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文檔簡介
第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
知識(shí)體系總覽
3.1導(dǎo)數(shù)的概念
知識(shí)梳理
1.平均速度:物理學(xué)中,運(yùn)動(dòng)物體的位移與所用時(shí)間的比稱為平均速度,即一段時(shí)間或一段
位移內(nèi)的速度;若物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=/Q),則物體從f至「+X這段時(shí)間內(nèi)的平均速度
%,4)=/"+△')7⑺;一般的,函數(shù)/Xx)在區(qū)間[%,%]上的平均變化率為
Ar
/(々)一/(尤|)
馬一王
O
2.瞬時(shí)速度:是某一時(shí)刻或位置物體的速度,方向與物體運(yùn)動(dòng)方向相同。我們測(cè)量的瞬時(shí)
速度是用很短時(shí)間內(nèi)的平均速度來代替的,是對(duì)物體速度的一種粗略的估算。當(dāng)平均速度
V”,△,)=?"'+.)—/0)中的無限趨近于o時(shí),平均速度欣3)="'+加)7⑺
At加
的極限稱為在時(shí)刻/的瞬時(shí)速度】C),記作丫=包=/(/±&)一/(0(4.0)。求瞬時(shí)速
AzAr
度的步驟為:
(1)設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=f(t);
⑵先求時(shí)間改變量X和位置改變量^s=f(t+AZ)-/(r);
△s二/Q+&)/Q)
(3)再求平均速度v(/,Ar)
ArAf
四生=必空二
(4)后求瞬時(shí)速度:瞬時(shí)速度
△tX
3.求函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)的一般方法:
(1)求函數(shù)的改變量△y=/(x+Ax)-/(x).
(2)求平均變化率包=/(旺―/⑴.
(3)取極限,得導(dǎo)數(shù)y=/(幻=包(二—0).
Ax
4.y=/(x)上點(diǎn)(須),/(工0))處的切線方程為y-/(項(xiàng)
3.1.1問題探索求自由落體的瞬時(shí)速度
典例剖析
題型一平均速度
例1.已知自由落體運(yùn)動(dòng)的位移s(m)與時(shí)間t(s)的關(guān)系為s=;g〃,計(jì)算t從3秒到3.1秒、
3.001秒、3.0001秒….各段內(nèi)平均速度(g=9.8)。
分析:先求出As,再求出3=竺,即為各段時(shí)間內(nèi)的平均速度。
At
解:設(shè)4=?+△)—/指時(shí)間改變量;As=/(f+d)—/(f)指路程改變量。
則As、=/a+d)-/Q)=gg(f+4)2=gtd+^gd2;
,1,
-A.v則+心力2i
v=——=-----------=st+—sa
\t\t2
所以t從3秒到3.1秒平均速度v=2.989;
t從3秒到3.001秒平均速度v=29.4(必9;
t從3秒到3.0001秒平均速度v=29.4O(M9;
評(píng)析:通過對(duì)各段時(shí)間內(nèi)的平均速度計(jì)算,可以思考在各段時(shí)間內(nèi)的平均速度的變化情況;
可見某段時(shí)間內(nèi)的平均速度V=空隨加=(,+d)-/=d變化而變化。
At
題型二瞬時(shí)速度
例2.以初速度為唳3。>0)做豎直上拋運(yùn)動(dòng)的物體,/秒時(shí)的高度為5?)=匕/—:8/,求
物體在時(shí)刻t=m處的瞬時(shí)速度。
分析:先求出平均速度生,求瞬時(shí)速度。
△t
1919
解:*/Av=vo(m+At)--g(m+At)-(vom——gm~)
As5(m+Ar)-5(m)1」
^v-gm--gd
Aro
△y+/1.......
;=---------------=(vo-gm--gAf)(Af-0)=y_gm
ArAr2
所以物體在時(shí)刻m處的瞬時(shí)速度v?-gmo
評(píng)析:求瞬時(shí)速度,也就轉(zhuǎn)化為求極限,瞬時(shí)速度我們是通過在一段時(shí)間內(nèi)的平均速度的
極限來定義的,只要知道了物體的運(yùn)動(dòng)方程,代入公式就可以求出瞬時(shí)速度了.
