高中數(shù)學公式(上海版)

集合命題不等式公式

1>Cu(Ac3)=CUA<JCUB=;Q(AuB)=CvAcC(fBo

2、AcB=Ao_AqB__;ADB=BO_A^B_;QBcC0A<=>_A^B;

ACYCLJB=0?A^B;CuAuB=U=A^Bo

3、含n個元素的集合有：_二_個子集，個真子集,個非空子集,

―2"-2一個非空真子集。

4、常見結(jié)論的否定形式

原結(jié)論反設詞原結(jié)論反設詞

是否至少有一個一個都沒有

都是不都是至多有一個至少有兩個

大于小于等于至少有n個至多n-1個

小于大于等于至多有n個至少n+1個

至少有一個X不（非p）且（非

對全部X都成立P或q

成立q）

對任何X都不成至少有一個X成（非P）或（非

P且q

立立q）

5、四種命題的相互關系：_原命題與逆否命題互為等價命題；否命題

與逆命題互為等價命題。

6、若p=q,則p是q的充分條件:q是p的必要一條件。

7、基本不等式：

（1）a,beR;a2+b2>lab等且僅當a=b時取等號。

（2）a,b&R":a+b>2x[ah等且僅當a=b時取等號。

（3）肯定值的不等式：加國。±6〈修|+|/

8、均值不等式:

2

a,beR時，_______-——-_______<

11

一+一一場一J十—7—

ab

等且僅當a=人時取等號。

/(x)vn/J7(x>g(x)?o

9分式不等式：

g(x)-g(X)HO

10、肯定值不等式："(x)|>a(a>0)。/(x)或/'(x)>a

If(x)|<a(a>0)。-a<f(x)<a

11、指、對數(shù)不等式:

afM<as(x)of(x)<g(x)

(1)a>1時:

log?以x)<log?g(x)=0<f(x)<g(x)

?！獣r:二―

⑵

函數(shù)公式

1、函數(shù)y=/(x)的圖象與直線x=a交點的個數(shù)為1個

2、一元二次函數(shù)解析式的三種形式：

一般式：y=ax2+bx+c(a*0)_;頂點式：y=a(x+—)2~—(a^0)_;

2a4a

科卜4/-b+y]b-4?c..-b-yjb-4ac..

零點式：____y=a*-------------)(x-------------)(aw0)___________

2a2a

3、二次函數(shù)):=/(x)=ax2+bx+c(a。0),XE[m,n]的最值：

h

/(?)---->n

b+〃2a

f(m)-——>----

2a2b

1%a>0時，Znax='二</(--)m<----<n

b<m十幾Xnin2a2a

/(?)-

2a~2b

/(⑼----<m

2a

-^>n

/(?)

2a”、bm+n

/(")c>c

b2a2

2。、a<0時，/(-—)m<----<nymin=<

2a2a、bm+n

bL2a2

----<m

2a

4、奇函數(shù)/(-x)=-/(x),函數(shù)圖象關于原點對稱;

偶函數(shù)/(-x)=/(x)=—/(|x|)一，函數(shù)圖象關于y軸對稱。

奇函數(shù)若在x=0有意義，則/(0)=0

5*、若y=/(x)是偶函數(shù)，則/(x+a)=J\-x-a)

若)'=/(x+。)是偶函數(shù)，則f(x+a)=/(-x+a)。

6^函數(shù)y=f(x)在單調(diào)遞增(減)的定義：任取玉，々，〃],

且,<%2,若/(%)</(々)，則函數(shù)y=/(x)在xepw,"]單調(diào)遞增;若/(%)>/(》2),

則函數(shù)y=/(x)在xe[m,n]單調(diào)遞減________。

7、假如函數(shù)/(x)和g(x)在R上單調(diào)遞減，那么f(x)+g(x)在R上單調(diào)遞—減—，

/Ig(x)]在R上單調(diào)遞—增—o

8、奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有粗旦的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有棍層的

單調(diào)性。(填寫"相同"或"相反”)

9、互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關系：f(a)=b=___廣'(b)=a。

10、了=/*)與y=廣|。)互為反函數(shù)，設/(x)的定義域為D,值域為A,則有

/"-'(X)]=—x(xeA);=x(xeD)。

11、定義域上的單調(diào)函數(shù)肯定有反函數(shù)。(填寫“肯定有”，"可能有”，"肯定沒有”)

12、奇函數(shù)假如存在反函數(shù)，則反函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)；

互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有粗旦的單調(diào)性。(填寫“相同”或“相反")

