高考數(shù)學(xué)壓軸題命題區(qū)間探究與突破（第一篇）03 由“導(dǎo)”尋“源”妙解函數(shù)不等式學(xué)案-人教版高三全冊數(shù)學(xué)學(xué)案

專題03由“導(dǎo)”尋“源”妙解函數(shù)不等式

方法綜述

對于僅利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性即可求解的不等式問題，師生已有應(yīng)對的良好方法，重在應(yīng)用轉(zhuǎn)化

與化歸思想，轉(zhuǎn)化成解答具體不等式或不等式組問題.在近幾年的高考試題中，出現(xiàn)了一類抽象函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、

不等式交匯的重要題型，這類問題由于涉及抽象函數(shù)，很多學(xué)生解題時，突破不了由抽象而造成的解題障

礙，不能從容應(yīng)對不等式的求解問題.實際上，根據(jù)所給不等式，聯(lián)想導(dǎo)數(shù)的運算法則，構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助

函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性是解決此類問題的通法.

常見的構(gòu)造函數(shù)方法有如下幾種：

⑴利用和、差函數(shù)求導(dǎo)法則構(gòu)造函數(shù)

①對于不等式f'(x)+g，(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)；

②對于不等式伊(x)—g'(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(式=f(x)—g(x)；

特別地,對于不等式f'(x)>k(或<k)(kWO),構(gòu)造函數(shù)F(造=f(x)—kx.

(2)利用積、商函數(shù)求導(dǎo)法則構(gòu)造函數(shù)

①對于不等式f'(x)g(x)+f(x)g，(x)〉0(或〈0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)g(x)；

②對于不等式f'(x)g(x)—f(x)g，(x)〉0(或<0),構(gòu)造函數(shù)R(x)=1^(g(x)力0).

⑶利用積、商函數(shù)求導(dǎo)法則的特殊情況構(gòu)造函數(shù)

①對于不等式xf'(x)+f(X)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x)；

②對于不等式X*(X)—f(x)〉O(或〈0),構(gòu)造函數(shù)尸(X)=J?(XHO)；

X

③對于不等式xf'&)+旺仁)〉0(或〈0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=x，f(x)；

④對于不等式xf'(x)—nf(x)>0(或〈0),構(gòu)造函數(shù)尸(力=1學(xué)(XH0)；

X

⑤對于不等式*(x)+f(x)>0(或〈0),構(gòu)造函數(shù)F(式=e、f(x)；

⑥對于不等式f'(x)—f(x)〉O(或〈0),構(gòu)造函數(shù)歹(x)=1J；

⑦對于不等式f(x)+f，(x)tan*>0(或〈0),構(gòu)造函數(shù)等式=sinxf(x)；

⑧對于不等式f(x)—夕(x)tanx>0(或〈0),構(gòu)造函數(shù)尸里(sinxH0)；

sinx

⑨對于不等式(x)—f(x)tan乂>0(或〈0),構(gòu)造函數(shù)等式=cosxf(x)；

⑩對于不等式f'(x)+f(x)tanx>0(或〈0),構(gòu)造函數(shù)尸(X)=(cosxH0).

cosx

?(理)對于不等式f'(x)+kf(x)>0(或〈0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=e%(x)；

?(理)對于不等式f'(x)—kf(x)〉0(或〈0),構(gòu)造函數(shù)歹(x)=J學(xué)；

—.解題策略

類型一構(gòu)造具體函數(shù)求解

【例1】【2018屆第二次調(diào)研】已知定義在R上的函數(shù)fO)滿足f(D=l,且2恒成立，則不等式

/■(一)<++L

')22的解集為()

A.(-8,-1)B.(1,+8)c.(-co,-l)u(l,+co)D.(-1,1)

【答案】D

【解析】令"/，則/■(爐)<9+；,即為+即

設(shè)=f(叫一;戈一；，貝J。'(動=rG)-

因為對于任意的％c都有成立，

所以對任意zwR,都有g(shù)'G)>。，所以g(x)=fG)-一；為單調(diào)遞增函數(shù)，

且鼠1)=.⑴-=o,所以f⑴-<。的解集為t<i,

即爐(1,即一1<z<1所以不等式f(V)<5+:的解集為(一u),故選D

【指點迷津】

對于與函數(shù)有關(guān)的不等式的求解問題：通常是代入函數(shù)的解析式，直接求解不等式的解集，若不等式不易

解或不可解，則將問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的性質(zhì)一一單調(diào)性與奇偶性等，結(jié)合函數(shù)的圖象求

解，這樣會使得問題變得直觀、簡單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.對于復(fù)合函數(shù)問題，先換元，再構(gòu)

造函數(shù)，是常用的方法.

