高中數(shù)學-基礎知識(部分)

專題1二項分布、正態(tài)分布

【知識清單】

知識點1.條件概率

條件概率及其性質

（1）對于任何兩個事件A和8,在已知事件A發(fā)生的條件下，事件8發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號p（B/A）來表示，

其公式為P（8/A）=學胃?

在古典概型中，若用/（A）表示事件A中基本事件的個數(shù)，則p（8/A）="符.

（2）條件概率具有的性質：

①OW〃（3/A）W1；

②如果8和C是兩互斥事件,則p（5UC/A）=p（5/A）+p（C/A）.

知識點2.相互獨立事件同時發(fā)生的概率

（1）對于事件A、B,若A的發(fā)生與8的發(fā)生互不影響，則稱A、B是相互獨立事件.

⑵若A與8相互獨立，則p（B/A）=p（B）,

p（AB）=p（B/A）P（A）=P（A）P（B）.

⑶若A與8相互獨立，則A與石，N與3,X與否也都相互獨立.

（4）若p（AB）=P（A>P（B）,則A與8相互獨立.

知識點3.獨立重復試驗的概率

1.〃次獨立重復試驗

⑴定義

一般地，在相同條件下重復地做〃次試驗，各次試驗的結果相互獨立，稱為〃次獨立重復試驗.

（2）公式

一般地，在"次獨立重復試驗中，設事件A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,那么在〃次獨立重復試

驗中，事件A恰好發(fā)生％次的概率為P“（Z）=C和"（l—p）"r,伏=0,1,2,…，ri）.

知識點4.二項分布

1.若將事件A發(fā)生的次數(shù)設為X,發(fā)生的概率為P,不發(fā)生的概率q=l-p,那么在〃次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生

k次的概率是尸（X=A）=C￡/q"r（Z=0,12…，ri）

于是得到X的分布列

X01???k???n

PcSAnC對礦r???C3，???C；p"d

由于表中第二行恰好是二項式展開式

（q+p）"=C?W+CM展葉…+C￡p/"+…+C；p"q。各對應項的值，稱這樣的離散型隨機變量X服從參數(shù)為〃，p的二項

分布，記作X?B（〃，p）.

2.二項分布的期望、方差：

若X?W〃,p),則E(x)=叩.

若X?3(〃,〃)，則。(乂)=叩(1一〃).

知識點5.正態(tài)分布

1.正態(tài)曲線及其性質

(1)正態(tài)曲線:

函數(shù)如.g)=武丁一與普,XG(—8,

+8),其中實數(shù)〃，6A0)為參數(shù)，我們稱伙“(X)的圖象為正態(tài)分布密度曲線,

簡稱正態(tài)曲線.

(2)正態(tài)曲線的性質：

①曲線位于x軸上方，與x軸不相交;

②曲線是單峰的，它關于直線對稱;

③曲線在x="處達到峰值春；

④曲線與X軸之間的面積為1；

⑤當C一定時，曲線的位置由〃確定，曲線隨著〃的變化而沿X軸平移，如圖甲所示；

⑥當〃一定時，曲線的形狀由<7確定，<7越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；“越小.曲線越“瘦高”.總體分布越

集中，如圖乙所示：

一般地，如果對于任何實數(shù)a,b(a<b),隨機變量X滿足P(a<XW6)=/W"(x)dx,則稱隨機變量X服從正態(tài)分布(normal

distribution).正態(tài)分布完全由參數(shù)〃和。確定，因此正態(tài)分布常記作M//,4).如果隨機變量X服從正態(tài)分布，則記為X?

NQi,a2).

3.正態(tài)總體三個特殊區(qū)間內取值的概率值

①叫-<7<XW〃+<7)=0.6826；

@P(/i-2a<XW〃+2”)=0.9544；

3a)=0.9974.

4.3。原則

通常服從正態(tài)分布標)的隨機變量X只取"+3(T)之間的值.