13、函數(shù)y=/(x)的圖像向右移a個單位，上移b個單位，得函數(shù)

y=f(x-a)+b的圖像；

曲線/(x,y)=O的圖像向右移a個單位，上移b個單位，得曲線f(x—a,y—力=0的圖

像。

1、函數(shù)圖像的對稱性與周期性

(1)一個函數(shù))，=/(x)本身的對稱性與周期性

解析式滿意圖像滿意

f(a+x)=f(b-x)o關于直線犬=對稱

2

關于點(空,0)對稱

f(a+x)=-f(h-x)o

f(a+x)=/S+x)o以1。一切為周期

f(a+x)=-f(b+x)=>以2|。-6］為周期

圖像對稱性圖像周期性

同時關于x==對

=>以2|a—2為周期

稱

同時關于(a,0),S,0)對稱=>以2|。-力|為周期

同時關于x=a,(反0)對稱=>以4|。-。|為周期

(2)兩個函數(shù)圖像的對稱性：

h—a

y=f(a+x),y=f(h-x)圖像關于工=工一對稱;

h—a

y=f(a+x),y=-f(b-x)圖像關于(一y-,0)對稱;

y=/(x)和y=f'(x)圖像關于____直線y=x對稱。

2、寫出滿意下列恒等關系的一個(組)詳細的函數(shù):

恒等關系詳細函數(shù)

/(x+y)=/(x)+/(y)y=kx

f(x+y)=f(x)f(y)y=cix(a>0且。w1)

/(孫)=/(x)+f(y)y=log”x(a>0且。w1)

f(xy)=/(x)/(y)y=X*(々為有理數(shù))

了…J(x)+/(y)y=tanx

-l-/U)/(y)

**/*)."y)=g"(x+y)+f(x-y)]

y=cosx

**f(x)+f(y)=2/(亨)/(早)y=cosx

賽指對函數(shù)公式

1、涼二—行a"=____,—_____(a>O,m,n&N*,n>1)

Nd”

=J——a——11為奇數(shù)

2、麗）"=

’一］「土a—n為偶數(shù)

3、有理指數(shù)賽的運算性質(zhì):

aras=___ar+s;(ar)5=ars;(ab)r=___arbr___.{a>0,/?>0,r.seQ)

4、指數(shù)式與對數(shù)式的互化：log?N=b^a"=N.(a>0,aw1,N>0)

10g<N

5、對數(shù)換底公式：logflN=__.(a>0,a#1,7V>0),推論：log,"6"=2-log“6

a

logcam

6、對數(shù)的四則運算：(a>0,aw1,M,N>0)

M

log”(MN)=log.M+log,N;log”—=log.M-log.N;log.Mn=n\ogM

Na

7、對數(shù)恒等式。砥'=N(a>0,awl,N>0)

8、基函數(shù)：y=F(a為常數(shù)，aw()),圖像恒過點(1,1),畫出賽函數(shù)在第一象

y=〉0,Qw1)y=log“x(a>0,"l)

定義域R(0,+oo)

值域(0,+8)R

奇偶性非奇非偶非奇非偶

三角比公式

1、設a終邊上隨意一點坐標為尸(x,y),這點到原點的距離為/,=J—+y20>o),

.yxyxrr

則sincr=—,cosa=—Jana=—,cota=—,seca=—,csca=一。

rrxyxy

2、同角三角比公式：平方關系：1=cos20+sin?a=sec2a-tan2a=esc?a-cot2a。

?t”"寸sina,,兀[)、cosa/,,

商數(shù)關系：tana=-------(aw%"十一,%￡Z)cota=-------(awkji.kGZ)

cosa2sina

■IJ

倒數(shù)關系：sinacsca=l(awkn.kGZ)cosaseca=l(awk兀+一,kGZ)

2

k兀

tanacota=l(a*—,ksZ)

3、兩角和與兩角差公式：

?/?小.一?c、/?小tana±tan/?

sin(a±p)=___sinacosp±cosasinp)____;tan(a±p)=---------------—

1tanatanp

cos(a±/?)=__cosacos/?7sinasin(3)____。

4、協(xié)助角公式：?sinx+/7cosx=—y/a2+/72sin(%+arctan—)__(a>0)

a

5、二倍角公式

sin2a=2sinacosa;cos2a=cos2a-sin2a=2cos2(2-1=1-2-sin2a;

-2tana/.nk兀TC,

tan2a=_-------；——(a豐k兀+—、aw——+—,攵eZ)

