高中數(shù)學(xué)第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題 57(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題（57）

一、單項選擇題（本大題共9小題，共45.0分）

1.正三棱錐P-ABC中，己知點E在PA上，PA,PB,PC兩兩垂直，PA=4,PE=3EA,正三棱錐

P-ABC的外接球為球。，過E點作球。的截面a,則a截球。所得截面面積的最小值為（）

A.itB.2TTC.3TTD.4TT

2.如圖，正方體4BCD-4B1GD1的棱長為1,線段41cl上有兩個動點E,F,且EF=點則下列

結(jié)論錯誤的是（）

A.BD1CE

B.EF〃平面ABCD

C.三棱錐E-F8C的體積為定值

D.ABEF的面積與ACEF的面積相等

3.如圖，正方體ABCO-4B1C也的棱長為1,E,尸分別為線段&Bi，CG上兩個動點且EF=也則

下列結(jié)論中正確的是（）

A.存在某個位置E,F,使BE1O尸

B.存在某個位置E,F,使EF〃平面&BCD1

C.三棱錐Bi-BEF的體積為定值

D.4AEF的面積與4BEF的面積相等

4.己知正六棱柱的12個頂點都在一個半徑為3的球面上，當正六棱柱的體積最大時，其高的值為

（）

A.3V3B.V3C.2V6D.2V3

5.四面體A8C。的四個頂點在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3,AC=2^3,BD=展,則

該球的表面積為（）

A.147rB.157rC.167rD.18兀

6.若四面體的三視圖如圖所示，則以下判斷中，正確的是（）

A.該四面體的所有對棱都互相垂直

B.該四面體恰有三個面是直角三角形

C.該四面體中，棱與面互相垂直的恰有兩對

D.該四面體中，面與面互相垂直的恰有四對

7.兩個圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點和底面圓周都在同一個球面上.若圓錐底面面積是球面

面積的則這兩個圓錐的體積之比為（）

16

A.2:1B,5:2C.1:4D.3:1

8.在正方體ZBCD-&B1GD1中，異面直線昆。與&G所成的角為（）

A.60°B,45°C.30°D.90°

9.甲烷（CHQ的分子結(jié)構(gòu)模型如圖所示。四個氫原子構(gòu)成正四面體的四個頂點，碳原子位于正四面

體中心，貝IJC-H鍵之間的鍵角的正切值為（）

A.—V3

B.-2V2

C.-2V3

D.—3>/2

二、多項選擇題（本大題共1小題，共5.0分）

10.如圖，四面體0ABe的三條棱。4OB,OC兩兩垂直，04=08=2,OC=3,。為四面體0ABe

外一點.給出下列命題，其中真命題的序號是

A.不存在點。，使四面體48CD有三個面是直角三角形

B.不存在點。，使四面體ABC。是正三棱錐

C.存在點使CO與AB垂直并且相等

D.存在無數(shù)個點O,使點。在四面體ABC。的外接球面上

三、填空題（本大題共18小題，共90.0分）

11.在平面內(nèi)，若一三角形的面積為S,周長為C,則它的內(nèi)切圓的半徑r=篙那么在空間中，若一

三棱錐的體積為匕表面積為5,利用類比推理的方法，可得此三棱錐的內(nèi)切球（球面與三棱錐

的各個面均相切）的半徑R=.

12.將一個邊長為2的正三角形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的表面積為.

13.如圖，在四面體48CD中，AB=CD=AD=BD=3,AC=BC=4,用平行于4B,CD的平

面截此四面體，得到截面四邊形EFG”，則F”的最小值為.

14.已知正四面體P—HBC的棱長為2,。為PA的中點，E,尸分別是線段4B,PC（含端點）邊上的

動點，則OE+DF的最小值為.

15.正方體ABC。一&占GA的棱長為1,P為BC的中點，。為線段CG上的動點，過點A,P,Q

的平面截該正方體所得的截面記為S,則下列命題正確的是―（寫出所有正確命題的編號）。

①當0<CQ<；時，S為四邊形②當。（？=泄，S為等腰梯形

③當CQ=：時，S與65的交點R滿足C/=|④當CQ=1時，S的面積為日

16.已知三棱錐P—A8C外接球的表面積為100兀，P41平面ABC,PA=4,^BAC=30°,則該三

棱錐體積的最大值為.