備選題
例3:設(shè)函數(shù)/(乃=/一1,求:
(1)當(dāng)自變量x由1變到1.1時(shí),自變量的增量Ax;
(2)當(dāng)自變量x由1變到1.1時(shí),函數(shù)的增量Ay;
(3)當(dāng)自變量x由1變到1.1時(shí),函數(shù)的平均變化率;
解:(1)Ax=l.l—1=0.1
(2)Ay=(1.12-1)-(12-1)=0.21
Ay0.21
(3)——==-------=21
Ax0.1
評(píng)析:本題也可以由電公,1直接求解。
Av
點(diǎn)擊雙基
1.在求平均變化率中,自變量的增量Ac()
A.Ax>0B.Ax<0C.Ax=0D.Ax,0
解:故選D
2.一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是,則在一段時(shí)間[1,1+△,]內(nèi)相應(yīng)得平均速度為:()
A.3Af+6B,-3A/+6C.3A/—6D.—3A/—6
解:平均速度="I+△,)_$))=5一3(1+△,).-2=_3=/_6,故選D
(1+Ar)-1Z
3、在曲線12+1的圖象上取一點(diǎn)(1,2)及鄰近一點(diǎn)(1+Ax,2+Ay),則絲AY為()
△y
\.^x+—+2B.Ax---2C.Ax+2D.2+Ax--
AxAxAx
解:包=W——+2,故選C
△yAx
4.一物體位移s和時(shí)間t的關(guān)系是s=2t-3〃,則物體的初速度是
解:平均速度=、')一"°)=2-3t,當(dāng)t趨向0時(shí),平均速度趨向2.
t
5.一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=l-f+L其中s的單位是米,,的單位是秒,那么物體在3秒
末的瞬時(shí)速度是_______________
解:£(3+/—s(3)一加+5(4-?0)=5
△t
課外作業(yè):
一.選擇題
1、若質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s=/運(yùn)動(dòng),貝!R=3秒時(shí)的瞬時(shí)速度為()
A.2B.9C.27D.81
解:+4)-s(3)=加2+9△/+27(加_>0)=27,故選C
△t
2、任一做直線運(yùn)動(dòng)的物體,其位移s與時(shí)間f的關(guān)系是s=3t-t2,則物體的初速度是()
A0B3C-2D3-2t
解:s(0+4)-s(0)=+3(加.0)=3,故選B
△t
3、設(shè)函數(shù)y=/(x),當(dāng)自變量x由x0改變到/+AY時(shí),函數(shù)的改變量△),為()
Af(x0+Ax)B/(x0)+ArC/(x0)-AxD/(x0+Ax)-/(^0)
1
解:A5=/(x0+zlr)-f(x0),故選D
4、物體的運(yùn)動(dòng)方程是s=-4『+16f,在某一時(shí)刻的速度為零,則相應(yīng)時(shí)刻為()
A.t=1B.t=2C.t=3D,t=4
解:s(t+△”-.,()=T4—8f+16(加-0)=-8/+16=0,f=2,故選B
Z
5、一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=l-f+/其中s的單位是米,/的單位是秒,那么物體在1秒
末的瞬時(shí)速度是()
A.3米/秒B.2米/秒C.1米儂D.4米/秒
解:S(1+Ar)—S⑴=4+3_?0)=1,故選c
2
6、在曲線.丫=[一的圖象上取一點(diǎn)(1,1)及附近一點(diǎn)11+以,^+八,,則魯為(
)
331
A—Ar+3+——B-Ax-3-----C—Ar+3D—Ax+3----
2Ax2Ar22Ar
解:包=』Ax+3,故選C
Ar2
7..物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=s(f),物體在+時(shí)間內(nèi)的平均速度是()
-\s5(Ar)B,)
A.v=——=----
△tAr△t
--s(r)八、t,,cq-s(r+△/)-5").
