新教材高中數學第八章立體幾何初步8.2立體圖形的直觀圖課件

立體圖形的直觀圖課標定位素養(yǎng)闡釋1.能用斜二測畫法畫平面基本圖形的直觀圖.2.能用斜二測畫法畫立體圖形的直觀圖,能畫出簡單的立體圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單的組合體)的直觀圖.3.采用從特殊到一般的數學思想,感受數學空間抽象與幾何直觀的過程,感受幾何作圖在生產活動中的運用.自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

堂

練

習

自主預習·新知導學一、平面圖形的直觀性【問題思考】1.在美術畫圖中,空間圖形或實物在畫板上畫得既富有立體感,又能表達出各主要部分的位置關系和度量關系.在畫實物圖的平面圖形時,其中的直角在圖中一定畫成直角嗎?正方形、矩形、圓等平面圖形在畫實物圖時應畫成什么?為什么?提示:為了直觀,不一定畫成直角.平行四邊形、平行四邊形、扁圓形,為增加直觀性.2.填空:用斜二測畫法畫平面圖形的步驟:(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點O.畫直觀圖時,把它們畫成對應的x'軸與y'軸,兩軸相交于點O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它們確定的平面表示水平面.(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于x'軸或y'軸的線段.(3)已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長度不變,平行于y軸的線段,在直觀圖中長度為原來的一半.3.做一做:如圖,△A'B'C'是△ABC的直觀圖,則△ABC是(

)

A.等腰三角形

B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.鈍角三角形解析:因為A'B'∥x'軸,A'C'∥y'軸,所以把直觀圖還原成實際圖形后,AC⊥AB,所以△ABC為直角三角形.答案:B二、簡單的立體圖形的直觀性【問題思考】1.簡單的立體圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱)的直觀圖如何用斜二測畫法畫?提示:先由斜二測畫法畫底面,再確定z'軸.2.填空:用斜二測畫法畫簡單的立體圖形的直觀圖的步驟(1)畫底面,這時使用平面圖形的斜二測畫法即可.(2)畫z'軸,z'軸過點O',且與x'軸的夾角為90°,并畫出高線(與原圖高線相等,畫正棱柱時只需要畫側棱即可),連線成圖.(3)擦去輔助線,被遮線用虛線表示.三、簡單組合體的直觀性【問題思考】1.簡單組合體圖形的直觀圖如何用斜二測畫法畫?提示:先分析簡單組合體的結構特征,把組合體分解成簡單的立體圖形,再用斜二測畫法畫簡單的立體圖形,最后畫成簡單組合體圖形的直觀圖.2.填空:(1)對于圓錐的直觀圖,一般先畫圓錐的底面,再借助于圓錐的軸確定圓錐的頂點,最后畫出兩側的兩條母線.(2)畫球的直觀圖,一般需要畫出球的輪廓線,它是一個圓.同時還經常畫出經過球心的截面圓,它們的直觀圖是橢圓,用以襯托的立體性.解:該幾何體是由一個圓錐和一個圓柱拼接而成的簡單組合體,其直觀圖如圖所示.3.做一做:如圖所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,該梯形繞邊AD所在直線EF旋轉一周得一幾何體,畫出該幾何體的直觀圖.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)關于“斜二測畫法”,原圖形中平行于x軸的線段,其對應線段平行于x'軸,長度不變.(

√

)(2)關于“斜二測畫法”,原圖形中平行于y軸的線段,其對應線段平行于y'軸,長度變?yōu)樵瓉淼?/p>

.(

√

)(3)關于“斜二測畫法”,在畫與直角坐標系xOy對應的x'O'y'時,∠x'O'y'必須是45°.(

×

)(4)關于“斜二測畫法”,在畫直觀圖時,由于選軸的不同,所得的直觀圖可能不同.(

√

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

平面圖形的直觀性【例1】

如圖,畫水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖.解:畫法:(1)在圖①中作AG⊥x軸于點G,作DH⊥x軸于點H.(2)在圖②中畫相應的x'軸與y'軸,兩軸相交于點O',使∠x'O'y'=45°.(4)連接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去輔助線G'A',H'D',x'軸與y'軸,便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖A'B'C'D'E'(如圖③).①

②③畫平面圖形的直觀圖的原則(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時,選取適當的坐標系是關鍵,一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上,以便于畫點.(2)畫平面圖形的直觀圖,首先畫與坐標軸平行的線段(平行性不變),與坐標軸不平行的線段通過與坐標軸平行的線段確定它的兩個端點,然后連接成線段.【變式訓練1】