17.在直三棱柱4BC-41B1G中，^BAC=90"且AB=百，BBr=4,其外接球的表面積為28乃,

則2L4BC的面積為.

18.已知三棱錐P-48C的所有棱長都相等，現(xiàn)沿PA,PB,PC三條側(cè)棱剪開，將其表面展開成一

個平面圖形，若這個平面圖形外接圓的半徑為2乃，則三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的體積為

19.過球。表面上一點A引三條長度相等的弦AB,AC,AD,且兩兩夾角都為60。，若球半徑為七

則4BCD的面積為.

20.正四面體ABC。的棱長為2,則所有與A,B,C,。距離相等的平面截這個四面體所得截面的

面積之和為.

21.在棱長為8的正方體空盒內(nèi)，有4個半徑為r的小球在盒底四角，分別與正方體底面處交于某

一頂點的三個面相切，另有一個半徑為R的大球放在四個小球之上，與四個小球相切，并與正

方體盒蓋相切，無論怎樣翻轉(zhuǎn)盒子，五球相切不松動，則大球半徑R的最小值是.

22.已知三棱錐P-4BC中，P4=6,48=AC=2b,BC=6,P4平面ABC,則此三棱錐P—ABC

的外接球的表面積為.

23.已知邊長為2b的菱形ABCD中，^BAD=60°,沿對角線8。折成二面角4一80-C的大小為

120。的四面體，則四面體的外接球的表面積為.

24.如果一個圓錐的側(cè)面積與其底面積之比是5：3,那么該圓錐的母線與底面所成角的正弦值為

25.一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓，則該圓錐的體積為.

26.有下列四個命題：

①垂直于同一條直線的兩條直線平行；

②垂直于同一條直線的兩個平面平行；

③垂直于同一平面的兩個平面平行；

④垂直于同一平面的兩條直線平行.

其中正確的命題有（填寫所有正確命題的編號）.

27.已知點。是。4BC所在平面外一點，點。到點A,B,C的距離都為2,且D4,DB,DC兩兩垂直，若

動點尸到定點A的距離為1,點M為線段PC的中點，則線段8M的最大值是.

28.設(shè)正三棱錐/…川的高為〃，且此棱錐的內(nèi)切球的半徑A,H7/3則，小______.

rvV

四、多空題（本大題共1小題，共5.0分）

29.以一個正多面體每條棱的中點為頂點，可以得到一個多面體，且該多面體是由一種或一種以上

的正多邊形構(gòu)成的.現(xiàn)以棱長為1的正四面體每條棱的中點為頂點，形成一個多面體，則該正

多面體的表面積為以新形成的多面體的棱的中點為頂點，又可以形成一個多面體，則

該多面體的表面積為_（2）_.

五、解答題（本大題共1小題，共12.0分）

30.如圖，正方體4BCD—4B1QD1的棱長為2,E,F,M分別是。祖，好劣和AB的中點.

（1）求證：MD1〃平面BEFD；

(2)求點4到平面BEFD的距離.

【答案與解析】

1.答案：C

解析：

本題主要考查了球的性質(zhì)、球截面的性質(zhì)以及兩兩垂直的三棱錐外接球半徑的求法，本題屬于中檔

題.

熟悉相關(guān)的立體模型以及幾何性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，根據(jù)題意可得三棱錐外接球的直徑為所在正

方體的體對角線，再根據(jù)當0E垂直截面a時，截面圓半徑最小，最后帶入數(shù)據(jù)運算即可.

解：三棱錐外接球的直徑為所在正方體的體對角線，

R=2V3.過。作H為垂足，

OH=2V2.在舟中，OH=2a,HE=1,：.OE=3,

當0E垂直截面a時，截面圓半徑最小，

r2=R2-0E2=(2國產(chǎn)-32=3.S=nr2=3兀，

故選C.

2.答案：D

解析：

本題考查了空間線面位置關(guān)系的判斷和棱錐的體積計算，屬于中檔題.

