計量經(jīng)濟學(xué)公式概念

計量經(jīng)濟學(xué)概念公式

第1章

一、數(shù)據(jù)類型：截面、時間序列、面板

1.橫截面數(shù)據(jù)(cross-sectionaldataset)

定義：對給定的某個時間點的個人、家庭、企業(yè)、城市、洲、國家或者一系列其他單位

采集的樣本所構(gòu)成的數(shù)據(jù)集。常被用于勞動經(jīng)濟學(xué)、健康經(jīng)濟學(xué)和農(nóng)村經(jīng)濟學(xué)中。重要特征：

數(shù)據(jù)假定是從總體中通過隨機抽樣而得到。

2.時間序列數(shù)據(jù)(timeseriesdata)

定義：在不同時間點上收集到的數(shù)據(jù)，這類數(shù)據(jù)反映了某一事物、現(xiàn)象等隨時間的變化

狀態(tài)或程度。如我國國內(nèi)生產(chǎn)總值從1949到2015的變化就是時間序列數(shù)據(jù)。

3,面板或縱列數(shù)據(jù)(paneldata)

定義：由數(shù)據(jù)集中每個橫截面單位的一個時間序列組成

與混合橫截面數(shù)據(jù)區(qū)別：面板數(shù)據(jù)的同一橫截面數(shù)據(jù)單位都被跟蹤了一段特定的時期。

面板數(shù)據(jù)前后年份的樣本是相同的，具有可比性。但是混合橫截面數(shù)據(jù)前后年份的樣本

很可能大部分不相同，不具有可比性。

面板數(shù)據(jù)的優(yōu)點：對同一單位的多次觀測，使我們能控制觀測單位的某些觀測不到的特

征使我們能研究決策行為或結(jié)果中滯后的重要性。

四、用數(shù)據(jù)度量因果效應(yīng)，其他條件不變的概念

1.因果效應(yīng)

經(jīng)濟學(xué)家的目標(biāo)就是要推定一個變量對另一個變量具有因果關(guān)系我們希望去解釋：什么

導(dǎo)致一些事情發(fā)生？是這個因素還是那個因素？假設(shè)在現(xiàn)實世界中，X(自變量，一個可能

的原因)確實是Y(因變量，被解釋的變量)，那我們就能預(yù)見數(shù)據(jù)分析支持以下假設(shè)：如

果X的數(shù)值增加，Y的數(shù)值也增加。但由于存在誤差或數(shù)據(jù)不足，統(tǒng)計檢驗可能出錯或被錯

誤地解釋。

2.其他條件不變(ceterisparibus)

意味著“其他(相關(guān))因素保持不變”。在因果關(guān)系中，其他條件不變是具有重耍作用

的。多元回歸中，所得到的“其他因素不變的效應(yīng)”，并非是通過在實際抽樣中，固定其他

因素不變。多元回歸分析的優(yōu)勢，在于它使我們能在非實驗環(huán)境中去做自然科學(xué)家在受控實

驗中所能做的事情：保持其它因素不變。

第2章

一、回歸分析的基本概念

現(xiàn)代意義的回歸是一個被解釋變量對若干個解釋變量依存關(guān)系的研究，回歸的實質(zhì)是由

固定的解釋變量去估計被解釋變量的平均值。

二、回歸分析的常用術(shù)語

y一—因變量、被解釋變量、相應(yīng)變量、被預(yù)測變量、回歸子

X——自變量、解釋變量、控制變量、預(yù)測變量、回歸元、協(xié)變量

〃一一誤差項、干擾項，表示除x之外其他影響y的因素，包括沒有觀測到的和不可觀

測到的

四一一斜率參數(shù)，代表了回歸元的邊際效果，是研究的主要興趣所在

耳一一截距參數(shù)

