高中數(shù)學(xué)立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考

高中數(shù)學(xué)立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全

一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)

(1)多面體

幾何體結(jié)構(gòu)特征備注

①底面互相平行.按側(cè)棱與底面是否垂直分類，可分為斜棱柱

和直棱柱.側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫做斜

棱柱②側(cè)面都是平行四邊形.

棱柱，側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特

③每相鄰兩個(gè)平行四邊形的公共邊互相平行.別地，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.

①底面是多邊形.

三棱錐的所有面都是三角形，所以四個(gè)面都可

棱錐②側(cè)面都是三角形.

以看作底.三棱錐又稱為四面體.

③側(cè)面有一個(gè)公共頂點(diǎn).

①上、下底面互相平行，且是相似圖形.

棱臺(tái)②各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn).可用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐

③各側(cè)面為梯形.

(2)旋轉(zhuǎn)體

幾何體結(jié)構(gòu)特征備注

①圓柱有兩個(gè)大小相同的底面，這兩個(gè)面互相平行，且底

面是圓面而不是圓.

②圓柱有無(wú)數(shù)條母線，且任意一條母線都與圓柱的軸平圓柱可以由矩形繞其任一邊所在

圓柱

行，所以圓柱的任意兩條母線互相平行且相等.直線旋轉(zhuǎn)得到.

③平行于底面的截面是與底面大小相同的圓面，過(guò)軸的截

面（軸截面）是全等的矩形.

①底面是圓面.

②有無(wú)數(shù)條母線，長(zhǎng)度相等且交于頂點(diǎn).圓錐可以由直角三角形繞其直角

圓錐

邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到.

③平行于底面的截面是與底面大小不同的圓面，過(guò)軸的截

面（軸截面）是全等的等腰三角形.

①圓臺(tái)上、下底面是互相平行且不等的圓面.

圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰所

②有無(wú)數(shù)條母線，等長(zhǎng)且延長(zhǎng)線交于一點(diǎn).在直線或等腰梯形繞上、下底中點(diǎn)

圓臺(tái)

連線所在直線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平

③平行于底面的截面是與兩底面大小都不等的圓面，過(guò)

行于底面的平面截圓錐得到.

軸的截面（軸截面）是全等的等腰梯形.

①球心和截面圓心的連線垂直于截面.

球可以由半圓面或圓面繞直徑所

球②球心到截面的距離d與球的半徑〃及截面圓的半徑r

在直線旋轉(zhuǎn)得到.

之間滿足關(guān)系式：d=-/.

二、空間幾何體的表面積與體積

1.旋轉(zhuǎn)體的表面積

圓柱（底面半徑為r,圓錐（底面半徑為r,圓臺(tái)（上、下底面半徑分別為

母線長(zhǎng)為1）母線長(zhǎng)為1）,r,母線長(zhǎng)為7）

守

側(cè)面展開圖國(guó)/

1...岸

2irr

底面面積$底=兀,%-兀/5上*=兀，2,5下底=兀產(chǎn)

側(cè)面面積%=2?！╯側(cè)=?！⊿便產(chǎn)兀/（，+〃）

=2兀/"+/)S表=兀廠（廠+/）S表=兀(r'2+，+fl4-〃)

表面積s表

一制提醒

多面體的表面積就是各個(gè)面的面積之和，也就是展開圖的面積.

2.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式

幾何體體積

V柱體=S/7（S為底面面積，方為高）

柱體

%柱=兀r％（r為底面半徑，/;為高）

嘖體=gs/?（S為底面面積，方為高）

錐體

唳錐=；n戶八（r為底面半徑，力為高）

以、體=：(S'+Ay+S)〃(S'、S分別為上、下底面面積，力為高)，

臺(tái)體

%臺(tái)=§兀〃化2+/，+/)O'、r分別為上、下底面半徑，力為高)

非制找碑

(1)柱體、錐體、臺(tái)體體積公式間的關(guān)系

(2)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積之和或差;

(3)等底面面積且等高的兩個(gè)同類幾何體的體積相等.