【舉一反三】【黑龍江省2018年仿真模擬(一)】設(shè)函數(shù)((%)是人工)(xeR)的導(dǎo)函數(shù)，A0)=1,且

3/(久)=「(￡)-3,貝lj4f(x)>/'(>)的解集是()

【答案】B

【解析】

根據(jù)條件,3f(0)=3=f(0)-3}

：.f(0)=6：

.'.f(x)=2e3s-1,f(x)=6的；

.?.由4f(x)>f(x)得：4(2^-1)>3+

整理得，的>2；

.'.3x>ln2^

□

?.?原不等式的解集為(等，f

故選：B.

類型二構(gòu)造抽象函數(shù)求解

【例2】【四川省眉山市仁壽第一中學(xué)校南校區(qū)2019屆第一次調(diào)研】設(shè)函數(shù)TO)是奇函數(shù)/"(*)(%6R)的導(dǎo)函

數(shù)，當(dāng)久＞0時，xlnxf\x)＜-/(%),則使得('-4)/(x)＞。成立的久的取值范圍是()

A.(-2,0)U(0,2)B.(-8,-2)U(2,+8)C.(-2,0)U(2,+8)D.(-8,-2)U(0,2)

【答案】D

【解析】

根據(jù)題意，設(shè)9(￡)=lnx-f(久)(久＞0),

"口皿g'(x)=("x)'/0)+lwcf\x)=-/(x)+lnxf\x)

其導(dǎo)數(shù)x

1

lnx-f'(x)<——f(x)

又由當(dāng)%>0時，x

E士9’(K)='(工)+lnx-f\x)<0

則有久，

即函數(shù)9(乃在(0,+9)上為減函數(shù),

又由g(i)=仇i-f(i)=o,

則在區(qū)間(0,1)上，g0)=Inx-f[x}>g(l)=0,

又由bix<0,則f(x)<0,

在區(qū)間(1,+8)上,g(x)=Inx-/(x)<g(l)=0,

又由Znx>0,則f(x)<0,

則外乃在(0,1)和(l,+8)上,f(x)<0,

又由/'(X)為奇函數(shù)，則在區(qū)間(-1,0)和(-8,-1)上，都有f(x)>0,

(x2-4VCx")>0<=>[%2_4>0(%2-4<0

解可得x<-2或0<刀<2,

則￡的取值范圍是(-%-2)11(0,2),故選D.

【指點迷津】

聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最

值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？?/p>

使問題變得明了，準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類不等式的關(guān)鍵點也是難點就是構(gòu)造合

適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時往往從兩方面著手：①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題,

可根據(jù)選項的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).

【舉一反三】【河北省唐山一中2018屆強化提升(一)】設(shè)/(久)是函數(shù)，(x)的導(dǎo)函數(shù)，且

(。)>人久)(久66/(1)=6伊為自然對數(shù)的底數(shù))，則不等式人仇工)〈沖勺解集為()

A.(0,e)B.(。，府C.周D.(乖,e)

【答案】A

【解析】

構(gòu)造FCO=等

貝ijF，a)=尸>肝一/肝_ras

vf(x)>/(x)

???尸G)>o,fG)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增

心,⑴e，

r[l)=-----=-=1

ee

則不等式fQnx)〈尤，式c?,+oo)

由等<1,即鬻<i

F0nx)<F(1)

Inx<1,x<e

綜上，不等式的解集為(0,e)

故選4

類型三追根求源，抽象問題具體化

【例3】【四川省棠湖中學(xué)2018-2019學(xué)年第一次月考】定義在R上的函數(shù)fO)滿足/(￡)=/(-x),當(dāng)

/?(a)--)。

a,be(-8,0]時總有a-b'(aKb),若/'O+1)則實數(shù)m的取值范圍是

~°°,--jU(1,+8)

【答案】

【解析】

...定義在R上的函數(shù)f(x)滿足fOx)=f(x),

/.f(X)是偶函數(shù)，fif(-X)=f(x)=f(|x|).

...當(dāng)a,b€(-8,0)時總有人?一/⑸>口(a?b),

.?.f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞熠，

.,.f(x)在(0,YO)上單調(diào)遞減.

*.'f(m+1)>f(2m),

/.f(|m+l|)>f(|2m|),

(m+1)2>0,

二.(m—l)(3m+1)>0

-;或m?>l.

