(x)=

x3-

(m+3)x2+(m+6)x得f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1,+∞)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn),所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6的圖象在(1,+∞)內(nèi)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),如圖所示.

所以

解得m>3,故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(3,+∞).易錯(cuò)警示

解決利用極值求函數(shù)中的參數(shù)問(wèn)題時(shí),注意f'(x0)=0是x0為極值點(diǎn)的必要不充分條

件,(1)中由f'(1)=0及f(1)=10求出a,b的值后,注意檢驗(yàn)極值的存在條件,防止漏掉檢驗(yàn)導(dǎo)致解題

錯(cuò)誤.1.利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性,研究函數(shù)的極值情況,并能在此基礎(chǔ)上畫(huà)出函數(shù)的大致圖

象,從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)或兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù),從而為研究方程根的

個(gè)數(shù)問(wèn)題提供了方便.2.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題中,函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題是比較復(fù)雜的綜合問(wèn)題,常常在高考?jí)狠S題中出

現(xiàn).解決此類問(wèn)題可通過(guò)極值的正用和逆用,分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法進(jìn)行有效處理,

解題的關(guān)鍵是掌握求單調(diào)區(qū)間和極值的方法.定點(diǎn)2利用函數(shù)極值解決函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)問(wèn)題典例已知函數(shù)f(x)=(ax2+x-1)ex(a∈R,且a為常數(shù)).(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若a=-1,函數(shù)f(x)與g(x)=

x3+

x2+m的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.思路點(diǎn)撥

(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)

f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.(2)構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)h(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn),求出h(x)的極值,進(jìn)而得到

關(guān)于m的不等式組,求解即可.解析

(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=(x2+x-1)ex,則f'(x)=x(x+3)ex.令f'(x)=0,得x=0或x=-3,當(dāng)x<-3時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)-3<x<0時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,綜上所述,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-3,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-3),(0,+∞).(2)a=-1時(shí),f(x)=(-x2+x-1)ex,令h(x)=f(x)-g(x)=(-x2+x-1)ex-

,則h'(x)=-(x2+x)(ex+1),令h'(x)=0,解得x=0或x=-1.列表如下:x(-∞,-1)