3.球的表面積和體積公式

設(shè)球的半徑為凡它的體積與表面積都由半徑彳唯一確定，是以〃為自變量的函數(shù)，其表面積公式為4兀發(fā)，

4

即球的表面積等于它的大圓面積的4倍；其體積公式為§兀W.

井劑找碑

球的切、接問(wèn)題(常見結(jié)論)

(1)若正方體的棱長(zhǎng)為a,則正方體的內(nèi)切球半徑是ga；正方體的外接球半徑是與正方體

22

所有棱相切的球的半徑是刀V2。

(2)若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為b,h,則長(zhǎng)方體的外接球半徑是從+〃2.

2

>/6V6

⑶若正四面體的棱長(zhǎng)為。，則正四面體的內(nèi)切球半徑是石。；正四面體的外接球半徑是7

與正四面體所有棱相切的球的半徑是孝。

(4)球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑.

(5)球與圓臺(tái)的底面與側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺(tái)的高.

三、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1.平面的基本性質(zhì)

名稱圖形文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果一條直線上的兩點(diǎn)在同一個(gè)平Ae1,Be1,且/￡。，Be

公理1

/%/面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)。=/u。

A,B,，三點(diǎn)不共線=有且只

過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且

公理2有一個(gè)平面a,使a,Be

/二/只有一個(gè)平面

a,C&a

公推

經(jīng)過(guò)一條直線和直線外的一點(diǎn)，有若點(diǎn)A0直線a,則4和a確

論

理

且只有一個(gè)平面定一個(gè)平面a

21

的推

經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)a有且只有一個(gè)平

推論

平面面a,使qua,bua

論2

推

一經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)a//b=有且只有一個(gè)平面

論

平面a,使aua,bua

3

如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共

PGa,且ae￡=an￡=/,

公理3點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)

Pel,且/是唯一的

的公共直線

-------------71

公理4-----h平行于同一直線的兩條直線平行71/77,h//l^h//h

-----1

2.等角定理

(1)自然語(yǔ)言：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

(2)符號(hào)語(yǔ)言：如圖(1)、(2)所示，在NAOB與NGO'B'中，OA//O'A,OB//O'B',

則ZAOB=ZAOB'或NAOB+=180°.

圖⑴圖(2)

3.空間兩直線位置關(guān)系的分類

空間中兩條直線的位置關(guān)系有以下兩種分類方式:

(1)從有無(wú)公共點(diǎn)的角度分類:

兩條直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)：相交直線

直線’平行直線

兩條直線無(wú)公共點(diǎn)”

異面直線

(2)從是否共面的角度分類:

相交直線

共面直線

直線4平行直線

不共面直線：異面直線

4.異面直線所成的角

(1)異面直線所成角的定義

如圖，已知兩異面直線a,b,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)0,分別作直線a'//a,b'//b,相交直線a',b'所成

的銳角(或直角)叫做異面直線a與6所成的角(或夾角).

(2)異面直線所成角的范圍

71

異面直線所成的角必須是銳角或直角，異面直線所成角的范圍是((),一］.

2

(3)兩條異面直線垂直的定義

如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說(shuō)這兩條直線互相垂直.兩條互相垂直的異面直線a,b,

記作aLb.

5.直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的分類

(1)直線和平面位置關(guān)系的分類

①按公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分類：

'直線和平面相交一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

＜直線和平面平行一沒有公共點(diǎn)

直線在平面內(nèi)一有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

②按是否平行分類:

直線與平面平行

直線與平面相交

直線與平面不平行

直線在平面內(nèi)

③按直線是否在平面內(nèi)分類:

直線在平面內(nèi)

直線和平面相交

直線不在平面內(nèi)(直線在平面外),

直線和平面平行

(2)平面和平面位置關(guān)系的分類

兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種：

(1)兩個(gè)平面平行一一沒有公共點(diǎn)；

(2)兩個(gè)平面相交一一有一條公共直線.

特別程碑

(1)唯一性定理

①過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.

②過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.

③過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.

④過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.

（2）異面直線的判定方法

經(jīng)過(guò)平面內(nèi)?點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線互為異面直線.

四、直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

1.直線與平面平行的判定定理

平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.