-1-tan-a~224

.a,1-cosaa,/l+coscr

6、半角公式：s%=±42；C0S2=±V2

a1-cosal-cosasina/,,

tan—=±J-----------=——；-------=-----------(a*kji,keZ)

2V1+cosasinal+cosa

7、萬能置換公式:

八a,ac.1

2tan—l-tan2_—2tan-

22

sincr=----------,cosa=-----------,tana=---------

i1+tan2a1+tan2—1-tan2—

222

其中awbrd——,aw2k兀+兀(kGZ)

2

8、(理)三角比的積化和差與和差化積公式

sinacos,=—[sin(?+/?)+sin(a-/?)]cosasin0=—[sin(6r+/?)—sin(a-/?)]

costzcos/?=—[cos((Qf+/?)+cos@—，)]sinasin0-[COS(CJ<+/?)—cos?—/?)]

a+Ba-B..〃ga+B.a—[3

sina+sin/?=2sin-----cos....-sin(7-sinB=2cos-----sin....-

2222

a+J3a-B

COS6Z+cos/?=2cos-cos-cos6Z-cosyS=-2sin-sin-

2------2

nhc

9、正弦定理：——=一/=——=2R,其中R是三角形外接圓半徑。

sinAsinBsinC

222+C

10>余弦定理：a=h+c-2bccosA;cosA=---—o

2bc

11>三角形面積公式：S=gabsh\Cp(p_a)(p_b)(p_c),其中==〃+；+c

（第三格用行列式表示，第四格用向量表示）

誘導公式

1、1”=-^―rad,\rad=°

1807t

2、扇形的弧長公式/=必；扇形的面積公式S='/R='aR2

—22

3、在直角坐標系中用"+"、”一"標出各個三角比在各個象限中的符號。

sincrcosatana

colasecacsca

4、誘導公式（&eZ）

誘導公式口訣：奇變偶不變，符號看象限

三角函數(shù)圖像與性質(zhì)

名稱正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)

解析式y(tǒng)=sinxy=cosxy=tanxy=cotx

(冗jr-j

定義域xeRxeRx手k冗\一、ksZxwk7r,keZ

2

值域ye[-1,1]yG[-i.i]y&Ry^R

增區(qū)間2k7r--,2k7v+—12左4-4,2%乃]k冗，如r+一無

_22.I22）

▲,71_.37r

減區(qū)間2k7T+—2k冗+——Qk冗2kTT+7v\無（k乃,女乃十乃）

22

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)

周期兼巴女工0周期2而次工0周期k7T,加工0周期公r,加工0

周期性

最小正周期24最小正周期2冗最小正周期汗最小正周期才

x=2^+pymax=lx=2k^yraax=l

最值無最大（?。┲禑o最大（?。┲?/p>

x=2^-y,ymin=-1x=2上萬一萬，丫皿:“=->

,兀.71

零點X=k7TX=攵乃+一x=k兀X=K7T-\——

22

對稱軸直線X=Z"+工直線尤=Z乃無無

2

對稱中

點(",0)點嚀,0）

點（&匹0）點（％萬+工,0）

22

心

廣

圖象

(1)弦曲線y=Asin(tar+°)的物理意義

(二)參數(shù)A,公0,機對y=Asin(dir+>)圖象影

1、振幅A:表示離開平衡位置的最大值

響

2、周期丁=紅，表示往復振動一次所需的

(O

1、位置改變

時間

y=sin(x+0)左右平移

其他3、頻率f=_L=g,，表示單位時間內(nèi)往復振

T17T

y=sinx+〃?上下平移

動次數(shù)

2、形態(tài)改變

4、3十0叫做相位，e叫做初相；力-2表

(0

y=Asinx上下伸縮

示相位移。

y=sintar左右伸縮

初相e表示振動起先時物體的位置。

反三角函數(shù)與三角方程

反三角函數(shù)圖像與性質(zhì)

名稱反正弦函數(shù)反余弦函數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù)

解析式y(tǒng)=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccotx

定義域XG[-1,1]XG[-1,1]xeRXGR

值域g.giyw[。㈤1?苫亭yc(0,萬)

增區(qū)間[-U]無R無

減區(qū)間無[-U]無R

奇偶性奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)

X=l1，Xnax=乃5X=-l，y?>ax=^

最值無最大(小)值無最大(小)值

X=Ty?nin=~~X=Lymia=。

零點x=()X=1x=0無

對稱軸無無無無

對稱中

(0,0)(0,j)(0,0)點（。,9

心

,Jp.