專題2離散型隨機變量的均值與方差

【知識清單】

知識點1.離散型隨機變量的均值與方差

1.均值

若離散型隨機變量才的分布列為

……x

X*X2?

??????

PPlPlPiPn

稱石（X）=玉0+WP2+…+%，,+???+XR為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水

平..

若丫="+。，其中a力為.常數(shù)，則y也是隨機變量，且￡（aX+》）=a￡（X）+Z?.

若X服從兩點分布，則E（X）=〃；

2.方差

若離散型隨機變量才的分布列為

??????

XX2為X“

…

pPiPl…PiPn

則（玉―E（X）y描述了3（，=1,2「、〃）相對于均值七（乂）的偏離程度，而O（X）=t（x,「E（X））2p,.為這些偏離程度

/=1

的加權平均，刻畫了隨機變量X與其均值七（X）的平均偏離程度.稱。（X）為隨機變量X的方差，其算術平方根

JD（X）為隨機變量X的標準差.

若y=?X+力，其中a力為常數(shù)，則y也是隨機變量，且。（必+。）=/。（乂）.

若X服從兩點分布，則。（x）=p（l-p）.

3.六條性質

⑴￡（C）=C（C為常數(shù)）

（2）E（aX+b）=aE（X）+b（a/為常數(shù)）

（3）E（Xl+X2）=E（Xi）+E（X2）

（4）如果X1,X?相互獨立，則E（X1?X2）=E（X）E（X2）

（5）D（X）=E（X2）-（E（X））2

（6）D（aX+Z?）=a2D（X）

專題3離散型隨機變量的分布列

【知識清單】

知識點1.離散型隨機變量及其分布列

1.離散型隨機變量的分布列

(1)隨機變量

如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量，隨機變量常用字母％Kf,〃等表示.

(2)離散型隨機變.量

對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.

隨機變量的線性關系：若J是隨一機變量，q=a^b,其中。功是常數(shù)，則〃也是隨機變量.

2.分布列的兩個性質

①NO,z=1,2,???,?；②P]+〃2+…+P“=L

3.分布列性質的兩個作用

(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值.

(2)隨機變量g所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求相關事件的概率.

知識點2.常見離散型隨機變量的分布列

(1)兩點分布：

若隨機變量X服從兩點分布，即其分布列為

X01

P1-〃P

其中則稱離散型隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布.其中〃=尸(乂=1)稱為成功概率.

(2)超幾何分布：

在含有M件次品的N件產品中，任取w件，其中恰有X件次品，則事件｛X=A｝發(fā)生的概率為P(X=Z)=

=,其中加=min&N,M&N,n,M,NeN*,稱分布列為超幾何分布列.

X01???m

「()0

P???

品

⑶設離散型隨機變量X可能取得值為x2,巧，…x“，X取每一個值W(，=1,2「、〃)的概率為

p(X=xJ=p,.,則稱表

X*4???X,???x?

pPlPl???Pi???Pn

為隨機變量才的概率分布列，簡稱十的分布列.有時為了表達簡單，也用等式尸(X=xJ=〃,，i=表示X的分布

列.

專題4二項式定理

【知識清單】

知識點1.二項式定理

1.二項式定理

nrnrn

(a+by=cy+C\a-'b+--?+Cna-'b+???+C,；,b(n^N*\這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式

叫做(。+3”的二項展開式，其中的系數(shù)C：(尸=0,1,2,3,一、〃)叫做二項式系數(shù).式中的叫做二項展開式的通

rnrr

項，用空+1表示，即展開式的第r+1項；Tr+i=Cna-h.

2.二.項展開式形式上的特點

(1)項數(shù)為“+L

(2)各項的次數(shù)都等于二項式的幕指數(shù)〃，即a與。的指數(shù)的和為”.

(3)字母a按降塞排列，從第一項開始，次數(shù)由“逐項減1直到零；字母人按升塞排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直

到〃.

(4)二項式的系數(shù)從c：,c；,一直到qi,c;;.