用斜二測畫法畫邊長為4cm的水平放置的正三角形的直觀圖.解:(1)如圖①所示,以BC邊所在的直線為x軸,以BC邊上的高線AO所在的直線為y軸.(2)畫對應的x'軸、y'軸,使∠x'O'y'=45°.在x'軸上截取O'B'=O'C'=2

cm,在y'軸上截取

,連接A'B',A'C',則三角形A'B'C'即為正三角形ABC的直觀圖,如圖②所示.①

②探究二

簡單的立體圖形及簡單組合體的直觀性【例2】

用斜二測畫法畫棱長為2cm的正方體ABCD-A'B'C'D'的直觀圖.解:畫法:(1)畫軸.如圖,畫x軸、y軸、z軸,三軸相交于點O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)畫底面.以點O為中心,在x軸上取線段MN,使MN=2

cm;在y軸上取線段PQ,使PQ=1

cm.分別過點M和N作y軸的平行線,過點P和Q作x軸的平行線,設它們的交點分別為A,B,C,D,四邊形ABCD就是正方體的底面ABCD.(3)畫側棱.過A,B,C,D各點分別作z軸的平行線,并在這些平行線上分別截取2

cm長的線段AA',BB',CC',DD'.(4)成圖.順次連接A',B',C',D',并加以整理(去掉輔助線,將被遮擋的部分改為虛線),就得到正方體的直觀圖(如圖).畫簡單的立體圖形的直觀圖的原則(1)作空間圖形的直觀圖時,平行于x軸的線段畫成平行于x'軸的線段,并且長度不變.(2)平行于y軸的線段畫成平行于y'軸的線段,且線段長度畫成原來的

.(3)平行于z軸的線段畫成平行于z'軸的線段,并且長度不變.【變式訓練2】

畫出底面是正方形,側棱均相等的四棱錐的直觀圖.解:畫法:(1)畫軸.畫Ox軸、Oy軸、Oz軸,∠xOy=45°(或135°),∠xOz=90°,如圖.(2)畫底面.以O為中心在xOy平面內,畫出正方形的直觀圖ABCD.(3)畫頂點.在Oz軸上截取OP,使OP的長度是原四棱錐的高.(4)成圖.順次連接PA,PB,PC,PD,并擦去輔助線,將被遮住的部分改為虛線,得四棱錐的直觀圖如圖.探究三

直觀圖的還原和計算問題【例3】

水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示,已知A'C'=3,B'C'=2,則原圖中AB邊上中線的實際長度為

.

解析:把直觀圖還原為原圖,為Rt△ABC,且∠C=90°,AC=3,BC=4,∴AB=5,AB邊上的中線為

,即為2.5.答案:2.5本例改為以梯形為背景,梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖.若A1D1∥O'y',A1B1∥C1D1,

,A1D1=O'D1=1.試畫出原四邊形的形狀,并求原圖形的面積.解:如圖,建立直角坐標系xOy,在x軸上截取OD=O'D1=1,OC=O'C1=2.在過點D的y軸的平行線上截取DA=2D1A1=2.在過點A的x軸的平行線上截取AB=A1B1=2.連接BC,即得到了原圖形(如圖).由作法可知,原四邊形ABCD是直角梯形,上、下底長度分別為AB=2,CD=3,直角腰長度為AD=2.由直觀圖還原為平面圖的關鍵是找與x'軸,y'軸平行的直線或線段,且平行于x'軸的線段還原時長度不變,平行于y'軸的線段還原時放大為直觀圖中相應線段長的2倍,由此確定圖形的各個頂點,順次連接即可.易

錯

辨

析平面圖形的直觀圖還原錯誤【典例】

如圖所示,一梯形的直觀圖是一個等腰梯形,且梯形OA'B'C'的面積為,則原梯形的面積為(

)錯解:C以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:解答此類問題時要注意角度的變化以及長度的變化,直觀圖面積S'與原圖形面積S滿足正解:如圖,由斜二測畫法原理知,原梯形與直觀圖中的梯形上、下底邊的長度是一樣的,但兩個梯形的高不一樣.答案:D原梯形與直觀圖中梯形上、下底邊的長度一樣,但高的長度不一樣.原梯形的高OC是直觀圖中OC'的長度的2倍,OC'的長度是直觀圖中梯形的高的

倍,此處易出錯應防范.【變式訓練】

如圖所示,正方形O'A'B'C'的邊長為1cm,它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖,則原圖形的周長是

.

答案:8cm隨

堂

練

習1.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖,對其中的線段的說法錯誤的是(

)A.原來相交的仍相交 B.原來垂直的仍垂直C.原來平行的仍平行 D.原來共點的仍共點解析:按斜二測畫法畫直觀圖時,角度要發(fā)生改變,即選項B錯誤,其余均正確.答案:B2.利用斜二測畫法得到的:①三角形的直觀圖是三角形;②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形;③正方形的直觀圖是正方形;④菱形的直觀圖是菱形.以上結論正確的是(

)A.①② B.① C.③④

D.①②③④解析:因平行性不