圖象

X=.O5Y=.O5J—1口

2、恒等式(寫明x的取值范圍)：

arcsin(sinx)=X,XE;arccos(cosx)=G[0,^]；arctan(tanr)=G,—)

22----------22

sin(arcsinx)=X,XG[-1,1];cos(arccosr)=X,XG[-1,1];tan(arctanr)=x,xsR

arcsin(-x)=-arcsine,xG[---，-]arccos(-x)=7i-arccosx,xG[0,7t\

22

arctan^x)=—arctanx,%€(---,一)；arcsin.r+arccosA：=—e[—1,1]

3、最簡潔的三角方程:

方程方程的解集方程方程的解集

sinx=。{x\x=Avr+(-1)"arcsina,keZ}sinx=sincr{x\x=2攵乃+a或2攵%+4一a,Z￡Z

,\a\<l

cosx=acosx=cosa

{x|x=2%乃±arccos,女GZ)

[x\x=2k7r±a,kGZ]

,\a\<l

tanx=a{x|%=ATT+arctan?,ZeZ}

tanx=tana{x\x=kru+a.kZ]

數(shù)列公式

等差數(shù)列｛明｝等比數(shù)列｛a,J

=q,gw0均。0,〃eN*)

定義??+|-a?=△,(〃€N*)

%

M—1

通項公式an=q+(n-l)d%=%q

通項公式

的推導方累加法累乘法

法

推廣的通

a“=a+(〃-ni)d%=aqn'm

項公式mm

m+H=p+q

a,“+a“=4+4aa=aa

時tnnPQ

+a“)na}(4=1)??,(4=1)

"~2

求和公式S，=(#i)=^lz￡2(”i)

上?(?-!),

=na,+-------aIjIIf

12

前n項和公

倒序相加法錯位相減法

式推導的

方法：

,S2(S-S)=S+(S-S)

3/l2nnn3n2n(S-S)2=S-(S?-S)

間的關系2nnn32n

等差中項：，a,,2=a,-?q,+i(充分非必要)

充要條件nN2,nwN"

〃之2,〃wN*

2S〃=A?q〃+(-A)

Sn=An+Bn

2、a與b的等差中項幺」；a與b的等比中項±4ab

S(n=1)

3、數(shù)列的通項公式與前n項和的關系：21*。

[S?-S?_,(n>2,ne7V)

4、a?=ka?_t+b(krO,kri,bwO),求通項時，將該式變形q+上_=氣峭+上_)

(?>2,neA^,)o

5、已知｛%｝為等差數(shù)列，｛"｝為等比數(shù)列，則

(1)求數(shù)列｛凡+”,｝前n項和用分組求和法;(2)求數(shù)列｛凡?”,｝前n項和用錯位相減

法；

(3)求數(shù)列｛」一｝前n項和用裂項相消法。

aa

??+>

0⑷<1

6、lim—=—0—；limC=—C—；(其中C為常數(shù))，limq"--1q=1

ns九n—>oon—>oo

不存在|?|>1或4=一1

7、無窮等比數(shù)列各項和：S=limS“=」」，其中公比q的取值范圍為_匕|<1，4/0_

“T001-q

8、已知lim〃〃=A,lim2=8,則lim(a〃±hn)=A±B;lim(a〃也)=A，B;

an—>oon—xx/J—

18b,iD

矩陣行列式公式

1、通過對線性方程組增廣矩陣的變換可以得到線性方程組的解，這里所用的矩陣變換

有下列三種：

(1)互換矩陣的兩行;

(2)把某一行同乘(除)以一個非零的數(shù);

(3)某一行乘以一個數(shù)力口、i]另一行。

通過上述三種矩陣變換，使線性方程組系數(shù)矩陣變成單位矩陣時，其增廣矩陣的最終

一個列向量給出了方程的解。

2、已知矩陣A,.,矩陣功由，矩陣￡,*,“，假如矩陣C中第i行，第j列的元素%為A

的第i個行向量與B的第j個列向量的數(shù)量積,z=1,2,n,j=1,2,n,刃卜么C=AB。

(1)只有當A的列數(shù)和B的行數(shù)相等時，矩陣之積AB才有意義;

(2)一般的，AB一*84。(填=或N)

[4],4812

例如：若A=(l23),B=5,則AB=(32),BA=51015

e、61218

Xab、

3、矩陣變換：向量的左邊乘一個2階方陣,就可以得到另一個向量

yjd7

x'bX

即,這個矩陣變換把向量(xy)變換成向量(X，y')□

d

《伉

4、

a2b2按對角線法則綻開2c』+a263cl+a3ble2-a3b2ct-a2btc3-atb3c2

4無

b2c2%b2

按第一行綻開q一瓦+G

七瓦

4、

的代數(shù)余子式是一b

田優(yōu)