知識點2.二項式系數(shù)的性質

1.二項式系數(shù)的性質

(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即c;=a，c：=c『，…,c：=禺-'".

〃+1n4-1

(2)增減性與最大值：二項式系數(shù)C；,當r?一廠時，二項式系,數(shù)是遞增的；由對稱性知：當廠＞；—時，二項式系數(shù)是

遞減的.

當〃是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值.

當〃是奇數(shù)時，中間兩項cQ和c,3相等，且同時取得最大值.

(3)各二項式系數(shù)的和

(a+b)”的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2",即C：+C：+…+C：+…+C；：=2",二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系

數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即C：+。；+C：+…=Q+C：+C：+…=2"-',

2.注意：(1).分清是第八+1項，而不是第r項.

(2).在通項公式力+|=。：。"方中，含有C：、a、b、”、r這六個參數(shù)，只有。、。、〃、「是獨立的，在未知

〃、廠的情況下，用通項公式解題，一般都需要首先將通式轉化為方程(組)求出“、然后代入通項公式求解.

(3)..求二項展開式中的一些特殊項，如系數(shù)最大項，常數(shù)項等，通常都是先利用通項公式由題意列方程，求出「，再求所

需的某項；有時則需先求〃，計算時要注意“和廠的取值范圍以及它們之間的大小關系.

(4)在=G；a"-%'中，C；就是該項的二項式系數(shù)，它與。，)的值無關；而項的系數(shù)是指化簡后字母外的.數(shù).

知識點3.二項式定理的應用

二項式的應用

(1)求某些多項式系數(shù)的和；

(2)證明一些簡單的組合恒等式；

(3)證明整除性，①求數(shù)的末位；②數(shù)的整除性及求系數(shù)；③簡單多項式的整除問題；

(4)近似計算.當國充分小時，我們常用下列公式估計近似值：

①(1+x)“?1+nx；②(1+x)”?l+--x2；

(5)證明不等.式.

專題5排列與組合

【知識清單】

知識點1.排列

1.排列的相關概念及排列數(shù)公式

(D排列的定義：從〃個不同元素中取出〃？(加《〃)個元素，按照一定的順序排成一列,叫做從〃個不同元素中取出由個

元素的一個排列.

(2)排列數(shù)的定義：從〃個不同元素中取出加(，篦(〃)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從〃個不同元素中取出用個元素

的排列數(shù)，用其'表示.

(3)排列數(shù)公式：4：'=〃(〃-1)(〃-2)一-(〃一加+1)這里〃,根€"￡并且

(4)全排列："個不同元素全部取出的一個排列，叫做〃個元素的一個全排列，4'=〃("-1)(〃—2)-“2」=〃！(叫做〃的

階乘).排列數(shù)公式寫成階乘的形式為4"=；~,這里規(guī)定0!=1.

知識點2.組合

組合的相關概念及組合數(shù)公式

(1)組合的定義：從〃個不同元素中取出〃?(機《〃)個元素合成一組，叫做從〃個不同元素中取出加個元素的一個組合.

(2)組合數(shù)的定義：從〃個不同元素中取出(機(〃)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從〃個不同元素中取出加個元

素的組合數(shù)，用C：”表示.

A"—1)(〃—2),—加+1)加

(3)組合數(shù)的計算公式：C,=之=」——-——工?,3(n--------------------「，由于0!=1,所以C“0°=l.

A”rn\m'.yn-my.

(4)組合數(shù)的性質:①c4=c,T；②c3"=c7+c;i；③a="C/.

專題6兩個計數(shù)原理

【知識清單】

知識點1.分類加法計數(shù)原理

i.分類加法計數(shù)原理(加法原理)的概念

一般形式：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有町種不同的方法，在第2類方案中有利2種不同的方

法，……，在第n類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有N=〃?|+Z?2+……+加”種不同的方法.