c.v=-LZD.當(dāng)Ar70時(shí),v=----------^-0
tAr
解:由平均變化率知故選B
8.將邊長為8的正方形的邊長增加Aa,則面積的增量AS為()
A.16Aa2B.64C.a2+8D.16Aa+Aa2
解:S=S(8+Aa)-S(8)=(8+Aa)2-82=16Aa+Aa2故選D
二.填空題:
9、已知一物體的運(yùn)動(dòng)方程是s=6/-5f+7,則其在,=時(shí)刻的速度為7。
解:+加)T⑺=69+12,一5(Aff0)=12f-5=7,t=\
N
10.物體運(yùn)動(dòng)方程y=/+3x,則物體在時(shí)間段[2,4]上的平均速度為
幅顯伏.、擊由(42+3-4)-(22+3-2)
解:平均速度=---------------------=9
4—2
11、當(dāng)球半徑r變化時(shí),體積V關(guān)于r的瞬時(shí)變化率是
%(〃+△?一
解:——-----------------=47TT1+4mV+一必產(chǎn);所以瞬時(shí)變化率是4萬2o
ArAr3
三解答題:
12、環(huán)城自行車比賽運(yùn)動(dòng)員的位移s與比賽時(shí)間,滿足s=10/+5產(chǎn)(S的單位:米,
Ac
。的單位:秒)求「=20,加=0.1時(shí)八S與一。
解A?=5(20+A?)-5(20)=21.05
去答=皿5
13.設(shè)一物體在f秒內(nèi)所經(jīng)過的路程為s米,并且s=4/+2/-3,試求物體在運(yùn)動(dòng)第5秒
末的速度。
5,4(5+A/)-+2(5+Az)—4(5~+5)、//
解:5(5)=------------------——------(Ax-0)=(42+4Ar)(Ax0)=42
△t
14、求函數(shù)y=-x?+4x+6在x=2時(shí)的瞬時(shí)變化率
5_j.d(一(x+Ax)~+4(x+Ax)+6)—(~x~+4x+6)
解:平均變化率=--------------------———-------------=-2x+4-Ax
Ar
當(dāng)Ax趨于0時(shí),瞬時(shí)變化率為-2x+4,x=2,瞬時(shí)變化率為0.
思悟小結(jié)
求瞬時(shí)速度的步驟:
1.設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=/Q);
2.先求時(shí)間改變量d和位置改變量Ay=/Q+d)-/(/);
3.再求平均速度-=---/一'△'
dd
4.后求瞬時(shí)速度:當(dāng)d無限趨近于0,包二/?+4)一/?)無限趨近于常數(shù)v,即為瞬時(shí)速
dd
度。
3.L2問題探索求作拋物線的切線
典例剖析
題型一平均變化率
例1:在曲線),=/+1的圖象上取一點(diǎn)(1,2)及鄰近一點(diǎn)(1+Ax,2+Ay)求於
解:VAy=(1+Ax)2+l-(l2+l)=Ax2+2Ax,.,.黑=Ax+2
評(píng)析:平均變化率包="X。+?)-/(9)
Ax(x0+Ax)-x0
題型二拋物線的切線
例2.求拋物線y=f(x)=2,-x在(1,1)點(diǎn)處的切線斜率
解:.../(1+Ax)-/⑴=3+2Ax,令以趨于o,貝lj3+2Ax趨于3..?.切線的斜率k=3,
Ax
評(píng)析:以上三種類型的問題中例1是平均變化率,而例2與例3都是瞬時(shí)變化率。瞬時(shí)變
化率就是平均變化率在改變量Ax趨于0時(shí)的極限值。
備選題
例3:曲線y=Y+1在點(diǎn)p(x(),%)的切線斜率為2,求點(diǎn)P(x°,%)的坐標(biāo).
解:設(shè)/。)=y+1
/(J+At)-/(而)=(x+M[+l-1=4+2工
M\t°
/."%+小)―/(“。)(At-0)=(Ar+2x0)(At-0)=2x0=2
z
*e*xo~1
_9
%=_2x()--1=-3
點(diǎn)尸的坐標(biāo)為a,-3)o
點(diǎn)評(píng):直線與拋物線相切,一般的解題方法是將直線方程代入拋物線方程消元,,利用△=o求
解.