三、回歸中的四個重要概念

1.總體回歸模型(PopulationRegressionModel,PRM)

y,=Po+P\X,一代表了總體變量間的真實關(guān)系。

2.總體回歸函數(shù)(PopulationRegressionFunction,PRF)

E(y,)=A+4百一代表了總體變量間的依存規(guī)律。

3.樣本回歸函數(shù)(SampleRegressionFunction,SRF)

y,=A++e,一代表了樣本顯示的變量關(guān)系。

4.樣本回歸模型(SampleRegressionModel,SRM)

%=A+?x,——代表了樣本顯示的變量依存規(guī)律。

總體回歸模型與樣本回歸模型的主要區(qū)別是：

①描述的對象不同?？傮w回歸模型描述總體中變量y與x的相互關(guān)系，而樣本回歸模型

描述所關(guān)的樣本中變量y與x的相互關(guān)系。

②建立模型的依據(jù)不同。總體回歸模型是依據(jù)總體全部觀測資料建立的，樣本回歸模型

是依據(jù)樣本觀測資料建立的。

③模型性質(zhì)不同?？傮w回歸模型不是隨機模型，而樣本回歸模型是一個隨機模型，它隨

樣本的改變而改變。

總體回歸模型與樣本回歸模型的聯(lián)系是：樣本回歸模型是總體回歸模型的一個估計式,

之所以建立樣本回歸模型，目的是用來估計總體回歸模型。

四、線性回歸的含義

線性：被解糅變量是關(guān)于參數(shù)的線性函數(shù)(可以不是解釋變量的線性函數(shù))，至于y和

x與我們所關(guān)注的被解釋變量和解釋變量有何聯(lián)系，并沒有限制。

五、線性回歸模型的基本假設(shè)

1.簡單線性回歸的基本假定

對模型和變量的假定：

假定SLR.1：線性于參數(shù)

在總體模型中，因變量y與自變量x和誤差（干擾）u的關(guān)系如下：

其中，A和4分別表示總體的截距和斜率參數(shù)。

假定SLR.2：隨機抽樣

我們具有一個服從總體模型方程的隨機樣本｛（"yJ：（i=l,2,L"）｝,其樣本容量為n。

假定SLR.3：解釋變量樣本有波動性

x的樣本結(jié)果即｛x,:i=l,L,小，不是完全相同的數(shù)值。

對隨機擾動項u的假定（零均值假定、同方差假定、無自相關(guān)假定、隨機擾動與解釋變

量不相關(guān)假定、正態(tài)性假定）

假定SLR.4：零均值假定

給定解釋變量的任何值，誤差的期望值都為零。換言之，E（"1x）=0。

假定SLR.5：同方差假定

給定解釋變量的任何值，誤差都具有相同的方差，換言之，Var（u\x）=a2

2.多元線性回歸模型的基本假定：

假定MLR.1：線性于參數(shù)

總體模型可寫成

其中，魚,4,L,月是我們所關(guān)心的未知數(shù)，而u是無法觀測到的隨機誤差或隨機干擾。

假定MLR.2：隨機抽樣

我們有一個含有n次觀測的隨機樣本｛（若冷，L，與，y,）：i=1,2,L,”｝,它來自假定

MLR.1中的總體模型。

假定MLR.3：不存在完全共線性

在樣本（因而在總體中），沒有一個自變量是常數(shù)，自變量之間也不存在嚴格的線性關(guān)

系。兩個變量完全相關(guān)，最簡單的情形就是一個變量是另一個變量的常數(shù)倍。自變量可能完

全線性相關(guān)的另一種方式是，一個自變量恰好是其他自變量的線性函數(shù)。

重要的是我們要注意到，MLR.3允許變量之間有相關(guān)關(guān)系，只是不能是完全相關(guān)。同?

變量的不同非線性函數(shù)也都可以出現(xiàn)在回歸元中。

假定MLR.4：條件均值為零

給定自變量的任何值，誤差u的期望值為零。換句話說，E（u\x｝,X2,L,xA）=0<.