知識點2.分步乘法計數(shù)原理

1.分步乘法計數(shù)原理(乘法原理)的概念

一般形式：完成一件事需要n個步驟，做第1步有町種不同的方法，做第2步有機2種不同的方法......做第n步有風,

種不同的方法，那么完成這件事共有N=/n,xm2x'''xmn種不同的方法.

2.兩個原理的區(qū)別：

(1)“每類”間與"每步''間的關系不同：分類加法計數(shù)原理中的每一類方案中的任何一種方法、不同類之間的任何一種方法

都是相互獨立，互不依賴的，且是一次性的；而分步乘法計數(shù)原理中的每一步是相互依賴，且是連續(xù)性的.

(2)“每類”與“每步”完成的效果不同：分類加法計數(shù)原理中所描述的每一種方法完成后，整個事件就完成了，而分步乘法

計數(shù)原理中每一步中的每一種方法得到的只是中間結果，任何一步都不能獨立完成這件事.

3.切實理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進行，同時要優(yōu)先考慮題中的限制條件.

專題6直線與圓錐曲線

【知識清單】

知識點1.直線和圓錐曲線的位置關系

判斷直線/與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線/的方程4v+B)，+C=0(A,B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x,

y)=0,消去y(也可以消去x)得到一個關于變量4或變量y)的一元方程.

Ax+By+C=0,

即｛消去y,得ax2+fex+c=0.

F[x,y)=0,

(1)當aWO時，設一元二次方程ax2+bx+c=0的判別式為/,則/>00直線與圓錐曲線C相交；

/=0㈡直線與圓錐曲線C相切；

/<00直線與圓錐曲線C相離.

(2)當。=0,6#0時?，即得到一個一次方程，則直線/與圓錐曲線C相交，且只有一個交點，此時，若C為雙曲線，則直線

/與雙曲線的漸近線的位置關系是平行：若C為拋物線，則直線/與拋物線的對稱軸的位置關系是平行或重合.

知識點2.“弦”的問題

1.弦長公式

設斜率為A(AWO)的直線/與圓錐曲線C相交于46兩點，履汨，/),6(也，㈤，則

2

AB\=巧1+爐\xi—x2\=#1+J?7~為+*2——4XIX2—1+1?yi—J2I

=71+],?~y\+y-i_2-

2.處理中點弦問題常用的求解方法

(D.點差法：

即設出弦的兩端點坐標后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有小+及，必+及，匕二三個未知量，這樣就直接聯(lián)

X\~X2

系了中點和直線的斜率，借用中點公式即可求得斜率.

(2).根與系數(shù)的關系:

即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關系求解.

注意：中點弦問題常用的兩種求解方法各有弊端：根與系數(shù)的關系在解題過程中易產生漏解，需關注直線的斜率問題；點差

法在確定范圍方面略顯不足.

專題7拋物線

【知識清單】

知識點1.拋物線的定義

平面內與一個定點F和一條定直線/（/不經(jīng)過點F）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫做拋物線的焦點，定

直線/叫做拋物線的準線.

知識點2.拋物線的標準方程及幾何性質

1

圖形112

4ix

-X

標準方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x^—2py(p>0)

頂點0(0,0)

范圍x10,y&RxWO,ywRy>0,xeRyWO,XGR

對稱軸X軸y軸

<-r°

焦點F加))尸（。，-￡|

離心率e=l

r-Pp

準線方程x----x=y=y=

22-22

IMFI=y+j\MF\=^-y

焦半徑\MF\=X()+^\MF\=^-XQ0Q

知識點3.直線和拋物線的位置關系

（1）將直線的方程y=h+帆與拋物線的方程y2=2px（p＞0）聯(lián)立成方程組，消元轉化為關于x或y的一元二次方程，其

判別式為A.

ky-2-2py+2pm=0

若左=0,直線與拋物線的對稱軸平行或重合，直線與拋物線相交于一點；

若左看0

①A＞0O直線和拋物線相交，有兩個交點；

②A=OU＞直線和拋物線相切，有一個公共點；

③AV0O直線和拋物線相離，無公共點.