根據(jù)BD，平面441GC可判斷A,根據(jù)E/7/AC可判斷B,求出三角形CEF和三角形BEF的面積和三

棱錐4一BE尸的體積即可判斷C,D.

解：對于4,連接AC,則BD1AC,

在正方體力BCD—AiBiCiDi中，AAt1底面ABCD,

BDu底面ABCD,所以BC1AAlt

ACnAAX=A,AC,44]u平面441clc,

???BD，平面A41clC,又CEu平面AACC,

???BD1CE,故A正確；

對于8,,:ACHA\C?即EF〃4C,

又EFC平面ABCD,ACu平面ABCD,

EF〃平面4BCD,故B正確；

1111

對于C,S&CEF=--EF?CCX=Jx-x1=-,

點B到平面CEF的距離d等于B到平面44C1C的距離，所以d=匏。=爭

^E-FBC=^B-CEF=［、X曰=故C正確；

對于。，連接Z1B,GB,則AaBCi是邊長為我的等邊三角形，

B到EF的距離為=冬而C到EF的距離為陰=1,

.,.△CEF的面積與ABEF的面積不相等，故。錯誤.

故選。.

3.答案：B

解析：

本題考查空間線線和線面的位置關(guān)系的判斷，以及棱錐體積的求法和點到三角形的面積的關(guān)系，考

查運算能力和推理能力，屬于中檔題.

解：可設(shè)EBi=?n,CF=n,

可得膽2+1+(1—n)2=、，即〃?心+(］—n)2=￡過c作CH〃BE,交C［D］于H,

若BE1DF,可得CH1DF,即有nm=1,這與m,n小于1矛盾，

故A不成立；

連接E”，可得EH〃/1］。1，連接尸H,若FH//CD］,

即有C1"=C1F,即m=l-n,可得徵=包＜1成立，

4

此時平面七尸/^尸“平面人避。］,可推出EF〃平面A18CD1，故B成立；

由VB\-BEF=VE-B\BF=|/iSAB1SF=i/ix1x1x1=J/i,,h為E至1J平面BC\的距離，

力在變化，可得三棱錐Bi-BE尸的體積在變化，故C錯誤；

由4到直線E尸的距離和B到直線E尸的距離不相等，

可得尸的面積與ABEF的面積不相等，故。錯誤.

故選&

解析：解：以正六棱柱的最大對角面作截面，如圖.設(shè)球心為0,正六棱柱的上下底面中心分別為01，

。2,則。是。1，。2的中點.設(shè)正六棱柱的底面邊長為“，高為2/2,則a2+F=9.正六棱柱的體積

為U=6xfa2x2h=373(9一則片=373(9-3/i2).

得極值點h=不難知道這個極值點是極大值點，也是最大值點.故當正六棱柱的體積最大，其

高為2g.

故選：D.

根據(jù)正六棱柱和球的對稱性，球心。必然是正六棱柱上下底面中心連線的中點，作出過正六棱柱的

對角面的軸截面即可得到正六棱柱的底面邊長、高和球的半徑的關(guān)系，在這個關(guān)系下求函數(shù)取得最

值的條件即可求出所要求的量.

本題是在空間幾何體、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用交匯處命制，解題的關(guān)鍵是建立正六棱柱體積的函數(shù)關(guān)系式.

5.答案：A

解析：

本題考查球的表面積公式，考查空間想象能力，屬于中檔題.

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，確定底面的外心位置，再確定圓心位置即可求解.

解：由題意，作出四面體ABC。的示意圖，如圖所示：

c

取AC的中點為E,連接BE,DE.

?:AB=BC=CD=DA=3,BE1AC,DE1AC,:.AC平面DBE.

又AC=2百，DE=VXD2-AE2=V9^3=V6）同理BE=n，故△DBE為等邊三角形.

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可知A/IBC的外心用在直線BE上，令ME=x,

則有BM2=（逐一X）2=4M2=（⑹2+M，解得x=f,故8"=乎.

記四面體ABCD的球心為點。，???△4BC的外心為M,可知。"_L平面ABC.