文字語(yǔ)言

簡(jiǎn)記為：線線平行二線面平行

a

圖形語(yǔ)言/一/

符號(hào)語(yǔ)言aAa,Zxza,且a〃a

作用證明直線與平面平行

2.直線與平面平行的性質(zhì)定理

一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直

文字語(yǔ)言線平行.

簡(jiǎn)記為：線面平行=線線平行

圖形語(yǔ)言Qz

符號(hào)語(yǔ)言a//[3,a(3=bna//h

①作為證明線線平行的依據(jù).

作用

②作為畫一條直線與已知直線平行的依據(jù).

3.平面與平面平行的判定定理

一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.

文字語(yǔ)言

簡(jiǎn)記為：線面平行=面面平行

/?/

圖形語(yǔ)言

//

符號(hào)語(yǔ)言au8,buB,ab=P,a//a,

作用證明兩個(gè)平面平行

4.平面與平面平行的性質(zhì)定理

如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.

文字語(yǔ)言

簡(jiǎn)記為：面面平行=線線平行

片

圖形語(yǔ)言

符號(hào)語(yǔ)言a//y=a,/3]/=〃=>a//h

作用證明線線平行

特別啜碑

1.平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系

性質(zhì)定理

分一一判定定理、二二紅七判定定理、卬=

線線L平仃、—―一線面平仃、3H.…面面平仃

|性質(zhì)定理性質(zhì)定理f

判定定理

2.常用結(jié)論

(1)如果兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面.

(2)如果兩個(gè)平行平面中有一個(gè)平面垂直于一條直線，那么另一個(gè)平面也垂直于這條直線.

(3)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段長(zhǎng)度相等.

(4)經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.

(5)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

(6)如果兩個(gè)平面分別和第三個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面互相平行.

(7)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行.

(8)如果兩個(gè)平面垂直于同一條直線，那么這兩個(gè)平面平行.

五、直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

1.直線與平面垂直的定義

如果直線,與平面。內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線/與平面a互相垂直.記作：/J.a.圖形

表示如下：

喘制提理

定義中的“任意一條直線”這一詞語(yǔ)與“所有直線”是同義語(yǔ)，與“無(wú)數(shù)條直線”不是同義語(yǔ).

在應(yīng)用該定理判斷一條直線和一個(gè)平面垂直時(shí)，一定要注意是這條直線和平面內(nèi)的兩條煙父直線垂直,

而不是任意的兩條直線.

3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

簡(jiǎn)記為：線面垂直=線線平行

ab

圖形語(yǔ)言

__7

a-La

符號(hào)語(yǔ)言>=a//h

bLa

①證明兩直線平行；

作用

②構(gòu)造平行線.

4.平面與平面垂直的定義

兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.平面。與平面P垂直,

記作a_L尸.圖形表示如下：

5.平面與平面垂直的判定定理

一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.

文字語(yǔ)言

簡(jiǎn)記為：線面垂直=面面垂直

1

圖形語(yǔ)言Z7

符號(hào)語(yǔ)言7±a,luf3na【B

作用判斷兩平面垂直

6.平面與平面垂直的性質(zhì)定理

兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.

文字語(yǔ)言

簡(jiǎn)記為：面面垂直=線線平行

a

a

圖形語(yǔ)言1

al。

af3-l

符號(hào)語(yǔ)言>=>Q_L夕

。ua

aLI

作用證明直線與平面垂直

7.直線與平面所成的角

（1）定義：一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平

面的交點(diǎn)叫做斜足.

過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的第郛叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.

(2)規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角等于90；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi),

兀

我們說(shuō)它們所成的角等于0.因此，直線與平面所成的角。的范圍是［0,,］.

8.二面角

(1)二面角的定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面.從一條直線出發(fā)

的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做?畫擲這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.

(2)二面角的平面角的定義：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于

棱的射線，則這兩條射線構(gòu)成的角叫做這個(gè)二面角的平面角.

(3)二面角的范圍：［0,兀］.

特―

1.垂直問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系

2.常用結(jié)論

(1)若兩條平行線中一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.

(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)任何一條直線.

(3)過(guò)空間任一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.

(4)過(guò)空間任一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.

(5)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直.

