2023屆福建省泉州市安溪縣數(shù)學(xué)八年級(jí)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年八上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．在平面直角坐標(biāo)系的第二象限內(nèi)有一點(diǎn)，點(diǎn)到軸的距離為3，到軸的距離為4，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．2．立方根是－3的數(shù)是（）．A．9 B．－27 C．－9 D．273．下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．4．有一個(gè)長(zhǎng)方形內(nèi)部剪掉了一個(gè)小長(zhǎng)方形，它們的尺寸如圖所示，則余下的部分（陰影部分）的面積（）A．4a2 B．4a2﹣ab C．4a2+ab D．4a2﹣ab﹣2b25．下列各點(diǎn)在正比例函數(shù)的圖象上的是（）A． B． C． D．6．若等腰三角形有兩條邊的長(zhǎng)度為3和1，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為A．5 B．7 C．5或7 D．67．如圖，中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．8．下列各數(shù)中，是無(wú)理數(shù)的是（）A．3.14 B． C．0.57 D．9．點(diǎn)M位于平面直角坐標(biāo)系第四象限，且到x軸的距離是5，到y(tǒng)軸的距離是2，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）A．（2，﹣5） B．（﹣2，5） C．（5，﹣2） D．（﹣5，2）10．設(shè)等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立，其中a、x、y是兩兩不同的實(shí)數(shù)，則的值是()A．3 B． C．2 D．11．如下書(shū)寫的四個(gè)漢字，其中為軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．12．下列運(yùn)算不正確的是（）A．x2?x3=x5 B．（x2）3=x6 C．x3+x3=2x6 D．（﹣2x）3=﹣8x3二、填空題（每題4分，共24分）13．閱讀理解：引入新數(shù)，新數(shù)滿足分配律，結(jié)合律，交換律.已知，那么________.14．如圖①，四邊形中，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)時(shí)停止，已知的面積與點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程的函數(shù)圖象如圖②所示，則點(diǎn)從開(kāi)始到停止運(yùn)動(dòng)的總路程為_(kāi)_______.15．如果關(guān)于的方程有增根，則_______________.16．四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝72°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠AMN+∠ANM的度數(shù)為_(kāi)______17．如圖，△ABO是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，則A點(diǎn)的坐標(biāo)是_____．18．如圖，在中，，是邊上兩點(diǎn)，且所在的直線垂直平分線段，平分，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．三、解答題（共78分）19．（8分）在5×7的方格紙上，任意選出5個(gè)小方塊涂上顏色，使整個(gè)圖形（包括著色的“對(duì)稱”）有：①1條對(duì)稱軸；②2條對(duì)稱軸；③4條對(duì)稱軸．20．（8分）如圖，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分線，三角尺的直角頂點(diǎn)P在射線OM上滑動(dòng)，兩直角邊分別與OA，OB交于點(diǎn)C，D，求證：PC＝PD．21．（8分）化簡(jiǎn)求值或解方程（1）化簡(jiǎn)求值：（2x?1x+1﹣x+1）÷x?2x2（2）解方程：6x2?122．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)．（1）求和的值；（2）直線與軸交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在射線上從點(diǎn)開(kāi)始以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒；①若的面積為，請(qǐng)求出與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；②是否存在的值，使得？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．23．（10分）如圖，已知在同一直線上，，.求證：.24．（10分）已知：∠AOB=30°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部及射線OB上一點(diǎn)，且OP=10cm．（1）若點(diǎn)P在射線OB上，過(guò)點(diǎn)P作關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)，連接O、P，如圖①求P的長(zhǎng)．（2）若過(guò)點(diǎn)P分別作關(guān)于直線OA、直線OB的對(duì)稱點(diǎn)、，連接O、O、如圖②，求的長(zhǎng)．（3）若點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)，分別在射線OA、射線OB找一點(diǎn)M，N，使△PMN的周長(zhǎng)取最小值，請(qǐng)直接寫出這個(gè)最小值．如圖③25．（12分）已知：如圖①所示的三角形紙片內(nèi)部有一點(diǎn)P．任務(wù)：借助折紙?jiān)诩埰袭嫵鲞^(guò)點(diǎn)P與BC邊平行的線段FG．閱讀操作步驟并填空：小謝按圖①～圖④所示步驟進(jìn)行折紙操作完成了畫圖任務(wù)．在小謝的折疊操作過(guò)程中，（1）第一步得到圖②，方法是：過(guò)點(diǎn)P折疊紙片，使得點(diǎn)B落在BC邊上，落點(diǎn)記為，折痕分別交原AB，BC邊于點(diǎn)E，D，此時(shí)∠即∠=__________°；（2）第二步得到圖③，參考第一步中橫線上的敘述，第二步的操作指令可敘述為：_____________，并求∠EPF的度數(shù)；（3）第三步展平紙片并畫出兩次折痕所在的線段ED，F(xiàn)G得到圖④．完成操作中的說(shuō)理：請(qǐng)結(jié)合以上信息證明FG∥BC．26．計(jì)算與化簡(jiǎn)求值（1）計(jì)算：（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x＝2