假定MLR.5：同方差性

給定任意解釋變量值，誤差u都具有相同的方差。換言之，Vhr(〃|4,%,L,&)=cr\

假定MLR.6：正態(tài)性假定

總體誤差u獨立于解釋變量不x?,L,x*,而且服從均值為零和方差為/的正態(tài)分布

就橫截面回歸中的應(yīng)用而言，假定MLR.1-MLR.6被稱為經(jīng)典線性模型假定(CML),因此我們

將這6個假定的模型稱為經(jīng)典線性模型(CLM)o

假定MLR.4'：零均值和零相關(guān)/隨機擾動與解釋變量不相關(guān)假定

對所有的_/=l,2,L,k,都有E(〃)=0和“)=0。

補充假定：無自相關(guān)假定(不序列相關(guān))

隨機誤差項〃的條件不序列相關(guān)性表明在給定解釋變量任意兩個不同的值時，對應(yīng)的

隨即誤差項不相關(guān)?？梢缘葍r表示為：

六、普通最小二乘法(原理、推導(dǎo))

1.普通最小二乘法

原理：給定一組樣本觀測值{(4yJ：(i=l,2,L〃)},假如模型參數(shù)估計量已經(jīng)求得，并

且是最合理的參數(shù)估計量，那么樣本回歸函數(shù)應(yīng)該能夠最好地擬合樣本數(shù)據(jù)，即樣本回歸線

上的點與真實觀測點的“總體誤差”應(yīng)該盡可能地小。因此普通最小二乘法估計參數(shù)的原則

是以“殘差平方和最小”。即：

min力區(qū)-￡)’名(Po.P,)

2I

推導(dǎo)：

殘差平方和

對上述殘差平方和Q分別對瓦、以求偏導(dǎo)數(shù)，可以得到此方程最小化問題的一階條件：

這兩個方程與前面的矩條件完全一致，可以用相同的方法求解參數(shù)。

2.矩估計方法

零條件均值假定E(定x)=E(u)=0有兩個意義:(1)E(u)=0；(2)E(u1x)=E(u).

根據(jù)本書附錄中條件期望性質(zhì)5(PropertyCE.5,p.719),由(2)可得Cov(u,x)=0。又

因為Cov(u,x)=E([u-E(u)][x-E(x)])=E(ux)-E(u)E(x)=E(ux)?故有E(ux)=0.

假定對于一個總體(population),存在簡單回歸方程：

假定零條件均值假定成立：E(u|x)=E(u)=0。于是有：

(1)E(u)=0

(2)E(ux)=0

將〃=y-&-⑸x代入上述等式(1)、(2),得:

(3)E(y-4-/?,x)=0

(4)E[x(y-鳳-川x)]=0

(3)、(4)稱為總體的矩條件。

從總體中隨機抽取一個樣本容量為n的隨機樣本，用{(4y；=1，2,L〃)},i表示單

個樣本(observation)的編號，n是樣本總量。x；,y；表示第i個樣木的相應(yīng)的變量。每

一觀測樣本i均應(yīng)滿足：丫=&+￡內(nèi)+4。將前面所假定的總體矩條件(3)、(4)應(yīng)用于樣

本中，這種方法稱為矩估計法(methodofmoments)o

與總體中的矩條件(3)、(4)相對應(yīng)，在樣本中相應(yīng)的矩條件(samplecounterparts)為：

⑺，尸訃廠氐_雨)=0

(4)n'￡%-A-BQ=0

求解關(guān)于&、4的方程組(3')、(4')o

根據(jù)樣本均值的定義以及加總的性質(zhì)，可將條件(3')變換為

N=凡+后x或者凡=y-民x

代入條件(4‘)得到

因此OLS估計的斜率為

OLS估計的截距為

其中,假定力(七7丫>0。

?=1\

七、OLS的代數(shù)性質(zhì)