點(diǎn)擊雙基
1.拋物線f(x)=xz-3x+l在點(diǎn)(1,-1)處的切線方程為()
A.y=-x—1B.y=xC.y=—xD.y=x+l
(1+Ar)--3(1+Ar)+1—(1—3+1)=_]+以,當(dāng)小乂趨于o時(shí),得切線斜率k=-l,切線
解:
Ax
方程為y+l=T(x-1),故選C
2.若拋物線y=x2+l的一條切線與直線y=2x-l平行,則切點(diǎn)坐標(biāo)為()
A.(1,1)B(1,2)C(2,5)D(3,10)
解:平均變化率=(X+?++1一(r+1)=2x+8,所以斜率k=2x=2,得
Ax
x=l,Y=l.故選A
3過點(diǎn)M(-1,0)作拋物線.丫=/+》+1的切線,則切線方程為()
(A)3x+y+3=0或x-y+1=0(B)3x-y+3=()或x+y+1=0
(C)x-y+l=O(D)3x-y+3=0
解:設(shè)切點(diǎn)N(a,b),則切線斜率kFZa+bkMwk"-=巴士"1,得a=0或a=-2
a+1a+1
切線斜率k=l或k=-3,故選A
4.已知曲線y=2x—/上有兩點(diǎn)A(2,0),B(-2,-8),則割線AB的斜率^為
解:由斜率公式求得心B=2
5.已知曲線y=2/+1在點(diǎn)M處的瞬時(shí)變化率為-4,則點(diǎn)M的坐標(biāo)是為
解:./Oo+At)-/(/)(加.0)=(2加+4%)(加-0)=4/=~4,%,點(diǎn)M的
△f
坐標(biāo)是(-1,3)
課外作業(yè):
一.選擇題
1、若曲線
y=/(x)在點(diǎn)P(4,/(「))處的切線方程為:x+y+1=0,那么在點(diǎn)P處的切線
斜率()
A.大于0B.小于0C.等于0D.符號(hào)不定
解:由切線方程得斜率為-1<0,故選B
2、已知曲線y=2?%2+1過點(diǎn)(JZ,3),則該曲線在該點(diǎn)處的切線方程為()
A.y=-4x-1By=4x-1.C.y=4x-11D.y=-Ax+7
解:先將點(diǎn)(JZ,3)代入y=2a/+i得a=i,然后求切線斜率,故選B
3、若曲線y=-/+4x的一條切線/與直線2x-y-5=0平行,貝(1/的方程為()
A.2x-y-4=0B.2x+y=0C.2x-y+l=0D,2x+y-5=0
解:易得/(x)=-2x+4,則-2x+4=2,得x=l;切點(diǎn)(1,3),切線斜率k=2;故選C
4、若曲線f(x)=》2的一條切線/與直線x+4y-8=0垂直,貝!]/的方程為()
A.4x-y-4=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0
解:易得f(x)=2x,則2x=4,x=2;切點(diǎn)(2,4),切線斜率k=4,故選A,
5、已知直線%-y-l=0與拋物線丫二一+^相切,則a=()
311
A.4B.——C.-D.-
442
5(X+AX)~+Q—(%2+〃)cA1UrtR?11、
解;----------------------=2x+Ax,/.f(x)=2x=l,得x=一?切點(diǎn)(—,—+a)
Ar224
_3,
在切線x-y-l=O上,a=--?故選B
4
6、曲線f(x)=——6x在點(diǎn)(1,-5)處的切線斜率為()
A.k=3B.k=-3C.k=—4D.k=4
解:平均變化率=(1+八0"—"1+一I1一6]=AX-4.當(dāng)Ax趨向0時(shí),平均變化率
(1+Ax)-1
趨于-4,故選C
7、函數(shù)y=a/+1的圖象與直線尸x相切,則”=()
A.—B.—C.—D.1
842
21
解:把兩個(gè)解析式聯(lián)立得方程。/葉1=0,由△=()即得。=-,故選B
4
8、過點(diǎn)(一1,0)作拋物線y=F+x+l的切線,則其中一條切線為()
(A)2x+y+2=0(B)3x-y+3=O(C)x+y+l=0(D)x-y+1=0
解:f\x)=2x+1,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(%,y0),則切線的斜率為2%+1,且為=片+玉,+1,
于是切線方程為^一彳;一光0-1=(2尤0+1)0-%),因?yàn)辄c(diǎn)(一1,0)在切線上,可解得
%=0或一4,故選D。
二.填空題:
9、設(shè)曲線丫=儀2在點(diǎn)a,a)處的切線與直線2x—y—6=0平行,則。=
解:y'^2ax,于是切線的斜率z=yLi=2。,;?有2。=2=。=1
10、曲線尸--3的一條切線/的傾斜角為王,則切點(diǎn)坐標(biāo)為
3
解:y=2x=tanZ=g,:.x=^,貝!)切點(diǎn)坐標(biāo)為(且,
'3224
11、設(shè)尸為曲線C:y=f+2x+3上的點(diǎn),且曲線C在點(diǎn)尸處切線傾斜角的取值范圍為
7T
0,-,則點(diǎn)尸橫坐標(biāo)的取值范圍為_____________
_4_
解:設(shè)切點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為小,且y'=2/+2=tana(a為點(diǎn)P處切線的傾斜角),又:
7T1
ccG[0,—],?*.02XQ+2W1,/.XgG[―1,——].
三解答題:
12.求拋物線y=f(x)=2/-x在(1,1)點(diǎn)處的切線斜率.
解:.../(1+-\)-+1)=3+2&,令人丫趨于0,貝!]3+2Ax趨于3..?.切線的斜率k=3,
Ax
13、曲線y=/+1在點(diǎn)p(x°,y°)的切線斜率為2,求點(diǎn)P(x0,%)的坐標(biāo).