取BC的中點H,連接。H,

vDH1BC,乂AC_L平面DBE,AC1DH,DH1平面ABC,.?.點O在平面BED中，

令四面體ABCD的外接球半徑為R,OM=h,

22

則有R2=0B2_BM2+0M2=呼）+九2=0D2=（DH-OM）+HM=（半一h）+的，

解得/!=gR2=j

4乙

故該球的表面積為S=4TTR-=4TTX：UTT.

故選A.

6.答案：C

解析：

本題考查空間幾何體的三視圖，及空間中線線、線面、面面位置關(guān)系的判斷，

幾何體還原是關(guān)鍵，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

解：根據(jù)三視圖知，該四面體是如圖1所示的三棱錐，在三棱錐P-ABC中，PAABC,BC1

側(cè)面PAB,C選項正確；

其中PB與AC不垂直，A選項錯誤；四個面都是直角三角形，8選項錯誤；

面與面互相垂直的有三對，分別是平面PACJ■平面48C,平面PAB1平面ABC,平面P4B_1_平

面PBC,。選項錯誤，

故選C.

7.答案：D

解析：

本題考查了圓錐的體積計算，球與內(nèi)接旋轉(zhuǎn)體的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)球半徑為r,則根據(jù)圓錐底面與球面積的關(guān)系得出圓錐的底面半徑，根據(jù)勾股定理求出球心到圓錐

底面的距離，得到兩圓錐的高度.

解：設(shè)球的半徑為R,圓錐底面的半徑為r,則兀八=三x4TTR2=陋!，

164

.：r=^R.

2

???球心到圓錐底面的距離為VR2一*=*

???圓錐的高分別為？和:.

??.兩個圓錐的體積比為爭f=3：1.

故選D.

8.答案：A

解析：

本題考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運

算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.

連結(jié)4D,C[D,A[D“B\C,則ND4G是異面直線&G與B1C所成角（或所成角的補角），由此能求

出異面直線與BiC所成角.

解：連結(jié)為。，JD,如圖所示，

A]D〃BiC,???4。4忑1是異面直線&Ci與殳。所成角（或所成角的補角）,

vA1D=A1C1=DC],

?，?Z,C1A1D=60°,

???異面直線41cl與BiC所成角為60。.

故選A.

9.答案：B

解析：

本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查轉(zhuǎn)化思想，空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題.

正四面體是正方體中的特殊圖形，本題可以利用正方體的有關(guān)長度，以及余弦定理知識和同角三角

函數(shù)的關(guān)系解答，即可得到.

解：如圖，

設(shè)正四面體的棱長為a,

則BE=苧ax|=?

AE=Ja2-(y?)2=條,4。=B。=x：=￥a,

-1

41+4i

cosZ.AOB=6—=—，

所以sinNAOB=\/1cu?2Z.4OZ?=-，

2\/2

所以tanN.AOB——-2v/2,

所以C-H鍵之間的鍵角的正切值為-2企.

故選用

10.答案：CD

解析：

本題主要考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，同時考查了空間想象能力，轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，以及構(gòu)造法的運

用，屬于中檔題.

對于①可構(gòu)造四棱錐CAB。與四面體OA8C一樣進行判定；對于②，使4B=AD=BD,此時存在

點。，使四面體ABC力是正三棱錐；對于③取CD=48,AD=BD,此時CD垂直面ABD,即存在

點Q,使CO與AB垂直并且相等，對于④先找到四面體0ABe的內(nèi)接球的球心尸，使半徑為r,只

需PD=r,可判定④的真假.

解：???四面體0ABe的三條棱OA,OB,0C兩兩垂直，。4=0B=2,0C=3,

???AC=BC=VH,AB=2>/2,

當四棱錐C4BO與四面體0ABe一樣時，

即取C。=3,AD=BD=2,

此時點。，使四面體ABC。有三個面是直角三角形，

故4不正確；

使4B=40=BD,此時存在點。，使四面體ABC。是正三棱錐，

故B不正確；

取CZ)=AB,AD=BD,此時CO垂直面480,

即存在點D,使CD與AB垂直并且相等，

故C正確；

先找到四面體0A8C的內(nèi)接球的球心P,

使半徑為廣，只需PD=r即可，

??.存在無數(shù)個點D,使點。在四面體ABCD的外接球面上，

故。正確.

