湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第1章數(shù)列1-1數(shù)列的概念課件

1.如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同,但順序不同,那么它們是不同的數(shù)列.2.同一個(gè)數(shù)可以在數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn).3.{an}表示一個(gè)數(shù)列,an表示數(shù)列中的第n項(xiàng).4.并非所有的數(shù)列都能寫出它的通項(xiàng)公式.5.數(shù)列的分類:(1)按項(xiàng)的個(gè)數(shù)分:有窮數(shù)列,無窮數(shù)列;(2)按數(shù)列的變化趨勢(shì)分:遞增數(shù)列,遞減數(shù)列,擺動(dòng)數(shù)列,常數(shù)列.1.1數(shù)列的概念1|

數(shù)列相關(guān)概念的理解1.數(shù)列是特殊的函數(shù),從函數(shù)的觀點(diǎn)看:2.求數(shù)列中的項(xiàng)或判斷某項(xiàng)是不是數(shù)列的項(xiàng)時(shí),①如果已知an=f(n)和n0,則

=

f(n0);②判斷m是不是{an}的項(xiàng),只需令m=an,判斷此方程是否有正整數(shù)解.定義域正整數(shù)集N+(或它的有限子集{1,2,…,n})解析式數(shù)列的通項(xiàng)公式值域自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)

的一列函數(shù)值組成的集合表示方法(1)通項(xiàng)公式(解析法);(2)圖象法;(3)列表法2

|

數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系1.通項(xiàng)公式反映了數(shù)列中項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系,而遞推公式反映了數(shù)列中項(xiàng)與項(xiàng)

之間的關(guān)系;2.求數(shù)列的某一項(xiàng)時(shí),可以通過將序號(hào)代入通項(xiàng)公式直接求出該項(xiàng),而對(duì)于遞推公

式,則必須通過逐項(xiàng)計(jì)算求出該項(xiàng);3.遞推公式可以揭示數(shù)列的一些性質(zhì),但不容易了解數(shù)列的全貌,計(jì)算也不方便,

而通項(xiàng)公式可以“把握”整個(gè)數(shù)列.3|

數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式的區(qū)別1.數(shù)列的項(xiàng)和它的項(xiàng)數(shù)是否相同?不相同.數(shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù),是一個(gè)函數(shù)值,相當(dāng)于f(n),

而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置序號(hào),它是自變量的值,相當(dāng)于f(n)中的n.2.數(shù)列1,2,3,4,5與數(shù)列5,4,3,2,1是同一個(gè)數(shù)列嗎?不是.兩個(gè)數(shù)列中的數(shù)雖然相同,但順序不同,故不是同一個(gè)數(shù)列.3.數(shù)列an=

an=

(n∈N+),an=

(n∈N+)是同一個(gè)數(shù)列嗎?是.三個(gè)數(shù)列都可以寫成0,1,0,1,…的形式,數(shù)列的通項(xiàng)公式不一定是唯一的.知識(shí)辨析1.從下面4個(gè)角度觀察數(shù)列的前幾項(xiàng):(1)各項(xiàng)的符號(hào)特征;(2)各項(xiàng)能否拆分;(3)分式的分子、分母的特征;(4)相鄰項(xiàng)的變化規(guī)律.2.尋找各項(xiàng)與對(duì)應(yīng)的項(xiàng)的序號(hào)之間的規(guī)律,一般方法如下:(1)統(tǒng)一項(xiàng)的結(jié)構(gòu),將數(shù)列的各項(xiàng)拆分成若干個(gè)常見數(shù)列的“和”“差”“積”

“商”,如都化成分?jǐn)?shù)、根式等;1求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)分析結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分,探索變化部分與對(duì)應(yīng)序號(hào)間的函數(shù)解

析式;(3)當(dāng)一個(gè)數(shù)列各項(xiàng)的符號(hào)出現(xiàn)“+”“-”相間時(shí),應(yīng)把符號(hào)分離出來,可用(-1)n或(-1)n+1來表示;(4)當(dāng)數(shù)列的奇偶項(xiàng)分別呈現(xiàn)各自的規(guī)律時(shí),一般考慮用分段的形式給出,有時(shí)也

可以將給出的各項(xiàng)統(tǒng)一化成某種形式.