解:設(shè)/(尤)=無2+1
f(x°+At)7(x。)=(s)2+17、1=加+
加2
/(/+△-<>)(Axf0)=(Af+2x0)(Arf0)=2%=2
Ar
x0-1
???%=_2/2_]=_3
,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為。,-3)。
14、已知拋物線y=f(x)=/+3與直線y=2x+2,求它們交點(diǎn)處的切線方程。
解由方程組>一一得/_2x+l=0解得x=l,y=4,,
y=2x+2,
交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)
又(Ax+1)-+3一(r+3)=8+2當(dāng)?趨于0時(shí)(Ax+2.)趨于2.所以在點(diǎn)
Ax
(1,4)處的切線斜率K=2.所以切線方程為y-4=2(x-l)即y=2x+2
(不難發(fā)現(xiàn)對(duì)于/-2x+l=0,因?yàn)锳=0,所以已知的直線y=2x+2,就是切線.)
思悟小結(jié)
曲線上一點(diǎn)P(u,f(u))處的切線方程
當(dāng)割線PQ的斜率為k(u,d)=,―趨于確定的數(shù)值Z(")時(shí),k(ll)就是曲線上
d
點(diǎn)P處切線的斜率,則曲線上點(diǎn)P(u,f(u))處的切線方程為y—/(M)=Z(M)(X—M)。
3.1.3導(dǎo)數(shù)概念和幾何意義
典例剖析
題型一導(dǎo)數(shù)求法
例L求函數(shù)7U)=-尢2+工在x=—1附近的平均變化率,并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù);
Ay-(-1+Ax)2+(-1+Ax)+2
解:——=--------------------------=5-ixx
AxAr
△)'/An\—(―1+△x)"+(―1+Ax)+2八AAn\o
f(—1)=—(Ax—>0)=-------------------------(Ax-,0)=(3-Ax)(Ax->0)=3
ArAx
評(píng)析:求導(dǎo)之前,應(yīng)對(duì)電進(jìn)行化簡,然后求極限,這樣可以減少運(yùn)算量,提高運(yùn)算速
Ax
度,減少差錯(cuò);
題型二導(dǎo)數(shù)概念和幾何意義
例2(1)求曲線尸/U)=)+1的過點(diǎn)P(l,0)的切線方程.(2)求函數(shù)尸3,在x電點(diǎn)處的
導(dǎo)數(shù).(3)求函數(shù)尸3)的導(dǎo)數(shù).
解:(1)注意點(diǎn)P不在曲線上,則應(yīng)求切點(diǎn)。設(shè)切點(diǎn)為Q(a,a2+l)
/(a+Ax)-f(a)(a+Ax)~+1—(a、+1)也拉工-.拉工
-----------------=----------------------=2a+Ar,當(dāng)Ar趨于0A時(shí)(2a+Ax)x趨于2na。
AvAX
所以,所求切線的斜率為2a.因此,"土曰=2a解得a=l±痣
a-1
所求的切線方程為尸(2+2&)x+(10+6血)或y=(2-2猴)x-(2-2行)
(2)因?yàn)镴Q+Ar)-/(2)=3(2+At)--3、2-=9+34,當(dāng)以趨于。時(shí)(12+34:)
ArAx
趨于12.所以函數(shù)產(chǎn)3)在>=2點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為12。
(3)因?yàn)椤?+A")["1=3(x+Ax>3/=6X+3?.當(dāng).趨于0時(shí)(6x+3Ax)趨
AxAx
于6x,所以函數(shù)片3x2的導(dǎo)數(shù)為6x。
評(píng)析:函數(shù)尸f(x)在桿X。處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是在該點(diǎn)10,/(/))處的切線的斜率。由
函數(shù)f(x)在盾而處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,f(x0)是一個(gè)確定的數(shù)。那么,當(dāng)x變化時(shí),便
是x的一個(gè)函數(shù),我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).記作:/(x)或y',在不致發(fā)生混淆時(shí),導(dǎo)函
數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù).
備選題
例3:如圖3.1-3,它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)
h(x)=-4.9x2+6.5x+10,根據(jù)圖像,比較曲線力⑺在辦、%、弓附近的變化情況.(課
本例2)
解:我們用曲線〃(/)在為、4、4處的切線,刻畫曲線/2。)在上
述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況.
(1)當(dāng)r=fo時(shí),曲線人(。在辦處的切線%平行于X軸,切線/。
的斜率"?o)=O,所以,在,=4附近曲線比較平坦,幾
乎沒有升降.