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【解析】分析：根據(jù)第二象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可得答案．詳解：由題意，得x=-4，y=3，即M點(diǎn)的坐標(biāo)是（-4，3），故選C．點(diǎn)睛：本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，熟記點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題關(guān)鍵．橫坐標(biāo)的絕對(duì)值就是到y(tǒng)軸的距離，縱坐標(biāo)的絕對(duì)值就是到x軸的距離．2、B【分析】本題考查了立方根的概念，任何正數(shù)都有立方根，它們和被開(kāi)方數(shù)的符號(hào)相同．由于立方根和立方為互逆運(yùn)算，因此只需求－3的立方即可．【詳解】解：立方根是－3的數(shù)是=?1．

故選：B．【點(diǎn)睛】了解立方根和立方為互逆運(yùn)算，是理解立方根的關(guān)鍵.3、C【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

D、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．4、B【分析】根據(jù)陰影部分面積=大長(zhǎng)方形的面積-小長(zhǎng)方形的面積，列出算式，再根據(jù)整式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算可得．【詳解】解：余下的部分的面積為：（2a+b）（2a-b）-b（a-b）

=4a2-b2-ab+b2

=4a2-ab，

故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形列出面積的代數(shù)式，并熟練掌握整式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．5、A【分析】分別把各點(diǎn)代入正比例函數(shù)的解析式進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】A、∵當(dāng)x＝?1時(shí)，y＝2，∴此點(diǎn)在函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)正確;B、∵當(dāng)x＝1時(shí)，y＝?2≠2，∴此點(diǎn)不在函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;C、∵當(dāng)x＝0.5時(shí)，y＝?1≠1，∴此點(diǎn)不在函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵當(dāng)x＝?2時(shí)，y＝4≠1，∴此點(diǎn)不在函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知一次函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．6、B【分析】因?yàn)橐阎L(zhǎng)度為3和1兩邊，沒(méi)有明確是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類討論：【詳解】①當(dāng)3為底時(shí)，其它兩邊都為1，∵1+1＜3，∴不能構(gòu)成三角形，故舍去．當(dāng)3為腰時(shí)，其它兩邊為3和1，3、3、1可以構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)為1．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，以及三邊關(guān)系，分類討論是關(guān)鍵.7、D【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)解得，再由直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解題即可．【詳解】是線段BC的垂直平分線，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．8、D【解析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義，分別判斷，即可得到答案.【詳解】解：是無(wú)理數(shù)；3.14，，0.57是有理數(shù)；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握無(wú)理數(shù)的三種形式：①開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，②無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)．9、A【分析】先根據(jù)到x軸的距離為點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，到y(tǒng)軸的距離為點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，進(jìn)而判斷出點(diǎn)的符號(hào)，得到具體坐標(biāo)即可．【詳解】∵M(jìn)到x軸的距離為5，到y(tǒng)軸的距離為1，∴M縱坐標(biāo)可能為±5，橫坐標(biāo)可能為±1．∵點(diǎn)M在第四象限，∴M坐標(biāo)為（1，﹣5）．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的確定；用到的知識(shí)點(diǎn)為：點(diǎn)到x軸的距離為點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，到y(tǒng)軸的距離為點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值．