故選CD.

11.答案：y

解析：

本題考查的知識點是類比推理、棱錐的結(jié)構(gòu)特征，在由平面圖形的性質(zhì)向空間物體的性質(zhì)進行類比

時，常用的思路有：由平面圖形中點的性質(zhì)類比推理出空間里的線的性質(zhì)，由平面圖形中線的性質(zhì)

類比推理出空間中面的性質(zhì)，由平面圖形中面的性質(zhì)類比推理出空間中體的性質(zhì).

解：設(shè)三棱錐的四個面積分別為：Si，S2,S3,S4.

由于內(nèi)切球到各面的距離等于內(nèi)切球的半徑

...V=IS1XR+IS2XR+IS3XR+IS4XR=ISXR,

???內(nèi)切球半徑R=手

故答案為芥

12.答案：4■百兀

解析：

旋轉(zhuǎn)體是兩個圓錐，求得圓錐的底面半徑為R與母線長，代入圓錐的側(cè)面積公式計算可得答案.

本題考查了旋轉(zhuǎn)體的表面積，判斷旋轉(zhuǎn)體的形狀，求相關(guān)幾何量（旋轉(zhuǎn)半徑，母線）的數(shù)據(jù)是關(guān)鍵.

解：將邊長為2的正三角形繞著它的一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體是兩個圓錐，

圓錐的底面半徑為R=2x/=遮，母線長為2,

???旋轉(zhuǎn)體的表面積S=2xS圓錐側(cè)面=2xyrxV3x2=4V3TT.

故答案為：4V3TT.

13.答案：運

2

解析:

本題考查了四面體48co中的對稱性來證明四邊形是矩形.同時考查了動點的問題以及靈活性的運

用，屬于中檔題.

由直線A3平行于平面EFGH,且平面A8C交平面EFGH于HG,所以同理EF〃4B,FG〃C0,

EH//CD,所以FG〃EH,EF〃HG.四邊形EFG”為平行四邊形.又AD=BD,AC=BC的對稱性,

可知4BLCD.從而四邊形EFG4為矩形.利用勾股定理求出解析式，然后求最值即可.

解：???直線〃平面EFG”，且平面ABCn平面EFGH=HG,

???HG//AB,

同理：EF//AB,FG//CD,EH//CD,所以：FG〃EH,EF//HG.

故四邊形EFGH為平行四邊形.

取AB中點為。，/連接CO,DO,

又?：AD=BD,AC=BC,

???AB1DO,AB1CO,

vDOHCO=0,COu平面COD,DOu平面COD,

???AB1平面COD,

vCDu平面COD,

：.AB1CD.

???四邊形EFG”為矩形.

設(shè)BF：BD=BG：BC=FG：CD=x,(0<x<1)

FG=3x,BG=4x,CG=4—4x,

又絲一生他方4-4X_HG

乂BC-4B‘改向4-3'

則HG=3(1-X)

所以HF=J9%2+9(1-x)2=3(x一/+1

所以當x=HF取到最小值為這

22

故答案為這

2

14.答案:V3

解析:

本題考查了多面體上的最短距離，屬于中檔題.

將正四面體沿PB剪開，則PBAC為一菱形,則當E,D,尸三點共線且與BA垂直時，DE+DF最小.

解：將正四面體沿P8剪開，則尸B4C為一菱形，則當E,D,F三點共線且與BA垂直時，。E+DF最

小.

???PA=2,則DE=DF=3，則DE+DF=b，

2

故答案為V5.

15.答案：①②④

解析：

本題考查了正方體的性質(zhì)、線面面面平行的判定與性質(zhì)定理、平行線分線段成比例定理、相似三角

形的性質(zhì)、菱形面積計算公式，

考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題.

解：如圖所示，

②當CQ=：時，即。為CG中點，此時可得PQ〃4D「AP=QDy=Jl+：=與，

故可得截面4PQ5為等腰梯形，故②正確；

①由上圖當點。向C移動時，滿足0<CQ<；,只需在上取點M滿足4M〃PQ,

即可得截面為四邊形APQM,故①正確；

③當CQ=（時，如圖，

延長至N,使OIN=T，連接AN交45于S,連接NQ交GD1于K,連接SR,

可證4N〃PQ,由△NRDLAQRC],可得C[R：%R=CQDXN=1：2,

故可得GR=],故③不正確；

④當CQ=1時，。與G重合，取公。1的中點F,連接AF,可證PCJ/4F,且PC】=4F,

可知截面為APCi尸為菱形，故其面積為:4G?PF=&=爭故④正確.