(2)當(dāng),=%時(shí),曲線〃⑺在乙處的切線《的斜率斤&)<0,
所以,在f=4附近曲線下降。
(3)當(dāng)時(shí),曲線〃⑺在4處的切線的斜率力'&)<0,
所以,在,=右附近曲線下降。
從圖3.1-3可以看出,直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度,
這說明曲線在乙附近比在&附近下降的緩慢.
評(píng)析:由曲線在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)/'(%)的符號(hào),可以看出曲線在這一點(diǎn)處的升降情況。
點(diǎn)擊雙基
X21
1、已知曲線y的一條切線的斜率為則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()
A.1B.2C.3D.4
x2I11
解.已知曲線/=匕的一條切線的斜率為二y'=2x=上,x=l,則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,
4222
故選Ao
2、函數(shù)尸f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)/'(%)的幾何意義是()
A.在x=x0處的函數(shù)值;
B.在點(diǎn)(%,f(x0))處的切線與x軸所夾銳角的正切值。
C.曲線y=f(x)在點(diǎn)(/,f(x0))處的切線的斜率,
D.點(diǎn)(%,f(x°)與原點(diǎn)連線的斜率
解:故選C
3、若曲線y=2x-/在點(diǎn)P處的切線的斜率是一1,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(B)
A(1,1)B(1,1)或(-1,-1)C(2,-4)D(-2,4)或(2,-4)
4、若曲線y=/的一條切線/與直線x+4y—8=0垂直,則/的方程為
解:與直線x+4y-8=0垂直的直線/為4x—y+〃z=0,即y=/在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4,
而y=4d,所以y=/在(1,1)處導(dǎo)數(shù)為4,此點(diǎn)的切線為4x—y—3=0
5、函數(shù)/(幻=/+4》+5的圖像在x=l處的切線在x軸上的截距為
解:f'(x)=3x2+4,f(1)=7,/(1)=10,y-10=7(x-l),y=0時(shí),x=--
課外作業(yè):
選擇題,
1、/(》)=0?+3/+2,若/(—1)=4,則。的值等于()
解:s'(f)=2f—l,s'(3)=2x3—l=5,故選C
2、曲線y=4x-d在點(diǎn)(T「3)處的切線方程是()
(A)y=7x4-4(B)y=7x4-2(C)y=x-4(D)y=x-2
解:14(-1+Ar)-(-1+醺)3]-(-4+1)=]+3?一最2,...切線斜率k=i.故選D
Ax
3、設(shè)f(x)=oc+4,若./⑴=2,貝ija的值()
A2B.-2C3D-3
解:f'(x)=a=2,故選A
4、若函數(shù)/(幻=/+以+。的圖象的頂點(diǎn)在第四象限,則函數(shù)f(x)的圖象是()
解:對(duì)稱軸一^〉0,。<0,/'(幻=2%+人直線過第一、三、四象限,故選A
5、函數(shù)/(x)=(x+1)(X2—x+1)的導(dǎo)數(shù)是()
A.x2-x+lB.(x+1)(2x-l)C.3x2D.3x2+17.
2
解:/(幻=丁+1,f'(x)=3x,故選C
6、曲線尸上在點(diǎn)(1,1)處切線的傾斜角a=()
X
解:判線=—=——二,當(dāng)Ax趨于0時(shí),得切線的斜率k=-l.故選C
M]+?
7、曲線y=——3x上切線平行于x軸的點(diǎn)的坐標(biāo)是()
A(-1,2)B(1,-2)C(1,2)D(-1,2)或(1,-2)
解:了=3/_3=0,X=±1,故選D
x
8、曲線y一在點(diǎn)(1,一1)處的切線方程為()
x-2
(A)y=x-2(B)y=-3x+2(C)y=2x-3(D)y=-2x+l
x-2-x-2%=」j=-2,??.切線方程為y+l=-2(x-l),即
(x-2-(x-2)2(1-2)2,
y=-2x+l,故選D
二:填空題:
9、曲線y=2/在點(diǎn)(1,2)處的瞬時(shí)變化率為
解:?=41=4
10、已知直線x—y-l=0與拋物線丁=奴2相切,則a=
解:"(x+Ax)--小一-z)當(dāng)心趨于0時(shí),得切線的斜率k=2a=l,所以a=,
Ax2
11>過點(diǎn)P(1,0)作曲線y=尤3切線/,則/的方程為
解:設(shè)切點(diǎn)(a,b),y(x)=-3x2,得切線斜率k=-3",
所以-3/=-^=衛(wèi),得a=0或a=』沏點(diǎn)(0,0)或(之,-4)。
a-1<7-1228
切線方程y=0或54x+8y-54=0
三.解答題:
12.已知求曲線y=/(x)在x=2處的切線斜率.