10、B【分析】根據(jù)根號(hào)下的數(shù)要是非負(fù)數(shù)，得到a（x-a）≥1，a（y-a）≥1，x-a≥1，a-y≥1，推出a≥1，a≤1，得到a=1，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案．【詳解】由于根號(hào)下的數(shù)要是非負(fù)數(shù)，∴a（x-a）≥1，a（y-a）≥1，x-a≥1，a-y≥1，a（x-a）≥1和x-a≥1可以得到a≥1，a（y-a）≥1和a-y≥1可以得到a≤1，所以a只能等于1，代入等式得=1，所以有x=-y，即：y=-x，由于x，y，a是兩兩不同的實(shí)數(shù)，∴x＞1，y＜1．將x=-y代入原式得：原式=．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)二次根式的化簡(jiǎn)，算術(shù)平方根的非負(fù)性，分式的加減、乘除等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此題的關(guān)鍵．11、B【分析】軸對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義可得只有“善”符合條件，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱圖形的定義，本題屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題，只需學(xué)生熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義，即可完成．12、C【解析】A.∵x2?x3=x5，故正確；B.∵（x2）3=x6，故正確；C.∵x3+x3=2x3，故不正確；D.∵（﹣2x）3=﹣8x3，故正確；故選C.二、填空題（每題4分，共24分）13、2【分析】根據(jù)定義即可求出答案．【詳解】由題意可知：原式=1-i2=1-（-1）=2故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查新定義型運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義．14、11【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可以直接得到AB、BC和三角形ADB的面積，從而可以求得AD的長(zhǎng)，作輔助線CE⊥AD,從而可得CD的長(zhǎng)，進(jìn)而求得點(diǎn)P從開(kāi)始到停止運(yùn)動(dòng)的總路程，本題得以解決.【詳解】解:作CE⊥AD于點(diǎn)E,如下圖所示，由圖象可知，點(diǎn)P從A到B運(yùn)動(dòng)的路程是3，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，△PAD的面積是，由B到C運(yùn)動(dòng)的路程為3,∴解得，AD=7,又∵BC//AD,∠A=90°，CE⊥AD,∴∠B=90°，∠CEA=90°，∴四邊形ABCE是矩形,∴AE=BC=3,∴DE=AD-AE=7-3=4,∴∴點(diǎn)P從開(kāi)始到停止運(yùn)動(dòng)的總路程為:AB+BC+CD=3+3+5=11.故答案為:11【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息，解題的關(guān)鍵是明確題意，能從函數(shù)圖象中找到準(zhǔn)確的信息,利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問(wèn)題.15、-1【解析】增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根．有增根，最簡(jiǎn)公分母x?1＝0，所以增根是x＝1，把增根代入化為整式方程的方程即可求出未知字母的值．【詳解】方程兩邊都乘x?1得mx＋1-x＋1＝0，∵方程有增根，∴最簡(jiǎn)公分母x?1＝0，即增根是x＝1，把x＝1代入整式方程，得m＝?1．故答案為：?1．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根，解決增根問(wèn)題的步驟：①確定增根的值；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．16、144°【分析】根據(jù)要使△AMN的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，進(jìn)而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【詳解】解：作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長(zhǎng)最小值．∵四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝72°∴∠DAB=108°，∴∠AA′M+∠A″=72°，∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×72°=144°，故填：144°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問(wèn)題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．17、(﹣2，2)【分析】過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)C，根據(jù)△AOB是等邊三角形，OB＝4可得出OC＝BC＝2，∠OAC＝∠OAB＝30°．在Rt△AOC中，根據(jù)∠OAC＝30°，OA＝4可得出AC及OC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出A點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)C，∵△AOB是等邊三角形，OB＝4，∴OC＝BC＝2，∠OAC＝∠OAB＝30°，在Rt△AOC中，∵∠OAC＝30°，OA＝4，∴OC＝2，AC＝OA?cos30°＝4×＝2∵點(diǎn)A在第三象限，∴A（﹣2，2）．故答案為：（﹣2，2）．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，熟知等邊三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．18、1【分析】根據(jù)CE垂直平分AD，得AC=CD，再根據(jù)等腰三角形的三線合一，得∠ACE=∠ECD，結(jié)合角平分線定義和∠ACB=90°，得∠ACE=∠ECD=∠DCB=30°，則∠A=60°，進(jìn)而求得∠B=30°，則BD=CD=AC，由此即可求得答案．