綜上可得：只有①②④正確.

故答案為①②④.

16.答案：14+7百

解析：

本題考查了簡單組合體及其結(jié)構(gòu)特征，棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積、表面積和體積和球的表面積和

體積.

利用球的表面積得外接球的半徑為5,再利用三棱錐的外接球的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合棱錐的體積公式計算

得結(jié)論.

解：因為三棱錐P-4BC外接球的表面積為100兀，所以三棱錐P—ABC外接球的半徑為5.

如圖：

p

O是三棱錐P-ABC的外接球球心，則。4=5.

取PA的中點E,因為P4=4,所以E4=2.

設(shè)01是4ABe的外心，連接。。1，則。。i_L平面ABC.

因為P4_L平面4BC,所以O(shè)Oig^PA，即。。1=2.

在RM0401中，A。1=yJOA2-00f=京,

因此4。1=B。1=CO1=VH.

BC

在44BC中,2.40,,因此BC=京,

ACsin3（「

所以401BC是邊長為VH，其高0m=亨x萬=亭

因為PA_L平面ABC,PA=4,8C為定值，所以當ZMBC的高為0通+01。時,

該三棱錐的體積最大，最大為!x|xVnx(V21+^)x4=14+7V3.

故答案為14+7遍.

17.答案：也

2

解析：

本題考查球的表面積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

根據(jù)題意，可將棱柱ABC-&B1G補成長方體，長方體的對角線即為球的直徑，從而可求球的表面

積.

解：直三棱柱4BC-4B1G的側(cè)棱垂直于底面，/.BAC=90。且4B=遮，BB1=4,

???可將棱柱4BC-/L41B1C1補成長方體，長方體的對角線即為球的直徑，設(shè)為2R

由球。的表面積為28?？傻?8兀=4TTR2,R=小.

由ZB2+4C2+BB/=(2R)2,可得AC=3,

則ZL4BC的面積為工ABx/lC=-xV3x3=—.

222

故答案為亞1

2

18.答案：逛7T

9

解析：

本題主要考查球的表面積的求法，考查等積法的運用，考查三棱錐的體積公式的運用，考查運算能

力，屬于中檔題.

根據(jù)平面圖形外接圓的半徑求出三棱錐的棱長，再根據(jù)棱長求出高，設(shè)內(nèi)切球半徑為「，連接三棱錐

的四個頂點得到四個小三棱錐的體積相等，然后根據(jù)等積法計算得到半徑「，再由球的表面積公式計

算即可得到.

解：設(shè)△ABC的邊長為a,因為外接圓半徑為2e，貝UOC=275x^=75,

a=2V6x當=36,所以P。=VPC2-0C2=V18—6=2痘,即三棱錐的高為h=2w,

設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,則4x：xrxSAABC=；xhxSMBC，解得r=1h=在，

3J42

所以內(nèi)切球的體積為V=-7rr;l=追m

32

故答案為逛7r.

2

19.答案：巫R2

3

解析：解：法1,由條件A-BCD是正四面體，△BCD是正三角形，4,B,C,。為球上四點，

將正三棱錐4-BCD補充成一個正方體AGBH-FDEC如圖4,

則正三棱錐4-BCO和正方體-FDEC有共同的外接球，ABCO的邊長就是正方體面的對角線,

設(shè)正方體AGBH-FDEC的棱長為a,則正方體外接球半徑R滿足：

a2+a2+a2=(2/?)2,解得。2="2,j9fWBC2=a2+a2=1/?2,

△BCD的面積S=-BCxBDsin60°=-x-R2x—=—R2.