(6)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.

(7)如果兩個(gè)平面互相垂直，那么過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi).

六、空間向量與立體幾何

1.空間直角坐標(biāo)系

坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)0

以空間一點(diǎn)。為原點(diǎn)，具有相同的單位長(zhǎng)度，

定

給定正方向，建立兩兩垂直的數(shù)軸：X軸、y坐標(biāo)軸x軸、y軸、z軸

義

軸、z軸，建”了個(gè)空間直角坐標(biāo)系。-孫z

坐標(biāo)平面通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面

在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正

方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系，如圖所示.

2.空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)

(1)空間一點(diǎn)"的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來(lái)表示，記作M(x,y,z),其中“叫做點(diǎn)材的橫坐標(biāo),

y叫做點(diǎn)”的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)材的豎坐標(biāo).

(2)建立了空間直角坐標(biāo)系后，空間中的點(diǎn)〃與有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

3.空間兩點(diǎn)間的距離公式、中點(diǎn)公式

(1)距離公式

①設(shè)點(diǎn)A(X],y,Z1),B(x2,y2,z2)為空間兩點(diǎn)，

則A,B兩點(diǎn)間的距離[4例=Ja-/A+(y+(4—2y.

②設(shè)點(diǎn)P(x,y,z),則點(diǎn)P(x,y,z)與坐標(biāo)原點(diǎn)。之間的距離為|OP|=G77m

(2)中點(diǎn)公式

設(shè)點(diǎn)尸(x,y,z)為耳為，%zj,—(.，必必)的中點(diǎn)，則“.=3；”.

Zj+z

z-12

2

4.共線向量定理

對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，6(bW0),a〃6的充要條件是存在實(shí)數(shù)4，使得a=46.

牢記兩個(gè)推論：

(1)對(duì)空間任意一點(diǎn)0,點(diǎn)尸在直線48上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使OP=(1-f)0A+f03或

OP=xOA+yOB(其中x+y=l).

(2)如果/為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)/且平行于己知非零向量。的直線，那么對(duì)空間任意一點(diǎn)。，點(diǎn)—在直線/上

的充要條件是存在實(shí)數(shù)3使。2=。4+柩，其中向量”叫做直線/的方向向量，該式稱為直線方程的

向量表示式.

5.共面向量定理

如果兩個(gè)向量a,6不共線，那么向量p與向量a,6共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,力，

使P=XQ+曲.

牢記推論：空間一點(diǎn)尸位于平面力比、內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使AP=xA5+yAC；

或?qū)臻g任意一點(diǎn)。，有0P=0A+xA3+yAC.

6.空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組｛x,y,z｝,使得p=xa+yb+

zc.其中，｛a,b,c｝叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c都叫做基向量.

林WI提薛

(1)空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成基底.

(2)基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示.

(3)()不能作為基向量.

7.空間向量的運(yùn)算

(1)空間向量的加法、減法、數(shù)乘及數(shù)量積運(yùn)算都可類比平面向量.

(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)。=(4，。2，/)，》=(4，》2/3)，則

a±b=(ai±b^a2±b2,a3±b3),

Aa=(Aat,2a2,Aa3)(2GR),

ab=a}b}+a2b2+a3b3,

ab=b=Anob]=/I4,么=Aa2,b3=Aa3(AeR),

a工boab=她+a2b2+03b3=0,

\a\==Ja；+a；+a；,

/1y_ab口初++a3b3

x廣麗”+城+標(biāo)：+36.

8.直線的方向向量和平面的法向量

(1)直線的方向向量就是指和這條直線平行(或共線)的向量，記作/,顯然一條直線的方向向量可以有

無(wú)數(shù)個(gè).

(2)若直線則該直線/的方向向量即為該平面的法向量，平面的法向量記作。，有無(wú)數(shù)多個(gè),

任意兩個(gè)都是共線向量.

平面法向量的求法：設(shè)平面的法向量為a=(x,y,z).在平面內(nèi)找出(或求出)兩個(gè)不共線的向量

。=(4，2,生)1=色,仇,仇)，根據(jù)定義建立方程組，得到4，通過(guò)賦值，取其中一組解，得