遼寧省2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年度下學(xué)期期末考試高二試題數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合要求）1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．已知為實(shí)數(shù)，則“”成立的充分不必要條件是（

）A． B．C． D．3．已知函數(shù)，則的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．4．定義行列式，若行列式，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．已知，則的大小關(guān)系（

）A． B．C． D．6．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．7．若對(duì)任意的，且，都有，則的最小值是（

）A． B．e C．0 D．18．已知等差數(shù)列的公差為，且集合中有且只有5個(gè)元素，則中的所有元素之積為（

）A．0 B． C． D．1二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分）9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽．函數(shù)的值域?yàn)镃．若，則D．若冪函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)10．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．的最小正周期為4C．為偶函數(shù) D．11．已知實(shí)數(shù)滿足，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為 B．的最小值為C． D．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12．已知是定義在R上的奇函數(shù)，且，則．13．已知數(shù)列的首項(xiàng)為2，D是邊所在直線上一點(diǎn)，且，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為．14．若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍．四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）15．已知函數(shù)(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．16．在生活中，噴漆房和烤漆房是重要的工業(yè)設(shè)備，它們?cè)谖覀兊纳钪衅鹬陵P(guān)重要的作用．噴漆房的過(guò)濾系統(tǒng)主要作用是凈化空氣．能把噴漆過(guò)程中的有害物質(zhì)過(guò)濾掉，過(guò)濾過(guò)程中有害物質(zhì)含量（單位：）與時(shí)間（單位：h）間的關(guān)系為，其中為正常數(shù)，已知過(guò)濾2h消除了的有害物質(zhì)．(1)過(guò)濾4h后還剩百分之幾的有害物質(zhì)？(2)要使有害物質(zhì)減少，大約需要過(guò)濾多少時(shí)間（精確到1h）？參考數(shù)據(jù)：17．已知數(shù)列滿足．(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)證明：18．已知函數(shù)(1)求證：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．柯西不等式是數(shù)學(xué)家柯西在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的，其形式為：，等號(hào)成立條件為或至少有一方全為0．柯西不等式用處很廣，高中階段常用來(lái)計(jì)算或證明表達(dá)式的最值問(wèn)題．已知數(shù)列滿足．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：．1．C【分析】先求出每一個(gè)集合，再求兩集合的交集即可.【詳解】由，得或，所以，由，得，解得，所以，所以.故選：C2．D【分析】利用充分條件與必要條件的判斷方法，選項(xiàng)A和B，通過(guò)取特殊值，即可求解；選項(xiàng)C，利用單調(diào)性，即可求解；選項(xiàng)D，利用不等式性質(zhì)得，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)，滿足，得不出，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)，滿足，得不出，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，由，得到，即，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，由，得到，即，所以可以推出，但得不到，所以選項(xiàng)D正確，故選：D.3．B【分析】利用零點(diǎn)存在性定理，只需證出：，即可得到結(jié)論．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，又函?shù)，，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以，所以零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為.故選：B.4．D【分析】根據(jù)題設(shè)定義得到，即可求解.【詳解】因?yàn)?，由，得到，整理得到，解得或，故選：D.5．B【分析】根據(jù)條件，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，再利用指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得即可求出結(jié)果.【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，又在定義域上單調(diào)遞增，所以，又在定義域上單調(diào)遞增，所以，所以，故選：B.6．C【分析】根據(jù)條件，求出函數(shù)的定義域，并判斷出的奇偶性，利用的性質(zhì)，得到時(shí)，，結(jié)合圖象，可得選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)A，B和D錯(cuò)誤，從而求出結(jié)果.【詳解】易知函數(shù)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以為奇函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，所以，得到，又，所以，得到，又，所以，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)的圖象，所以選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)A，B和D錯(cuò)誤，故選：C.7．C【分析】根據(jù)題意將原不等式轉(zhuǎn)化為，令，則，則可得在上遞減，則，再次轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出，從而可求出的范圍，進(jìn)而可求得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以由，得，所以，所以，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立，令，則，所以在上遞減，所以，所以，所以的最小值是0.故選：C8．A【分析】根據(jù)條件得到，利用的圖象與性質(zhì)知的周期為，再利用項(xiàng)的值是互為相反數(shù)的兩個(gè)成對(duì)出現(xiàn)，結(jié)合條件，即可求解.【詳解】由題知，所以，易知周期為，考慮前項(xiàng)的值：，，，，，，，，因?yàn)榧现杏星抑挥?個(gè)元素，所以項(xiàng)的值必有互為相反數(shù)的二項(xiàng)同為，即集合中有元素，則中的所有元素之積為，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于，利用三角函數(shù)的周期性，集合中的元素只需考慮前項(xiàng)，注意到項(xiàng)的值是互為相反數(shù)的兩個(gè)成對(duì)出現(xiàn)，結(jié)合條件，即可求解.9．BC【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)條件，利用抽象函數(shù)定義域的求法，即可求解；選項(xiàng)B，分離常量得到，令，利用的單調(diào)性，即可求解；選項(xiàng)C，利用指對(duì)數(shù)的互換，即可求解；選項(xiàng)D，利用冪函數(shù)的定義及性質(zhì)，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，由，得到，得到函?shù)的定義域?yàn)椋赃x項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，令，所以，得到，所以函?shù)的值域?yàn)?，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，得到，所以，得到，即，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，且在上是增函數(shù)，所以，解得，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：BC.10．ACD【分析】根據(jù)題中條件和等式變形轉(zhuǎn)化，利用對(duì)稱中心、周期性和奇偶性進(jìn)行各個(gè)選項(xiàng)的判斷；【詳解】對(duì)于A，函數(shù)是偶函數(shù)，，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，A正確對(duì)于B，令，即，且，兩式結(jié)合得可化簡(jiǎn)為4.B周期不是4.B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，即函數(shù)周期為8，且函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；；；；；；；…所以，D正確；故選：ACD.11．