（2）直線與拋物線的相交弦

22

設直線y=交拋物線「—與=1（。＞0,匕＞0）于點（孫必），兩點，則

ah

\PANafi+j-

同理可得I1=Jl+p-1y,-%?飲力°)

這里I芭-WI，IX-%I，的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：

I%一毛1=+xz)2-^x,

|J1-y21=-4yM

專題8雙曲線

【知識清單】

知識點1.雙曲線的定義及標準方程

1.雙曲線的定義

滿足以下三個條件的點的軌跡是雙曲線

(1)在平面內；

(2)動點到兩定點的距離的差的絕對值為一定值；

(3)這一定值一定要小于兩定點的距離.

2.雙曲線的標準方程

2222

XV\

標準方程F一至=1(5>0,6>0)]*=l(a〉O,b〉0)

ab

圖形

知識點2.雙曲線的幾何性質

雙曲線的幾何性質

尤2

標準方程7—中=13>0,b>0)京一"=l(a>0,b>0)

圖形

范圍冗2?；騛,x￡R,戶一。或y*

對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點

頂點Ai(一。,0),4(。,0)Ai(0,—a),A2。a)

ba

性漸近線y=±~x=±x

7ayb

質

離心率e=§,e@(L+°°),其中c=q02+〃2

線段A1A2叫作雙曲線的實軸，它的長|Ai4|=2a；線段81B2叫作雙曲線的虛

實虛軸

軸，它的長|向星|=2。；“叫作雙曲線的實半軸長，萬叫作雙曲線的虛半軸

長.

a、b、c

c2=a?+b2(c>a>0,c>b>0)

的關系

專題9橢圓

【知識清單】

知識點1.橢圓的定義及其應用

1.橢圓的概念

(1)文字形式：在平面內到兩定點￡、用的距離的和等于常數(shù)(大于出內|)的點的軌跡(或集合)叫橢圓.這兩定點叫做橢圓的

焦點，兩焦點間的距離叫做焦距.

(2)代數(shù)式形式：集合P={M||MFJ+|MEI=2a}IKF2l=2c.

①若a>c，則集合戶為橢圓；

②若。=c,則集合戶為線段；

③若a<c,則集合P為空集.

2222

2.橢圓的標準方程：焦點在x軸時，T+2r=l(a>b>0)；焦點在y軸時，^-+^-=l(a>b>0)

a~b~a'b~

知識點2.橢圓的標準方程

1.橢圓的標準方程：

(1)焦點在x軸,二+尸=l(a>b>0)；

22

廠+廠

(2)焦點在y軸,KM=l(a>b>0).

2.滿足條件：2a>2c,a2=b2+c2,aX),b>0,cX)

知識點3.橢圓的幾何性質

橢圓的標準方程及其幾何性質

范圍|x|<iz,|y|</?|x|<Z?,|y<?

對稱性曲線關于軸、原點對稱曲線關于尤,y軸、原點對稱

頂點長軸頂點(±。,0)，短軸頂點(0,坊)長軸頂點(0,±。)，軸頂點(土瓦0)

焦點(土c，。)(0,±c)

焦距閨司=2以/=白2-82)

離心率e=-€(0,1),其中，=\/。2一》2

a

2b2

通徑過焦點垂直于長軸的弦叫通徑，其長為~

a

知識點4.直線與橢圓的位置關系

1.直線與橢圓位置關系的判斷

(1)代數(shù)法：把橢圓方程與直線方程聯(lián)立消去"整理得到關于x的方程+麼+0=0.記該一元二次方程根的判別式為

△,①若△>(),則直線與橢圓相交；②若△=(),則直線與橢圓相切；③若AV0,則直線與橢圓相離.

(2)幾何法：在同一直角坐標系中畫出橢圓和直線，利用圖象和性質可判斷直線與橢圓的位置關系.