解:設(shè)P(2,8),Q(2+ZV,(2+At)?),則割線PQ的斜率為
kPO=Q+")-8(At-0)=(12+6Af+△產(chǎn))(At-0)=12
Ar
所以曲線y=/(x)在x=2處的切線斜率為12.
13、設(shè)/(x)=/+i,求/'(X),/(-I),/'(2)
f-l+Ar)2-1
解:八-1)=、1~-(Axf0)=(-2+AX)(AJCf0)=-2
Ax
(2+Ar)2-4
f'(2)=-~———(Ar-0)=(Axf0)=4
△x
14、(1)求曲線片f(x)=/+l的過點(diǎn)P(l,0)的切線方程.(2)求函數(shù)產(chǎn)3/在xN點(diǎn)處的
導(dǎo)數(shù).(3)求函數(shù)產(chǎn)3x2的導(dǎo)數(shù).
解:(1)注意點(diǎn)P不在曲線上,則應(yīng)求切點(diǎn)。設(shè)切點(diǎn)為Q(a,a2+l)
/①+泡-/⑷=(a+Ax)-+](4-+1)=2a+板,當(dāng)加;趨于o時(shí)(2a+?)趨于2a。
AxAr
所以,所求切線的斜率為2a.因此,(“一+D二0=2。解得a=l士也
a-\
所求的切線方程為y=(2+2痣)x+(10+6后)或y=(2-241)x-(2-2O)
(2)因?yàn)?Q+&)―/(2)=3(2+AX)—-3*2-=]2+3&,當(dāng)4y趨于o時(shí)(12+3?)
ArAx
趨于12.所以函數(shù)尸3)在xN點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為12。
/-、Ed/(x+zXx)-/(%)3(x+Ax)2-3x2八.法十八科/八、拉
(3)因?yàn)榘?--------二八-------------------=6x+n3Ax.當(dāng)加■趨于0時(shí)(6x+n3AAr)趨
AxAx
于6x,所以函數(shù)尸3)的導(dǎo)數(shù)為6x。
思悟小結(jié)
1、由導(dǎo)數(shù)的定義可知,求函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)的一般方法是:
(1).求函數(shù)的改變量△y=/(x+d)—/(x)。
(2).求平均變化率包=,(X+")-'(二).
dd
(3)當(dāng)d-0時(shí),得/3+夕13)T//(X。)
2、曲線C:)可(外在其上一點(diǎn)尸(為,/(為))處的切線方程為
y—f(xo)=f'(xo)(x一即)
3、若質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=s(f),則質(zhì)點(diǎn)在片川時(shí)的瞬時(shí)速度為v=s'(").這就是導(dǎo)數(shù)
的物理意義.
3.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算
知識(shí)梳理
1.根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=/(%)的導(dǎo)數(shù)步驟:
⑴計(jì)算包=/(、+化)一/(X);
AxAx
(2)f\x)=①(Axf0)=/(x+Ar)7(x)(Ax-?O);
AxAx
2.基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式:
C'=0;(代+力'=A(k,b為常數(shù))
(xay=axa-};
(優(yōu))'=優(yōu)lna(o>0,且。。0)
(ex)'=ex(Inx),=—
x
115
(log”幻'=一log”e=——(a>0,且。w0)
xx\na
(Inx)(=—
x
(sinx)'=cosx;
(cosx)'=—sinx.