實數(shù)m的取值范圍是(-8,一；)八1，+8).

故答案為：(一8，一;)U(L4-oo).

【指點迷津】

函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，它們應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.學(xué)習(xí)中應(yīng)注意牢記奇

偶性、單調(diào)性的不同表達形式.對于所遇到的數(shù)學(xué)問題，應(yīng)注意挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函

數(shù)的奇偶性單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡、化抽象為具體的作用.

【舉一反三】【安徽省淮南市2018屆二模】已知函數(shù)/'(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間(-8⑼上單調(diào)遞

增，若實數(shù)a滿足，(23貝W的取值范圍是()

A.(遮+8)B.(1淄)C.(。姆)D.(-8■)

【答案】A

【解析】

?.,函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間(-8,0］上單調(diào)遞增，

Af(x)在R上都是增函數(shù),

log/log^a

則不等式f(2)>-f(-依，等價為f(23)>/(A/2),

1

log^a5

即23>V2=22,

1

12

則3a>,=，。933

1

即a>3”=小

即實數(shù)a的取值范圍是(居+8),故答案為：A

三.強化訓(xùn)練

1.【遼寧省部分重點高中2019屆9月聯(lián)考】已知函數(shù)fO)為定義在［-3,"2］上的偶函數(shù)，且在［-3,0］上單

/(-x2+2%-3)</(x2+-)

調(diào)遞減，則滿足5的久的取值范圍()

A.(1,+8)B.C.(1詞D,［?A/2］

【答案】C

【解析】

因為函數(shù)f。)為定義在［一工t-2］上的偶函數(shù)，所以-3+t-2==5,

因為函數(shù)/'CO為定義在［-3,3］上的偶函數(shù),且在［-3用］上單調(diào)遞減，

所以打一爐+2乂-3)</XV+*等價于2+2光—3)</(fz-1),

即0>-x2+2x-3>-x2-l>-3,1<x<y/2,選c.

2.【四川省雅安中學(xué)2019屆第一次月考】設(shè)/Xx),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)工<0時，

f'(x)g(X)+/(%)g'O)>0,且f(-3)=0,則不等式fO)9(X)<0的解集是()

A.(-3,0)U(3,+8)B.(--3)U(0,3)

C.(-口,-3)U(3,+co)D.(-3,0)U(0,3)

【答案】B

【解析】

構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)g(x)

因為當(dāng)％＜。時，F(xiàn)'O)=八》9(K)+y(x)g'O)＞0,即當(dāng)久＜0時F(x)為單調(diào)遞增函數(shù)

且f(乃，9仁)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以F(x)為奇函數(shù)F(3)=f(-3)g(-3)=0

所以，。)或工)＜0的解集是(-8,-3)U(0,3)

所以選B

3.【云南省曲靖市第一中學(xué)2019屆9月監(jiān)測卷二】已知函數(shù)y=/'(x))為奇函數(shù)，當(dāng)x＜。時,f'。)＞。且f(2)=0,

則不等式口(久)＜。的解集為()

A.(-2,0)U(0,2)B.(-2,0)U(2,+8)

C.(-8,-2)U(0,2)D.(-8,-2)U(2,+8)

【答案】A

【解析】

由題意，函數(shù)TG)為奇函數(shù)，且當(dāng)X＜。時,r。)＞。,即函數(shù)八%)在(-8,0)為單調(diào)遞熠函數(shù),所以在8,+8)

也為單調(diào)遞增函數(shù)，

又由八2)=A-2)=0,

所以當(dāng)(一2,0),(2,+8)時，f(x)＞0,當(dāng)(-8,-2),(0,2)0寸，/(X)＜0,

又由不等式皿W＜。，即在;黑或彼;品，

所以解集為(-2.0)U(0,2),故選A.

4.【寧夏銀川一中2019屆第一次月考】設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，9式x)為

導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x＜0時，/■’0)-90)+/(?90)＞。且9(-3)=0,則不等式f(x),儀久)＜。的解集是()

A.(-3,0)U(3,+°°)B.(-3,0)U(0,3)

C.(―8,—3)U(3,+8)D.(-oo,-3)U(0,3)

【答案】D

【解析】

設(shè)F(x)=f(x)g(x),當(dāng)x＜0時，

VF/(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)＞0.

.*.F(x)在當(dāng)x＜0時為增函數(shù).

\'F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)*g(x)=-F(x).

故F(x)為(-8,o)U(0,+8)上的奇函數(shù).