22323

法2,由條件4一BCD是正四面體，△BC。是正三角形，A,B,C,。為球上四點,

球心0在正四面體中心如圖5,設(shè)BC=a,CO的中點，

為E,0]為過點8,C,。截面圓圓心，則截面圓半徑r=01B==2x更（1=立a，

13323

正四面體力—BCD的高40]=Ja2—弓■a）2=學(xué)內(nèi)

.??截面BC。與球心的距離d=。。1=ya-R,在Rt△BOO1

中，（苧研=/?2一（半。一燈，解得0=^/?.

BCD的面積為S=-BCxBDsin60°=-x（―7?）2x—=—R2.

法1,將正三棱錐4一8。。補充成一個正方體468//-?。后。，說明正三棱錐A—BCD和正方體

4GBH-FDEC有共同的外接球，設(shè)正方體力GBH-FDEC的棱長為“，求推出與正方體外接球半徑R

的關(guān)系，然后求解ABC。的面積.

法2,由條件A-BCD是正四面體，△BCD是正三角形，A,B,C,。為球上四點，球心。在正四面

體中心如圖5,設(shè)BC=a,CD的中點為￡,01為過點B,C,。截面圓圓心，求出截面圓半徑，正

四面體4-BCO的高.然后求解△BCD的面積.

本題考查空間幾何體的位置關(guān)系的應(yīng)用，三角形底面積的求法，點線面距離的求法，考查空間想象

能力以及計算能力.

20.答案：V3+3

解析：解：設(shè)E、F、G分別為A8、AC,4。的中點，連結(jié)EEFG、GE,

則4EFG是三棱錐4-BCO的中截面，

可得平面EFG〃平面BCD,點、A到平面EFG的距離等于平面EFG與平面38之間的距離，

；.4、B、C、力到平面EFG的距離相等，即平面EFG是到四面體4BC。四個頂點距離相等的一個平

面；

正四面體ABCQ中，象AEFG這樣的三角形截面共有4個.

???正四面體ABCD的棱長為2,可得EF=FG=GE=1,

EFG是邊長為1的正三角形，可得SAEFG=工EF?FG-s譏60。=—;

LAHrvj24

取C。、BC的中點H、/,連結(jié)G，、HI、IE,

,:El、GH分別是AABC、△力。C的中位線，

EI——AC>GH--AC>得El乜GH‘

???四邊形EG"/為平行四邊形；

AC=BDS.ACBD,E1--AC,H1--BD,

Xv122

EI=HIS.EI1HI,

???四邊形EGm為正方形，其邊長為=1,

由此可得正方形EGH/的面積7GH/=1；

???BC的中點/在平面EG”/內(nèi)，???B、C兩點到平面EG，/的距離相等；

同理可得。、C兩點到平面EGH/的距離相等，且A、B兩點到平面EGH/的距離相等；

???力、B、C、。到平面EGH/的距離相等，

???平面EG"/是到四面體ABCD四個頂點距離相等的一個平面，

且正四面體ABCO中，象四邊形EGm這樣的正方形截面共有3個，

因此，所有滿足條件的正四面體的截面面積之和等于4SAEFG+3S￡CH；=4X—+3X1=73+3.

故答案為：V34-3.

根據(jù)題意知到正四面體ABCD四個頂點距離相等的截面分為兩類：

一類是由同一頂點出發(fā)的三條棱的中點構(gòu)成的三角形截面，這樣的截面有4個；

另一類是與一組相對的棱平行，且經(jīng)過其它棱的中點的四邊形截面，這樣的截面有3個；

作出示意圖，求出所有滿足條件的截面面積之和即可.

本題考查了正四面體的性質(zhì)、點到平面距離的定義、三角形面積與四邊形形面積的求法等知識，是

難題.

21.答案：|

解析：

本題考查簡單組合體及其結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力和推理運算能力，屬于綜合題.

此四個小球的球心。1，。2，。3，。4,恰好是一個正方形的四個頂點，而大球球心。在過正方形。1。2。3。4

的中心％且與此正方形所在平面垂直的直線上，顯然。-。1。2。3。4為一正四棱錐，其側(cè)棱為R+r,

計算可得R的值.