…小4記。=q4q瓦

5^二元一次方程＜,Dx=,Dy=

a2x+b2y=c2a2h2c2b2

D

當OwO時，方程組有唯一解，其解為，

a

y=-

D

當。=o,且豐o或。，wo時，方程組無解;

當。=2=0=0時，方程組有多數(shù)多解。

當。=0時，方程組無解或有無窮多解。

7、算法部分請看書

向量復教公式

1、向量。=(5，,),〃=(々，丁2),處]a+b=(%+%,必+%),a-b=(x,-x2,y[-y2~),

^a=(2x,,Ayf),ab=|a|聞cos。=x,-x2+^,-y2,向量夾角

a-h

cos6=Ial=+y「°

2、設a=(與,苗),/?=(9,%),則

.-A—>

a//b<^>a=Ah=xxy2-x2y(=0oa'b=±\a\\b\

a-Lb<^>〃?力=0。斗/+%必=0o\a-^-b\=\a-b\

3、向量〃與向量X夾角為銳角u＞。?方＞。且〃不平行于。

4＞向量。在向量。上的投影為|a|cos。

5、定比分點公式：片(和必),鳥(毛,%),P,P=APP2,則P坐標為(土土華，上土裂)。

14-X14-Z

6^△43。頂點4斗,),8(工2，%)，。(如為)，則A4BC1重心坐標為

,3+々+芻/+%+%、

3，3)

7、三角形四心定義：內(nèi)心：三角形角平分線的交點;

外心：三角形中垂線的交點;

重心：三角形中線的交點;

垂心：三角形壹的交點；

三角形四“心”向量形式的充要條件：

設O為AABC所在平面上一點，。，"c是A,B,C對應的邊。

,、.-2—2____2

(1)()為AABC的外心oOA=OB=OC

(2)O為MJ3C的^￡=OA+OB+OC=0

(3)。為/\ABC的全aoOAOB=OBOC=OAOC

ABAC

(4)AP=AG~+,~)(2e/f),則P的軌跡過三角形的內(nèi)心

網(wǎng)r陷r-

8、A、B、C三點共線oAB=/lAC(；lH0)o0A=f03+(l—f)OC(QA、OB、OC的

關系式)

9、復數(shù)z=a+bi,(a,bwR),則上匚/^+巨；z是純虛數(shù)oa=0,8/0。

10、|z「Z2l的幾何意義是：Z,,Z,兩點間的距離。

11、\z2\=\z^^z2;\a\=\a\2=^a(填寫=,w)

12、ZG/?＜=＞z=zo

13、負實數(shù)。的平方根是,i。

14、實數(shù)a的立方根是如，7土?二。

2

-h±>Jh2-4ac▲_

----------------------------A>0

2a

15、實系數(shù)一元二次方程ar?+/；x+c=o的解3=.--_______A=0

2a

-b±\14cle一及?i.八

-----------------------------------A<0

2a

2

16、實系數(shù)一元二次方程ax+/?x+c=O的兩根為xpx2,則

2

+x2)-4XJX2A>0

[2。|A<0

直線公式

1、已知人(王，%)，B(x2,y2),則=*~—Ui

占一工2

22

IAB|=A/(x1-x2)+(y1-y2)=Jl+公I%-%I=j+2IM-hI

2、直線的方程：(應用以上直線方程時應考慮其存在的條件)

(1)點方向式：*=2■——(過POo，%),一個方向向量為(a,v),MV^O)

uV

當〃=()時，該直線方程為x=x();當丫=()時，該直線方程為y=%

(2)點法向式：?(x-xo)+/?(y-y0)=O(過P(%,%),一個法向量為(a,份)

(3)點斜式：y-j0=k(x-x0)(過尸(%,%),斜率為k)

當斜率不存在時，該直線方程為x=%

(4)一般式：Ax+By+C-O(A、B不同時為零)

(5)斜截式：y-kx+b(斜率為k,在y軸上的截距為b)

當斜率不存在時，該直線方程為x=()

x=x+

(6)(理)參數(shù)方程：<(過POo，%),一個方向向量為(〃一))

[y=%+W

/、，，fx=x.+/COS6Z,,

(7)(理)參數(shù)方程：.(過傾斜角為a)

[y=y()+/sina

3、直線斜率左和傾斜角a的關系：