；.F(x)在(0,+8)上亦為增函數(shù).

已知g(-3)=0,必有F(-3)=F(3)=0.

構(gòu)造如圖的F(x)的圖象，可知

F(x)<0的解集為xd(-8,-3)U(0,3).

故選：D.

5.【【全國百強?！亢颖笔∥湟刂袑W(xué)2019屆第一次調(diào)研】已知奇函數(shù)/■(乃是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，滿足F(2)

5X3-3

-.f(x)>-------

=3,且/Tx)在(0,+8)上的導(dǎo)函數(shù)〃無)</7，則不等式，-3的解集為()

A.(-2,2)B.(-8,2)C.卜時口.卜強)

【答案】B

【解析】

設(shè)=ro）一；/+1,貝必'（%）=r一爐

?.?/?0）在（0,+8）上的導(dǎo)函數(shù)r。）

??000=『。）一爐＜。

.?必。）在也+8）上為減函數(shù)

/.5（2）=/（2）-；+1=0

，不等式外幻＞號的解集為（一皿2）

故選B.

6.【黑龍江省2018屆仿真模擬（四）】設(shè)TO）是函數(shù)/'（工）的導(dǎo)函數(shù)，且（（乃＞2/（久）。6/?）,’19一，（e為

自然對數(shù)的底數(shù)），則不等式f（仇》）〈公的解集為（）

A.k2）B.（。，&）C.

【答案】B

【解析】

可構(gòu)造函數(shù)F(x)看，

r8-金工尸.y工，

由F(x)>2f(x),可得F，(x)>0,即有F(x)在R上遞增.

不等式f(tax)(x?艮[1為^^<],(x>0),艮x>0.

即有F⑶萼=1,即為F(Inx)<F(1),

由F(x)在R上遞增，可得InxVj,解得0<x〈燈.

故不等式的解集為(0,便)，

故選：B.

7.【2019年一輪復(fù)習(xí)講練測】設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(-8,0)上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為r(X),且有

2/'⑶+")>/,則不等式/+2018)2f(x+2018)-4〃-2)>0的解集為

A.(-2020,0)B.(-8,-2020)C.(-2016,0)D.(-8,-2016)

【答案】B

【解析】

根據(jù)題意,設(shè)g(x)=x2f(x),x<0,

其導(dǎo)數(shù)g'(x)=[x2f(x)]'=2xf(x)+x2f7(x)=x(2f(x)+xf'(x)),

又由2f(x)+xf'(x)>x2^0,且x<0,

則"(x)WO,則函數(shù)g(x)在區(qū)間(-8,o)上為減函數(shù)，

(x+2018)2f(x+2018)-4f(-2)>0

0(x+2018)2f(x+2018)>(-2)2f(-2)=>g(x+2018)>g(-2),

又由函數(shù)g(x)在區(qū)間(-8,o)上為減函數(shù)，

(x+2018V—2

則有1x+2018<0,

解可得：x<-2020,

即不等式(x+2018)2f(x+2018)-4f(-2)>0的解集為(-8,-2020)；

故選：B.

8.【江西省新余市第四中學(xué)2019屆10月月考】已知函數(shù)/'(乃的導(dǎo)函數(shù)為/''(%),且對任意的實數(shù)支都有

f(x)=e~xCZx+-)-/(x)

2(e是自然對數(shù)的底數(shù))，且/'(0)=1,若關(guān)于久的不等式人支)-血＜0的解集中恰有

唯一一個整數(shù)，則實數(shù)加的取值范圍是()

【答案】B

【解析】

i5

+-x+1

2

G(x)=f(x)ex,G(x)=2x+-G(x)=x2+—x+c,/■㈤=—-——，

分析：構(gòu)造函數(shù)2故~2進而得到e對該函數(shù)求導(dǎo)

得到函數(shù)的單調(diào)性和圖像，結(jié)合圖像得到結(jié)果.

解：對任意的實數(shù)X都有r(幻=eT(2x+*-fQ),變形得到&)+r(.x)W=2x4-1

構(gòu)造函數(shù)GCO=煙巴G&)=2x+：

故GG)=x2+1x+。，根據(jù)八。)=1,得到G(0)=c=l.-.G(x)=x3+1x+l

+?-X4-1——(2JC4-a^Qlf—

進而得到外x)=對函數(shù)求導(dǎo)得到r,G)—根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負得到函數(shù)在

卜8,_；)、，(3山，(L+8)乙M/")，B(L城由此可得到函數(shù)的圖像，

不等式f(x)-m＜。的解集