ACD【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)條件，利用基本不等式，即可求解；選項(xiàng)B，根據(jù)條件得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；選項(xiàng)C，根據(jù)條件及的性質(zhì)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，即可求解；選項(xiàng)D，根據(jù)條件，同構(gòu)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成成立，構(gòu)造函數(shù)，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成成立，再構(gòu)造函數(shù)，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，由，得到，所以?dāng)時(shí)，取到最小值為，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，即，又易知，則，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以,所以，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，即，即，令，易知在上單調(diào)遞增，所以成立，即成立，令，所以在區(qū)間恒成立，所以，得到，所以選項(xiàng)D正確，故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于選項(xiàng)C和D，選項(xiàng)C，根據(jù)條件及的性質(zhì)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成，構(gòu)造函數(shù)，即可求解；選項(xiàng)D，同構(gòu)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成成立，構(gòu)造函數(shù)，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成成立，再構(gòu)造函數(shù)，即可求解.12．##【分析】由題意可得，可得，再由得到關(guān)于的方程，從而可解出，則可求出函數(shù)解析式，進(jìn)而可求出.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，得，因?yàn)?，所以，所以，得，則，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，所以.故答案為：13．【分析】首先利用平面向量基本定理推論求得數(shù)列的遞推關(guān)系式，再構(gòu)造求通項(xiàng)公式，再代入等比數(shù)列求和公式求和.【詳解】，所以，因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，所以，，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為5的等比數(shù)列，所以，即，數(shù)列的前項(xiàng)和，，.故答案為：14．【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性得到，通過(guò)變形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，得到，再對(duì)進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，求出函數(shù)的最小值，即可求解.【詳解】令且，則在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到，因?yàn)橛衷谏虾愠闪?，所以在上恒成立，令，，?dāng)時(shí)，，滿足題意，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，得到，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于利用同構(gòu)，通過(guò)換元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值，即可求解.15．(1)單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，得到，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成在區(qū)間上有解，令，構(gòu)造函數(shù)，求出的取值范圍，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）單調(diào)遞減，證明如下，易知定義域?yàn)?，由，得到，因?yàn)?，所以，又，故在區(qū)間上恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）由，得到，，又是增函數(shù)，得到在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，令，，則在區(qū)間恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍.16．(1)還剩的有害物質(zhì)(2)大約需要過(guò)濾小時(shí).【分析】（1）首先確定為初始含量，再代入條件，利用指數(shù)運(yùn)算，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，代入條件，轉(zhuǎn)化為求解指數(shù)方程.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以是初始有害物質(zhì)的含量，由題意可知，，得，后有害物質(zhì)含量，所以過(guò)濾4小時(shí)后還剩的有害物質(zhì)；（2）設(shè)過(guò)濾小時(shí)后，有害物質(zhì)減少80%，即還剩20%，則，則，則，則，所以要使有害物質(zhì)減少，大約需要過(guò)濾小時(shí).17．(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由遞推公式，構(gòu)造等比數(shù)列，再求通項(xiàng)公式；（2）首先由（1）的結(jié)果，放縮，再利用等比數(shù)列求和公式求和.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，且，則，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為7的等比數(shù)列，所以，則；（2）由（1）可知，，，即，只有當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，只有當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，成立，當(dāng)時(shí)，，綜上可知，.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，則無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，通過(guò)二次求導(dǎo)可判斷出存在唯一，使得，則在上遞減，在上遞增，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可證得結(jié)論；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證在上恒成立，連續(xù)三次求導(dǎo)可得在上遞增，然后分和兩種情況討論即可.【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，所以，所以無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由，得，令，則，所以在上遞增，即在上遞增，因?yàn)?，所以存在唯一，使得，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，因?yàn)?，在上遞增，所以，因?yàn)椋源嬖谖ㄒ?，使得，所以有兩個(gè)零點(diǎn)和0；（2）若在上恒成立，則恒成立，設(shè)，即證在上恒成立，，令，則，令，則，因?yàn)?，所以，所以在上遞增，即在上遞增，所以，所以在上遞增，即在上遞增，①當(dāng)時(shí)，，則，所以在上遞增，因?yàn)?，所以在上恒成立，所以，②?dāng)時(shí)，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以存在，使得，所以在上遞減，因?yàn)?，所以時(shí)，不合題意，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題，第（2）問(wèn)解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)后再次轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題.19．(1)證明見(jiàn)解析，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)條件，利用等差數(shù)列的定義，即可證明，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，即可求出結(jié)果；（2）利用柯西不等式得到，再利用分析法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明，再利用（1）中結(jié)果，轉(zhuǎn)化成證明，再利用數(shù)學(xué)歸納法，即可證明結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以為常?shù)，又，得到，所以數(shù)列為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，由，得到.（2