【詳解】∵CE垂直平分AD，∴AC=CD=1，∴∠ACE=∠ECD，∵CD平分∠ECB，∴∠ECD=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACE=∠ECD=∠DCB=30°，∴∠A=90°-∠ACE=60°，∴∠B=90°-∠A=30°，∴∠DCB=∠B，∴BD=CD=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余等知識(shí)，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共78分）19、答案見(jiàn)解析.【分析】①直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的答案；②直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的答案；③直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的答案．【詳解】①如圖1所示：②如圖2所示：③如圖3所示：20、證明見(jiàn)解析．【解析】試題分析：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F．根據(jù)垂直的定義得到由OM是∠AOB的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到利用四邊形內(nèi)角和定理可得到而則，然后根據(jù)“AAS”可判斷△PCE≌△PDF，根據(jù)全等的性質(zhì)即可得到試題解析：證明：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F．∵OM是∠AOB的平分線，而在△PCE和△PDF中，∵∴△PCE≌△PDF（AAS），點(diǎn)睛：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.21、（1）﹣2；（2）無(wú)解【解析】（1）先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再將x的值代入計(jì)算可得；（2）兩邊都乘以（x+1）（x﹣1）化分式方程為整式方程，解整式方程求得x的值，再檢驗(yàn)即可得．【詳解】解：（1）原式＝2x-1＝-＝-x(x-2)＝﹣x（x+1）＝﹣x2﹣x，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，原式＝﹣4+2＝﹣2；（2）6x2-1兩邊都乘以（x+1）（x﹣1），得：6﹣（x+2）（x+1）＝-（x+1）（x﹣1），即6﹣x2﹣3x﹣2＝-x2+1，解得x＝1，當(dāng)x=1時(shí)，1－x=0,無(wú)意義，所以x＝1不是原分式方程的解，所以分式方程無(wú)解．【點(diǎn)睛】考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及解分式方程的步驟．22、（1），；(2)①；②的值為4或1．【分析】（1）把點(diǎn)代入直線中求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入直線即可求得答案；(2)①先求得點(diǎn)、的坐標(biāo)，繼而求得的長(zhǎng)，分兩種情況討論：當(dāng)、時(shí)分別求解即可；②先求得，再根據(jù)①的結(jié)論列式計(jì)算即可．【詳解】（1）把點(diǎn)代入直線中得：，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∵直線過(guò)點(diǎn)C，∴，∴；故答案為：2，；(2)由(1)得，令，則，∵直線與軸交于A，令，，則點(diǎn)的坐標(biāo)，∴，①當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，∴綜上所述，；②存在，理由如下：∵，①當(dāng)時(shí)，，∴解得：；②當(dāng)時(shí)，，∴，解得：；∴綜上所述，的值為4或1時(shí)，使得．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到三角形的面積計(jì)算，要注意分類求解，避免遺漏．23、證明見(jiàn)解析.【分析】由，則AD=AE，然后利用SAS證明△ABE≌△ACE，即可得到AB=AC.【詳解】解：∵，∴AD=AE，∵，，∴△ABE≌△ACE，∴AB=AC.【點(diǎn)睛】本題考查了等角對(duì)等邊的性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等角對(duì)等邊性質(zhì)得到AD=AE.24、（1）=10cm；（2）=10cm；（3）最小值是10cm.【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得OP=O，∠PO=2∠AOB=60°，從而證出△PO是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得OP=O，OP=O，∠PO=2∠AOP，∠PO=2∠BOP，然后證出△PO是等邊三角形即可得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)P分別作關(guān)于直線OA、直線OB的對(duì)稱點(diǎn)、，連接O、O、，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接PM、PN，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可得出此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最小，且最小值為的長(zhǎng)，然后根據(jù)（2）即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)P與關(guān)于直線OA對(duì)稱，∠AOB=30°∴OP=O，∠PO=2∠AOB=60°∴△PO是等邊三角形∵OP=10cm∴=10cm（2）∵點(diǎn)P與關(guān)于直線OA對(duì)稱，點(diǎn)P與關(guān)于直線OB對(duì)稱，∠AOB=30°∴OP=O，OP=O，∠PO=2∠AOP，∠PO=2∠BOP∴O=O，∠O=∠PO＋∠PO=2（∠AOP＋∠BOP）=2∠AOB=60°∴△PO是等邊三角形∵OP=10cm∴=10cm（3）過(guò)點(diǎn)P分別作關(guān)于直線OA、直線OB的對(duì)稱點(diǎn)、，連接O、O、，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接PM、PN，如下圖所