1.OLS殘差和及其樣本均值均為零。代數(shù)表示為4=0o

r=l

由OLS的一階條件得出瓦-6A)=0o

2.回歸元和OLS殘差的樣本協(xié)方差為零。代數(shù)表示￡毛&=0。

f>l

由OLS的一階條件得出〃”名z(y-3()_P\xi]=0。

3.點(文題總在OLS回歸線上。代數(shù)表示5=尺+笈工。

可以由"一-瓦-8、x；)=o推導(dǎo)出。

4.擬合值的樣本平均值與)，，的樣本平均值相等。代數(shù)表示于=亍。

5.擬合值與殘差之間的樣本協(xié)方差為零。代數(shù)表示z￡?=o。

八、擬合優(yōu)度R?

1.定義

(1)總平方和SST=Z(M-刃”

總平方和(SST),是y在樣本中所有變動的測度指標(biāo)，即它度量了y在樣本中的總分散

程度。將總平方和除以n-1,可得到y(tǒng)的樣本方差。

(2)解釋平方和SSE=Z(%-7『

回歸模型所解釋的平方和(SSE),是n的擬合值的在樣本中的變動程度的測度指標(biāo)。

(3)殘差平方和SSR='＞；

殘差平方和(SSR)是殘差的樣本變異程度的測度指標(biāo)，表示模型所未解釋的y的變動。

(4)離差平方和的分解TSS=ESS+RSS

又因為刃=()，所以得證

2.定義

“擬合優(yōu)度”是模型對樣本數(shù)據(jù)的擬合程度。檢驗方法是構(gòu)造一個可以表征擬合程度的

指標(biāo)——判定系數(shù)又稱決定系數(shù)。

(1)f=港=更旨”=1-渭，表示回歸平方和與總離差平方和之比；反映了

SSTSSTSST

樣本回歸線對樣本觀測值擬合優(yōu)劣程度的一種描述；在解釋內(nèi)時，我們通常把它擴大100

倍，得到一個百分數(shù)，所以100*內(nèi)是y的樣本波動中被x解釋部分的百分比。

(2)?26[0,1])

(3)回歸模型中所包含的解釋變量越多，越大！

九、改變度量單位對OLS統(tǒng)計量的影響

一般而言，當(dāng)因變量乘上常數(shù)c,而自變量不改變時，OLS的截距和斜率估計量也要乘

上c。若自變量被除以或乘以一個非零常數(shù)c,則OLS斜率系數(shù)也會分別被乘以或者除以c。

可見，改變自變量的度量單位一般不改變截距值。

十、函數(shù)形式(對數(shù)、半對數(shù)模型系數(shù)的解釋)

(1)g=B"+Ax,：x變化一個單位Y變化反單位。

(2)ln^=po+p,lnx,:X變化1%,Y變化/％,表示彈性。

(3)ln^=p0+p,Xi8X變化一個單位，Y變化百分之100厭

(4)g=8o+BjnX/X變化1%,Y變化A％。

H^一、0LS無偏性

0LS的無偏估計為

定理2.L0LS的無偏性

利用假定SLR.1至SLR.4,對自、兒的任何值，我們都有

E伊。)=.和E伊，卜片

換言之，凡對片而言是無偏，尸［對夕］而言是無偏的。

引理：

⑴￡卜-司=。

1=1

⑵￡卜,-x)(y,-y)=-x)%tW-"x]丫-x)%

i=\i=lk/=1)/=1

⑶SST,=白菁T(x,4)=￡k，--%-[力；-右*=總占-%

/=1i=l\*=1//=1

推導(dǎo)：

于是有

批注［VI］:1.cov(x,u)=0

E(S)=4+(得)ZE(4%)=4+(—

33j=i33人i=i2.左邊應(yīng)該是估計值

=四+(/這4*。=丹

I=I

十二、OLS估計量的抽樣方差

定理2.2：OLS估計量的抽樣方差

在假定SLR.1-SLR.5下，以樣本值｛石，孫L,七｝為條件，有

證明:

十三、誤差方差的估計

由OLS的兩個一階條件

給出了OLS殘差所必須滿足的兩個約束條件?？紤]這些限制的一個方法是：如果我們知

道殘差中的n-2個，就能通過這兩個約束條件得到另外兩個殘差。因此3$殘差只有n-2個

自由度(degreesoffreedom)。因而『的無偏估計量為

定理2.3：T的無偏估計

在假定SLR.1至SLR.5下，我們有Eb)=b2

證明：

對上式進行平均得到

上式減下式得到

因此

對所有i求和，又得到

取期望得

/批注[V2]:也就是說實際位

碓伊虱%一取巧―可=《2伊—⑷/--------

因此

E(渭卜其中SSR=￡：G，T2=X3

十四、OLS估計量的性質(zhì)

(1)線性：是指參數(shù)估計值瓦和A分別為觀測值y,的線性組合。

(2)無偏性：是指瓦和氏的期望值分別是總體參數(shù)片和4。

(3)最優(yōu)性(最小方差性)：是指最小二乘估計量凡和用在在各種線性無偏估計中,

具有最小方差。

十五、高斯-馬爾可夫定理

1.多元回歸的高斯-馬爾科夫定理

定理3.4高斯-馬爾科夫定理

在假定MLR.1到MLR.5下，凡拗,L,比分別是即印L,月的最優(yōu)無偏線性估計量。最

優(yōu)性，這里最優(yōu)被定義為最小方差.

2.簡單回歸的高斯馬爾科夫假定

定理2.1：OLS的無偏性(內(nèi)容&證明參見第一章)

十六、OLS參數(shù)估計量的概率分布

若假定"，遵從以0為均值，人為方差的正態(tài)分布，則工也遵循正態(tài)分布。即在“，正態(tài)

性的假定下，我們可以得到

1./3?,用也是正態(tài)分布的

十七、OLS隨機誤差項u的方差4的估計

在估計的參數(shù)為和四的方差表達式中，都含有隨機擾動項u的方差選又稱為總體

方差。由于T實際上是未知的，因此為和用的方差實際上無法計算，這就需要對其進行估

計。

由于隨機擾動項“，不可觀測，只能從“，的估計值一一殘差e；出發(fā)，對總體進行估計?？?/p>

以證明，標(biāo)的最小二乘估計為

它是關(guān)于人的無偏估計。

十八、對零條件均值的理解

假定MLR.4：條件均值為零

給定自變量的任何值，誤差u的期望值為零。換句話說，E（u\xt,X2,L,xt）=0o

假定SLR.4：零均值假定

給定解釋變量的任何值，誤差的期望值都為零。換言之，E（M|.r）=（）o

（1）限定總體中X和U的關(guān)系

對一個隨機樣本，這個假定意味著對所有的i=l,2,…，n,都有E（%|x,）=O。

（2）技術(shù)簡化

我們可以以樣本中的占值為條件推導(dǎo)OLS,x非隨機變量，cov（x,u）=0

習(xí)題：4、5,6；C2、C3、C4

第3章多元回歸分析：估計

一、變量系數(shù)的解釋（剔除、控制其他因素的影響）

對斜率系數(shù)自的解釋：在控制其他解釋變量（X2）不變的條件下，XI變化一個單位對Y

的影響；或者，在剔除了其他解釋變量的影響之后，XI的變化對Y的單獨影響！

二、多元線性回歸模型中對隨機擾動項u的假定，除了零均值假定、同方差假定、無自相關(guān)

假定、隨機擾動與解釋變量不相關(guān)假定、正態(tài)性假定以外，還要求滿足無多重共線性假定。

定理3.2：在假定MLR.1到MLR.5之下，以自變量的樣本值為條件，對所有的j=1,2,L,k