3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
[cf(x)],=cf(xy
"(x)±g(x)『=1(x)士g5)
[)(x)g(x)]'=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)
:尸(x)g(x)-/(x)g'(x)
(g(x)HO)
gMjg(x)2
4.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟
若y=f(u)的定義域?yàn)镋,函數(shù)“=Q(x)的定義域?yàn)镈,值域?yàn)閃,若當(dāng)
u=°(x)的值域落在y=/(?)的定義域內(nèi)時(shí)則稱y=/[奴幻]是由中間變量U復(fù)合成
的復(fù)合函數(shù),y可以通過中間變量”表示為自變量x的函數(shù),即形如y=f[°(x)]的函
數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)??梢姡⒎侨我鈨蓚€(gè)函數(shù)都能復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)。
復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟:乂="'?〃;,如y=(2x+3)2的求導(dǎo)可下法求解:
匕'=%'*";=(?2/.(2x+3)'=2〃?2=2(2x+3)?2=8x+12。
3.2.1幾個(gè)塞函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
典例剖析:
題型一求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
例1求函數(shù)[,=/。)=犬的導(dǎo)數(shù)
分析:按照求導(dǎo)數(shù)的步驟求解。
順用用Ay/(x+Ax)-/(x)(x+Ax)3-%3
解:因?yàn)橐?----------------=-------------
ArAx
/+3爐心+3工3)2+(8)37=3/+3Mx+3)2
Ax
所以y'=lim—=lim(3x2+3xZLr+(Ax)2)=3x2
Av->oA,zkt->o
評(píng)析:嚴(yán)格按照求導(dǎo)數(shù)的步驟求解,就不會(huì)處錯(cuò)。
題型二求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值
2
例2函數(shù)y=/(x)=—,求/(2)的值。
x
分析:先求導(dǎo)數(shù),再求導(dǎo)數(shù)值。
2_2
解:因?yàn)榘?①仝匕皿=豆豆二工
AxAxAx
_2[x-(x+Ax)]_2
x(x+Ar)Axx2+x-Ax
所以y="(&—o)=(一一—)(&-0)=--y
Axx+x-Axx
?52"
評(píng)析:也可以由(⑵=包(Ax-0)=八2+包)-/⑵(—―0)求得。
AxAx
備選題
例3:證明:過拋物線產(chǎn)〃(X—xi),(X—X2)(〃W0,xi<%2)上兩點(diǎn)A(xi,0)、B(必0)
的切線,與x軸所成的銳角相等.
解:y'=2ax~a(xi+x2),
BPkA=a(為一X2),即女8=〃(及一九i).
設(shè)兩條切線與x軸所成的銳角為a、8,則tana=|心|=|a(為一及)I,
tanfi=\kB\=\a(及一乃)故tana=tan£.
又a、£是銳角,則a=£.
評(píng)析:利用與x軸所成的銳角和傾斜角之間的關(guān)系,只要求出切線的斜率進(jìn)行比較即可.
點(diǎn)擊雙基
1.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程是S=〃。則質(zhì)點(diǎn)在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度為()
A.6Bo12.C.8D.9
解:s.=3產(chǎn),t=2時(shí)s'=12.瞬時(shí)速度為12,故選B
2.求曲線f(x)=/在點(diǎn)p(.2,4)處的切線方程為。()
A.y=4x-4,B.y=4x+4C.y=-4x+4D.y=-4x-4
解:f(x)=2x,斜率k=/(-2)=-4,故選D
3.下列各式中不正確的是()
A.y=8,則y=0,B.y=3x,,則y=3c.y=,,則yD.y=x\貝?。輞=31
XX
解:由(x")'=nx"T,若y=1,則y=-4,故選C
XX
4.曲線y=±在點(diǎn)(2,-)處的切線斜率k=
廠2
i711
解:y=--r:當(dāng)X=2時(shí)y=—-。所以切線斜率k=—-
xx44
5.拋物線y=F上到直線x+2y+4=0距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)。
解:當(dāng)切線平行于直線x+2y+4=0時(shí),切點(diǎn)為所求,
1111
令y=2x=-L,得x=---,所以距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)(―,—)
-24416
課外作業(yè)
一.選擇題,
1.曲線%3與=0在點(diǎn)(.2,-8)處切線方程是()
A.y=12x-16By=6x-16Cy=12x+16Dy=6x+8
解:y=3x2,切線斜率k=12,故選C
2曲線f(x)=6點(diǎn)(4,2)處切線方程是()
A.x-4y+4=0Bx+4y+4=0Co4x-y+4=0.D4x+y+4=0
11
解:f(x)=-^,切線斜率k=2,處切線方程是x?4y+4=0,故選A
2vx4
3.曲線y=d在點(diǎn)(,,,)處的傾斜角為()
-24
7t一TC
A.1B?—C.------D.
444
解:(xo2y=2x.?.攵=2?±1=1,故選B
2
4.已知/(x)=x3,則/⑶的值為()
A.3B.9C.27D.-27
解:???f'(x)=3x2f'(3)=27,故選C
5.曲線f(x)=/在點(diǎn)P(2,4)處的切線與X軸以及
直線X=3所圍成的三角形的面積為()
A6B8C10D12
解:f(x)=2x,切線斜率k=4,切線方程是
4x-y-4=0.則如圖M(3,8),N(3,0),H(1,0)
.??由圍成的三角形的面積為8,故選B
6.曲線Y-y=0在點(diǎn)P處切線方程是3x-y-2=0,則P點(diǎn)坐標(biāo)是()
A(1,1)B(-1,-1)C(1,1),(-1,-1)D
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