2.直線與橢圓的相交長問題：

(1)弦長公式：設直線與橢圓有兩個公共點加(知y),N(X2,%)，則弦長公式為|W|=&1+公)[(%+々)2-何々]或

+*)[(%+%)2-4)跖].

(2)弦中點問題，適用“點差法”.

專題10直線與圓的位置關系

【知識清單】

知識點1.圓的方程

1.圓的定義：在平面內，到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓.

2.圓的標準方程

⑴若圓的圓心為C(“,辦半徑為r,則該圓的標準方程為：(》一。)2+4—份2=/.

(2)方程(x—a)2+。一份2=產表示圓心為c(a,b),半徑為r的圓.

3.圓的一般方程

(1)任意一個圓的方程都可化為：x2+y2+Dx+Ey+F=O.這個方程就叫做圓的一般方程.

(2)對方程：x2+y?+Dx+Ey+F=0.

①若。2+爐一4/>0,則方程表示以(一5,一,)為圓心，為半徑的圓;

②若02+后2-4/=0,則方程只表示一個點(一名,~1):

③若。2+￡2—4尸<(),則方程不表示任何圖形.

4.點%)與0c的位置關系

(l)HC|<r=點A在圓內。(%—4)2+(%—6)2<一.

(2)|AC|=r?點A在圓上=(%—a)2+(%一人尸=r1■

222

(3)|AC|>r=點A在圓外o(x0-a)+(y0~b)>r.

知識點2.圓的方程綜合應用

1.圓的標準方程為：(x-a)2+(y-b)2=r2

2.圓的一般方程.：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).

3.點《(%,%)到直線l:Ax+By+C=Q的距離：d=%+取+。|.

\IA2+B2

知識點3.直線與圓相切

1.直線與圓相切：直線與圓有且只有一個公共點；

2.幾何法：圓心到直線的距離等于半徑，即4=廠；

3.代數(shù)法：A=0,方程組有一組不同的解.

知識點4.直線與圓相交及弦長

1.直線與圓相交：直線與圓有兩個公共點；

2.幾何法：圓心到直線的距離小于半徑，即d<r；

3.代數(shù)法：A>0,方程組有兩組不同的解.

知識點5.圓與圓的位置關系

設兩圓的圓心分別為G、C2,圓心距為d=|GQ|,半徑分別為R、r(7?>r).

(1)兩圓相離：無公共點；d>R+r,方程組無解.

(2)兩圓外切：有一個公共點；d=R+r,方程組有一組不同的解.

(3)兩圓相交：有兩個公共點；R-r<d<R+r,方程組有兩組不同的解.

(4)兩圓內切：有一公共點；d=R-r,方程組有一組不同的解.

(5)兩圓內含：無公共點；0Wd<R-r,方程組無解.特別地，d=0時，為兩個同心圓.

專題11直線與直線方程

【知識清單】

知識點1.直線的傾斜角與斜率

1.直線的傾斜角

①定義.當直線/與X軸相交時，我們取X軸作為基準，X軸的正方向與直線/向上的方向之間所成的角a叫做直線/的傾

斜角.當直線/與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°.

②范圍：傾斜角a的范圍為

2.直線的斜率

①定義.一條直線的傾斜角aQH90）的正切叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母后表示，即左=1&12,傾斜角是

90°的直線沒有斜率.當直線/與x軸平行或重合時，。=0",k=tan0"=0.

②過兩點的直線的斜率公式.經(jīng)過兩點6（須，凹），￡（々，%）（玉彳乙）的直線的斜率公式為人=上二乂.

X2~X\

3.每一條直線都有唯一的傾斜角，但并不是每一條直線都存在斜率,傾斜角為90°的直線斜率不存在.

4.直線的傾斜角Q、斜率2之間的大小變化關系：

71

（1）當a￡[0,—）時，Z>0,a越大，斜率越大；

2

（2）當ae（乙，乃）時，女<0,a越大，斜率越大.

2

知識點2.直線的方程

1.直線的點斜式方程：直