湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第3章圓錐曲線與方程3-3拋物線課件

3.3拋物線1|

拋物線的定義我們把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(F?l)距離相等的點的軌跡叫作

拋物線,點F叫作拋物線的焦點,直線l叫作拋物線的準線.1.拋物線的簡單幾何性質(zhì)2

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拋物線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)標準方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)簡圖

焦點坐標

頂點坐標(0,0)準線方程x=-

x=

y=-

y=

對稱軸x軸x軸y軸y軸范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R開口方向向右向左向上向下離心率e=12.p是拋物線的焦點到準線的距離,p值永遠大于0,p越大,開口越大.

1.焦點弦的概念過拋物線焦點的直線與拋物線相交所得的線段,稱為拋物線的焦點弦.2.通徑過拋物線焦點且垂直于對稱軸的直線與拋物線相交所得的弦,稱為拋物線的

通徑,拋物線的通徑長為2p,是所有焦點弦中最短的弦.3.有關(guān)拋物線焦點弦的性質(zhì)如圖,已知AB是拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦,拋物線的焦點為F,A(x1,y1),B(x2,y

2),AA',BB'均垂直于準線,直線AB的傾斜角為θ,則有(1)|AB|=x1+x2+p=

;(2)x1x2=

,y1y2=-p2,

·

=-

p2;(3)|AF|=

,|BF|=

;(4)

+

=

;(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切;(6)以AB為直徑的圓與準線相切;(7)A,O,B'共線,A',O,B共線;(8)∠A'FB'=90°;(9)S△AOB=

;(10)拋物線在A,B處的切線互相垂直且交點在準線上.1.平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l距離相等的點的軌跡一定是拋物線嗎?不一定.若點F在直線l上,則點的軌跡是過點F且垂直于直線l的直線.2.拋物線的離心率e越大,拋物線的開口越大嗎?不是.拋物線的離心率e為定值1,它對拋物線的形狀無影響.3.“直線與拋物線有一個交點”是“直線與拋物線相切”的充要條件嗎?不是.當直線與拋物線有一個交點時,直線與拋物線相切或直線與拋物線的對稱

軸平行(或重合);當直線與拋物線相切時,直線與拋物線有一個交點,故為必要不

充分條件.知識辨析1拋物線標準方程的求解1.定義法先判斷所求點的軌跡是否符合拋物線的定義,再根據(jù)定義求出方程.2.待定系數(shù)法.其步驟如下:當拋物線的位置沒有確定時,可設(shè)方程為y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),這樣可以減少討論不同情況的次數(shù).

典例根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標準方程.(1)準線方程為y=

;(2)焦點在y軸上,焦點到準線的距離為5;(3)經(jīng)過點(-3,-1).解析

(1)由題意可得拋物線的準線與y軸正半軸相交,故設(shè)所求拋物線的標準方

程為x2=-2py(p>0),則

=

,解得p=

,故所求拋物線的標準方程為x2=-

y.(2)已知拋物線的焦點在y軸上,可設(shè)所求拋物線的方程為x2=2my(m≠0),由焦點到準線的距離為5,可得|m|=5,即m=±5,所以滿足條件的拋物線有兩條,標準方程分別為x2=10y和x2=-10y.(3)因為點(-3,-1)在第三象限,所以設(shè)所求拋物線的標準方程為y2=-2p1x(p1>0)或x2=-

2p2y(p2>0).若拋物線的標準方程為y2=-2p1x(p1>0),則由(-1)2=-2p1×(-3),解得p1=

;若拋物線的標準方程為x2=-2p2y(p2>0),則由(-3)2=-2p2×(-1),解得p2=

.故所求拋物線的標準方程為y2=-

x或x2=-9y.拋物線的定義主要用來進行拋物線上的點與焦點的距離及與準線的距離的

轉(zhuǎn)化,通過轉(zhuǎn)化可以求最值、參數(shù)、距離.2拋物線定義的應(yīng)用?

典例

(1)已知點P是拋物線y2=-2x上的動點,則點P到點M(0,2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為

(

)A.

B.3

C.

D.