解：由題意，正方體盒內(nèi)四個小球最大時，易知r=g=2,

即四個小球相切，且與正方體側(cè)面相切，

1，3,4

顯然大球此時最小，大球球心。與四個小球球心。02,。。構(gòu)成一個四棱錐，

V。1。2=2r=4,側(cè)棱。。1=R+2,

設(shè)正方形。1。2。3。4的中心名，

???高0%="無-0商=J(R+2)2-(2/)2，

將。為向兩端延長交上底面與H,交下底面與K,則

HK=0H+OHi+=R+OH】+r=8,

故R+J(R+2/一(2&)2+2=8，解得R=|.

故答案為,.

H

22.答案：84TT

解析:

本題考查了球的表面積，求出球的半徑是關(guān)鍵，即可求得表面積，屬于中檔題.

設(shè)的外心為。1，過01作OQ_L平面A8C,取PA的中點作0Mlp4與。。［相交于點。，則

。為外接球的球心.

解：設(shè)AABC的外心為01，過。1作()0J平面ABC,

取PA的中點M,作0M1P4與。。1相交于點。，

則。為外接球的球心.

_AB2+AC2-BC2_12+12-36_1

2AB-AC=22^3-2^3=孩'

因為。＜4＜兀，所以A=空，

卬.萼二二=2/-r=26

因為siiM，

~2~

所以R=0A=7丫2+32=V21?

所以S=47IR2=84TT.

故答案為847r.

23.答案：287r

解析：

本題考查三棱錐的外接球，以及球的表面積公式，屬于較難題.

先找出外接球的球心，然后根據(jù)線面關(guān)系，計算出外接球的半徑，最后計算外接球表面積即可.

如圖1,取BD的中點E,連接力E,CE.

因為四邊形力BCD是菱形，所以AEJLBD,4c在平面ZBD上的投影為4E,所以4C1BD,

所以平面ACEJL平面BCD,

易得外接球的球心在平面ACE內(nèi)，

如圖2,在CE上取點G,使CG=2GE,過點G作。垂直CE,

過點E作，2垂直于AC.設(shè)，1與6交于點0,

連接。4貝i」04=0C,則。為球心.

易得0G1CD,OE垂直平分4C,

其中CG=2GE=2/CEA=120°,

所以。G=GE-tan60°=g，

所以R=OC=OA=y/7,

即外接球的表面積為28兀,

故答案為287r.

24.答案：I

解析：

本題考查了旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺、球)及其結(jié)構(gòu)特征，由題意得翳=|,貝〃=|r,圓錐的母線

與底面所成角的正弦值為=與且，即可得出結(jié)果.

解：設(shè)底面半徑為「，母線長為/,

由題意得注=［則/=%

nr233

圓錐的母線與底面所成角的正弦值為寺=牛=J1-(|)2=g,

故答案為g.

25.答案：逝

3

解析：

本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖，圓錐的結(jié)構(gòu)特征，圓錐的體積計算，屬于基礎(chǔ)題.依據(jù)展開圖與圓錐

的對應(yīng)關(guān)系列方程解出圓錐的底面半徑和母線長，求出圓錐的高，得出體積.

解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為/,

則匕兀7r尸解得r=l，I=2,

???圓錐的高九=y/l2—r2=V3,

圓錐的體積u=工兀產(chǎn)八=逝.

33

故答案為巨.

3

26.答案：②④

解析：解：如圖在正方體ABC。一AB'C'D'中，

對于①，AB1BB',BC1BB',AB、BC不平行，故錯；

對于②，兩底面垂直于同一條側(cè)棱，兩個底面平面平行，故正確;

對于③，相鄰兩個側(cè)面同垂直底面，這兩個平面不平行，故錯；

對于④，平行的側(cè)棱垂直底面，側(cè)棱平行，故正確.

故答案為：②④

利用正方體中的線面、面面、線線位置關(guān)系進行判定.，

本題考查了空間線面位置關(guān)系，需要熟練掌握定理與判定，區(qū)別空間與平面定理處理的條件，屬于

基礎(chǔ)題.

27.答案：V6+|

解析：

本題考查立體幾何的三棱錐以及球的特征，構(gòu)造正方體解題是本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

解：構(gòu)造棱長為2的正方體，如下圖，N為AC的中點，

由于P為以A為球心，1為半徑的球面上,

當PC與球4相切時8M