典例根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng),寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:(1)

,2,

,8,

,…;(2)

,

,

,

,

,…;(3)2,6,2,6,…;(4)2,3,5,9,17,33,…;(5)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…;(6)2,-6,12,-20,30,-42,….思路點(diǎn)撥先觀察各項(xiàng)的特點(diǎn),注意前后項(xiàng)間的關(guān)系,分子與分母的關(guān)系,項(xiàng)與序

號(hào)的關(guān)系,每一項(xiàng)符號(hào)的變化規(guī)律,然后歸納出通項(xiàng)公式.解析

(1)將每一項(xiàng)都統(tǒng)一寫成分母為2的分?jǐn)?shù),即

,

,

,

,

,…,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=

.(2)分子為偶數(shù),分母為相鄰兩奇數(shù)的積,即an=

.(3)此數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列,而2=4-2,6=4+2,中間符號(hào)用(-1)n來表示,所以an=4+(-1)n·2或

an=

(4)因?yàn)閍1=2=1+1,a2=3=2+1,a3=5=22+1,a4=9=23+1,a5=17=24+1,a6=33=25+1,……,所

以an=2n-1+1.(5)將數(shù)列變形為1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…,所以an=n+

.(6)將數(shù)列變形為1×2,-2×3,3×4,-4×5,5×6,-6×7,…,所以an=(-1

n(n+1).1.判斷數(shù)列單調(diào)性的方法(1)轉(zhuǎn)化為函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)求解.(2)通過作差法或作商法比較數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的大小關(guān)系.2.求數(shù)列中的最大(或最小)項(xiàng)的方法(1)構(gòu)造函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)一步求出數(shù)列的最大(或最小)項(xiàng).(2)利用

(n≥2,n∈N+)求數(shù)列中的最大項(xiàng)an;利用

(n≥2,n∈N+)求數(shù)列中的最小項(xiàng)an.當(dāng)所得解不唯一時(shí),比較各解的大小即可.2數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系列

典例已知數(shù)列{an}中,an=n2+λn,n∈N+.(1)當(dāng)λ=-7時(shí),討論{an}的單調(diào)性;(2)若數(shù)列{an}的第7項(xiàng)是最小項(xiàng),求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.思路點(diǎn)撥

(1)運(yùn)用作差法比較an+1與an的大小,進(jìn)而判斷單調(diào)性,或利用二次函數(shù)

的性質(zhì)求解;(2)通過列出不等式組

從而求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍.解析

(1)解法一:當(dāng)λ=-7時(shí),an=n2-7n,an+1=(n+1)2-7(n+1)=n2-5n-6,所以an+1-an=n2-5n-6-(n2-7n)=2n-6.當(dāng)1≤n≤3時(shí),an+1-an≤0,{an}單調(diào)遞減;當(dāng)n≥4時(shí),an+1-an>0,{an}單調(diào)遞增.解法二:當(dāng)λ=-7時(shí),an=n2-7n=

-

.易知函數(shù)f(x)=

-

圖象的對(duì)稱軸為直線x=

,所以由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)1≤n≤3時(shí),an+1-an≤0,{an}單調(diào)遞減;當(dāng)n≥4時(shí),an+1-an>0,{an}單調(diào)遞增.(2)由題意得

即

解得-15≤λ≤-13,所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[-15,-13].易錯(cuò)警示

在利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決數(shù)列問題時(shí),要注意數(shù)列的定義域是N+或

其有限子集.1.根據(jù)數(shù)列的遞推公式和第1項(xiàng)(或其他項(xiàng))求數(shù)列前幾項(xiàng)的方法(1)根據(jù)遞推公式求數(shù)列的前幾項(xiàng),首先要弄清公式中各部分的關(guān)系,依次代入計(jì)

算即可.(2)若已知末項(xiàng),通常將所給公式整理成用后面的項(xiàng)表示前面的項(xiàng)的形式,如an=

2an+1+1.(3)若已知首項(xiàng),通常將所給公式整理成用前面的項(xiàng)表示后面的項(xiàng)的形式,如an+1=

.3利用數(shù)列的遞推關(guān)系解決相關(guān)數(shù)列問題

2.由遞推公式求通項(xiàng)公式的常用方法(1)歸納法:根據(jù)數(shù)列的某項(xiàng)和遞推公式,求出數(shù)列的前幾項(xiàng),歸納出通項(xiàng)公式.(2)迭代法、累加法或累乘法,遞推公式對(duì)應(yīng)的有以下幾類:①an+1-an=常數(shù),或an+1-an=f(n)[f(n)是可以求和的],使用累加法或迭代法;②an+1=pan(p為非零常數(shù)),或an+1=f(n)an[f(n)是可以求積的],使用累乘法或迭代法;③an+1=pan+q(p,q為非零常數(shù)),適當(dāng)變形后轉(zhuǎn)化為第②類解決.

典例

(1)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+

-

,則an等于

(

)A.

B.

C.

D.

(2)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=

an(n∈N+),則an等于

(

)A.n+1

B.n

C.

D.

BD解析

(1)解法一(歸納法):數(shù)列的前5項(xiàng)分別為a1=1,a2=1+1-

=2-

=

,a3=

+

-

=2-

=

,a4=

+

-

=2-

=

,a5=

+

-

=2-

=

,由此可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=

.解法二(迭代法):a2=a1+1-

,a3=a2+

-

,……,an=an-1+

-

(n≥2),則an=a1+1-

+

-

+

-

+…+

-

=2-

=

(n≥2).又a1=1也適合上式,所以an=

(n∈N+).解法三(累加法):an+1-an=

-

,a1=1,a2-a1=1-

,a3-a2=

-

,a4-a3=

-

,……,an