湘教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊專題強化練9拋物線的綜合應用含答案

專題強化練9拋物線的綜合應用1.過拋物線y2=4x的焦點F作直線,交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,若x1+x2=6,則|AB|的值為()A.10B.8C.6D.42.(2022河南洛陽期末)過拋物線y2=-2x的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,且A,B在直線x=12上的射影分別為M,N,則∠A.30°B.45°C.60°D.90°3.(2022安徽合肥六中期末)如圖,F是拋物線x2=8y的焦點,過F作直線交拋物線于A,B兩點,若△AOF與△BOF的面積之比為1∶4,則△AOB的面積為()A.10B.8C.16D.124.(多選)(2022廣東揭陽期末)設F是拋物線y2=4x的焦點,過F且斜率為3的直線與拋物線的一個交點為A,以F為圓心,|FA|為半徑的圓交拋物線的準線于B,C兩點,且B在C的上方,B關于點F的對稱點為D,以下結論正確的是()A.線段CD的長為8B.A,C,F三點共線C.△CDF為等邊三角形D.四邊形ABCD為矩形5.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,過F作直線l交拋物線于A,B兩點,點M-p2,p,若直線MA,MB的斜率分別為k1,k2,則k1+k6.(2021湖南衡陽二十六中期中)已知拋物線C:x2=8y的焦點為F,O為原點,點P是拋物線C的準線上一動點,點A在拋物線C上,且|AF|=4,則|PA|+|PO|的最小值為.

7.(2022湖南益陽期末)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F,點M(x0,66)x0>p2是拋物線上一點,以M為圓心的圓與直線x=p2交于A,B兩點(A在B的上方),若sin∠MFA=578.(2022湖南淮陽中學期中)已知圓M:(x-1)2+y2=14,動圓N與圓M外切,且與直線x=-12(1)求動圓圓心N的軌跡C的方程;(2)已知點P-12,-12,Q(1,2),過點P的直線l與曲線C交于兩個不同的點A,B(與點Q不重合),直線QA,QB的斜率之和是不是定值?若是,求出該定值答案與分層梯度式解析1.B依題意得,|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p∴|AB|=x1+x2+p,又∵2p=4,∴p=2.因此,|AB|=6+2=8,故選B.2.D由題意得焦點F的坐標為-12,0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則M12,y1,N12,y2,因為過拋物線y2=-2x的焦點F又因為FM=(1,y1),FN=(1,y2),所以FM·FN=1+y1y2=1-1=0,故∠MFN=90°.3.A易知拋物線x2=8y的焦點為F(0,2).若直線AB的斜率不存在,則直線AB與拋物線x2=8y有且只有一個公共點,不符合題意.設直線AB的方程為y=kx+2,點A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y=kx+2,x2=8y,消去y并整理得x2-8kx-16=0,則x1+x2=8k,x1x2=-16.由于△AOF與△BOF的面積之比為1∶4,則BF=4FA,即(-x2,2-y2)=4(x1,y1-2),所以x2=-4x1,則x1+x2=-3x1=8k,可得x1=-8k3,所以x1x2=-4x12=-4×-8k32=-256k29=-16,可得k2=916,所以S4.BCD由拋物線的方程可得F(1,0),準線方程為x=-1,過點F且斜率為3的直線的方程為y=3(x-1),代入拋物線方程可得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=13.易知當x=3時,圓F才能與拋物線的準線相交,此時點A的坐標為(3,23),則|FA|=3+1=4,所以圓F的方程為(x-1)2+y2=16,令x=-1,得y=±23,則B(-1,23),C(-1,-23),設B關于點F的對稱點為D(m,n),則m-12=1,n+232=0,解得m=3,n=-23,所以D(3,-23),所以|CD|=3-(-1)=4,故A錯誤;因為FA=(2,23),FC=(-2,-23),所以FA=-FC,所以A,C,F三點共線,故B正確;因為|FC|=|FD|=r=4,且|CD|=4,所以三角形CDF為等邊三角形,故C正確;易知|AB|=|CD|,AB⊥BC,AB∥CD,所以四邊形ABCD為矩形5.答案-2解析由題知Fp2,0.設直線l的方程為x=my+p2,將其與拋物線的方程y2=2px聯(lián)立,消去x并整理,得y2-2pmy-p2=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y2=-p2,所以k1+k2=y1-px1+p2+y2-px2+p6.答案213解析由題意得拋物線的準線方程為y=-2,∵|AF|=4,∴點A到準線的距離為4,故點A的縱坐標為2,把y=2代入拋物線方程可得x=±4.不妨設點A在第一象限,則A(4,2),如圖,取點O關于準線y=-2的對稱點M(0,-4),連接AM,則|PO|=|PM|,于是|PA|+|PO|=|PA|+|PM|≥|AM|,故|PA|+|PO|的最小值為|AM|=42+67.答案y2=12x解析如圖所示,過點M作EM⊥直線x=p2,垂足為E,ME的延長線交準線于點D,則sin∠MFA=|ME||MF|=57,由拋物線的定義可得|MF|=|MD|=x0+p2,∴|ME||MF|=x∴x0=3p,∵點M(x0,66)x0>∴(66)2=2px0,將x0=3p代入上式,得36×6=6p2,∴p=6,∴拋物線C的方程為y2=12x.8.解析(1)圓M的圓心為(1,0),半徑為12.設N到直線x=-12的距離為d,則圓N因為動圓N與圓M外切,所以|MN|=d+12,所以N到直線x=-1的距離等于N與M(1,0)兩點間的距離,由拋物線的定義可知,N的軌跡C為拋物線,其焦點為M(1,0),準線方程為x=-1,所以拋物線C的方程為y2=4x.(2)直線QA,QB的斜率之和是定值.設直線l的方程為x+12=my+1因為點A,B與點Q不重合,所以m≠35設直線QA,QB的斜率分別為k1和k2,點A(x1,y1