(2)已知動圓M與直線y=2相切,且與定圓C:x2+(y+3)2=1外切,則動圓圓心M的軌跡

方程為

x2=-12y

.思路點撥

(1)求|PM|與P到準線的距離之和的最小值,即求|PM|+|PF|的最小值.(2)將條件轉(zhuǎn)化為拋物線的定義,利用定義解決問題.A解析

(1)如圖所示,

由拋物線的定義知,點P到準線x=

的距離|PD|等于點P到焦點F

的距離|PF|,因此點P到點M(0,2)的距離與點P到準線x=

的距離之和等于點P到點M(0,2)的距離與點P到點F

的距離之和,其最小值為點M(0,2)到點F

的距離(當點P位于P'的位置時),即最小值為

=

.(2)設(shè)動圓圓心M(x,y),由題意可得M到C(0,-3)的距離與到直線y=3的距離相等.由拋物線的定義可知,動圓圓心M的軌跡是以C(0,-3)為焦點,y=3為準線的拋物線,

其方程為x2=-12y.解決拋物線焦點弦問題的關(guān)鍵是熟記有關(guān)焦點弦的性質(zhì),并靈活運用.這些

性質(zhì)一般是針對方程為y2=2px(p>0)的拋物線而言的,但在實際應(yīng)用中,有些拋物

線的方程可能不是這種形式,這時相關(guān)結(jié)論會隨之變化,不能盲目套用.3拋物線的焦點弦問題

典例已知拋物線y2=4x,經(jīng)過其焦點F且斜率為k(k>0)的直線l與拋物線相交于M,N兩點,且|MF|=3|NF|,則k=

.解析

解法一:分別過M,N兩點作準線的垂線,垂足分別為P,Q,過N向PM作垂線,垂

足為S,設(shè)|NF|=m(m>0),則|MF|=3m.由拋物線的定義得|MP|=3m,|NQ|=m,所以|MS|=2

m,|MN|=m+3m=4m,則sin∠MNS=

=

,即∠MNS=

,故直線l的傾斜角為

,所以k=tan

=

.解法二:設(shè)直線l的傾斜角為θ,則θ∈

,由于|MF|=

,|NF|=

,且|MF|=3|NF|,所以

=

,解得cosθ=

,所以θ=

,所以k=tanθ=

.解法三:拋物線y2=4x中,p=2,所以

+

=

=1,又因為|MF|=3|NF|,所以|MF|=4,|NF|=

,于是|MN|=

.設(shè)直線l的傾斜角為θ,則θ∈

,所以

=

,解得sinθ=

(負值舍去),所以θ=

,故k=tanθ=

.研究直線與拋物線的位置關(guān)系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系的方

法類似,一般是聯(lián)立直線與拋物線的方程,但涉及拋物線的弦長、中點、距離等

問題時,要注意“設(shè)而不求”“整體代入”“點差法”以及定義的靈活應(yīng)用.4直線與拋物線的位置關(guān)系

典例已知拋物線C:y2=2px(p>0),拋物線C上橫坐標為1的點到焦點F的距離為3.(1)求拋物線C的方程及其準線方程;(2)過(-1,0)的直線l交拋物線C于不同的兩點A,B,交直線x=-4于點E,直線BF交直線

x=-1于點D,是否存在這樣的直線l,使得DE∥AF?若存在,求出直線l的方程;若不存

在,請說明理由.思路點撥

(1)根據(jù)拋物線的定義可以得到關(guān)于p的關(guān)系式,進而求解.(2)從DE∥AF出發(fā),我們可以從兩個角度展開求解,思路一:利用斜率相等;思路二:

由平行得到比例關(guān)系,進而求解.解析

(1)因為橫坐標為1的點到焦點的距離為3,所以根據(jù)拋物線的定義可得1+

=3,解得p=4,所以y2=8x,所以準線方程為x=-2.(2)存在.顯然直線l的斜率存在且不為0,設(shè)直線l的方程為y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立

消去y,得k2x2+(2k2-8)x+k2=0.由Δ=(2k2-8)2-4k4>0,解得-

<k<

.所以-

<k<

且k≠0.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=

,x1x2=1.

解法一:直線BF的方程為y=

(x-2).因為xD=-1,所以yD=

,所以D

.因為DE∥AF,所以直線DE與直線AF的斜率相等.又E(-4,-3k),所以

=

,整理得k=

+

,即k=

+

,化簡得1=

+

,即1=

,即x1+x2=7.所以

=7,整理得k2=

,解得k=±

.經(jīng)檢驗,k=±

符合題